概率论与数理统计 7.3置信区间
置信水平的概率意义： 置信水平为 0.95 是指 100 组样本值所得置信区间的实现
中, 约有95个能覆盖 , 而不是一个实现以 0.95 的概率覆盖了 .
并非一个实现以 1- 的概率覆盖了
估计的可靠度：
估计要尽量可靠,
即
P( ─
<
<─
)=
1-
要尽可能大.
要求 以很大的可能被包含在置信区间内 .
• 样本 k 阶原点矩是总体 k 阶原点矩 的无偏估计量 ;
• 样本方差 S 2 是总体方差 2 的无偏估计量 ;
• 无偏估计量的函数未必是无偏估计量
有效性 —— 方差更小的无偏估计量.
• 在 的所有线性无偏估计量中, 样本均值 X─ 是最有效的.
一致性 参数的点估计是用样本算得的一个值去估计未知参数. 使用 起来把握不大. 点估计值仅仅是未知参数的一个近似值, 它没有 反映出这个近似值的误差范围. 而区间估计正好弥补了点估计 的这个缺陷. 为了使估计的结论更可信, 需要引入 ( 8. 34 0.03 3.182 )% , ( 8. 34 0.03 3.182 )%
( u / 2
)
1
2
例2: 某厂生产的零件长度 X 服从 N( , 0.04),现从
该厂生产的零件中随机抽取6个，长度测量值如下 (单位:毫米):
14.6, 15.l, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1.
求:µ 的置信系数为0.95的区间估计。
解：n = 6， = 0.05，z/2 = z0.025 = 1.96，2=0.22 .
,
n
u / 2
,
X
n
u /2 )可知,
( x)
10 若给定 n , l 随着 的减小而增大;
则 u/2 越大, l (就u越/2)大就, 越大, 这时 就越小.
20 若给定 , l 随着 n 的增大而减小;
且由于 l 与 n 成反比, 减小的速度并不快, 例如, n 由 100 增至 400 时, l 才能减小一半.
这个不等式就是我们所求的置信区间 ( , ) .
对于给定的置信水平, 根据估计量U 的分布, 确定
一个区间, 使得 U 取值于该区间的概率为置信水平.
(一) 单个正态总体置信区间的求法
设 X1, …, Xn 是总体 X ~ N( , 2)的样本, X ,─S2 分别是其样本
均值和样本方差, 求参数 、 2 的置信水平为1- 的置信区间.
通过计算，得 X 14.95,
所求置信区间为
X
n z 2,
X
n
z
2
14.79,
15.11 .
(2) 未知方差 2 时 —— 实用价值更大 !!
由于 ( X
n
u / 2
,
X
n
u / 2 )
与 有关,
故不能采用已知方差
的均值估计方法 —— 但其解决的思路一致.
n
u / 2 ) ,
简记为
X
n
u 2
求置信区间首先要明确问题：
是求什么参数的置信区间? 置信水平 1- 是多少?
一般步骤如下:
X
1 n
n i 1
Xi
1. 寻找未知参数 的一个^良好的点估计量 (X1, X2, …, Xn );
确定待估参数估计^ 量函数 U( 2. 对于给定的置信水平 1- ,
和 ( X1, X2 , , Xn ) 满足
P ( ) 1 ，
则称随机区间 ( , )为 的置信水平为1- 的双侧置信区间 . 和
分别称为置信下限和置信上限.
置信度 置信概率
1） 和 为两个统计量（由样本完全确定的已知函数）；
2）( , ) 是随机区间, 代入样本值所得的普通区间称为置信区 间的实现.
§7.3 单个正态总体均值与方差的置信区间
譬如，在估计湖中鱼数的问题中, 若我们根据一个实际样本 得到鱼数 N 的极大似然估计为 1000 条.
但实际上, N 的真值可能大于 1000 条, 也 可能小于1000条.
一个可以想到的估计办法是：若我们能给
出一个区间,并告诉人们该区间包含未知参数 N的可靠度 (也称置 信系数).
用U
X
S / n
分布的分位数求
的置信区间.
由于 S 2是 2 的无偏估计量, 故可用 S 替代 的估计量:
由抽样分布定理知 T = X ~ t(n-1),
Sn
令 P{ |T| t 2 (n 1) } 1 ，
查 t 分布表确定上侧 /2 分位数 t/2(n -1),
求总体均值 的置信水平为 0. 95 的置信区间.
解 由于 /2=0. 025 ,自由度 n-1= 3, 查 t 分布表得 t0. 025 =3. 182,
将 x─ = 8. 34 %
代入 | X
S/ n
| t /2 得
| 8. 34
0.03/ 4
|
3.182
(8. 34 0.03 3.182)% (8. 34 0.03 3.182)%
) 的分布 ; 由概率 P(
|U
|
U
x
X / n
) ,
~
N
(0 , 1)
查表求出分布的分位数
x
,
(u/2 )
1
2
P( |U| u /2 )
3. 由分位数|U| x 确定置信区间 (─ ,─ )X. ( , ─ ) 就是 的 100(1- )％ 的置信区间.
我们选取未知参P数(的某个 )估 计1量 ？^,①根据置信水平1- , 可以
找到一个正数 , 使得 P(|ˆ | ) 1 ，
只要知^道 的概率分布就可以确定 . 分布的分位数 ②
由不等式 |ˆ | 可以解出 ：ˆ ˆ ③
(X
n
u / 2
,
X
n
u / 2 )
的长度是最短的, 故我们总取它作为置信水平为 1- 的置信区间.
一般地, 在概率密度为单峰且对称的情形下, a =-b 对应的 置信区间的长度为最短.
l 与 n , 的关系： 由置信区间公式( X
置信区间的长度 l 为:
l
2
n
u / 2
例
设总体
X
的密度为
f
(x;
)
(
2) x 1,
0 x 1；
0, 其它,
其中 > 0为未知参数, X1, X2, …, Xn 是取自总体X的一组样本,
求 的极大似然估计量与矩估计量.
解(1) 样本的似然函数为
L( )
n
f
(
xi
;
)
(
2)n (
x1 L
| X
Sn
|
t / 2 (n 1) X
S n
t
2 (n 1)
X
S n
t
2 (n 1)
(X
S n
t
2 (n 1) ,
X
S n
t
2(n1)
)即为
的置信度为
1-
的区间估计.
例3
为确定某种溶液中甲醛浓度, 测定总体服从正态
分布, 且其4 个独立测量值的平均值 x─ = 8. 34%, 样本标准差 s= 0. 03%,
平为 0. 95 的置信区间.
解 由于 =0.05 , 查正态分布表得 u0. 025 = 1. 96 ,
|
X
/
n
| u /2
| 325 | 1.96
25/ 16
325 25 1.96 325 25 1.96
16
16
即得置信区间 ( 312. 75 , 337. 25 ). 区间长度为 24. 25
即令按标|(准uX//正2 )n态|1分u布2 /2,的查双正侧态X分分布位n表u数可/的2 得定u义/X2P,(
|U |
②
n
u /2 ) ,
由分布求分位数
u / 2 ③ 由u/2确
定置信区间
即得置信区间( X
n
u / 2 ,
X
均值
((12))
已知方差 未知方差
2 2
方差 2
((12))
已知均值 未知均值
均值 1- 2
((12))
已知方差12,22 未知方差12,22,但相等!
方差
12/22
((12))
已知均值 未知均值
1, 1,
2 2
如何根据实际样本, 由给定的置信水平1- , 求出一个区间 ( , ), 使
要求估计尽量可靠.
估计的精度：
估计的精度要尽可能的高：即要求区间置信的长度尽可能短, 或能体现该要求的其它准则.
要求置信区间的长度尽可能短.
可靠度与精度是一对矛盾, 一般是在 保证可靠度的条件下尽可能提高精度.
二、置信区间的求法 (一) 单个正态总体
1. 2.
(二) 两个正态总体12..
325
25 2. 33 325
16
25 1.75 16
同一置信水平下的置信区间不唯一, 其长度也不相等.
概率与统计学中的置信区间公式详解
概率与统计学中的置信区间公式详解在概率与统计学中，置信区间是一种常用的统计方法，用于对总体参数的估计和推断。
在进行统计分析时，我们往往只能通过对样本进行观察和测量，并根据样本数据来推断总体的特征。
而置信区间可以给出一个区间范围，来表达对总体参数的估计程度和不确定性。
本文将详解置信区间的概念与公式，并为读者提供详实的例子来解释如何计算和应用置信区间。
一、概念解析1.1 总体与样本在概率与统计学中，我们研究的对象分为总体和样本。
总体是指我们想要研究的所有个体或事件的集合，而样本是从总体中随机抽取出的一部分个体或事件组成的集合。
通过对样本的观察和测量，我们可以推断总体的特征。
1.2 参数与统计量总体的特征可以用参数来描述，参数是总体的指标或特征值。
例如，总体的平均值、方差和比例等都是参数。
而样本的特征可以用统计量来描述，统计量是样本的指标或特征值。
例如，样本的平均值、方差和比例等都是统计量。
通过样本统计量的计算，我们可以对总体参数进行估计和推断。
1.3 置信区间的含义置信区间是对总体参数的估计给出一个区间范围。
假设我们从总体中抽取了一个样本，并计算出样本的统计量，我们可以根据样本数据和统计原理构造一个区间，这个区间可以包含总体参数的真实值。
该区间被称为置信区间。
二、置信区间的计算2.1 正态分布总体的情况当总体满足正态分布的情况下，我们可以利用正态分布的性质来计算置信区间。
以总体均值为例，假设总体的标准差已知为σ，样本的样本均值为x，抽样个数为n，置信水平为1-α（通常取α=0.05），则置信区间的计算公式如下：置信区间 = x ± Zα/2 * (σ/√n)其中，Zα/2是标准正态分布的上侧α/2分位点，反映了置信水平的大小。
在常见的置信水平为95%的情况下，Zα/2大约等于1.96。
2.2 未知标准差的情况当总体的标准差未知时，我们可以利用样本标准差s来近似代替总体标准差σ，并根据样本数据构造置信区间。
概率论与数理统计复习7章
( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 = 1 − α 即P 2 <σ2 < 2 χα 2 ( n − 1) χ1−α 2 ( n − 1) ( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 置信区间为： 2 , χα 2 ( n − 1) χ12−α 2 ( n − 1)
则有：E ( X v ) = µv (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k ) 其v阶样本矩是：Av = 1 ∑ X iv n i =1
n
估计的未知参数，假定总体X 的k阶原点矩E ( X k ) 存在，
µ θ , θ ,⋯ , θ = A k 1 1 1 2 µ2 θ1, θ 2 ,⋯ , θ k = A2 用样本矩作为总体矩的估计，即令： ⋮ µ θ , θ ,⋯ , θ = A k k k 1 2 ɵ ɵ ˆ 解此方程即得 (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k )的一个矩估计量 θ 1 , θ 2 ,⋯ , θ k
+∞
−∞
xf ( x ) dx = ∫ θ x θ dx =
1 0
令E ( X ) = X ⇒
θ +1
θ
ˆ = X ⇒θ =
( )
X 1− X
θ +1
2
θ
7.2极大似然估计法
极大似然估计法： 设总体X 的概率密度为f ( x,θ ) (或分布率p( x,θ )),θ = (θ1 ,θ 2 ,⋯ ,θ k ) 为 未知参数，θ ∈ Θ, Θ为参数空间，即θ的取值范围。设 ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) 是 样本 ( X 1 , X 2 ,⋯ , X n )的一个观察值：
i =1 n
概率统计之置信区间
概率统计之置信区间一、首先，置信区间到底是什么？置信度又是什么？．置信区间就是随机变量落在某一表范围内的概率有多大，而置信度就是给说这个概率的的一个数。
其实可以这么说，就是我现在我求一个随机变量，在某一个范围内的概率是0.95，那么这个范围就是置信区间，概率0.95是置信度？不是要是1-0.95才是，哈哈。
我想办法画个图给大家看看。
嘻嘻如此图非影印部分，就是1-α，我们要求的就是随机变量落在这个概率内的一个范围就是置信区间啦。
再插入几张图片还有几个如T 分布和F 分布，百度不好找图片我就不找了，F 分布图像有点像卡方的，而T 的有点像正态分布的。
大家意会就行了。
正态分布区间是),(,,T X XX ),,(22-1222222-1222∂∂∂∂-∂∂∂∂-f f F t t u u N ）（），，（，基本就只用到这四个进行估算了，下面解释下，如何导出而不是死记这些公式。
1：确立μ的置信区间，而确立他有两种情况，第一就是2σ未知，一种是2σ可知。
当2σ可知时，我们可以由N(0,1)∽nσ/μ-—X ，这个上面，我们只有μ不知道。
那么知道是用这个后下一步做什么？1)X -(X S α1}n Sμn S { α;1}n S/μ-{n σ/μ-),1(X ∽σ1,/X N(0,1)T S σt t t σα1}n σμn σ{ α;1}n σ/μ-{2n1i i22α2α2α2α22222α2α2α2α-=-=-≤≤-=-=≤≤=--=-=-≤≤-=-=≤≤=∑=----n u X u X P u X uP X n S n nu X u X P u X uP ————注：化简后，得后就得到服从标准正态分布，最而上面说了）（而代替，可用分布可以不要用到分布，因为分布了，为何要用用不可知时，那我们就得当化简后得那么再下一个得到书上的公式了。
分布的式子同样就可以们的地个那我们再套用最上面我分布。
那么自然想到那么对于。
第七章7-3概率论与数理统计
3.以该区间内任一值作为的近似值，
误差不大于
s
6.2022
n t 2(n 1)=
2.1315 2=6.61 16
9
2 方差 2的置信区间 只讨论均值未知情形
由于
(n 1)S2 2
~
2(n 1)
取 (n 1)S2 作为枢轴量
2
对给定的置信水平1 ,确定分位数
2 1
2(n 1) , 2 2(n 1) ,
§4 正态总体均值与方差的区间估计
一 单个总体N (, 2 )的情形 设已给定置信水平为1－，并设
X1, X 2,L ，X n为总体N (, 2 )的样本，
X 和S 2分别是样本均值和方差.
1
1 均值的置信区间
(1) 2已知，均值的置信水平为1-
的置信区间为
简记为
X
n
z 2 ,
X
n
z
2
X
n
试求总体均值 的置信水平为0.95的
置信区间
6
解：这是单总体方差未知，总体均值 的区间估计问题.
均值 的置信水平为 1的置信区间为
s
s
x
n t 2(n 1), x
n
t
2(n1) 这里 1 0.95, / 2 0.025, n 1 15,
t / 2 (n 1) t0.025 (15) 2.1315
S
11 n1 n2
18
从而可得，在
12
2 2
2，但 2未知，
均值差1 2的置信水平为1-的置信区间
X Y t /2 (n1 n2 2)S
其中
1 n1
1 n2
S2
(n1
1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
7.4单正态总体下未知参数的置信区间 课件- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电版)
2 的无偏估计为 ˆ 2
1 n
n i 1
X
2 i
2 ，
取 a b 满足
G ˆ 2, 2
1
2
n
(Xi
i 1
)2
~
2 n
P
a
1
2
n
(Xi
i1
)2
b
1
二、方差的置信区间
取
a
2 2
n,b
2 12
n
此时，对应的 2 的双侧1 置信区间为：
n
X
i
2
n
X
i
2
i1
, i1
．
第7章 参数估计
1
07
参数估计
目录/Contents
第7章 参数估计
2
7.1 点估计
7.2 点估计的良好性评判标准
7.3 置信区间
7.4 单正态总体下未知参数的置信区间
7.5
两个正态总体下未知参数的置信区间
目录/Contents
第7章 参数估计
3
7.4 单正态总体下未知参数的置信区间
一、均值的置信区间 二、方差的置信区间
故 的双侧 0.95 置信区间的观测值为[1485.69,1514.31] ．
二、方差的置信区间
第7章 参数估计
12
1
期望 已知, 方差 2的双侧置信区间；
2
期望 未知, 方差 2的双侧置信区间.
二、方差的置信区间
第7章 参数估计
13
(1)期望 已知, 方差 2 的双侧置信区间
当 已知时，
0.95 的双侧置信区间.
解 由题设条件知 n 10, 0.05, x 1500, s 20, 查表得
概率与统计的置信区间
概率与统计的置信区间概率与统计是一门研究随机现象的学科，它通过数理统计方法对收集到的数据进行分析和推断，从而得出对总体特征的估计，并对这些估计结果进行可信程度的评估。
其中，置信区间是概率与统计中的一个重要概念，用于表示总体参数的估计值的可信程度。
本文将详细介绍概率与统计的置信区间的概念、计算方法以及在实际问题中的应用。
首先，我们来了解一下置信区间的概念。
在概率与统计中，我们经常需要对总体的某个参数进行估计，比如总体均值、总体比例等。
由于我们无法直接观察到总体的全部数据，只能通过对样本的观察和分析来获得对总体参数的估计。
但是，由于样本的随机性以及抽样误差的存在，样本估计值很可能与总体真值存在差异。
置信区间的概念就是用来表示我们对总体参数的估计结果的可信程度。
接下来，我们来看一下置信区间的计算方法。
一般而言，我们可以采用抽样分布的方法来计算置信区间。
在给定样本大小和抽样方法的情况下，我们可以获得样本统计量的分布，进而得到总体参数的估计分布。
然后，我们可以根据置信水平和样本统计量的分布特性，计算出总体参数的置信区间。
在计算置信区间时，置信水平是一个重要的参数，表示我们对置信区间的可信程度。
一般常用的置信水平有90%、95%和99%等。
置信水平越高，置信区间的宽度就越大，表示我们对总体参数的估计结果越保守。
在实际应用中，我们需要根据需求和数据特点来选择适当的置信水平。
除了计算置信区间，我们还需要对置信区间的解释和应用进行详细的说明。
在解释置信区间时，我们通常会说出“在置信水平α下，总体参数的真值有α的概率位于置信区间之内”。
这句话表示，在给定的置信水平下，我们可以有一定的把握认为总体参数的真值会落在计算出的置信区间范围内。
而在实际应用中，我们可以利用置信区间进行决策、做出推断和验证假设等。
最后，我们来看一下置信区间在实际问题中的应用。
置信区间的应用范围非常广泛，几乎涉及到任何需要进行参数估计的领域。
举个例子，假设我们想要估计某项产品的平均寿命，我们可以通过抽取一些样本进行寿命测试，然后计算出平均寿命的置信区间。
《概率论与数理统计》第三版--课后习题答案.-(1)
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1)某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故；(2)掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：；(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；(4)从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：(5)检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则；(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2);解：用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：；(7)在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：；(8)在长为的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：；1.2(1)A 与B 都发生, 但C 不发生; ；(2)A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;；(3)A,B,C 中至少有一个发生; ；(4)A,B,C 中恰有一个发生;；(5)A,B,C 中至少有两个发生; ；(6) A,B,C 中至多有一个发生;；(7) A;B;C 中至多有两个发生;(8) A,B,C 中恰有两个发生. ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
1.3 设样本空间, 事件=,具体写出下列各事件：(1); (2) ; (3) ; (4)（1）；(2) =；(3) =;(4) =1.6 按从小到大次序排列, 并说明理由.解：由于故，而由加法公式，有：1.7解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：(2)由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件概率为：(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：.1.8解：(1) 由于，故显然当时P(AB) 取到最大值。
概率论与数理统计习题7解答
习题七解答7。
1。
设n X X X ,,,21 为抽自二项分布B （m ，p) 的样本 试求p 的矩估计和极大似然估计.解：（1)求p 的矩估计.),(~p m B X ，因此总体的一阶原点矩为np EX ==1μ按矩法估计有X X n mp ni i ==∑=11因此p 的矩估计mXp=ˆ （2）求p 的极大似然估计。
参数P 的极大似然函数为∏=--=ni X m X X miii p p C p L 1)1()(∑-∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===-=∏ni ini ii X nm X ni x m p p C 1)1(1=)(ln p L )1(ln )(ln ln 111p X mn p X C ni i ni i n i x m i --++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∏===令dp p L d )(ln 0)(11111=--+=∑∑==ni i n i i X mn p X p即 0)()1(=-+-X n mn p X n p由此得P 的极大似然估计mXp=ˆ 7。
2设总体为指数分布 其概率密度函数为⎩⎨⎧≥=-.,0;0,)(其它x e x f x λλ求参数λ的矩估计和极大似然估计。
解 设n X X X ,,,21 为X 的一个样本。
（1）求λ的矩估计。
因为总体为指数分布，因此总体的一阶原点矩为λμ11==EX按矩法估计有X X n ni i ==∑=111λ因此λ的矩估计X1=λ（2）求λ的极大似然估计。
参数λ的极大似然函数为 []L e ex i nn x i ii n==-=-∏=∑λλλλ11lnL=n x i i nln λλ-=∑1似然方程为∂λ∂λλln ()L n x i i n=-=∑1=0 解得λ===∑nx xii n117.3设总体为],0[θ上的均匀分布 求参数θ的矩估计和极大似然估计。
解 设n X X X ,,,21 为X 的一个样本。
（1）求θ的矩估计。
总体的一阶原点矩为 2)(01θθμθθ====⎰⎰dx xdx x xf EX按矩法估计有X n ni i ==∑=1121ξθ因此θ的矩估计X 2ˆ=θ. (2）求参数θ的极大似然估计。
7.3置信区间 课件(共15张PPT)- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电版)
X
u1 2
n
,
X
u1 2
n
第7章 参数估计
15
4
称 θ为θ 的双侧1置信区间的下限; 称θ 为θ的双侧1置信区间的上限,
简称双侧置信下限或者上限. 抽样以后就得到置信区间的观测值:
θ x1, , xn , θ x1, , xn
置信区间
置信水平1 的几何解释
6
第7章 参数估计
5
置信区间
置信水平1 的几何解释
6
第7章 参数估计
6
置信区间
置信区间
第7章 参数估计
14
设 X1, X2 , Xn 是取自正态总体 N , 2 的一个样 本, 给定置信水平为1 ,
已知方差 2，求期望 的 双侧置信区间:
X1
Xn X
Xi
X2
θ
θ
X a X b
置信区间
则 a,b 满足
PX a X b 1
P
a
n
X
b
1
取 a u1 /,2 b u1 /,2
1 置信区间.
其中 θ θ X1, , Xn , θ θ X1, , Xn 都是统计量.
置信区间
第7章 参数估计
13
满足 P a G ˆ, b =1 的 a, b 可以有很多组解，常选择 a, b ，使得左右
两个尾部的概率各为 ，即
2
P G ˆ, b =P G ˆ, a . 2 这样得到的置信区间称为等尾置信区间.
置信水平95%的几何解释
6
第7章 参数估计
7
置信区间
置信水平50%的几何解释
6
第7章 参数估计
8
置信区间
概率论和数理统计（李慧斌）复习大纲-第7章-置信区间-Confidence-Intervals
概率论与数理统计(李慧斌)复习大纲Chapter 7 Confidence Intervals置信区间7.1 Sampling Distribution 抽样分布统计量的分布称为抽样分布。
在本节中，我们将从正态分布推导出随机样本的样本方差分布，以及样本均值和样本方差的各种函数的分布。
复习：Thm 5.5.2若X1, X2,…, X n独立且满足，i= 1,2,…,n，若C1, C2,…, C n不全为零，则Corollary 5.5.2 设随机变量X1, X2,…, X n组成随机样本，满足正态分布，其中均值μ和方差σ2，则7.2 χ2Distribution卡方分布定义：若随机变量X1, X2,…, X n独立同分布且其中每个随机变量都满足标准正态分布，所以有着以n阶自由度卡方分布(χ2distribution with n degrees of freedom)，记作，n来源于独立随机变量中以n阶自由度的χ2分布的概率密度函数其中欧拉函数定义为χ2分布的性质：定理1定理2 （χ2分布的可加性）若X ~χ2 (n) , Y ~χ2(m)，X, Y独立，则X+Y ~ χ2 (n+m)例：设X1, X2,…, X n是正态分布的随机样本，证明Thm 7.3.1 设X1, X2,…, X n是正态分布的随机样本，则：（1）与独立；（2）注：，虽然基于n个，但是它们之和为0，所以指定数量的n-1确定剩余值。
因此有n-1阶自由度。
结果表明，只有从正态分布中抽取随机样本，样本均值和样本方差才是独立的。
证明如下：的联合概率分布函数为其中A为正交矩阵(orthogonal matrix)，且的联合概率分布函数为因此独立且⇒与独立且7.4 The t Distribution t分布定义：设X ~ N(0, 1), Y ~χ2 (n)且X和Y独立，则随机变量所满足的分布称为n阶自由度t分布，记作，其中的概率密度函数为t分布的性质：（1）f(x)图像呈钟型，且中心为0；（2）它的一般形状类似于平均分布0的正态分布的概率密度函数。