最新北师大版九年级数学上册《认识一元二次方程》1教学设计(精品教案)
认识一元二次方程 (教案)数学九年级上册同步备课(北师大版)
北师版九年级上册数学2.1.1 认识一元二次方程教学设计课题 2.1.1 认识一元二次方程单元第二单元学科数学年级九学习目标1.了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念；应用一元二次方程的概念解决一些简单题目．2．解决一些概念性的题目.3．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重点一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课教师提问：1.方程的定义是什么？_________________________________2.什么是一元一次方程？________________________________________________________________【思考】下列方程中是一元一次方程的是______①x－5＝0；②x2－5＝0；③x2－5y＝0；④x4＋2x2－5＝0；学生思考回答问题。
回顾旧知，易于学生接受。
讲授新课 1.幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯（如图），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？如果设所求的宽为 x m，怎样列方程？学生根据教师提示回答问题。
学生读题找等量关系列方程.通过对相关问题的解决,帮助学生从实际问题中提炼出数学问题,培养学生的抽象思维能力。
2.观察下面等式：102+112+122=132+142.你能找出五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果将五个连续整数中的第一个数设为x，根据题意，该列出怎样的方程？x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2 3.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程《认识一元二次方程》教案1
2．1 认识一元二次方程教案 第1课时 一元二次方程1．了解一元二次方程的概念；(重点)2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式；(重点)3．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型．(难点)一、情景导入一个面积为120m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为x m ，则长为(x ＋2)m. 根据题意，得x (x ＋2)＝120. 所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程．) 二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念 【类型一】 判定一元二次方程下列方程中，是一元二次方程的是________(填入序号即可)． ①4y2－y ＝0；②2x 2－x －3＝0；③x21＝3； ④x 2＝2＋3x ；⑤x 3－x ＋4＝0；⑥t 2＝2； ⑦x 2＋3x －x 3＝0；⑧＝2.解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是，答案为①②④⑥.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值a 为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax 2－x ＝2x 2－ax －3；(2)(a －1)x |a |＋1＋2x －7＝0.解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a －2)x 2＋(a －1)x ＋3＝0，所以当a －2≠0，即a ≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a |＋1＝2，且a －1≠0知，当a ＝－1时，原方程是一元二次方程．解：(1)当a ≠2时，方程ax 2－x ＝2x 2－ax －3为一元二次方程； (2)因为|a |＋1＝2，所以a ＝±1.当a ＝1时，a －1＝0，不合题意，舍去．所以当a ＝－1时，原方程为一元二次方程．方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．【类型三】 一元二次方程的一般形式把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：(1)x (x －2)＝4x 2－3x ；(2)3x2－2x ＋1＝2－x －1；(3)关于x 的方程mx 2－nx ＋mx ＋nx 2＝q －p (m ＋n ≠0)．解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项．解：(1)去括号，得x 2－2x ＝4x 2－3x .移项、合并同类项，得3x 2－x ＝0.二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；(2)去分母，得2x 2－3(x ＋1)＝3(－x －1)．去括号、移项、合并同类项，得2x 2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；(3)移项、合并同类项，得(m ＋n )x 2＋(m －n )x ＋p －q ＝0.二次项系数为m ＋n ，一次项系数为m －n ，常数项为p －q .方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没有出现常数项c ，则c ＝0.探究点二：建立一元二次方程模型如图，现有一张长为19cm ，宽15cm 的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm 2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程．解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程．解：设需要剪去的小正方形边长为x cm ，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x )cm ，宽为(15－2x )cm.根据题意，得(19－2x )(15－2x )＝81.整理，得x 2－17x ＋51＝0(x ＜215)．方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围．三、板书设计一元二次方程 项系数和一次项系数 常数项，a ，b 分别称为二次本课通过丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想．通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣.第2课时 一元二次方程的解及其估算1．经历一元二次方程的解或近似解的探索过程，增进对方程解的认识；(重点) 2．会用“夹逼法”估算方程的解，培养学生的估算意识和能力．(难点)一、情景导入在上一课时情境导入中，苗圃的宽满足方程x (x ＋2)＝120，你能求出该方程的解吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的解下列哪些数是方程x 2－6x ＋8＝0的根？ 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.解析：把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别代入方程x 2－6x ＋8＝0中，发现当x ＝2和x ＝4时，方程x 2－6x ＋8＝0成立，所以x ＝2，x ＝4是方程x 2－6x ＋8＝0的根．解：2，4是方程x 2－6x ＋8＝0的根．方法总结：(1)使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根．(2)判断一个数是否为某个一元二次方程的根，我们只需要将这个数当作未知数的值分别代入原方程的左右两边，看左右两边代数式的值是否相等，若相等，则这个数是一元二次方程的根；若不相等，则这个数不是一元二次方程的根．探究点二：估算一元二次方程的近似解请求出一元二次方程x 2－2x －1＝0的正数根(精确到0.1)．解析：先列表取值，初步确定正数根x 在哪两个整数之间，然后再用类似的方法逐步确定出x 的近似正数根．解：(1)列表，依次取x＝0，1，2，3，…由上表可发现，当2＜x＜3时，－1＜x－2x－1＜2；(2)由上表可发现，当2.4＜x＜2.5时，－0.04＜x－2x－1＜0.25；(3)取x＝2.45，则x2－2x－1≈0.1025.∴2.4＜x＜2.45，∴x≈2.4.方法总结：(1)利用列表法估算一元二次方程根的取值范围的步骤是：首先列表，利用未知数的取值，根据一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)分别计算ax2＋bx＋c的值，在表中找到使ax2＋bx＋c可能等于0的未知数的大致取值范围，然后再进一步在这个范围内取值，逐步缩小范围，直到所要求的精确度为止．(2)在估计一元二次方程根的取值范围时，当ax2＋bx＋c(a≠0)的值由正变负或由负变正时，x的取值范围很重要，因为只有在这个范围内，才能存在使ax2＋bx＋c＝0成立的x的值，即方程的根．三、板书设计一元二次方程的解的估算，采用“夹逼法”：(1)先根据实际问题确定其解的大致范围；(2)再通过列表，具体计算，进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解．“估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛．在本节课中让学生体会用“夹逼”的思想解决一元二次方程的解或近似解的方法．教学设计上，强调自主学习，注重合作交流，在探究过程中获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力.。
数学北师大版九年级上册课题：§2.1 认识一元二次方程 (第1课时)教学设计
课题：§2.1 认识一元二次方程（第1课时）【北师大版九年级上学期】宁德市福安县（市、区）学校福安三中姓名罗清声内容分析：1. 课标要求北师大版九年级上学期“§2.1认识一元二次方程”一节包括一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解的概念．《义务教育数学课程标准》对一元二次方程一节相关的内容没有提出具体的教学要求，但可以参照对方程概念的要求，即能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．2. 教材分析知识层面：教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节中又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思考这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法．一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的规定是由“二次”所要求的，这实际上也是从不同侧面理解一元二次方程概念的契机．本节以实际问题为背景，引出一元二次方程的概念，归纳出一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程的根的概念，并指出一元二次方程的根不唯一。
本节内容实在前面所学方程的基础上进行学习，也是后面学习二次函数的一个基础。
这些概念是全章后继内容的基础。
能力层面：本章开篇，教科书利用花边有多宽这一典型的数学生活问题，通过建立数学模型得到一个一元二次方程，由此引发学习本章内容的需要．接着，通过五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和的问题以及梯子的底端滑动距离的问题，又得到两个一元二次方程，然后引导学生从“未知数的个数”和“最高次数”两个方面进行归纳，抽象出一元二次方程的概念及其数学符号表示（一元二次方程的一般形式）．这样编排，不仅可以使学生认识到学习一元二次方程是解决实际问题的需要，而且还可以使学生体验运用数学知识解决实际问题的基本过程，积累数学活动经验，从而培养模型思想，逐步形成应用意识．思想层面：引入一元二次方程概念的过程中，教科书在“边空”中多次安排提示性设问“方程中未知数的个数和最高次数各是多少？”再在“思考”栏目中提出归纳几个方程共同特点的学习任务；在给出一元二次方程概念、一般形式后，通过“为什么规定a≠0？”引导学生辨析概念；最后通过例题，让学生用概念做判断．这样安排，体现了概念学习的一般过程，教科书在归纳具体方程的共同特点、辨析概念的关键词等关键环节中设置问题，引导学生进行独立思考与发现．3. 学情分析本班为自己任课的班级，学生基础较差，教学中应给予充分思考的时间，谨防填塞式教学。
北师大版九年级上册《认识一元二次方程》教案
2 .1认识一元二次方程（1）主备人：审核人：教学目标1.经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
2.会化简、识别一元二次方程及各部分名称。
教学重点、难点1.通过化简方程判断是否为一元二次方程，并能识别方程的各部分。
2．根据问题能正确列出方程。
教学过程一、温故知新出示问题一：幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？二、探究导学问题二：在学生的疑问处提出问题：你能找到关于102112、122132、142这五个数之间的等式吗？得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？8三、交流释疑只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0的形式，这样的方程叫做一元二次方程．把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数，a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．四、拓展提升从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？五、检测反馈把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
六、作业布置必做：课本P32 知识技能1、2；选做：课本P33 知识技能3教后反思：2.1认识一元二次方程组（2）主备人： 审核人：教学目标1. 经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。
北师大版九年级数学上册《认识一元二次方程》精品教案
《认识一元二次方程》精品教案●教学目标：一、知识与技能目标：探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识二、过程与方法目标：在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系；三、情感态度与价值观目标：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
●重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别。
●难点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别。
●教学流程：一、导入新课我们在前面学习过方程这个概念。
回忆一下什么是方程？什么样的方程是一元一次方程？只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程。
5x-15=0，这是一个什么样的方程？思考下列问题：1、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面积为１８m2，则花边有多宽？解：如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为m，宽为m，根据题意，可得方程：。
2、你能化简这个方程吗？观察下面等式：10２＋11２＋12２＝13２＋14２你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：，，，．根据题意，可得方程：。
2、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙m.如果设梯子底端滑动x m ，那么滑动后梯子底端距墙 m ；根据题意，可得方程： 。
二、 新课讲解1、一元二次方程的概念由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(8-2x)(５-２) 即2x 2 － 13x ＋ 11 = 0 .x 2+(x +1)2+(x+2)2=(x +3)2+(x +４)2即x 2 － 8x － 20＝0. （ x ＋６)2＋７2＝102即x 2＋12 x －15 ＝0.上述三个方程有什么共同特点？上面的方程都是只含有 的 ，并且都可以化为 的形式，这样的方程叫做一元二次方程．把ax ２＋bx ＋c ＝０(a ，b ，c 为常数，a ≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax ２ ， bx ， c 分别称为二次项、一次项和常数项，a ， b 分别称为二次项系数和一次项系数．三、探究理解议一议下列方程中是一元二次方程的是 ( ) 05.02.21.12.2=+-=-=+=-x x D y x C x x B x A 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.解：(1)一般形式： 二次项系数、一次项系数及常数项分别为：5、﹣4、﹣1. (2)一般形式： 二次项系数、一次项系数及常数项分别为：4、0、﹣ 81.(3)一般形式： 二次项系数、一次项系数及常数项分别为：4、8、﹣25. (4)一般形式： 二次项系数、一次项系数及常数项分别为：1/3、﹣7、4.四、课堂练习1.根据题意列出一元二次方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长.答：根据题意，设：直角三角形的三边长分别为：x ，x+1，x+2，又因为： x < x +2，所以：化得： 求得： 又由题意可知x 大于0，所以它的三边长分别为：3、4、5.2.把方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.答：化成一元二次方程的一般形式为： 二次项系数为5，一次项系数为36，常数项为﹣32.五、课堂小结248250x x +-=；04.2=-y F 2(1)5410x x --=；2(3)3710x x -+=；25410x x --=；24810x -=；222(1)(2)x x x ++=+x x 21(4)740.3-+=x x 21740.3-+=在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？1.一元二次方程的概念.一元二次方程的定义要求的三个条件.要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围.2.一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c =0（a ≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念.六、 课堂拓展1.当常数a ，b ，c 满足什么条件时，方程(a-1)x 2-bx+c =0是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当常数a ，b ，c 满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元一次方程?当a ≠1时是一元二次方程，这时方程的二次项系数是a -1，一次项系数是-b ；当a =1，b ≠0时是一元一次方程.2.一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ 一元一次方程 一元二次方程 一般式ax=b (a ≠0） ax 2+bx+c =0 (a ≠0） 相同点整式方程，只含有一个未知数 不同点未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 1.食堂存煤mt ，计划每天用煤nt ，实际每天节约用煤2t ，则节约后多用的天数是（ ） A ． B ． C. D ． 2．电影院第一排有m 个座位，后面一排都比前一排多1个座位．第n 排有（ ）个座位．A ．m+nB ．m+n+1C ．m+n-1D ．mn3．若某三位数的个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c ，则这个三位数可表示为 .4、把方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
北师大版九年级数学上册教案：2.1《认识一元二次方程》教案
《1认识一元二次方程》教案教学目标：1．一元二次方程的概念2．一元二次方程的有关概念．3．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．教学重点：一元二次方程的有关概念．教学难点：培养学生的数学意识及解决简单的实际问题的能力．教学过程：幼儿园某教室长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形地毯的面积为18m2，那么花边有多宽？通过上述实例，为学生归纳出一元二次方程的概念提供帮助．问：连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和？问：上述三个生活实例、数学问题得出下列三个方程：1．(8一2x)(5一2x)=182．x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)23．(x+6)2+72=102议一议：上述三个方程有什么共同特点？问：有大小两个圆形花坛，小四花坛面积比大花坛面积少10m，小圆花坛的周长比大花坛的周长短10m，设大花坛周长为x，借你列出关于x的方程．随堂练习：随堂练习1、2课堂小结：本节课首先通过丰富的实例．观察、归纳出一元二次方程的有关概念，体会方程的模型思想．要掌握的概念(1)一元二次方程定义(2)一元二次方程一般式：(3)二次项、一次项、常数项的有关概念．注意：任何一个关于x的一元二次方程都可以化为一般式．第二课时教学目标：1．经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力．2．经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．3．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．教学重点：探究一元二次方程的解或近似解，发展学生估算意识和能力．教学难点：用估算的方法寻求一元二次方程的解．教学过程：回顾：1．什么叫一元二次方程？一元二次方程的一般式是怎样的形式？问：解花边有多宽的实例以及所提出的问题．做一做：在前一课的问题中，梯子底端滑动的距离x (m )满足方程(x ＋6)2＋72=1．如图一张长20cm ，宽16cm 的风景图片，要在它的四周镶上一条同样宽的金色纸边，如果要使金边的面积是图片面积的8019，金边宽应该是多少？ 随堂练习：随堂练习1．问：已知直角三角形三边长为三个连续偶数，并且直角三角形面积为24，求这个直角三角形三边长？课堂小结：本课时承上一课时的现实问题，探索一元二次方程的过成近似解，发展估算意识和能力，首先解决上一课时提出的第1个问题“花边有多宽”，这个问题解正好是整数．然后解决第3个问题“梯于的底端滑动多少米”，这个问题的解是无理数，应借助解决第1个问题的经验求出近似解，深时作业设计中完成了上一课时的第2个问题．对于几个问题的具体解决，应先根据实际问题确定其解的大致范围．。
北师大版数学九上2.1《认识一元二次方程》教案(3页)
-以x² - 5x + 6 = 0为例，详细讲解如何通过因式分解法求解一元二次方程，并让学生进行类似的练习。
-给出实际情境问题，如面积计算、年龄问题等，指导学生如何将其转化为相应的一元二次方程。
北师大版数学九上2.1《认识一元二次方程》教案（3页）
一、教学内容
本节课选自北师大版数学九年级上册第二章第1节《认识一元二次方程》。教学内容主要包括以下方面：
1.理解一元二次方程的定义，能够识别标准形式的一元二次方程：ax² + bx + c = 0（a≠0）。
2.掌握一元二次方程的解的概念，了解解的个数与判别式Δ的关系。
-在因式分解法中，学生可能会遇到难以找到合适的因式对，如对于方程x² + 4x + 3 = 0，需要引导学生思考如何分解成(x+3)(x+1)。
-对于实际问题的抽象，教师需要指导学生如何从问题中提取关键信息，如速度、时间、距离等，并建立数学模型。例如，从“一个数的平方加上这个数等于12”这个问题中，抽象出方程x² + x - 12 = 0。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了《认识一元二次方程》，整体来看，学生的学习态度非常积极，对一元二次方程的概念和求解方法有了基本的认识。但在教学过程中，我也发现了一些问题，值得我们共同反思。
首先，对于一元二次方程定义的理解，部分学生仍然存在困难。在讲解过程中，我意识到可能是因为我未能将概念讲解得足够直观和具体。在今后的教学中，我需要更加注意用简单易懂的语言和例子来解释抽象的数学概念，帮助学生更好地理解。
北师大版初中数学九年级上册《1认识一元二次方程一元二次方程的概念》公开课教案_0
认识一元二次方程（1）1 •知识目标：能根据具体问题列出一元二次方程。
2•能力目标：通过教师的讲解和引导，理解一元二次方程的概念，培养学生归纳分析的能力。
教法选择课前准备教学时数教学重点：一元二次方程的有关概念教学难点：一元二次方程概念的理解和方程模型的建立自主探究、合作学习多媒体课件2课时教学时数第1课时课型是否采用多媒体备课总数第13课时课堂教学过程设计教学内容一、复习回顾，导入课题回顾一元一次方程的有关概念，方程解的概念。
设计说明：通过回顾一元一次方程的概念，理解其中的“元”和“次”的含义。
从而有助于类比一元二次方程感念的得出。
二、自主探索，概念总结情境问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为8 m，宽为5 m.地毯中央长方形图案的面积为18 m2,那么花边有多宽？思考下列问题：如果设花边的宽为x m,那么地毯中央长方形图案的长为____________ m,宽为_________ m.根据题意，可得方程情境问题二：观察下面等式:2 2 2 2 210 +11 +12 =13 +14教师活动学生活动通过实例引入新课向学生讲清楚本单元的主要内容和总体目标花边有多宽？板书课题，明确本节课的中心任务。
播放“花边有多宽”的课件，说明题目的条件和要求，课件要求制作得精美并且可以清楚得显示出各个量之间的关系。
认真听讲，对本单元（一元二次方程）有了一个较好的总体认识，为新的内容的学习作好准备。
进入良好的学习状态，在教师的引导下顺利进入到新课的学习中，新颖的标题也引起了学生的兴趣；很有兴趣地观看课件，对“花边有多宽”的问题产生了很强的探究的欲望，但大部分学生不知道如何找到解决问题的方法，新的任务与原来的认知结构发生冲突。
教学内容教师活动学生活动你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果设五个连续整数中的第一个数为X,那么后面四个数一次可表示为_________________________ , _________ , _________ , ___________根据题意，可得方程____________________________________ .情境问题三：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？由勾股定理可得，滑动前梯子底端距墙m,如果设梯子底端滑动x m,那么滑动后梯子底端距墙.根据题意，可得方程____________ .议一议：上述三个方程有什么共同特点？一元二次方程定义：四、随堂练习，巩固所学1 •判断下列方程是不是一元二次方程，并说明理由。
北师大版九年级数学上册2.1认识一元二次方程(教案)
-突破方法：通过图形演示和解的代入验证，让学生直观理解解的含义。
-体会直接开平方法和配方法的原理：这些解法对于学生来说是新的，理解其原理可能存在困难。
-突破方法：通过动态演示和逐步推导，让学生跟随步骤理解解法的原理和步骤。
-将解法应用于具体问题中：学生在面对具体问题时，可能不知道如何选择合适的解法。
在新课讲授环节，我注意到学生在理解一元二次方程的定义时存在一些困难，尤其是对a≠0这个条件的理解。我通过举例和图形演示来帮助他们理解，但从学生的反馈来看，可能还需要更多的时间和练习来巩固这一概念。
实践活动环节，分组讨论和实验操作进行得相当顺利。学生们的积极参与让我感到欣慰，他们通过实际操作对一元二次方程有了更直观的认识。然而，我也观察到一些学生在操作过程中遇到了难题，这提示我在未来的教学中需要提供更多的指导和鼓励。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.一元二次方程的一般形式：引导学生掌握一元二次方程的一般形式ax^2+bx+c=0（a≠0），并了解各部分名称及意义。
4.举例说明一元二次方程在现实生活中的应用：通过实际例子，让学生感受一元二次方程在实际问题中的应用价值。
5.解一元二次方程的方法：初步介绍解一元二次方程的几种常用方法，如直接开平方法、配方法等。
北师大版九年级数学上册教案-第二章第一节认识一元二次方程
第二章一元二次方程第一节认识一元二次方程第1课时一元二次方程教学目标1．让学生理解并掌握一元二次方程的概念．2．认识并掌握和一元二次方程有关的概念．教学重点理解一元二次方程及其相关概念．教学难点一元二次方程概念的理解与运用．教学设计(设计者：×××)教学过程设计一、创设情景明确目标师：1.从前学习过哪些方程，方程和等式有什么区别与联系？2．让学生举出以前的方程，并且能够指明它的特点(一元一次方程，二元一次方程等等)．出示问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如右图，它的长为8m，宽为5m.地毯中央长方形图案的面积为18m2.让学生根据这一问题情境提出问题：根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？二、自主学习指向目标自学教材第31至32页．见学生用书“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一一元二次方程的概念活动一：观察下面等式102＋112＋122＝132＋142得到等式102＋112＋122＝132＋142之后你的猜想是什么？根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和．活动目的：上述问题直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想．学生得到的猜想是：是否还存在五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和．然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数，在难以找到的情况下，促使学生想办法归结为方程去解决．活动二：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？活动目的：通过前两个环节的学习，直接让学生设未知数，列出适合条件的方程．结合上面三个方程的特点，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念．一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)【针对训练】见学生用书第21页“当堂训练”第1，2题．探究点二一元二次方程的有关概念我们把ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项，一次项和常数项，a，b分别为二次项系数和一次项系数．【针对训练】把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项.四、总结梳理内化目标1．一元二次方程的概念，只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c ＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式的，这样的方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)，其中ax2，bx，c 分别称为二次项，一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．五、达标检测反思目标1．当m________时，方程(m－3)x2＋mx－1＝0是关于x的一元二次方程．2．下列方程中是一元二次方程的是()A.3x2－3x－2＝0B．3x2＋2x＋1＝0C．(x＋4)(x－2)＝x2D．(3x－1)(6x＋1)x＝03．方程2x2＝3(x－6)化为一般形式后，二次项系数，一次项系数和常数项分别为() A．2，3，－6B．2，－3，18C．2，－3，6 D．2，3，64．已知关于x的方程(m＋3)xm2－1＋2(m－1)x－1＝0.(1)当m为何值时，方程是一元二次方程？(2)当m为何值时，方程是一元一次方程？六、布置作业教材第32页习题2.1第1，2题．见学生用书“课后作业”栏题目．第2课时一元二次方程的近似解教学目标1．经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力．2．经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．教学重点探究一元二次方程的解或近似解，发展学生估算意识和能力．教学难点用估算的方法寻求一元二次方程的近似解．教学设计(设计者：×××)教学过程设计一、创设情景明确目标活动内容：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：(8－2x)(5－2x)＝18，即：2x2－13x＋11＝0；(x＋6)2＋72＝102，即：x2＋12x－15＝0.发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用．上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的x吗？活动内容：1.有一根外带有塑料皮长为100m的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表(能测量是否通)进行检查，你怎样快速的找到这一断裂处？与同伴进行交流．2．在前一节课的问题中，我们若设地毯花边的宽为x m，得到方程：(8－2x)(5－2x)＝18，即：2x2－13x＋11＝0；(1)x可能小于0吗？说说你的理由．(2)x可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由，并与同伴进行交流．(3)完成下表：(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流．二、自主学习指向目标自学教材第33至35页．见学生用书“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点求一元二次方程近似解的方法活动内容：上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x m 满足方程(x＋6)2＋72＝102，把这个方程化为一般形式为x2＋12x－15＝0.1．你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？2．小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗？为什么？3．底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？4．x的整数部分是几？十分位是几？活动目的：在本环节中，学生充分体验探求方程解的过程，这既是对上一环节的一个练习巩固，更重要的是在列表求解的过程中，引导学生先确定解的范围，从而让学生建立两边“夹逼”的思想方法，进而体会无限逼近的思想，促进学生对方程解的理解，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备．同时，对于近似解的讨论，一方面可以促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力，另一方面又为方程精确解的研究做铺垫．需要指出的是，在这一环节的计算中，应提倡学生使用计算器．通过以下的几问继续“夹逼”，使x的范围进一步缩小．通过这两步的“夹逼”，让学生充分体会无限逼近的思想．【例题讲解】见教材第33页做一做．【针对训练】见学生用书第23页“当堂训练”第1，2题．四、总结梳理内化目标根据实际情况通过列表用“逼近法”求方程中未知数的值．五、达标检测反思目标1(1)当x＝0.4时，ax＋bx＋c＝________；(2)当x＝0.6时，ax2＋bx＋c＝________；(3)判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的取值范围是________．2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若有一根为－1，则a－b＋c＝______，如果a＋b＋c ＝0，则有一根为______．六、布置作业教材第35页习题2.2第1，2题．见学生用书“课后作业”栏题目．。
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第二章一元二次方程1．认识一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七年级上学期学习的一元一次方程中，已经学习过方程的解的概念，此后又分别在二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程中多次学习了关于方程（或方程组）的求解的过程。
因此对本章中的“使一元二次方程的左右两边的值相等的未知数的值即为该一元二次方程的解”的概念不难理解；学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经初步感受到了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，解决了一些实际问题。
同时通过上一节课的学习，学生发现，一元二次方程在生活中也有着广泛的应用，而列方程、解方程和应用方程是一体的。
在学生已有的估算能力的基础上，引导学生在具体的问题情境中，经历估计近似解的过程，寻找方程的解。
同时，在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析教科书基于学生已有的估算意识和能力以及对方程的解的理解的基础之上，提出了本节课的具体学习任务：经历一元二次方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。
而数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。
本课《认识一元二次方程》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
为此，本节课的教学目标是：1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识。
2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。
3、进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识，学会在合作学习中相互交流。
三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：做一做；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
第一环节：复习回顾活动内容：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：()()182x 52x 8=--，即：0111322=+-x x ；()2221076x =++，即：01512x x 2=-+。
发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。
上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的x 吗？活动目的：上述两个问题是承上一节课的现实问题，通过对这两个问题情境的回顾，学生自然会产生求解的欲望，符合学生的学习心理。
适当的回顾也是引导学生不仅要学会将现实问题转化为数学问题，而且还应该关注对该数学问题进行解答。
实际效果：学生能够意识到上一节课只是找到了解决问题的途径，即列方程，但并没有将方程的解求出来，也就是说并没有最终找到问题的答案，因而产生了彻底解决这些问题的欲望，因而十分自然地引出了本节课的主要内容：探索一元二次方程的解。
第二环节：情境引入活动内容：1、有一根外带有塑料皮长为100m 的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速的找到这一处断裂处？与同伴进行交流。
2、在前一节课的问题中，我们若设所求的宽度为x(m)，得到方程：()()182x52x8=--，即：0111322=+-xx；（1）根据题目的已知条件，你能确定x的大致范围吗？?说说你的理由．（2）x可能小于0吗？可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由，并与同伴进行交流．（3）完成下表：x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 2x2-13x+11（4）你知道所求的宽度x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流．活动目的：设计问题1，目的在于激发学生的学习兴趣，同时让学生体会和理解“夹逼”的思想，为2的解决提供铺垫；问题2，顺应第1环节，设法求出花边的宽度，这里引领学生经历一个初步估计范围、逐步逼近的过程，为后续其他问题的解决提供了范本、样例。
实际效果：通过对问题1提出的方法进行讨论，学生能够比较自然的得到“夹逼”思想解决一元二次方程的方法，并由学生概括得出用“夹逼”思想解一元二次方程的实质及步骤：①在未知数x的取值范围内排除一部分取值，②根据题意所列的具体情况再次进行排除；③列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据。
然后用这种方法解决接下来的问题2。
问题2，第（1）问，因为x 表示的是所求的宽度，学生能意识到x 不可能小于0；第（2）问，学生大多数能够从实际情况出发，意识到当x 大于4和当x 大于2.5时，将分别使原矩形地面的长和宽小于0，不符合实际情况；第（3）问，学生在利用计算器对表格中的数据进行计算的过程中发现，当x=1时，代数式2x 2-13x+11的值等于0；所求的宽度为1m 。
由于方程的解是整数解，学生都能通过列表计算直接找到方程的解，这就使学生从这种求解的方法中体验到了方便和巧妙，从而增强了学生学习的积极性，同时培养学生善于观察分析问题、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。
当然，解决第（4）问时，有的学生发现在方程()()182x 52x 8=--中，等式的左边是一个乘积，右边等于18，而3⨯6=18，所以令8-2x=6,5-2x=3,凑出x=1，这些学生的想法很巧妙，要及时肯定。
第三环节：做一做活动内容：上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程()2221076x =++，把这个方程化为一般形式为01512x x 2=-+（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?（2）小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗?为什么?（3）底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么?（4）x的整数部分是几?十分位是几?活动目的：在本环节中，使学生充分体验探求方程解的过程，这既是对上一环节的一个练习巩固，更重要的是在列表求解的过程中，引导学生先确定解的范围，从而让学生建立两边“夹逼”的思想方法，进而体会无限逼近的思想，促进学生对方程解的理解，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。
同时，对于近似解的讨论，一方面可以促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力，另一方面又为方程精确解的研究做铺垫。
需要指出的是，在这一环节的计算中，应提倡学生使用计算器。
实际效果：由于在解决上一环节问题的过程中，学生对用估算的方法求解已经有了一个初步的认识。
本环节中，我将课本中的第三问直接提前到第一问，目的是让学生体会应首先从实际生活中找到x的取值范围，学生说理情况非常不错！然后再将找到的0＜x＜4的范围通过以下的几问继续“夹逼”，使x的范围进一步缩小。
通过这两步的“夹逼”，让学生充分体会无限逼近的思想。
附学生对第（1）问的说理过程如下：在此题中，我认为x的取值范围是0＜x＜4。
首先，梯子滑动的距离x＞0是显而易见的，在下图中，求得BC=6m,而BD＜10m,因此CD＜4m。
所以x的取值范围是0＜x ＜4。
学生完成下面的表格：x 0 1 2 3 4x2+12x-1-15 -2 13 30 49 5同时发现：没能在这些整数取值中找到方程的解，但却通过表格分析发现，当x的取值是1和2时，所对应代数式的值是-2和13，而且随着x的取值越大，相应代数式的值也越大。
因此若想使代数式的值为0，那么x的取值应在1和2之间。
从而确定x的整数部分是1。
教师启发引导学生在1和2之间继续找方程的解。
以下分了两种不同的做法：甲同学的做法：x 0 0.5 1 1.5 2x2+12x-1-15 -8.75 -2 5.25 13 5所以1＜x＜1.5进一步计算：x 1.1 1.2 1.3 1.4x2+12x-15-0.59 0.84 2.29 3.76所以1.1＜x＜1.2因此x的整数部分是1，十分位是1。
乙同学的做法：x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7x2+12x-15 -0.590.84 2.29 3.76 5.25 6.76 8.29所以1.1＜x＜1.2因此x的整数部分是1，十分位是1。
对于这几种做法，教师要及时地给与肯定和鼓励，并可将二者加以比较。
通过这一练习，可要求学生整理用“夹逼”思想解一元二次方程的做题思路，并可展示课本中小亮的求解过程。
第四环节：练习与提高活动内容：五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方。
您能求出这五个整数分别是多少吗？活动目的：为了检测学生对本课教学目标的达到的情况，进一步加强知识的应用训练，我给出了课本上的这道题目，这也是上一节课中的一个数学问题的延续。
引导学生从知识获得途径、结论、应用、数学思想方法等几个方面展开，引导学生自主归纳完成，这有利于强化学生对知识的理解和记忆，提高分析和小结能力。
教学中应关注学生对五个连续整数的不同表示方法，让学生比较异同，并在比较中找出最好的表示方法。
同时这一题目也是对本节知识进行的巩固练习。
实际效果：此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习，通过练习学生基本都能准确表示出五个连续整数，但因设法的不同，所列方程各不相同。
在计算该方程的解时，很难确定x的取值范围，而且在列表的过程中，符合条件的解共有两个，教师可在学生练习中给与适当的引导和提示。
第五环节：课堂小结活动内容：师生互相交流总结探索解一元二次方程的基本思路和关键，以及在求解（或近似解）时应注意的问题。
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）实际效果：学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获，掌握了本节课的基本思路和过程。
第六环节：布置作业课本37页习题2.2第1题、第2题、第3题.四、教学反思1、关注只是发生发展过程、关注数学活动过程由于在旧教材当中，解方程的过程大多是根据方程的特点，运用不同的解法直接求精确解，学生掌握的更多的是解方程的技巧和准确度。
《标准》中明确要求加强学生估算意识和能力的培养，这一方面可以促进学生对方程解的理解，另一方面又为方程精确解得研究作了铺垫。
本节课通过日常生活中丰富有趣的问题情境：让学生感受方程是刻画现实世界的有效数学模型；体会“夹逼”数学思想在现实生活中随处可见，让学生真正经历“夹逼”数学思想解题的过程，从而更好地理解“夹逼”思想解一元二次方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣；由学生探索交流，分析此种方法的优缺点，从而概括出这种方法的实质及解题步骤，这既给学生提供了一个充分从事数学活动的机会，又体现了学生是数学学习的主人的理念。