0607年上学期同步测控优化训练高三数学第一章单元检测b卷(附答案)
06-07年上学期同步测控优化训练高三数学 随机变量(附答案)
高三数学同步检测(一)随机变量说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.一个袋中有5个白球和3个红球,从中任取3个,则随机变量为………………( ) A.所取球的个数 B.其中所含白球的个数 C.所取白球和红球的总数 D.袋中球的总数解析 根据离散型随机变量的定义,可知B 中的试验结果ξ可能取得的值是一个变量,并可以按一定次序一一列出.而A 、C 、D 中的试验结果是一常量,不符合随机变量的定义. 答案 B2.下面表可以作为离散型随机变量的分布列. ……………………………( )A.B.C.D.分析 本题主要考查任一离散型随机变量的分布列所具有的两个性质： (1)P i ≥0,i =1,2,3,...； (2)P 1+P 2+ (1)解 对于B ,由于P (0)=-41＜0,不符合离散型随机变量概率分布的性质(1)； 对于C ,由于P (0)+ P (1)+P (2)= 51+52+53=56＞1,不符合离散型随机变量的性质(2)；对于D ,随机变量ξ4的取值x 1=x 3=1,不符合随机变量的意义； 只有A 完全符合离散型随机变量的要求. 答案 A如果命中8~10环为优秀,那么他射击一次为优秀的概率是…………………………( ) A.0.29 B.0.57 C.0.79 D.0.51分析 一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.解 根据射手射击所得环数的分布列,有 P (ξ=8)=0.28,P (ξ=9)=0.29,P (ξ=10)=0.22,所求概率为P (ξ≥8)=0.28+0.29+0.22=0.79.答案 C4.已知ξ的分布列为且设η=2ξ+1,则η的数学期望E η的值是………………………………( )A. 61-B. 32C.1D.3629 分析 本题考查期望的计算公式,E(a ξ+b)=aE ξ+b.解 因为E ξ=-1×21+0×61+1×31=61-, 所以E η=E (2ξ+1)=2E ξ+1=2×(61-)+1=32.答案 B5.设某批电子管正品率为54,次品率为51,现对这批电子管进行测试,设第ξ次首次测到正品,则P (ξ=3)等于……………………………………………………( )A.23C (51)2×54 B.(51)2×54C.23C (54)2×51D.(54)2×51分析 本题考查离散型随机变量的几何分布. 解 根据相互独立事件的概率计算公式,有P (ξ=3)=51×51×54=(51)2×54. 答案 B6.箱子里有5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为………………………………( )A. 451435·C C C B.(95)3×94 C.53×41 D.14C ×(95)3×94 分析 本题中,每次随机取出一个球是等可能性事件,取出的是黑球或白球应用的是等可能性事件的概率公式.由于放回取球使得各次取球之间取得黑球或白球的概率互不影响,因而各次取球才构成相互独立事件,才可以利用相互独立事件同时发生的概率计算公式.解 由题意,第4次取球后停止的事件应是前3次取出的均是黑球,第4次取出的是白球.因为取出黑球后要放回箱中重新取球,故前3次每次取出黑球的概率都是1915C C =95.第4次取出白球的概率是1914C C =94,4次取球是相互独立事件,彼此概率不受影响,利用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式可得“在第4次取球之后停止的概率”为95×95×95×94=(95)3×(94). 答案 B7.若ξ~B (5,0.1),那么P (ξ≤2)等于………………………………( )A.0.072 9B.0.008 56C.0.918 54D.0.991 44分析 本题考查二项分布中互斥事件和的概率.一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 解 P (ξ≤2)=P (ξ=0)+P (ξ=1)+P (ξ=2) =∑=25k k C·(0.1)k ·(0.9)5-k=(0.9)5+5·(0.1)·(0.9)4+24·5·(0.1)2·(0.9)3 =0.590 49+0.328 05+0.072 9=0.991 44. 答案 D8.★随机变量ξ的分布规律为P (ξ=n )=)1(+n n a(n =1,2,3,4),其中a 是常数,则P (21＜ξ＜25)的值为………………………………………………( ) A.32 B.43 C.54 D.65分析 本题考查离散型随机变量分布列的性质及互斥事件和的概率计算. 解 由题意可知154433221=⨯+⨯+⨯+⨯a a a a ,可得a=45. P (21＜ξ＜25)=P (ξ=1)+P(ξ=2)= 62a a +=a 32=32×45=65. 答案 D9.设ξ~B (n ,p )且E ξ=15,D ξ=445,则n 、p 的值分别是……………………( ) A.50,41 B.60,41 C.50,43 D.60,43分析 本题考查二项分布的期望与方差.解 由题意,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.445)1(,15p np np 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.41,60p n 答案 B10.一射手对靶射击,直到第一次击中为止,每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,命中后尚余子弹数目ξ的数学期望为……………………………………( )A.2.44B.2.386C.2.376D.2.4分析 本题主要考查离散型随机变量分布列以及数学期望的求法.解答本题要注意不要忽略ξ=0的情况.“ξ=0”的含义说明前3次一定没有命中,但第4次有可能命中,也有可能没有命中. 解∴E ξ=0×0.4+1×0.4×0.6+2×0.4×0.6+3×0.6=2.376. 答案 C第Ⅱ卷(非选择题 共60分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上) 11.则常数c 的值为 .分析 考查离散型随机变量分布列的两个性质.由0≤P (ξ=0)≤1,0≤P (ξ=1)≤1及P (ξ=0)+P (ξ=1)=1,即可求出c 的值. 解 由离散型随机变量分布列的性质,知 9c 2-c +3-8c =1且0≤9c 2-c ≤1,0≤3-8c ≤1, 解得常数c =31. 答案31 12.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ的概分析 本题考查离散型随机变量的分布列及等可能事件的概率计算问题. 解 由等可能事件的概率计算公式可知:P (ξ=0)= 2522C C =101, P (ξ=1)= 251213·C C C =53， P (ξ=2)= 2523C C =103.13.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:①他第3次击中目标的概率是0.9;②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1; ③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是(写出所有正确结论的序号).分析 本题主要考查相互独立事件的概率等基础知识.解题的关键是正确使用相互独立事件的概率公式.解 ①因为各次射击是否击中目标相互之间没有影响,所以第3次击中目标的概率是0.9.正确.②恰好3次击中目标的概率应为34C ×0.93×0.1.③4次射击都未击中目标的概率为0.14,所以至少击中1次目标的概率为1-0.14. 答案 ①③14.★设ξ是离散型随机变量,P (ξ=x 1)= 32,P (ξ=x 2)=31,且x 1＜x 2,又已知E ξ=34,D ξ=92,则x 1+x 2的值为 . 解析 由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯-+⨯-=+,9231)34(32)34(,343132222121x x x x 解得⎩⎨⎧==.2,121x x x 1+x 2=1+2=3.答案 3三、解答题(本大题共5小题,共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分8分)有甲、乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息:根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? 解 根据月工资的分布列,计算得Ex 1=1 200×0.4+1 400×0.3+1 600×0.2+1 800×0.1=1 400,Dx 1=(1 200-1 400)2×0.4+(1 400-1 400)2×0.3+(1 600-1 400)2×0.2+(1 800-1 400)2×0.1=40 000;3分Ex 2=1 000×0.4+1 400×0.3+1 800×0.2+2 200×0.1=1 400,Dx 2=(1 000-1 400)2×0.4+(1 400-1 400)2×0.3+(1 800-1 400)2×0.2+(2 200-1 400)2×0.1=112 000.6分因为Ex 1=Ex 2,Dx 1＜Dx 2,所以两家单位的工资均值相等,但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对分散.这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些,就选择甲单位;如果你希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位. 8分16.(本小题满分8分)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望; (2)求这名同学总得分不为负分(即ξ≥0)的概率.分析本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念,以及运用统计知识解决实际问题的能力.求解的关键是搞清随机变量ξ的可能取值,即所得分数.其中,答对0道题得-300分,答对1道题得100-200=-100分,答对2道题得2×100-100=100分,答对3道题得300分. 总分不为负共包括:总分为100分,总分为300分两种情况.解(1)ξ的可能取值为-300,-100,100,300. 2分P(ξ=-300)=0.23=0.008,P(ξ=-100)=3×0.22×0.8=0.096,P(ξ=100)=3×0.2×0.82=0.384,P(ξ=300)=0.83=0.512.5分Eξ=(-300)×0.008+(-100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180. 7分(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(ξ≥0)=0.384+0.512=0.896. 8分17.★(本小题满分8分)某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖,飞镖落在靶外的概率为0.1,飞镖落在靶内的各个点是随机的.已知圆形靶中三个圆为同心圆,半径分别为30 cm,20 cm,10 cm,飞镖落在不同区域的环数如图中标示.设这位同学投掷一次得到的环数这个随机变量为x,求x的分布列.解由题意可知,飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比,而与它们的位置和形状无关. 2分由圆的半径值可得到三个同心圆的半径比为3∶2∶1,面积比为9∶4∶1,所以8环区域,9环区域,10环区域的面积比为5∶3∶1,则掷得8环,9环,10环的概率可分别设为5k,3k,k,根据离散型随机变量分布列的性质(2)有0.1+5k+3k+k=1, 6分8分18.(本小题满分10分)某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%,现从一批产品中任意地连续取出2件.(1)写出其中次品数ξ的分布列；(2)求P(ξ≥1).分析本题考查二项分布的概率分布公式和某些简单的离散型随机变量的分布列以及由分布列求出一些事件的概率.这是n次独立重复试验,出现次品数ξ服从二项分布,由概率公式C p k q n-k(0＜p＜1,p+q=1且k=0,1,2,…,n)就可求出ξ的分布列,从而求出P(ξ≥1). P(ξ=k)= kn解依题意,随机变量ξ~B(2,5%). 3分C(95%)2=0.902 5, 4分P(ξ=0)=02C(5%)(95%)=0.095, 5分P(ξ=1)=12C(5%)2=0.002 5. 6分P(ξ=2)=22因此,8分(2)P (ξ≥1)=P (ξ=1)+P (ξ=2)=0.095+0.002 5=0.097 5. 10分 19.★(本小题满分10分)西安市一中高二年级研究性学习组在网上查到某种子在一定条件下发芽成功的概率为31,该研究性学习组分成三个小组开展了验证性试验(每次均种下一粒种子).(1)求第一小组种下的前2粒种子未发芽,第3粒种子发芽的概率;(2)第二小组做了若干次发芽试验,如果在试验中种子发芽成功就终止试验,否则就将继续进行试验,直到种子发芽成功为止,但试验的次数最多不超过5次,求试验次数ξ的分布列和期望.分析 本题考查相互独立事件同时发生的概率,离散型随机变量的分布列,数学期望等概念,以及运用概率统计知识解决实际问题的能力. 解 (1)∵前2粒未发芽,第3粒才发芽, ∴P=(1-31)×(1-31)×31=274. 2分 (2)发芽试验次数ξ取1~5的整数,种子发芽成功的概率为31,不成功的概率为32,则前k -1次发芽不成功而第k 次发芽成功的概率为 P (ξ=k )=(32)k-1·31(k =1,2,3,4). 5分 进行第5次发芽试验前4次不成功的概率为 P (ξ=5)=(32)4. 7分∴E ξ=1×3+2×9+3×27+4×81+5×81=81. 10分。
优化方案·高中同步测试卷·人教B数学必修1：高中同步测试卷七 含答案
高中同步测试卷(七)单元检测 指数函数(A 卷) (时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数是指数函数的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝2x C ．y ＝2x ＋1D ．y ＝3＋2x2．给出下列式子：①4（－4）2n ，②4（－4）2n ＋1，③5a 4，④4a 5(n ∈N ，a ∈R )，其中恒有意义的式子的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3．若⎝⎛⎭⎫142a ＋1<⎝⎛⎭⎫143－2a，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 4．设f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4.则( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)5．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域是( ) A ．[9，81] B ．[3，9] C ．[1，9]D ．[1，＋∞)6．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )7．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限8．将函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象向右平移3个单位得到的函数图象的解析式为( ) A ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋3 B ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋3C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －3D ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －39．若m x >n x 对于一切x <0成立，则正数m ，n 的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <nC ．m ≥nD ．m ，n 的大小关系不确定10．方程⎝⎛⎭⎫14 x ＝－x ＋2的解的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．函数f (x )＝a x －1＋2(a >0，a ≠1)恒过点________．12．已知函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0，a ≠1)且f (1)＝3，则f (0)＋f (1)＋f (2)＝________． 13．若指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值等于3a ，则a ＝________． 14．关于下列说法：(1)若函数y ＝2x 的定义域是{x |x ≤0}，则它的值域是{y |y ≤1}． (2)若函数y ＝1x 的定义域是{x |x ≥2}，则它的值域是{y |y ≤12}．(3)若函数y ＝2x 的值域是{y |0<y ≤4}，则它的定义域一定是{x |0<x ≤2}． 其中不正确的说法的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．计算下列各式的值：(1)(8)－23×(3102)92÷105；(2)(a 85·b －65)－12·5a 4÷5b 3(a >0，b >0)．16．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝1－2x；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3.17.函数f (x )＝12(a x ＋a －x )(a >0，且a ≠1)的图象经过点(2，419)．(1)求f (x )的解析式；(2)证明：f (x )在[0，＋∞)上是增函数．18．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1，1]上有最大值14，试求a 的值．附加题19．画出函数y＝2|x－1|的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质．20．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时，治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病有效的时间．参考答案与解析1．[导学号03090120] 【解析】选B.指数函数具有y ＝a x (a >0，且a ≠1)，其中x 是自变量，a 为常数的形式，故B 正确．2．[导学号03090121] 【解析】选B.本题主要考查使根式有意义的条件．根据根指数是偶数时，被开方数非负，可知②无意义；④在a <0时无意义；恒有意义的是①③，故选B.3．[导学号03090122] 【解析】选A.∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x为单调减函数， 且⎝⎛⎭⎫142a ＋1<⎝⎛⎭⎫143－2a，则有2a ＋1>3－2a ，4a >2， ∴a >12.4．[导学号03090123] 【解析】选A.由a －2＝4，a >0，得a ＝12，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－|x |＝2|x |，则f (－2)＝4>f (－1)＝2.5．[导学号03090124] 【解析】选C.∵f (x )的图象过点(2，1)，∴b ＝2，则f (x )＝3x －2. 当2≤x ≤4时0≤x －2≤2，所以1≤f (x )≤9.6．[导学号03090125] 【解析】选A.由g (x )＝－x ＋a 可排除图象C ，D ，若f (x )＝a x 是增函数，则a >1，排除B.7．[导学号03090126] 【解析】选A.∵a >1，且－1<b <0，∴其图象如图所示．8．[导学号03090127] 【解析】选D.图象向右平移3个单位，只要在x 后面减去3即可，故选D.9．[导学号03090128] 【解析】选B.因为m ，n 都是正数，所以由m x>n x得⎝⎛⎭⎫m n x>1对于一切x <0成立，所以0<mn<1，所以m <n ，故选B.10．[导学号03090129] 【解析】选C.在同一坐标系中画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x和y ＝－x ＋2的图象，观察可知有两个交点，即方程有两个解．11．[导学号03090130] 【解析】因为指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)恒过定点(0，1)，将其图象右移1个单位、再向上平移2个单位得到f (x )＝a x －1＋2(a >0，a ≠1)的图象，所以f (x )＝a x－1＋2(a >0，a ≠1)恒过点(1，3)． 【答案】(1，3)12．[导学号03090131] 【解析】因为f (1)＝a ＋1a ＝3，f (0)＝a 0＋1a 0＝2，f (2)＝a 2＋1a2＝(a＋1a)2－2＝7，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＝12. 【答案】1213．[导学号03090132] 【解析】当a >1时，函数f (x )在[1，2]上是增函数，有f (2)＝a 2＝3a ，解得a ＝3(舍去a ＝0)；当0<a <1时，函数f (x )在[1，2]上是减函数，有f (x )＝a ＝3a ，解得a ＝0，此时不符合题意．综上可知，a ＝3.【答案】314．[导学号03090133] 【解析】(1)不正确．由x ≤0得0<2x ≤20＝1，值域是{y |0<y ≤1}． (2)不正确．由x ≥2得0<1x ≤12，值域是{y |0<y ≤12}．(3)不正确．由2x ≤4＝22得x ≤2，所以若函数y ＝2x 的值域是{y |0<y ≤4}，则它的定义域一定是{x |x ≤2}．【答案】(1)(2)(3)15．[导学号03090134] 【解】(1)原式＝(232)－23×(1023)92×10－52＝2－1×103×10－52＝12×1012＝102. (2)原式＝a 85×(－12)·b (－65)×(－12)·a 45÷b 35＝a －45·b 35·a 45÷b 35＝a －45＋45b 35－35＝a 0b 0＝1.16．[导学号03090135] 【解】(1)由1－2x ≥0可得2x ≤1，∴x ≤0. ∴函数y ＝1－2x 的定义域为x ∈(－∞，0]． 由0<2x ≤1可得－1≤－2x <0，∴0≤1－2x <1. ∴函数y ＝1－2x 的值域为y ∈[0，1)． (2)定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0，16]．17．[导学号03090136] 【解】(1)∵f (x )的图象经过点(2，419)，∴12(a 2＋a －2)＝419， 即9a 4－82a 2＋9＝0，解得a 2＝9或a 2＝19.∵a >0，且a ≠1，∴a ＝3或13.当a ＝3时，f (x )＝12(3x ＋3－x )；当a ＝13时，f (x )＝12[(13)x ＋(13)－x ]＝12(3x ＋3－x )．∴所求解析式为f (x )＝12(3x ＋3－x )．(2)证明：设x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2) ＝3x 1＋3－x 12－3x 2＋3－x 22＝12(3x 1－3x 2)3x 1＋x 2－13x 1＋x 2， 由0≤x 1<x 2得，3x 1－3x 2<0，3x 1＋x 2>1，∴f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在[0，＋∞)上是增函数．18．[导学号03090137] 【解】设t ＝a x ，则t >0，原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2，其图象的对称轴为t ＝－1.(1)若a >1，∵x ∈[－1，1]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，则函数y ＝(t ＋1)2－2在区间⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，∴当t ＝a 时，函数y 取得最大值(a ＋1)2－2， 即(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)． (2)若0<a <1，∵x ∈[－1，1]， ∴t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 则函数y ＝(t ＋1)2－2在区间⎣⎡⎦⎤a ，1a 上单调递增， ∴当t ＝1a 时，函数y 取得最大值⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2，即⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14， 解得a ＝13或a ＝－15(舍去)．综上可知，a 的值为3或13.19．[导学号03090138] 【解】y ＝2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1.其图象是由两部分合成的：一是把y ＝2x 的图象向右平移1个单位，取x ≥1的部分；二是把y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象向右平移1个单位，取x <1的部分，对接处的公共点为(1，1)，如图所示．由图象可知，函数有三个重要性质： ①对称性：对称轴为直线x ＝1；②单调性：在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增； ③函数的值域：[1，＋∞)．20．[导学号03090139] 【解】(1)当0≤t <1时，y ＝4t ； 当t ≥1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12t －a，此时M (1，4)在曲线上， ∴4＝⎝⎛⎭⎫121－a，∴a ＝3，此时y ＝⎝⎛⎭⎫12t －3.∴y ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ， 0≤t <1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t ≥1.(2)由f (t )≥0.25，得⎩⎪⎨⎪⎧4t ≥0.25，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ≥116，t ≤5，即116≤t ≤5.∴服药一次治疗有效的时间为5－116＝41516(h)．。
【人教A版】2017-2018学年数学必修一优化练习：第一章 章末检测 Word版含解析
章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·高考全国卷Ⅲ)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．[2,3]B ．(－∞，2]∪[3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞)解析：由题意知S ＝{x |x ≤2或x ≥3}，则S ∩T ＝{x |0<x ≤2或x ≥3}．故选D.答案：D2．设集合A ＝{a ，b }，B ＝{a ＋1,6}，且A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝( )A ．{1,6}B ．{0,6}C ．{0,1}D ．{0,1,6}解析：∵A ∩B ＝{1}，∴1∈A,1∈B ，∴a ＋1＝1，∴a ＝0，b ＝1.∴A ＝{0,1}，B ＝{1,6}，∴A ∪B ＝{0,1,6}．答案：D3．已知f (x )＝ax ＋b x (a ，b 为常数)，且f (1)＝1，则f (－1)＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．不能确定解析：∵f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－1.答案：B4．f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x ，x <0，则f (3)＝( ) A ．3B ．－3C ．0D ．6解析：∵3≥0，∴f (3)＝32－2×3＝3.答案：A 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy ，f (1)＝2，则f (3)等于( )A ．10B ．6C ．12D ．16解析：令x ＝y ＝1得f (2)＝f (1)＋f (1)＋2＝6，令x ＝2，y ＝1得f (3)＝f (1)＋f (2)＋2×2＝2＋6＋4＝12.答案：C6．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1) 解析：要使g (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故定义域为[0,1)，选B. 答案：B 7．设f (x )＝⎩⎨⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎨⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数， 则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π解析：∵g (π)＝0，∴f [g (π)]＝f (0)＝0，选B.答案：B8．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，映射f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0， ∴a ，b 为方程x 2－4x ＋2＝0两个根，∴a ＋b ＝4.答案：D9．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，集合B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是( )A ．－3≤m ≤4B ．－3<m <4C ．2<m ≤4D ．m ≤4 解析：由题设可知B ⊆A .(1)当B ＝∅，即m ＋1≥2m －1，m ≤2时满足题设(2)B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤7，解得2＜m ≤4综上所述，m 的取值范围是m ≤4.答案：D10．y ＝1x －2＋1在[3,4]的最大值为( ) A ．2 B.32C.52D ．4 解析：y ＝1x －2＋1在[3,4]上是减函数， ∴y 的最大值为13－2＋1＝2. 答案：A11．奇函数f (x )在(0，＋∞)上的解析式是f (x )＝x (1－x )，则在(－∞，0)上，函数f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝－x (1－x )B ．f (x )＝x (1＋x )C ．f (x )＝－x (1＋x )D ．f (x )＝x (x －1) 解析：当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，由于函数f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )＝x (1＋x )．答案：B12．若函数f (x )是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f (－2)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪ (0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(2，＋∞)解析：因为函数f (x )是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f (－2)＝0，所以可画出符合条件的奇函数f (x )的图象，如图所示．因为x ·f (x )<0，所以⎩⎨⎧ x >0f (x )<0或⎩⎨⎧ x <0f (x )>0，结合图象，x 的范围是(－2,0)∪(0,2)． 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．已知f (2x ＋1)＝x 2，则f (5)＝________.解析：f (5)＝f (2×2＋1)＝22＝4.答案：414．已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9且g (－2)＝3，则f (2)＝________.解析：g (－2)＝f (－2)＋9＝3，∴f (－2)＝－6，又∵f (x )是奇函数，∴f (2)＝－f (－2)＝6.答案：615．已知U ＝{0,2,3,4}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{2,3}，则实数m ＝________.解析：由题设可知A ＝{0,4}，故0,4是方程x 2＋mx ＝0的两根，∴x 1＋x 2＝4＝－m ，∴m ＝－4.答案：－416. 已知f (x )＝⎩⎨⎧ (3－a )x －4a ，x ＜1，(x －1)2，x ≥1，若f (x )是R 上的增函数，则实数a 的范围是________． 解析：⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0(3－a )×1－4a ≤(1－1)2解得35≤a ＜3.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，3 三、解答题 (本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知集合A ＝{－2}，B ＝{x |ax ＋1＝0，a ∈R}，B ⊆A ，求a 的值． 解析：∵B ⊆A ，A ≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，B ＝{－1a }，∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上所述，a ＝0或a ＝12.18．(本小题满分1 2分)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，求f (x )在R 上的解析式f (x )．解析：设x <0，则－x >0，∵f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0x 2＋2x ，x ＜0. 19．(本小题满分12分)某市乘出租车计费规定：2公里以内5元，超过2公里不超过8公里的部分按每公里1.6元计费，超过8公里以后按每公里2.4元计费．若甲、乙两地相距10公里，则乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为多少元？解析：设乘出租车走x 公里，车费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5，0＜x ≤25＋1.6×(x －2)，2＜x ≤8，14.6＋2.4×(x －8)，x >8即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5，0＜x ≤21.8＋1.6x ，2＜x ≤8，2.4x －4.6，x >8因为甲、乙两地相距10公里，即x ＝10>8，所以车费y ＝2.4×10－4.6＝19.4(元)．所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为19.4元．20．(本小题满分12分)奇函数f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，且f (1－a )＋f (2a －1)<0，求实数a 的取值范围．解析：由f (1－a )＋f (2a －1)<0，得f (1－a )<－f (2a －1)，∵f (x )是奇函数，∴f (1－a )<f (1－2a )又∵f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－a <1－1<1－2a <1，1－a >1－2a解得0＜a ＜1，即所求实数a 的取值范围是0＜a ＜1.21．(本小题满分13分)已知f (x )是R 上的奇函数，当x >0时，解析式为f (x )＝2x ＋3x ＋1. (1)求f (x )在R 上的解析式；(2)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上为减函数．解析： (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－2x ＋3－x ＋1. 又因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－2x ＋3－x ＋1，所以f (x )＝－2x ＋3x －1.又奇函数在0点有意义，所以f (0)＝0，函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋3x －1，x <0，0，x ＝0，2x ＋3x ＋1，x >0.(2)设∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋3x 1＋1－2x 2＋3x 2＋1 ＝(2x 1＋3)(x 2＋1)－(2x 2＋3)(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－x 1＋x 2(x 1＋1)(x 2＋1).因为x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1<x 2，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 2－x 1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数．22．(本小题满分13分)设函数f (x )的定义域为R ，并且图象关于y 轴对称，当x ≤－1时，y ＝f (x )的图象是经过点(－2,0)与(－1,1)的射线，又在y ＝f (x )的图象中有一部分是顶点在(0,2)，且经过点(1,1)的一段抛物线．(1)试求出函数f (x )的表达式，作出其图象；(2)根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数是增函数还是减函数． 解析：(1)当x ≤－1时，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝x ＋2(x ≤－1)． 由于函数图象关于y 轴对称，则由x ≥1，得－x ≤－1，f (－x )＝－x ＋2，且f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝－x ＋2(x ≥1)．当－1<x <1时，设f (x )＝mx 2＋2，由已知得m ＝－1，即f (x )＝－x 2＋2(－1<x <1)，所以函数f (x )的表达式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≤－1，－x 2＋2，－1<x <1，－x ＋2，x ≥1，图象如图所示．(2)从图象可看出，函数f (x )的单调区间有(－∞，－1]，(－1,0]，(0,1)，[1，＋∞)．其中，f (x )在区间(－∞，－1]和(－1,0]上是增函数；在区间(0,1)和[1，＋∞)上是减函数．。
0607年上学期同步测控优化训练高三数学导数的应用(附答案)
高三数学同步检测(十)导数的应用说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟. 第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1.函数y =x 3+x 的单调增区间为( )A.(-∞,+∞)B.(0,+∞)C.(-∞,0)D.不存在 分析 本题考查利用导数求函数的单调区间. 解 ∵y ′=3x 2+1>0恒成立，∴y =x 3+x 在(-∞,+∞)上为增函数，没有减区间 答案 A2.若函数f (x )=x 2+bx +c 的图象的顶点在第四象限,则函数f ′(x )的图象是（ ）分析 本题主要考查二次函数及导数的基础知识. 解 利用导数公式求出导函数,从而确定图象. ∵f (x )=x 2+bx +c 的图象的顶点在第四象限, ∴-2b>0,即b <0. ∵f ′(x )=2x +b (b <0),∴图象A 为所求. 答案 A3.★右图是函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的图象,则下面判断正确的是 （ ） A.在区间(-2,1)内f (x )是增函数B.在(1,3)内f (x )是减函数C.在(4,5)内f (x )是增函数D.在x =2时f (x )取到极小值分析 本题主要考查函数的单调性、极值、最值与导函数的关系.解 在(-2,1)上,导函数的符号有正有负,所以函数f (x )在这个区间上不是单调函数;同理,函数在(1,3)上也不是单调函数.在x =2的左侧,函数在(-23,2)上是增函数,在x =2的右侧,函数在(2,4)上是减函数,所以在x =2时,f (x )取到极大值;在(4,5)上导数的符号为正,所以函数在这个区间上为增函数. 答案 C4.下列说法正确的是（ ）A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值C.对于f (x )=x 3+px 2+2x +1,若|p |<6,则f (x )无极值D.函数f (x )在区间(a ,b )上一定存在最值分析 本题主要考查函数的最值与极值的关系,加深对最值与极值概念的理解.解 函数在闭区间上的极大值与极小值的大小关系不确定;最大值并不一定是极大值,最大值有可能在区间端点处取得;函数在开区间上不一定存在最值;对C 选项,f ′(x )=3x 2+2px +2,其中Δ=4p 2-24=4(p 2-6),当|p |<6时,Δ<0,所以方程f ′(x )=0无实根,即不存在导数为零的点.所以函数f (x )无极值. 答案 C5.若函数f (x )=x 3-ax 2+1在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥3 B.a =2 C.a ≤3 D.0<a <3分析 本题主要考查导数的应用.利用函数的单调性及二次函数的图象确定参数的范围. 解 f ′(x )=3x 2-2ax =3x (x -32a),由f (x )在（0，2）内单调递减，得3x (x -32a )≤0,即32a ≥2, ∴a ≥3.答案A6.★若f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a >0)在R 上是增函数,则( )A.b 2-4ac>0B.b >0,c >0C.b =0,c >0D.b 2-3ac <0 分析 本题考查导数与函数单调性的关系. 解 f ′(x )=3ax 2+2bx +c .要使函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a >0)在R 上是增函数,只需f ′(x )>0,即3ax 2+2bx +c >0(a >0)对任意x ∈R 恒成立, 只需(2b )2-4×3ac <0,整理得b 2-3ac <0. 答案 D7.已知函数f (x )=ax 3+(2a -1)x 2+2,若x =-1是y =f (x )的一个极值点,则a 的值为( ) A.2 B.-2 C.72D.4 分析 某点的导数为零是该点为极值点的必要不充分条件. 解 f ′(x )=3ax 2+2(2a -1)x .∵x =-1是y =f (x )的一个极值点, ∴3a ×(-1)2+2(2a -1)×(-1)=0. ∴a =2. 答案 A8.在区间(0,+∞)内，函数y =e x -x 是( )A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增 分析 本题考查利用求导的方法求函数在给定区间上的单调性. 解 ∵y ′=e x -1,又x ∈(0,+∞),∴e x >1.∴e x -1>0.∴y ′>0. 答案 A9.函数y =f (x )=ln x -x 在区间(0,e ］上的最大值为( ) A.1-e B.-1 C.-e D.0分析 本题考查利用求导的方法求函数在闭区间上的最大值. 解 y ′=1-1,令y ′=0,即x =1,在（0，e ］上列表如下：由于f (e)=1-e,而-1＞1-e,从而y 最大=f (1)=-1. 答案 B10.函数y =x 5-x 3-2x ，则下列判断正确的是( ) A.在区间（-1，1）内函数为增函数 B.在区间（-∞,-1)内函数为减函数 C.在区间(-∞,1)内函数为减函数 D.在区间(1,+∞)内函数为增函数分析 本题考查利用导数求函数单调区间的方法以及一元高次不等式的解法. 解 y ′=5x 4-3x 2-2=(5x 2+2)(x 2-1)=(5x 2+2)(x +1)(x -1). ∵5x 2+2>0恒成立,∴当x ∈(-1,1)时，y ′<0,则f (x )为减函数;当x ∈(-∞,-1)或x ∈(1,+∞)时 ，y ′>0,则f (x )为增函数.故选D. 答案 D第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上) 11.函数f (x )=x 3-3x 2+7的极大值是 .分析 本题考查利用求导的方法求函数的极值. 解 f ′(x )=3x 2-6x .令f ′(x )=0,得x =0或x =2.作出函数f ′(x )=3x 2-6x 的图象.因为当x ∈(-∞,0)时，f (x )是增函数；当x ∈(0,2)时，f (x )是减函数, 所以函数在x =0处有极大值f (0)=7. 答案 7 12.函数y =4x 2+x1的单调增区间为 . 分析 本题考查利用求导的方法求比较复杂的函数的单调区间.对于非常规函数,求导不失为一种好方法. 解 y ′=8x -21x .要求增区间,只需y ′>0,即8x -21x >0. 解得x>21. 所以函数的单调增区间为(21,+∞).答案 (21,+∞) 13.函数y =3x 2-2ln x 的单调减区间为 .分析 本题考查常见函数的导数及导数与函数单调性的关系. 解 y ′=6x -x2. ∵6x -x 2<0xx 262-⇔<0⇔x (3x 2-1)<0⇒x <-33或0<x<33. 又∵x >0,∴0<x <33, 即函数的单调减区间为(0,33). 答案 (0,33) 14.函数y =x 4-8x 2+2在［-1，3］上的最大值为 . 分析 本题考查函数在闭区间上的最大值. 解法一 在y =(x 2-4)2-14中把x 2视为一个整体. ∵-1≤x ≤3, ∴0≤x 2≤9.∴y 最大=(9-4)2-14=11.解法二 y ′=4x 3-16x ,令y ′=0, 即4x 3-16x =0.又∵f (-1)=-5,f (3)=11,故函数在区间［-1，3］上的最大值为11. 答案 11三、解答题(本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分8分)已知函数y =ax 与y =-xb在区间（0，+∞)上都是减函数，试确定函数y =ax 3+bx 2+5的单调区间.分析 本题主要考查利用导数确定函数的单调区间.可先由函数y =ax 与y =-xb的单调性确定a 、b 的取值范围，再根据a 、b 的取值范围去确定函数y =ax 3+bx 2+5的单调区间. 解 ∵函数y =ax 与y =-xb在区间（0，+∞)上是减函数，∴a <0,b <0. 2分 由y =ax 3+bx 2+5,得y ′=3ax 2+2bx . 令y ′>0，即3ax 2+2bx >0,∴ab32-<x <0. 因此当x ∈(ab32-,0)时，函数为增函数; 4分 令y ′<0,即3ax 2+2bx <0,∴x <ab32-或x >0. 6分 因此当x ∈(-∞,ab32-)时，函数为减函数;x ∈(0,+∞)时，函数也为减函数. 8分16.★(本小题满分8分)当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t 小时后的细菌数量为b (t )=105+104t -103t 2. (1)求细菌在t =5与t =10时的瞬时速度;(2)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么?分析 本题考查导数的几何意义及利用导数知识解决实际问题的能力. 解 (1)b ′(t )=-2 000t +10 000, 2分 b ′(t )|t =5=-2 000×5+10 000=0,b ′(t )|t =10=-2 000×10+10 000=-10 000,即细菌在t =5与t =10时的瞬时速度分别为0和-10 000. 4分 (2)由-2 000t +10 000>0,得t <5,由-2 000t +10 000<0,得t >5, 6分即细菌在t ∈(0,5)时间段数量增加,在t ∈(5,+∞)时间段数量减少. 8分 17(本小题满分8分)已知a 为实数,f (x )=(x 2-4)(x -a ). (1)求导数f ′(x );(2)若f ′(-1)=0,求f (x )在［-2,2］上的最大值和最小值.分析 本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,考查分析推理和知识的综合应用能力.求函数在闭区间的最值,只需比较导数为零的点与区间端点处的函数值的大小即可. 解 (1)由原式得f (x )=x 3-ax 2-4x +4a , ∴f ′(x )=3x 2-2ax -4. 2分(2)由f ′(-1)=0,得a =21. 3分 此时有f (x )=(x 2-4)(x -21),∴f ′(x )=3x 2-x -4. 由f ′(x )=0,得x =34或x=-1. 5分又f (34)=-2750,f (-1)=29,f (-2)=0,f (2)=0, 7分∴f (x )在［-2,2］上的最大值为29,最小值为2750 . 8分 18.★(本小题满分10分)某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?分析 在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.解法一 设相同的时间内,生产第x (x ∈N*,1≤x ≤10)档次的产品利润y 最大. 2分 依题意,得y =［8+2(x -1)］［60-3(x -1)］ 4分=-6x 2+108x +378=-6(x -9)2+864(1≤x ≤10), 8分 显然,当x =9时,y max =864(元),即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元. 10分 解法二 由上面解法得到y =-6x 2+108x +378. 求导数,得y ′=-12x +108. 令y ′=-12x +108=0, 解得x =9.因为x =9∈［1,10］,y 只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.19.(本小题满分10分)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr 2分(其中r 是瓶子的半径,单位是厘米).已知每出售1 mL 的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?分析 本题考查导数的应用及利用导数知识解决实际问题的能力. 解 由于瓶子的半径为r ,所以每瓶饮料的利润是y =f (r )=0.2×34πr 3-0.8πr 2=0.8π(32r -r 2),0<r ≤6. 2分令f ′(r )=0.8π(r 2-2r )=0.当r =2时,f ′(r )=0; 当r ∈(0,2)时,f ′(r )<0;当r ∈(2,6)时,f ′(r )>0. 4分因此,当半径r >2时,f ′(r )>0,它表示f (r )单调递增,即半径越大,利润越高;半径r <2时,f ′(r )<0,它表示f (r )单调递减,即半径越大,利润越低. 6分 (1)半径为6 cm 时,利润最大. 8分(2)半径为2 cm 时,利润最小,这时f (2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值. 10分。
05-06年上学期高一同步优化训练数学：第一章集合与简易逻辑2b卷(附答案) (1)
高中同步测控优化训练(四) 第一章 集合与简易逻辑(二)(B 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.已知命题p :“一次函数的图象是一条直线”，命题q ：“函数y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 为常数)的图象是一条抛物线”.则下列四种形式的复合命题中真命题是①非p ②非q ③p 或q ④p 且qA.①②B.①③C.②③D.③④解析:∵p 为真命题,q 为假命题，∴②非q 为真命题，③p 或q 为真. 答案:C2.命题“若a >-3,则a >-b ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:命题“若a >-3,则a >-b ”的逆命题为“若a >-b ,则a >-3”为假命题,则它的否命题“若a ≤-3,则a ≤-b ”也必为假命题;它的逆否命题“若a ≤-b ,则a ≤-3”为真命题.故真命题的个数为2.答案:B3.已知条件p :x +y ≠-2，条件q :x ≠-1且y ≠-1，则p 是q 的 A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件解析:判断p 是q 的什么条件等价于判断⌝q 是⌝p 的什么条件. ⌝q :x =-1或y =-1, ⌝p :x +y =-2, ⌝q ⌝p (如x =-1,y =1,x +y =0), ⌝p ⌝q (如x =-3,y =1,x +y =-2).所以p 是q 的既不充分也不必要条件.答案:B4.如果不等式|x -a |＜1成立的充分不必要条件是21＜x ＜23，则实数a 的取值范围是 A. 21＜a ＜23 B. 21≤a ≤23C.a ＞23或a ＜21D.a ≥23或a ≤21解析:|x -a |＜1⇔a -1＜x ＜a +1,由题意可知(21,23) (a -1,a +1).则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤-.231,211a a 解得21≤a ≤23. 答案:B5.“xy ＞0”是“|x +y |=|x |+|y |”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:(1)如果xy ＞0,即⎩⎨⎧>>0,0y x 或⎩⎨⎧<<.0,0y x①当⎩⎨⎧>>0,0y x 时，|x +y |=x +y =|x |+|y |；②当⎩⎨⎧<<.0,0y x 时，|x +y |=-(x +y )=(-x )+(-y )=|x |+|y |.综上①②可知,当xy ＞0时，有|x +y |=|x |+|y |成立. (2)当x =0,y ≠0时，有|x +y |=0+|y |=|x |+|y |， 但xy =0,∴|x +y |=|x |+|y |xy ＞0.∴“xy ＞0”是“|x +y |=|x |+|y |”的充分不必要条件. 答案:A6.有下列4个命题:①“若xy =1,则x 、y 互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若m ≤1,则x 2-2x +m =0”有实根的逆否命题;④“若A ∩B =B ,则A ⊆B ”的逆否命题.其中是真命题的是A.①②B.②③C.①②③D.③④解析:①的逆命题为“若x 、y 互为倒数,则xy =1”,是真命题;②的否命题为“面积不相等的三角形不全等”,是真命题;③“若m ≤1,则x 2-2x +m =0有实根”为真命题,因此其逆否命题也为真命题;④“若A ∩B =B ,则A ⊆B ”为假命题,则其逆否命题也为假命题.答案:C7.命题“若a ＞b ,则ac 2＞bc 2(a 、b ∈R )”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 解析:逆命题：若ac 2＞bc 2,则a ＞b ,是真命题. 否命题：若a ≤b ,则ac 2≤bc 2，是真命题.另：逆命题与否命题互为逆否命题，它们同真同假. 答案:B8.若p 、q 是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则必有 A.p 真，q 真 B.p 假，q 假 C.p 真，q 假 D.p 假，q 真 解析:∵“p 或q ”的否定是“⌝p 且⌝q ”，且它是真命题，由真值表可知“⌝p 真”且“⌝q 真”，∴“p 假，q 假”.答案:B9.已知真命题“a ≥b ⇒c ＞d ”和“a ＜b ⇒e ≤f ”，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的_______条件. A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要 解析:“a ≥b ⇒c ＞d ”是真命题，∴其逆否命题“c ≤d ⇒a ＜b ”也是真命题.又“a ＜b ⇒e ≤f ”是真命题，∴“c ≤d ⇒e ≤f ”是真命题.但不能判定“e ≤f ⇒c ≤d ”的真假.故“c ≤d ”是“e ≤f ”的充分不必要条件.答案:A10.有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像.金盒上写有命题p :肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q ：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r :肖像不在金盒里.p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在A.金盒里B.银盒里C.铅盒里D.在哪个盒子里不能确定解析:∵p =非r ，∴p 与r 一真一假.而p 、q 、r 中有且只有一个真命题,∴q 必为假命题. ∴非q ：“肖像在这个盒子里”为真命题，即肖像在银盒里. 答案:B第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.已知a 、b 是两个命题,如果a 是b 的充分条件,那么⌝a 是⌝b 的_______条件. 解析:由已知条件可知a ⇒b , ∴⌝b ⇒⌝a ,即⌝a ⇐⌝b . ∴⌝a 是⌝b 的必要条件. 答案:必要12.若p :“平行四边形一定是菱形”，则“非p ”为_________. 解析:p ：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p ”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题.答案:真命题13.在实数集上定义一个运算“*”:a *b =2ba +,给出下列四个算式: ①a +(b *c )=(a +b )*(a +c );②a +(b *c )=a *(b +c );③a *(b +c )=a *b +a *c ;④a *(b +c )=(a +b )*c . 其中正确算式的序号是_______.解析:∵a +(b *c )=a +2c b +,(a +b )*(a +c )=2c a b a +++=a +2cb +,a *(b +c )=2cb a ++,∴a +(b *c )=(a +b )*(a +c ),即①式正确.又∵a *(b +c )= 2c b a ++，a *b +a *c =2b a ++2c a +=22cb a ++,(a +b )*c =2cb a ++,∴a *(b +c )=(a +b )*c ,即④式正确.答案:①④14.在下列四个结论中，正确的有________.(填序号)①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件②“⎩⎨⎧≤-=∆>04,02ac b a ”是“一元二次不等式ax 2+bx +c ≥0的解集为R ”的充要条件③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件 ④“x ≠0”是“x +|x |＞0”的必要不充分条件解析:∵原命题与其逆否命题等价，∴若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件.x ≠1x 2≠1，反例：x =-1⇒x 2=1，∴“x ≠1”是“x 2≠1”的不充分条件. x ≠0x +|x |＞0，反例x =-2⇒x +|x |=0.但x +|x |＞0⇒x ＞0⇒x ≠0,∴“x ≠0”是“x +|x |＞0”的必要不充分条件. 答案:①②④三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分6分)写出命题“若x 2+7x -8=0,则x =-8或x =1”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假.解:逆命题：若x =-8或x =1，则x 2+7x -8=0.逆命题为真. 否命题：若x 2+7x -8≠0,则x ≠-8且x ≠1.否命题为真.逆否命题：若x ≠-8且x ≠1，则x 2+7x -8≠0.逆否命题为真.16.(本小题满分12分)已知方程ax 2+bx +c =0，且a 、b 、c 都是奇数，求证：方程没有整数根.证明:设x 0是方程的整数根，则ax 02+bx 0+c =0.※ 若x 0是奇数，则ax 02、bx 0、c 均为奇数, ∴ax 02+bx 0+c 为奇数，这和※式矛盾. 若x 0是偶数，则ax 02、bx 0是偶数. ∵c 为奇数，∴ax 02+bx 0+c 仍为奇数，这和※式矛盾. ∴x 0不是整数，即方程没有整数根.17.(本小题满分12分)设p :实数x 满足x 2-4ax +3a 2<0,其中a <0;q :实数x 满足x 2-x -6≤0或x 2+2x -8>0,且⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,求a 的取值范围.分析:将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系,从而列出a 所满足的不等式去求解. 解法一:设A ={x |x 2-4ax +3a 2<0,a <0}={x |3a <x <a ,a <0},B ={x |x 2-x -6≤0或x 2+2x -8>0}={x |-2≤x ≤3}∪{x |x <-4或x >2}={x |x <-4或x ≥-2}. ∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件, ∴⌝q ⇒⌝p ,且⌝p ⌝q , 即{x |⌝q }{x |⌝p }.而{x |⌝q }=R B ={x |-4≤x ＜-2},{x |⌝p }=R A ={x |x ≤3a或x ≥a ,a <0},∴{x |-4≤x ＜-2}{x |x ≤3a 或x ≥a ,a <0}.则⎩⎨⎧<-≥0,23a a 或⎩⎨⎧<-≤,0,4a a即-32≤a ＜0或a ≤-4. 解法二:本题也可依据四种命题间的关系进行等价转化.由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,转化成它的逆否命题q 是p 的必要不充分条件,即p 是q 的充分不必要条件,也就是p ⇒q 且q p .化简条件p 得,A ={x |3a <x <a ,a <0},化简条件q 得,B ={x |x <-4或x ≥-2}.由A B ,得⎩⎨⎧<-≤0,4a a 或⎩⎨⎧<-≥,0,23a a解得a ≤-4或-32≤a ＜0. 18.(本小题满分12分)如果命题m 、n 满足下列条件：(1)命题“m 且非n ”是假命题，(2)命题“m 或n ”是真命题，请判断命题“非m 且n ”的真假，并说明理由. m n m 且非n m 或n 非m 且n 真 真 假 真 假 真 假 真 真 假 假 真 假 真 真 假假假假假由上表知只有m 、n 均真或m 假n 真符合题设条件，当m 、n 均真时非m 且n 为假，当m 假n 真时非m 且n 为真.解法二:由命题“m 且非n ”是假命题知m 假或非n 假.(1)若m 假,由“m 或n ”是真命题知n 为真，此时“非m 且n ”为真. (2)若非n 为假,则n 为真，由(2)不能判定m 的真假，需分类讨论. ①m 真时，非m 假，非m 且n 为假， ②m 假时，非m 真，非m 且n 为真.综上可知，m 假n 真时，非m 且n 为真， m 真n 真时，非m 且n 为假.19.(本小题满分12分)已知关于x 的方程(1-a )x 2+(a +2)x -4=0,a ∈R ,求： (1)方程有两个正根的充要条件； (2)方程至少有一正根的充要条件. 解:方程有两个实根的充要条件是⎩⎨⎧≥∆≠-,0,01a 即⎩⎨⎧≥-++≠0)1(16)2(12a a a ⇔⎩⎨⎧≥≤≠,102,1a a a 或即a ≥10或a ≤2且a ≠1.(1)设此方程的两个实数根为x 1、x 2,则方程有两个正根⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>+≥≤≠0010212121x x x x a a a 或⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-+≥≤≠.014,012,102,1a a a a a a 或解得1＜a ≤2或a ≥10.∴1＜a ≤2或a ≥10是方程有两个正根的充要条件.(2)①由(1)可知,当a ≥10或1＜a ≤2时，方程有两个正根； ②方程有一正根一负根的充要条件是 x 1x 2<0⇔14-a <0,即a <1. ③当a =1时，方程可化为3x -4=0,有一正根x =34. 综上①②③,可知方程(1-a )x 2+(a +2)x -4=0至少有一正根的充要条件是a ≤2或a ≥10.。
上学期高同步测控优化训练数学A：极限B卷(附答案)
高中同步测控优化训练(四)第二章极限(B 卷)说明：本试卷分为第i 、n 卷两部分 ，请将第I 卷选择题的答案填入题后括号内 ，第n卷可在各题后直接作答•共100分,考试时间90分钟.第I 卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分，共30分)1•设f(x)=『x +b(x 兰0),若lim f(x)存在,则常数b 的值是 e(x >0), T分析:本题考查lim f(x)=a 的充要条件是:X ]X 0lim f(x)= lim f(x)=a.x 「x ()—■'解:T lim (2x+b)=b, lim e x =1,x —0 …x __0 *又条件lim f(x)存在，二b=1.答案:Blim S n 等于n _.■ - lim s n = lim 红=2.n - n▽ - n 亠1 答案:D133. lim ( ~3)等于xi X 1 x 3 1分析:本题考查函数lim f(x)的极限•若把x= — 1代入函数解析式，解析式无意义，故应化简x 0A.0B.1 C. —1D.e2.数列11,1 2 112 312 341 2 3 4 ：--- n,…的前n 项和为S n ,则B. 12 分析:本题考查数列极限的求法1A.0 C.1D.2 •要求数列2解：a n =1 +2 +3 +…+n n(n +1)1 1 1 --S n =a 1+a 2+ …+a n =2(1 —+ …+ —2 2 3{a n }的前n 项和，应首先确定它的通项公式1 1=2(—-), n n 1 A.0B. — 1C.1D.不存在函数解析式，约去使它的分母为0的因式，再求解.23x _x 1_3r )= lim厂x 31 x _J (x 1)(x -x 1)=lim (X 忙)=limx7 (x 1)(x -x 1) J 1答案:B3」"一(3」一2」)(n 为奇数),分析:a n =(n 为偶数),答案:C分析:本题考查数学归纳法的应用.解题的关键是分清不等式左边的构成情况，显然它的解:x im 」((x-2) (x 2 _x 1)_1 _2 (-1)2 -(-1) 1 4•若数列｛a n ｝的通项公式是 3』2』•(-1)n(3』_ 2』) a n = ,n=1,2,…，则 lim (ai+a 2+ … + a n )等于A 11A.—B.y 24 C 里 24 D 空242』(n 为奇数),(n 为偶数).—1—3—5--a 1+a 2+ …+a n =(2 +2 +2 + …)+(3即 a n = <.. 2-1］吧2井2+…+咖=百—2—4—6+3 +3 +•••).1 1 -J 9_一.1.1 1- 1 - 4 9 19 241 1 15.设 P(n)=1+ + …+ —— 2 3要添加的项是1A. ~ 2k 1-1 B. 丄 2k1 1 2k 2k 1 -1 1 1D. r k + …+ 2k 2k 12n-1，在用数学归纳法证明 P(n)> -的过程中，从P(k)到P(k+1) 2分母由自变量取k时的第一项1按公差为1依次递增到2k—1共(2k—1)项.故当n =k+1时,它的分母应由1依次递增到2k+1—1共(2k+1—1)项,增加了2k项.解pg 冷宁…*X n — X 1=(—丄)°+(—与 + …+(—丄)2 2 2• •• X n =2 : 1 —(—丄严.3 2•- lim x n = lim — [1 一 (一 — )n-1]=-. — "■ 3 23答案：C7.设函数f(x)= j ig( x) (x 0)，贝y 下列结论不正确的是 X(x >0),••• P(k+1)=1 + 1 1 1+ …+ —c — 2 3 2k -11 12k 2k 1 1+ …+ —72k 1 _11 =P （k ）+尹 12k 1 +・・・ 1 2k 1 _1答案:D6•用记号“（+）”表示求两个实数 a 与b 的算术平均数的运算，即 列｛X n ｝满足 X 1=0,X 2=1,X n =X n -1®X n -2(n 》3),贝 U lim X n 等于n —j-bc1 2A.OB.—C.—23分析:本题考查数列的极限•此题是信息迁移题，关键是如何求出数列 解:由题意 可知X n = 独 3，即 2X n = X n -1 + X n -2.2整理、变形为 2(X n — X n -1)= —(X n -1 — X n - 2), 令 b n -2=X n —1 — X n -2 贝b n - 1 = X n — X n -1 .•- 2b n - 1= — b n - 2,b 1 = X 2 — X 1=1 — 0=1.••数列｛b n ｝是以1为首项，-丄为公比的等比数列.2 1、n-11、n-1…b n =(— ),即 X n+1— xn =(—).221 0• • x 2 一 x 1=( — _ ),2 1 1X 3— X2=(—),2a (+^b=-^-b .已知数2D.1｛X n ｝的通项公式X n .n —2)将这n -1个等式两边分别相加，得1一(一[)2n —2= 211-(-2)A. lim f(x)=1x ,.10C. lim f(x)=1D. lim f(x)=2x 1 • •x ■分析:本题考查函数的左、右极限 .因为f(x)的图象易得，可根据它的图象求解.其中y= lg( — x)与y=lgx 的图象关于y 轴对称.、 1--a v — 1 或 a > —3 *解法二：本题可利用特殊值代入法，当a=1时成立，排除C 、D. 再令a=i ，vnim ：：(1—护0成立八排除A.答案:B分析:本题考查函数lim f(x).当把x=x 0代入函数解析式f(x)有意义时，可采用直接代入法X %B. lim f(x)=0x »0解:由图象可知lim f(x)=0,x 亠而lim f(x)不存在，所以lim f(x)不存在.x )0 • •x _0答案:B8. lim J a )n =0，则a 的取值范围是nr ：： 2aA.a=1B.a v — 1 或 1 a> -3C. — 1v a v 13D ・av —3 或 a> 1分析:本题考查极限lim q n =0,|q|v 1.要求a 解法.的范围，可列a 的不等式，要注意分式不等式的解法一 :v lim (! an Y 2an1 - a)=0, P v 1一|1—a|；：4a 2 (1-a)2a = 0a ：： -1或 a丄,{39.已知 f(x)=x 2，则 lim A Tf (x x) _ f (x)等于 A xA. xB.2xC.-1D. — x2求极限.f (x+也x)_f (x)_ |im (X "x)2 —X 2 A xZ &2(. ：x)x . x 2Zx lim^(2x+ △10. limn —j ：:1 22 32 …n 2C2 C3 ...C 2等于A.OB.1C.2分析:本题考查数列的极限•要掌握二项式系数的一个性质:m m 1 m Cn ■ C n= C n -1 .D.3解:•••分子 1+22+32+…+n 2= -n (n+1)(2n+1),6分母 c ； + c 2+…+ c 2 = c 3+c 2+c 2+…+C2322232=c 3 + c 2+c 2+…+ c ： = c 3 + c(+…+ c …= u.1=(n 1)n(n 「)2 2.「 1 2 3 --n …lim 222：' n(n 1)(2 n 1) :-=lim n— n(n 1)( n —1) .. 2n 1=lim -------- =2n匸 n -1 答案:C第n 卷（非选择题 共70分）二、填空题（本大题共4小题,每小题4分，共16分•把答案填在横线上） 11.lim (石 _Jn +1 )=n _分析:本— g ”型，应先分子有理化，再求极限.-1=lim=0.n厂.n n 1 答案:0sin2x 12. lim —x _. ： cos (二-x)2TTX= —代入函数解析式，解析式无意义，故应化简 2函数解析式，约去使它的分母为 0的因式，再求极限•分析:本题考查函数lim f （x ）的极限•若把X r X osin2x2sin xcosx解:lim= lim= — lim 2sinx=— 2.xCOS (M f X )xcosxx -解：lim 之一0答案:B答案:-2分析:本题考查lim f(x)的极限.因为把x=x o 代入分式的分子，分子不为0•又因为lim f(x)x —x ox >x o存在,所以把x=x o 代入分母,分母必不为0•故采用直接代入法即可求极限•解:••• lim x? ;2x -5 J=二x j ax +2a +26 答案：些514.如下图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方的数组成数列1,3,6,10，…，记这个数列前n 项3的和为S n ,则lim — 等于 _____________nY S n12 1 A解法一一 :由 a 2 — a 1=2, a 3 — a 2=3, a 4— a3=4,a n — a n —1 =n.把这n — 1个等式两边分别相加，得a n — a 1=2+3+ — +n. n(n 1) 1 2 1 --a n=1+2+3+…+ n=n n .2 2 21 2 2 2 1…S n = (1 +2 + …+ n )+(1+2+…+ n)2 2n(n 1) _ n(n 1)(2n 1) n(n 1) 2 12 43•'•lim — = limS n n n(n 1)(2n -1) n(n 1)124解法二：由图可知，斜线AB 上方的数分别是二项展开式 (a+b)n .当n =2,3,4,…时的二项式13.已知匹2x _2x _5ax 225- 5，则a 的值为626 …a= .5分析:本题考查数列的极限 本方法求S n .•关键是由数列的前n 项归纳数列的通项公式，然后用求和的基 =丄 X 】n(n+1)(2 n+1)+ - x2 6 2=6.系数c；,c：,c4,…,c：，…,即这些数组成数列的通项公式为c n += “;+1). 以下解法同上. 答案：6三、解答题(本大题共5小题，共54分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)•••可设 f(x) — 4x 3=x 2+ax+b(a,b 为待定系数)，即 f(x)=4x 3+x 2+ax+b.f (x)=5,即 lim (4x 2+x+a+ — )=5.xxT xa =5得』—,故 f(x)=4x 3+x 2+5x. b = 0.16.(本小题 10 分)已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n ,a n =5S n — 3(n € N )，求 lim (a 1+a 3+a 5+ …+n — a 2n -1)的值.分析：由式子 a n =5S n — 3,易得到a n 与Sn 的关系式.由a n = S n — S n -1( n 》2),利用此式，再对 n 进行合适的赋值,便可消去S n ,得到｛a n ｝的递推关系式,进而确定数列｛a n ｝,再求 lim (a 什a 3+a 5+ …+a 2n —1).n _.解:a 1=$,a n =S n — S n -1(n > 2).又已知a n =5S n — 3, 二an -1 =5S n -1— 3(n》2).两式相减，得 a n — a n - 1=5(S n — S n -1)=5a n (n > 2).. 1八…a n =— 4 a n —1 (n 》2).3 分3由 a 1=5S 1 — 3 及 a 1=S 1,得 a 1=.4可见｛a n ｝是首项为3,公比q= — 1的等比数列.6分 44•- a 1+a 3+a 5+…+a 2n -1是首项为° ,公比为q 2=(—丄)2=丄的等比数列.8分4 4 1615.(本小题8分)f(x)为多项式且lim"xLiimx 2=5,求f(x)的表达式. x分析:本题要求深刻理解函数极限定义 定系数法求解•.根据已知的极限，设出f(x)— 4x 3的表达式，利用待解:••• f(x)是多项式 3f (x) _4x,且 limX 2=1,由于|q2|<1,3•lim(ai+a3+a5+…、a1 4 410分• + a2n—1)= 2.1-q2[ 15n T：:1617.(本小题12分)平面内有n条直线,其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证:这n条12 / 9直线把平面分成f(n)=-匚2个部分.2分析:用数学归纳法证明几何问题，重难点是处理好当n=k+1时利用归纳假设结合几何知 识证明命题成立.证明：①当n=1时，一条直线将平面分成两个部分，而 12 1 2f(1)==2.2•••命题成立•2分k 2 + k +2②假设当n=k 时，命题成立，即 k 条直线把平面分成f(k)=_—— 个部分•2则当n=k+1时，即增加一条直线I ，因为任何两条直线不平行，所以I 与k 条直线都相交有k 个交点；又因为任何三条不共点 ，所以这k 个交点不同于k 条直线的交点，且k 个交点也互不相同•如此这k 个交点把直线I 分成k+1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分 ，故新增加的平面为k+1个部分.k +k +2• f(k+1)=f(k)+k+1=+k+1222k 2k 2 2(k 1) (k 1)2(k 1) 2= 2 = 2• n=k+1时命题成立•由①②知当n € N *时，命题成立•18. (本小题 12 分)已知数列｛a n ｝、｛b n ｝，其中 a n =1+3+5+…+(2n+1)，b n =2n +4(n > 5)，试问是否 存在这样的自然数 n ，使得a n =b n 成立？分析：对n 赋值后，比较几对a n 与b n 的大小，可作出合理猜测，再用数学归纳法予以证明 解:a n =1+3+5+ …+(2 n+1)=( n+1)2,当 n=5 时忌=36, b 5=25+4=36,此时 a 5= b 5； 当 n=6 时卫6=49, b 6=26+4=68，此时 a 6<b 6； 当 n=7 时，a 7=64,b 7=27+4=132，此时 a 7<b 7； 当 n=8 时,a 8=81,b 8=2 +4=260，此时 a 8<b 8. 猜想:当 n 》6时,有a n <b n . 5分下面用数学归纳法证明上述猜想•① 当n=6时,显然不等式成立，• n=6时,不等式a n <b n 成立；② 假设当n=k(k > 6)时，不等式成立，即a k <b k ,也即(k+1)2<2k +4;当n=k+1时， b k+1 =2k+1+4=2(2k+4) - 4>2(k+1)2- 4=2k 2+4k - 2,而(2k 2+4k - 2)- (k+2)2=k 2- 6>0( v k >6,「. k 2> 6), 即 2k 2+4k -2>(k+2)2= :(k+1)+1: 2由不等式的传递性，知b k+1> [(k+1)+1 ] 2=a k+1 • •••当n=k+1时,不等式也成立•11分由①、②可知 对一切n € N ，且n 》6,都有a n <b n .综上所述，可知只有当n=5时,a n =b n ,因此,存在使a n =b n 成立的自然数•12分19. (本小题12分)已知数列｛a n ｝、｛b n ｝都是无穷等差数列，其中a 1=3,b 1=2,b 2是a ?与a ?的11分 12分，且lim a n等差中项n—b n14 / 91 1 1 1求极限lim (川’ 川’ +…+ )的值.n Y a?分析:首先需求出a n、b n的表达式，以确定所求极限的表达式，为此，关键在于求出两个数-”又2给出了另一个等量关系，故可考虑先设出公差用二元方程组求解解:设｛a n｝、｛b n｝的公差分别为d1、d2,••• 2b2=a2+a3,即2(2+d2)=(3+d”+(3+2d”,•• 2d2—3d1 =2.又lim a n = lim 3 (n一1)* 二d1n—r b n n》：：2 (n -1)d2 d2即d2=2d1, 联立①、②解得d1=2,d2=4.二a n=a1+(n —1)d1=3+(n —1) • 2=2n+1, b n=b1+(n —1)d2=2+(n—1) • 4=4n— 2.1 1 1 1 、( ),(2n 1)(4n —2) 4 2n -1 2n 11 1 ••• lim(----- ----- n . ab1 1 + …+ ------ )= lim| a1b1a2b2a n b n n心4 (1 -2n…12分列的公差，“ b2是a2与a3的等差中项”已给出一个等量关系，“a n与g之比的极限为。
05-06年上学期高三同步测控优化训练数学A：导数B卷(附答案)-5页文档资料
高中同步测控优化训练(六)第一单元 导数(B 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.设函数f (x )在x =x 0处可导,则hx f h x f h )()(lim000-+→A.与x 0、h 都有关B.仅与x 0有关，而与h 无关C.仅与h 有关,而与x 0无关D.与x 0、h 均无关 分析:本题考查导数的定义.在导数的定义式中,自变量增量可正、可负,但不为0.导数是一个局部概念,它只与函数在某一点及其附近的函数值有关,与自变量增量无关.答案:B2.曲线y =f (x )在点(0,0)处的导数的值是－1,则过该点的切线一定 A.平行于Ox 轴 B.平行于Oy 轴 C.平分第一、三象限 D.平分第二、四象限分析:本题考查曲线的切线.曲线在某点处的导数,即为该点处切线的斜率. 解:因为f (x )在点(0,0)处的导数等于－1,即切线的斜率为－1. 根据直线的点斜式方程,可得y －0=－1×(x －0),即y =－x . 故它平分第二、四象限. 答案:D3.物体自由落体运动方程为s =s (t )=21g t 2,g=9.8 m/s 2,若v =ts t s t ∆-∆+→∆)1()1(lim 0=g(m/s),那么说法正确的是A.9.8 m/s 是在0~1 s 这段时间内的速率B.9.8 m/s 是从1 s 到(1+Δt ) s 这段时间内的速率C.9.8 m/s 是物体在t =1 s 这一时刻的速率D.9.8 m/s 是物体从1 s 到(1+Δt ) s 这段时间内的平均速率分析:本题考查导数的物理意义.s (t )在某一时刻的导数为在这一时刻的瞬时速度.解:s ′=0lim →∆t t gt t t g ∆-∆+2221)(21=0lim →∆t )(2)()(22t t g t gt ∆∆+∆=0lim →∆t (g t +g Δt )=g t ,∴s ′|t =1=g ×1=g=9.8(m/s).答案:C4.已知曲线y 1=x 2, y 2=x 3, y 3=2sin x ,这三条曲线与x =1的交点分别为A 、B 、C ,又设k 1、k 2、k 3分别为经过A 、B 、C 且分别与这三条曲线相切的直线的斜率,则A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 2<k 1C.k 1<k 3<k 2D.k 3<k 1<k 2 分析:本题主要考查导数的几何意义及导数的运算法则.解:∵y 1′=2x ,y 2′=3x 2,y 3′=2cos x , ∴y 1′|x =1=2, y 2′|x =1=3, y 3′|x =1=2cos1. ∴k 3<k 1<k 2. 答案:D5.一点沿直线运动,若由始点起经过t s 后的路程是s =21t 2+t1,则速度为0的时刻为__________ s 末.A.0B.2C.3D.1 分析:本题主要考查导数的物理意义,即位移对时间的导数是瞬时速度. 解:s ′=t －21t ,令s ′=t －21t=0,得t =1. 答案:D6.函数y =x ln 1+的导数是 A.x11+B.xxln 1+ C.xx ln 121+D.xxln 12+分析:本题主要考查复合函数的导数.解题的关键是搞清函数的复合过程,选好中间变量.解:y ′=xx x x x x ln 1211ln 1121)ln 1()ln 1(21121+=+='++-.答案:C7.已知f (x )=x 3的切线的斜率等于1,则这样的切线有 A.1条 B.2条 C.多于2条 D.不能确定 分析:本题主要考查导数的几何意义的应用.切线的条数是由切点的个数确定的. 解:f ′(x )=3x 2,由f ′(x )=3x 2=1, 得x =±33. 所以符合条件的切线有2条. 答案:B8.若函数f (x )的导数为f ′(x )=－sin x ,则此函数图象在点(4,f (4))处的切线的倾斜角为 A.2π B.0 C.锐角 D.钝角分析:本题主要考查导数的几何意义的应用,切线的倾斜角的正切即为函数在该点的 导数.解:∵f ′(4)=－sin4,π<4<23π, ∴sin4<0.∴f ′(4)>0, 即函数在点(4,f (4))处的斜率为正值. ∴切线的倾斜角为锐角. 答案:C9.曲线y =x 3－3x 上切线平行于x 轴的点为 A.(0,0),(1,3) B.(－1,2),(1,－2) C.(－1,－2),(1,2) D.(－1,3),(1,3)分析:本题主要考查导数的应用.根据与x 轴平行的直线的斜率为零,构造方程f ′(x )=0解得x 值,进一步求出交点的坐标即可.解:y ′=3x 2－3,令3x 2－3=0,得x =±1.代入曲线方程得⎩⎨⎧-==2,1y x 或⎩⎨⎧=-=.2,1y x答案:B10.抛物线y =x 2上点A 处的切线与直线3x －y +1=0的夹角为45°,则点A 的坐标是A.(－1,1)B.(161,41) C.(1,1) D.(－1,1)或(161,41) 分析:本题主要考查导数概念的灵活应用及两条直线的夹角公式.解:设切线的斜率为k ,由两条直线的夹角公式,得|kk 313+-|=1. 从而k =－2或k =21. 因为y ′=2x ,得2x =－2,或2x =21. 所以x =－1或x =41,从而A (－1,1)或(161,41). 答案:D第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在横线上) 11.函数y =2e x 的导数是__________.分析:本题主要考查指数函数以及复合函数的导数.解:设y =e μ,μ=x 2, 则y x ′=y μ′·μx ′=(e u )′·(x 2)′=e μ·2x =2x 2e x .答案：2x 2e x12.函数y =ln xx-+11的导数是__________. 分析:本题主要考查对数函数以及复合函数的导数.解:y ′=x x x x x x +-='-++-11)11(11·2212)1)(1(2)1()1()1(x x x x x x -=+-=-++-. 答案:212x - 13.点P 在曲线y =x 3－x +32上移动,设过点P 的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是__________.分析:本题主要考查导数的几何意义,以及直线的倾斜角与斜率之间的关系.解:∵y ′=3x 2－1,即tan α=3x 2－1, ∴tan α∈［－1,+∞). ∴α∈［0,2π)∪［43π,π).答案:α∈［0,2π)∪［43π,π)14.设生产x 个单位产品的总成本函数是C (x )=8+81x 2,则生产8个单位产品时，边际成本是__________.分析：本题考查导数的实际应用.当产量为q 0时,产量变化Δq 对成本C 的影响可用qC ∆∆来刻画.若qq C q q C q ∆-∆+→∆)()(lim000=A ,经济学上称A 为边际成本，它表明当产量为q 0时，增加单位产量需付出的成本A .解:∵C ′(x )=41x , ∴C ′|x =8=41×8=2.答案:2三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题10分)过曲线y =x －e x 上某点的切线平行于x 轴,求这点的坐标及切线方程. 分析:利用导数的几何意义,先求切点,再求切线的方程. 解:∵y ′=1－e x , 3分 又切线与x 轴平行,∴切线的斜率k =0. 5分 ∴令y ′=1－e x =0,得x =0. 7分 ∴切点坐标为(0,－1). 8分 ∴切线方程为y =－1. 10分16.(本小题10分)设f (x )在x =1处连续,且1lim →x 1)(-x x f =2,求f ′(1).分析:本题考查抽象函数在某点处的导数.根据f (x )在某点连续的定义及导数的定义求解.解:∵f (x )在x =1处连续, ∴1lim →x f (x )=f (1).2分又1lim →x f (x )=1lim →x (x －1)·1)(-x x f =1lim →x (x －1)·1lim →x 1)(-x x f =0·2=0.∴f (1)=0.6分根据导数的定义，得 f ′(1)=0lim→∆x x f x f ∆-∆+)1()1(=0lim →∆x xx f ∆∆+)1(=2. 10分17.(本小题10分)在曲线y =x 3－x 上有两个点O (0,0)、A (2,6),求弧OA 上使△AOP 的面积最大的点P 的坐标.分析:本题主要考查数形结合的数学思想及导数的几何意义.将点P 的位置转化到与曲线y =x 3－x 相切且与OA 平行的位置,此时点P 到|OA |的距离最大.也可设点,构造目标函数求最值.解法一:∵k OA =3,∴过弧OA 上点P 的直线的斜率k ′=k OA =3. 2分 ∴k ′=y ′=3x 2－1=3.∴3x 2=4. 6分∴x =332或x =－332(舍去). 8分 ∴x =332, y =932, 即P (332,932).10分解法二:设P (a ,a 3－a ), ∵O (0,0),A (2,6), ∴直线OA 的方程为3x －y =0.点P 到它的距离d =.|4|101010|3|33a a a a a -=+- ∵0<a <2,∴4a >a 3. ∴d 2=101(4a －a 3). 把d 2视作一个整体, ∵(d 2)′=101(4－3a 2),令4－3a 2=0,得a =332或a =－332. 又∵0<a <2, ∴a =332时取最大值.此时y =(332)3－332=932. ∴P (332,932).18.(本小题12分)设y =f (x )是二次函数,方程f (x )=0有两个相等的实根且f ′(x )=2x +2,求f (x )的表达式.分析:本题主要考查导数运算的逆运用.利用待定系数法设函数解析式,代入条件求解. 解:设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 2分 ∴f ′(x )=2ax +b . 5分 由条件f ′(x )=2x +2,得a =1,b =2. ∴f (x )=x 2+2x +c . 7分 ∵方程f (x )=0有两个相等实根, ∴Δ=4－4c =0,即c =1. 10分 ∴函数解析式为f (x )=x 2+2x +1. 12分 19.(本小题12分)已知曲线C 1：y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,若直线L 与C 1、C 2都相切,求L 的方程.分析:本题主要考查导数几何意义的应用.要求具有某种性质的切线,只需求出对应的x 0即可,一般要求出x 0所需满足的方程或方程组,解之即可.解:设直线L 与C 1相切于点(x 1,x 12), ∵y =x 2,∴y ′=2x .∴y ′1|x x ==2x 1.3分 ∴L ：y －x 12=2x 1(x －x 1), 即y =2x 1x －x 12.5分设直线L 与C 2相切于点(x 2,－(x 2－2)2), ∵y =－(x －2)2, ∴y ′=－2(x －2). ∴y ′2|x x ==－2(x 2－2).7分∴L ：y +(x 2－2)2=－2(x 2－2)(x －x 2), 即y =－2(x 2－2)x +x 22－4.8分比较L 的两个方程, 应有⎪⎩⎪⎨⎧-=---=.4),2(22222121x x x x 将x 1=2－x 2代入第二个方程,得－(2－x 2)2=x 22－4,解得x 2=0或x 2=2,于是x 1=2或x 1=0.10分当x 1=2,x 2=0时,直线L 经过两点(2,4)、(0,－4), ∴直线L 的方程为y =4x －4;当x 1=0,x 2=2时,直线L 经过(0,0)、(2,0)两点, ∴直线L 的方程为y =0.12分。
滚动检测04 第一章到第六章的综合检测(B卷)-2017届高三理数同步单元双基双测“AB”卷(原卷版)
班级 姓名 学号 分数滚动检测四 《第一章到第六章综合检测》测试卷（B 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 已知||1,||2,,60a b a b ==<>=，则|2|a b -=( )A. 2B. 4C.D. 82. 对于数列{}n a ，“1||n n a a +>（1n =，2,3，…）”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,3)内是增函数的是（ ）A.12log ||y x =B.cos y x =C.x x y e e -=+D.1y x x=+ 4. 若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|-|=|+-2|，则△ABC 一定是A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 5. 已知命题p ：200,10x R mx ∃∈+≤，命题q ：2,10.x R x mx ∀∈++>若q p ∨为假命题， 则实数m 的取值范围为( )A ．22≤≤-mB ．2-≤m 或2≥mC ．2-≤mD ．2≥m6. 把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ）A ．B ．C ．D ．（0, 0）7. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在区间[ππ,2]上单调递减,则实数ω的取值范围是（ ） A. [ 43,21] B. ( 21,0] C. [ 45,21] D. (0,2]8. 设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1a 2a 3…a 30=302，则a 3a 6a 9…a 30=（ ） A ．210 B ．215 C ．216 D ．2209. 已知变量,x y 满足约束条件30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若直线()1y k x =-将可行域分成面积相等的两部分，则目标函数z kx y =-的最大值为（ ）A ．-3B ．3C ．-1D ．110. 如图所示，点P 从点A 出发，按逆时针方向沿边长为a 的正三角形ABC 运动一周，O 为△ABC 的中心，设点P 走过的路程为x ，△OAP 的面积为()f x （当A 、O 、P 三点共线时，记面积为0），则函数()f x 的图象大致为（ ）11. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(),1cos cos ,23A b C c A b π=-==,则ABC∆的面积为（ ）AB．12. 设函数)(x f 在R 上存在导函数)(x f ',对于任意的实数x ，都有)(4)(2x f x x f --=，当)0,(-∞∈x 时，x x f 421)(＜+'.若24)()1(++-≤+m m f m f ，则实数m 的取值范围是（ ） A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,23 C.[)+∞-,1 D.[)+∞-,2二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 在等比数列{}n a 中，5113a a ⋅=，3134a a +=，则155a a = ． 14. 在ABC ∆中，16AB AC ⋅=，sin sin cos A B C =，D 线段AB 上的动点（含端点），则DA DC ⋅的取值范围是 ．15. 已知函数()()023x f x f e x '=-++，点P 为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x x y e=上，则PQ 的最小值为____________． 16. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围为 ． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知向量(4,3),(1,2)==-a b ．（1）求a 与b 的夹角的余弦值；（2）若向量λ-a b 与2+a b 平行，求λ的值．18. 设函数()sin sin()3f x x x π=++.（Ⅰ）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合；（Ⅱ）不画图，说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到.19. 已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 1sin sin sin sin B C A C A B+=++． （1）求角A ；（2）若a =，求b c +的取值范围．20. 设公差不为零的等差数列{}n a 的前5项的和为55，且249a a -成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）设数列4(6)(4)n n n b a a =--，求证：数列{}n b 的前n 项和12n S <． 21. 已知函数2()64ln (0)f x x x x a x =-++>（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）a 为何值时，方程()0f x =有三个不同的实根．22. 已知函数21()(1)2x f x x x e =+-（e 为自然对数的底数），()g x (1)ln a x a x x=-+-，1a <． （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()g x 的极小值；（3）若对任意的[]11,0x ∈-，总存在[]2,3x e ∈，使得12()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．：。
优化方案·高中同步测试卷·北师大数学选修-：高中同步测试卷一 含答案
高中同步测试卷(一)单元检测 归纳与类比 (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是( ) A ．合情推理就是类比推理 B ．归纳推理是从一般到特殊的推理 C ．合情推理就是归纳推理D ．类比推理是从特殊到特殊的推理2．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．923．如图所示，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为( )4．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，推测出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． A ．① B ．①② C ．①②③D ．③6．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ≥2，n ∈N ＋)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2nB ．S n ＝4nC ．S n ＝2nD ．S n ＝4n －47．在平面内，若两个正三角形的边长之比为1∶2，则它们的面积之比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1∶2，则它们的体积之比为( )A ．1∶4B ．1∶6C ．1∶8D ．1∶98．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( ) 11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15…A.1360B．1504C.1840D．11 2609．在数学解题中，学会碰到形如“x＋y1－xy”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足a sinπ5＋b cosπ5a cosπ5－b sinπ5＝tan8π15，则ba＝()A．4 B．15C．2 D． 310．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2 401，…，则72 015的末两位数字为() A．01 B．43C．07 D．4911．设⊕是R的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()A．自然数集B．整数集C．有理数集D．无理数集12．已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式是()A．n2－1 B．(n－1)2＋1C．2n－1 D．2n－1＋1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是____________________________________．14．平面几何里有“设直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则1a2＋1b2＝1h2”，拓展到空间，研究三棱锥的侧棱长与底面上的高之间的关系，可以得出的正确结论是“设三棱锥A -BCD 的三条侧棱两两垂直，其长分别为a ，b ，c ，面BCD 上的高为h ，则________”．15.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图所示的实心点个数分别为1，5，12，22，…，这些数被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a 1＝1，第2个五角形数记作a 2＝5，第3个五角形数记作a 3＝12，第4个五角形数记作a 4＝22，…，若按此规律继续下去，则a 5＝________，若a n ＝145，则n ＝________．16．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的性质： (1)圆心与弦(非直径)的中点的连线垂直于弦；(2)与圆心距离相等的两弦长相等； (3)圆的周长C ＝πd (d 是直径)；(4)圆的面积S ＝πr 2.18.(本小题满分12分)20世纪60年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数，如果它是偶数就用2除它；如果得到的数是奇数，则将得到的数乘以3后再加1，反复进行这两种运算，必然会得到什么结果，试考察几个数并给出猜想．19．(本小题满分12分)在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a .类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．20．(本小题满分12分)已知数列{a n}的第1项a1＝1，(1)当a n＋1＝a n1＋2a n(n＝1，2，…)，试归纳得出这个数列的通项公式，并采用取倒数的方法进行检验；(2)当a n＋1＝2a n2＋a n(n＝1，2，…)，试归纳得出这个数列的通项公式，并采用取倒数的方法进行检验；(3)由(1)，(2)你能总结出什么规律？21.(本小题满分12分)我们知道12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，…n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，左右两边分别相加，得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n所以1＋2＋3＋…＋(n－1)＝n（n－1）2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．22．(本小题满分12分)设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，f(n)表示这n条直线最多交点的个数．(1)求f(4)；(2)当n>4时，用n表示出f(n)．参考答案与解析1．[导学号68070000] 解析：选D.根据定义对4个选项逐一判断即可得到答案．合情推理包括类比推理和归纳推理，故A 、C 错；归纳推理是由部分到整体的推理，故B 错；类比推理是由特殊到特殊的推理，故D 对．2．[导学号68070001] 解析：选B.由题意知|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，则可归纳出等式右端值与不同整数解的个数成倍数关系，且解的个数为等式值的4倍，则|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.3．A4．[导学号68070002] 解析：选D.若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n （n －1）2d ，所以b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n （n －1）2，所以d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·qn －12，即{d n }为等比数列，故选D.5．[导学号68070003] 解析：选C.正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．6．解析：选D.由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.7．解析：选C.平面内，若两个正三角形的边长之比为1∶2，则它们的面积之比为1∶4，类似地，由平面图形的面积类比立体图形的体积，得出：在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1∶2，则它们的底面积之比为1∶4，对应高之比为1∶2，所以体积之比为1∶8.8．[导学号68070004] 解析：选C.依题意，结合题图，归纳规律，可知第8行的第一个数、第二个数分别为18，17－18，第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别为19、18－19、⎝⎛⎭⎫17－18－⎝⎛⎭⎫18－19，第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别为110、19－110、⎝⎛⎭⎫18－19－⎝⎛⎭⎫19－110、⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫17－18－⎝⎛⎭⎫18－19－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫18－19－⎝⎛⎭⎫19－110＝1840，故选C.9．解析：选D.将已知式变形，得a sin π5＋b cos π5a cos π5－b sin π5＝a tan π5＋b a －b tan π5＝tan π5＋b a 1－b a tanπ5＝tan 8π15，类比正切的和角公式，即tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，可知只有当ba ＝tan π3＝3时，上式成立．10．解析：选B.由71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，76＝117 649，可以归纳出7n 的末两位数字周期性出现，周期为4，因为2 015÷4的余数为3，所以72 015的末两位数为43.11．[导学号68070005] 解析：选C.A 错，因为自然数集对减法不封闭；B 错，因为整数集对除法不封闭；C 对，因为对任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．12．解析：选C.a 2＝2a 1＋1＝2×1＋1＝3，a 3＝2a 2＋1＝2×3＋1＝7，a 4＝2a 3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n ＝2n －1，故选C.13．解析：等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比．答案：正棱锥各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等 14．[导学号68070006] 解析：如图所示，设A 在底面的射影为O ，连接BO 并延长交CD 于E .连接AE ，因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥面ACD .所以AB ⊥AE . 设AE ＝h 1，在△ABE 中，由已知可得1a 2＋1h 21＝1h 2.又易证CD ⊥面ABE ，所以CD ⊥AE .在△ACD 中，1h 21＝1b 2＋1c2.所以1a 2＋1b 2＋1c 2＝1h 2.答案：1a 2＋1b 2＋1c 2＝1h215．解析：易知a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝7，a 4－a 3＝10，a 5－a 4＝13，…，a n －a n －1＝4＋(n －2)×3＝3n －2，所以a n －1＝（n －1）（4＋3n －2）2，a n ＝（n －1）（3n ＋2）2＋1，所以a 5＝35，当（n －1）（3n ＋2）2＋1＝145时，n ＝10.答案：35 1016．解析：设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1，则T 4＝b 41q 6，T 8＝b 81q 1＋2＋…＋7＝b 81q 28，T 12＝b 121q1＋2＋…＋11＝b 121q 66，所以T 8T 4＝b 41q 22，T 12T 8＝b 41q 38，即(T 8T 4)2＝T 12T 8·T 4，故T 4，T 8T 4，T 12T 8成等比数列，同理，可验证T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 817．解：圆与球有下列类似性质：圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合，球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形，球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．通过与圆的有关性质的类比，可推测球的有关性质：(1)球心与截面圆(不经过球心的小截面圆)的圆心的连线垂直于截面； (2)与球心距离相等的两个截面圆的面积相等； (3)球的表面积S ＝πd 2(d 是直径)； (4)球的体积V ＝43πr 3.18．解：取自然数6，按照角谷的作法有：6÷2＝3，3×3＋1＝10，10÷2＝5，3×5＋1＝16，16÷2＝8，8÷2＝4，4÷2＝2，2÷2＝1，其过程简记为：6→3→10→5→16→8→4→2→1.取自然数7，则有7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→…→1. 取自然数100，则有：100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→…→1. 归纳猜想：这样反复计算，必然会得到相同的结果1.19．解：类比所得的真命题是：棱长为a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值63a . 证明如下：设M 是正四面体P -ABC 内任一点，M 到面ABC ，面P AB ，面P AC ，面PBC 的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4.由于正四面体四个面的面积相等，故有： V P ABC ＝V M ABC ＋V M P AB ＋V M P AC ＋V M PBC ＝13·S △ABC ·(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)， 而S △ABC ＝34a 2，V P ABC ＝212a 3， 故d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝63a (定值)．20．解：(1)a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，…，一般地，有a n ＝12n －1.检验：由a n ＋1＝a n 1＋2a n ，得1a n ＋1＝1＋2a n a n ＝1a n ＋2，即1a n ＋1－1a n＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1，公差为2的等差数列，则1a n ＝1a 1＋2(n －1)． 而a 1＝1，则a n ＝12n －1.猜想正确．(2)a 2＝23，a 3＝24，a 4＝25，…，一般地，有a n ＝2n ＋1.检验：由a n ＋1＝2a n 2＋a n ，得1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，所以数列{1a n }是首项为1a 1，公差为12的等差数列，则1a n ＝1a 1＋(n －1)×12.而a 1＝1，则a n ＝2n ＋1.猜想正确．(3)由(1)，(2)得到规律：对满足a n ＋1＝aa nb ＋ca n(abc ≠0)型的数列{a n }，当a ＝b 时采取取倒数的方法即可得出数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，再根据等差数列的通项公式即可求出数列{a n }的通项．21．解：记S 1(n )＝1＋2＋3＋…＋n ， S 2(n )＝12＋22＋32＋…＋n 2，…， S k (n )＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k (k ∈N ＋)． 已知 13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， …n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1. 将左右两边分别相加，得S 3(n )＝[S 3(n )－n 3]＋3[S 2(n )－n 2]＋3[S 1(n )－n ]＋n . 由此知S 2(n )＝n 3＋3n 2＋2n －3S 1（n ）3＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.22．解：(1)如图所示，可得f(4)＝5.(2)因为f(3)＝2；f(4)＝5＝f(3)＋3；f(5)＝9＝f(4)＋4；f(6)＝14＝f(5)＋5，…，所以每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．所以f(n)＝f(n－1)＋n－1，所以f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝12(n＋1)·(n－2)．。
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高三数学同步检测(四)第一章单元检测(B)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟. 第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.抛掷2颗骰子,所得点数之和ξ是一个随机变量,则P (ξ≤4)为( ) A.21 B.31 C.51 D.61 分析 本题考查离散型随机变量和的概率. 解 ξ=2对应(1,1)；ξ=3对应(1,2),(2,1)；ξ=4对应(1,3),(2,2),(3,1).故ξ=2,3,4时分别对应1,2,3个基本事件.而整个事件包含36个基本事件,由等可能事件的概率公式,得 P (ξ≤4)=P (ξ=2)+P (ξ=3)+P (ξ=4)=361+362+363=61. 答案 D2.一班有学员54人,二班有学员42人,现在要用分层抽样的方法从两个班抽出一部分人参加4×4方队进行军训表演,则一班和二班分别被抽取的人数是( ) A.9人、7人 B.15人、1人 C.8人、8人 D.12人、4人解析 由题意知,各班所抽人数应按各班所占人数的比例来抽取,一班被抽取的人数为16×425454=9(人);二班被抽取的人数为16-9=7(人).答案 A3.某一天供电网络,有n 个用电单位,每个单位在一天中使用电的机会都是p ,供电网络中一天平均用电的单位个数是( )A.np (1-p )B.npC.nD.p (1-p ) 解析 因为每天用电单位的个数ξ服从二项分布,所以E ξ=np . 答案 B4.设随机变量ξ服从正态分布N (0,1),记Φ(x )=P (ξ＜x ),则下列结论不正确的是( ) A.Φ(0)=0.5 B.Φ(x )=1-Φ(-x )C.P (|ξ|＜a )=2Φ(a )-1D.P (|ξ|＞a )=1-Φ(a ) 分析 本题考查正态分布的运算.解 由正态分布的相关概念易知A 、B 、C 正确,P (|ξ|＞a )=1-P (|ξ|＜a )=1-［2Φ(a )-1］=2-2Φ(a ). 答案 D5.有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若ξ表示取得次品的个数,则E ξ等于( ) A.53B.158C.1514D.1分析 本题考查离散型随机变量的数学期望,解题的关键是找到与每个ξ的值相对应的概率P的值.解 由题意,知ξ取0,1,2,它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式,即P (ξ=0)=21027C C =157,P (ξ=1)= 2101317·C C C =157, P (ξ=2)= 21023C C =151.于是E ξ=0×157+1×157+2×151=53. 答案 A6.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号则取到号码为偶数的频率是()A.0.53B.0.5C.0.47D.0.37 解析.47.0100471009101378＝＝++++答案 C7.★某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年可获利12%;一旦失败,一年后将丧100例类似项目开发的实施结果: 则该公司一年后估计可获收益的期望是( )A.4 000元B.4 520元C.25 000元D.4 760元分析 本题考查概率的基本知识和数学期望概念,应用概率知识解决实际问题的能力. 解 收益的期望为5×12%×10096-5×50%×1004=0.476 0(万元)=4 760(元). 答案 D8.每次从0~9这10个数字中随机取一个数字（取后放回），连续取n 次，得到n 个数字组成的数字序列.若使该序列中的数字6至少出现一次的概率为0.8，则n 的最小值是（ ） A.14 B.15 C.16 D.17 分析 本题考查等可能性事件概率的应用.解 有放回地排列n 个数字，得10n 个基本事件，其中不含6的基本事件为9n .由题意得n n1091－≥0.8,即0.9n ≤0.2,∴n ≥9.0lg 2.0lg ≈15.3. ∴n 最小取16.答案 C9.已知随机变量ξ~B (9,51),则使P (ξ=k )取得最大值的k 值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5分析 ξ~B (n ,p )为二项分布,要熟记二项分布的公式P (ξ=k )=kn C p k (1-p )n -k ,求P (ξ=k )的最大值,还要注意对不等式组⎩⎨⎧+=≥=-=≥=)1()(),1()(k P k P k P k P ξξξξ的运算.解 ∵ξ服从二项分布, ∴P (ξ=k )=kC 9(51)k (54)9-k , 要使P (ξ=k )最大,则只需⎩⎨⎧+=≥=-=≥=),1()(),1()(k P k P k P k P ξξξξ即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-++-----.)54()51()54()51(,)54()51()54()51(8119991011999k k k k k k k k k k k k C C C C 解得k =2.答案 A10.右图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线N （0,σ2)的图，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是( )A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ3 分析 本题考查正态曲线的性质. 解 由正态曲线222)(21)(σμπσ--=x ex f ,可知当μ=0时，22221)(σπσx ex f -=.令x =0,得πσ21)0(=f .当σ=1时，π21)0(=f ;当0<σ<1时，它与y 轴交点的纵坐标大于f (0); 当σ>1时，它与y 轴交点的纵坐标小于f (0). 答案 D第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)11.设一次试验成功的概率为p ,现进行16次独立重复试验.当p = 时,成功次数的标准差最大,其最大值为 .分析 本题考查服从二项分布的随机变量的标准差.解题的关键是构造目标函数. 解 由于成功的次数ξ服从二项分布,所以D ξ=npq =16p (1-p ).∴σξ=16p(1-p)=4p(1-p)≤4×p+1-p[]2=2.当且仅当p=1-p,即p=1[]2时取等号,此时(σξ)max=2. 另解 σξ=41)21(42+--p , ∵0≤p ≤1,∴当p =21时,(σξ)max =2.答案21 2 12.右图是一样本的频率分布直方图,其中(4,7)内的频数为4,数据在［1,4)∪［7,16)内的频率为 ,样本容量为 .分析 本题考查一样本在给定区间内的频率及该样本的容量.注意用相应的直方图面积来表示在各个区间内取值的频率时,所有小矩形的面积和等于1.解 在(4,7)内的频率为P 1,且31P =332, 所以P 1=112. 所以数据在［1,4)∪［7,16)内的频率为119. 设样本容量为n ,则n 4=112,解得n =22. 答案119 22 13.一批产品,分为一、二、三级,其中一级品是二级品的两倍,二级品是三级品的两倍,从这批产品中随机抽取一个检验质量,其级别为随机变量ξ,则ξ的分布列为 及P (ξ＞1)= .解析 由题意知ξ=1,2,3.ξ取1,2,3的概率依次是4a ,2a ,a ,因为4a +2a +a =1,所以a =71,即ξ取1,2,3的概率依次是74,72,71.P (ξ＞1)=7. 14.将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下:0 001,0 002,0 003,…,1 000,打算从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的方法分成50个部分,如果第一部分编号为0 001,0 002,0 003,…,0 020,在第一部分随机抽取一个号码为0 015,则抽取的第40个号码为.解析 由系统抽样的要求可知,所抽取的号码是首项为a 1=0 015,公差为d =20的等差数列.所以a 40=a 1+(40-1)d =0 015+39×20=0 795.答案 0 795三、解答题(本大题共5小题,共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分8分)进行某种试验,设试验成功的概率为43,失败的概率为41,以ξ表示试验首次成功所需试验的次数,试写出ξ的分布列,并计算ξ取偶数的概率.分析 本题考查如何布列离散型随机变量的分布列,以及如何求它的和的概率.其中ξ=k 表示前(k -1)次试验失败而第k 次试验成功这一事件,ξ服从几何分布.它是相互独立事件同时发生的概率模型.设事件A 1,A 2,…,A n 相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P (A 1·A 2·…·A n )=P (A 1)·P (A 2)·…·P (A n ). 解 随机变量ξ的取值是1,2,3,…,k ,…. 2分 ∵P (ξ=1)=43, P (ξ=2)=43·(41), P (ξ=3)=43·(41)2, … P (ξ=k )=43·(41)k -1, …∴ξ的分布列为5分取偶数的概率为分＝分＋＝）（8.51161141437 )414141(43 4143)41(4341431231-2m 3=-⨯⋯+⋯++⨯⋯+⨯+⋯+⨯+⨯=-m P16.(本小题满分8分)人寿保险中的某一年龄段,在一年的保险期内,每个被保险人需交纳保险费a 元,被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元,出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率为p 1,非意外死亡的概率为p 2,则保险费a 需满足什么条件,保险公司才可能盈利？分析 本题考查离散型随机变量的期望在现实生活中的应用.要使保险公司盈利,需使它所收总保险费大于总赔付费,即它的期望大于零.解题的关键是列出分布列,求出数学期望.解 设ξ为保险公司对每一投保人的盈利数,则ξ的可能取值为a ,a -30 000,a -10 000. 2分 且P (ξ=a )=1-p 1-p 2,P (ξ=a -30 000)=p 1,P (ξ=a -10 000)=p 2. 5分6分Eξ=a (1-p 1-p 2)+(a -30 000)p 1+(a -10 000)p 2 =a-30 000p1-10 000p2.保险公司要盈利,必须使E ξ＞0.于是a ＞30 000p1+10 000p2.8分[]17(本小题满分8分)从全校参加科技知识竞赛的学生试卷中，抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布.将样本分成5组，绘成频率分布直方图(如右图)，图中从左到右各小组的小长方形的高的比是1∶3∶6∶4∶2，最右边一组的频数是6. 请结合直方图提供的信息，解答下列问题： (1)样本的容量是多少？ (2)列出频率分布表；(3)成绩落在哪个范围内的人数最多？并求该小组的频数、频率； (4)估计这次竞赛中，成绩不低于60分的学生占总人数的百分率.分析 当样本中的个体取不同的值较多时，通常用频率分布直方图的面积来表示各个区间内取值的概率，所有小矩形的面积之和等于1.解 (1)由于各组的组距相等，所以各组的频率与各小长方形的高成正比且各组频率的和等于1，那么各组的频率分别为161,163,166,164,162.设样本容量为n ,则n 6=162,所以样本容量n =48.2分(2)5分(3)成绩落在70.5~80.5之间的人数最多，该组的频数和频率分别是18和83. 6分(4)不低于60分的学生占总人数的百分率为1-161≈94%. 8分 18.(本小题满分10分)设一汽车在前进途中要经过4个路口,汽车在每个路口遇到绿灯的概率为43,遇到红灯(禁止通行)的概率为41.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进,ξ表示停车时已经通过的路口数,求: (1)ξ的概率的分布列及期望E ξ;(2)停车时最多已通过3个路口的概率.分析 本题重点考查概率与分布的基础知识.正确确定随机变量的所有可能取值以及取每一个值的概率是解决本题的关键. 解 (1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.用A k 表示“汽车通过第k 个路口时不停(遇绿灯)”,则P (A k )=43(k =1,2,3,4),且A 1,A 2,A 3,A 4独立. 故P (ξ=0)=P (1A )=41, 2分P (ξ=1)=P (A 1·2A )=43×41=163,P (ξ=2)=P (A 1·A 2·3A )=(43)2×41=649,P (ξ=3)=P (A 1·A 2·A 3·4A )=(43)3×41=25627,P (ξ=4)=P (A 1·A 2·A 3·A 4)=(43)4=25681. 5分从而6分E ξ=0×41+1×163+2×649+3×25627+4×25681=256525. 8分 (2)P (ξ≤3)=1-P (ξ=4)=1-25681=256175. 答:停车时最多已通过3个路口的概率为256175. 10分(1)画出散点图;(2)求化学成绩(y )对数学成绩(x )的回归直线方程.分析 本题考查如何求回归直线的方程.分清自变量与因变量是正确解题的关键. 解 (1)3分5分;624869.02.735271748.672.7352505421221=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==ni i ni ii xn x yx n yx b .0596.222.73624869.08.67=⨯-=-=x b y a 9分所以y 对x 的回归直线方程为yˆ=0.62x +22.06. 10分。