高二数学《导数及其应用》单元测试题
高二数学选修2-2__第一章测试题
一选择题
1．设，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．设，则（ ）．
A． B． C． D．
3．已知，则的值为（ ）．
A． B． C． D．不存在
4．曲线在点处的切线方程为（ ）．
A． B． C． D．
5．已知函数的图象与轴有三个不同交点，，且在，时取得极值，则的
值为（ ）
∴当时，在区间上是增函数 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分）
又当时， ，
在上，有，即时，在区间上是增函数
当时，显然在区间上不是增函数
∴
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （10分）
（18）解：（1），依题意，
，即 解得 ┅┅ （3分）
∴，∴
令，得
若，则
故在上是增函数；
若，则
故在上是减函数；
所以是极大值，是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分）
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
BCABBCABB A C D
二、填空题：
（13）、
（14）、
（15）、 （16）、
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤）
（17）解：由题意知：，则
∵在区间上是增函数，∴ 即在区间上是恒成立， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （5分） 设，则，于是有
则
所以
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （11分）
设，则， ①
令，则
当时，，所以在上单调递增。
故，从而 这与①矛盾，假设不成立，
∴在点处的切线与在点处的切线不平行。 ┅┅┅┅
（14分）
(21)直线分抛物线与轴所围成图形为面积相等的两个部分,求的值.
(完整版)高二数学导数及其应用测试题
2.函数 f (x) 3x x3 的单调增区间是（ ）
A. (-1, 1)
B. ( ,1)和(1,) C. (,1)
D. (1,)
3.曲线 y x 4 在点 P 处的切线与直线 32x y 1 0 平行，则点 P 的横坐标是（ ）
A.2
B.-2
C.±2
4.若
f
x0
2,则 lim x0
f
x0
x
2x
f
x0 的值为（
1
D. ±
2 ）
A.4
B.-4
C.1
D.-1
6.已知 f (x) = 3 x ·sin x ，则 f (1)=( )
A. 1 +cos1 3
B. 1 sin1+cos1 3
C. 1 sin1-cos1 3
D.sin1+cos1
6.函数 f (x) 2x3 3x2 12x 5,在区间[0,3] 上的最大值与最小值分别是（ ）
；
三.解答题（5 个小题，共 44 分） 15.(8 分)已知函数 f (x) 1 x3 x2 , x [1,3] ，求函数 f (x) 的最大值和最小值.
3
16.(8 分)已知函数 f (x) ax3 bx2 3x在x ±1 处都取得极值.
(1)讨论 f (1)和f (1) 是函数 f (x) 的极大值还是极小值；
The shortest way to do many things is
高二数学导数及其应用测试题
答题卡
班级
；姓名
；得分
；
一.选择题（本大题共 10 个小题,每小题 4 分，共 40 分） 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号 答 案
高二数学《导数及其应用》单元检测题
高二数学《导数及其应用》单元检测题.选择题(每小题5分，共60 分)f(x) ax bx c f (1) 2 f ( 1)A . 4 B. 2 C.2 D.42. 函数f(x) lg x 11的零点所在的区间是xA.0,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 3,10 3.已知函数f(x)在R上满足f(x) 2f (2 x) x2 8x 8，则曲线y= f (x)在点(1, f (1))处的切线方程是A. y 2x 1B. y xC. y 3x- 2D. y 2x 34.曲线y x3 3x2在点(1, 2)处的切线方程为A. y 3x 1B. y 3x+3C. y 3x 5D. y 2x5.设y 2,则y =A.2B. 2C.0D.以上都不是6.已知f(x) x(2014 ln x)，若 f (x°) 2013 ,则X。
A . 1B . l n 2 C. 1 D . ee7.曲线y x2 11在点P (1, 12)处的切线与y轴交点的纵坐标是A.-9B.-3C.9D.158.函数f(x) c 32x ax ,若f⑵1，则aA.4B.-C.-4D. 14 49.函数f(x) 3 亠=ax + bx 在x= 1处有极值—2,，则a, b的值分别为A.1, —3B.1,3C. —1,3D.--1, —310.函数f(x) 3=x —3x(|x| v 1)A.有最大值,但无最小值B. 有最大值，也有最小值C.无最大值,也无最小值D. 无最大值，但有最小值2・ '11. y x sinx，贝y yA. 2xsinx B . x2 cosx2 2C. 2xcosx x cosx D . 2xsinx x cosxn12. 函数f (x) = x + 2cosx在［0 ,空］上取得最大值时x为n n nA.0B."6C. —D. —二.简答题(每小题5分，共20分)X13. 过原点作曲线y e的切线，则切线的方程为 __________________ .114. 设函数f(x) = x(ex + 1) + qx2，则函数f(x)的单调递增区间为_____________15. 若曲线y X 1(a€ R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则a =。
(word完整版)高二数学导数及其应用练习题
高二上学期《导数及其应用》单元测试（数学文）（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()22)(x x f π=的导数是（ ）(A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(='2．函数xe x xf -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,03．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<<b （B ） 1<b （C ） 0>b （D ） 21<b 5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 6．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）8．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．329．设2:()e ln 21xp f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A ）)2()3()3()2(0//f f f f -<<< y （B ） )2()2()3()3(0//f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0//f f f f -<<<（D ）)3()2()2()3(0//f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共4小题，共20分）11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．12．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=＿＿．13．点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是 14．已知函数53123-++=ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 . （3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是 .三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）15．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 16．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．17．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满足•4PA PB =u u u r u u u r,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点，.求 (Ⅰ)求点A B 、的坐标； (Ⅱ)求动点Q 的轨迹方程.18. 已知函数32()23 3.f x x x =-+ （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.19．已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3)(23（1）当1-=a 时，求函数的单调区间。
(完整版)高二数学导数单元测试题(有答案)
高二数学导数单元测试题（有答案）（一）．选择题（1）曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ）A ．34y x =-B 。
32y x =-+C 。
43y x =-+D 。
45y x =- a(2) 函数y ＝a x 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( )A ．18 B ．41 C ．21D ．1 (3) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2）(4) 函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )A ．2B ．3C ．4D ．5(5) 在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0（6）函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ）A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤ （7）函数3()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（ ）A ．12B ． -1C ．0D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（ ）A 、0B 、1002C 、200D 、100！ （9）曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23（二）．填空题（1）．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3＋3x －5相切的直线方程是 。
（2）．设 f ( x ) = x 3－21x 2－2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 .（3）．函数y = f ( x ) = x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。
(完整版)高中数学选修22导数及其应用单元测试卷
章末检测一、选择题1.设 f(x)为可导函数，且知足 lim f 1－f 1－2x＝－ 1，则过曲线 y＝ f(x)上点 (1，f(1)) 处的切线x→02x斜率为 ()B.－1D. －2答案B分析lim f 1 － f 1－ 2x＝ lim f 1－2x－f 1＝－ 1，即 y′ |x＝1＝－ 1，则 y＝f(x)在点 (1，f(1))x→ 02x x→0－ 2x处的切线斜率为－ 1.2.函数 y＝ x4－ 2x2＋ 5 的单一减区间为 ()A.( －∞，－ 1)和 (0,1)B.( － 1,0)和 (1，＋∞ )C.(－ 1,1)D.( －∞，－ 1)和 (1，＋∞ )答案A分析y′＝ 4x3－ 4x＝4x(x2－ 1)，令 y′ <0 得 x 的范围为 (－∞，－ 1)∪ (0,1)，应选 A.3.一物体在变力F(x)＝5－ x2(力单位： N ，位移单位： m)作用下，沿与F(x)成 30°方向做直线运动，则由 x＝1 运动到 x＝ 2时 F(x)做的功为 ()23A. 3 JB. 3J43C.3J 3 J答案C分析因为 F(x)与位移方向成30°角 .如图： F 在位移方向上的分力F ′＝F ·cos 30，°W＝2(51 3312－ x2) · cos 30x＝°d2(5－ x2)dx＝5x－ x322311＝3×8＝43(J). 2334.若 f(x)＝ x2＋ 21f(x)dx，则1f(x)dx 等于 ()001A.－1B.－3第1页共6页1C.3答案B分析∵ f(x)＝ x2＋ 21f(x)dx，11∴1f(x)dx) 1f(x)dx＝ ( x3＋ 2x0300＝1＋21f(x)dx，31∴1f(x)dx＝－3.5.已知函数 f(x)＝－ x3＋ ax2－ x－ 1 在(－∞，＋∞ )上是单一函数，则实数 a 的取值范围是 ( )A.( －∞，－ 3)B.[ － 3， 3]C.( 3，＋∞ )D.( －3，3)答案B分析 f ′(x)＝－ 3x2＋2ax－ 1≤0 在 (－∞，＋∞ )恒建立，＝4a2－12≤0?－3≤ a≤ 3. 6.设 f(x)＝ xln x，若 f′ (x0)＝2，则 x0等于 ()2 B.ln 2 C.ln 22答案D分析∵ f′ (x)＝x(ln x)′＋ (x)′ ·lnx＝ 1＋ ln x，∴f′ (x0)＝1＋ ln x0＝ 2，∴ln x0＝ 1，∴x0＝e.17.设函数 f(x)＝3x－ ln x(x＞0)，则 y＝ f(x)()1，1， (1， e)内均有零点A. 在区间e1B. 在区间e， 1， (1， e)内均无零点1， 1内无零点，在区间(1， e)内有零点C.在区间e1D.在区间e，1内有零点，在区间(1， e)内无零点答案Cx－ 3分析由题意得 f ′ (x)＝3x，令 f′ (x)＞0得 x＞ 3；令 f′ (x)＜ 0 得 0＜ x＜3；令 f′ (x)＝0得 x＝3，故知函数 f(x)在区间 (0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x＝ 3 处有极小值 1－ ln 3 ＜ 0；又 f(1)＝1＞0， f(e)＝e－1＜ 0， f1＝1＋1＞0. 33e3e第2页共6页8.已知一物体在力F(x)＝ 4x－ 1(单位： N) 的作用下，沿着与力 F 同样的方向，从x＝ 1 m 处运动到 x＝ 3 m 处，则力 F(x)所做的功为 ()A.10 JB.12 JC.14 JD.16 J答案C3分析力 F(x)所做的功 W＝3F(x)dx＝3(4x－ 1)dx＝ (2x2－ x)＝ 14(J).1119.由 x 轴和抛物线y＝ 2x2－ x 所围成的图形的面积为()A. 5(2x2－ x)dxB.5(x－ 2x2)dxC.1(x－ 2x2)dx 2D.1(x＋ 2x2)dx 2答案C11分析先计算出抛物线与x 轴的交点的横坐标，分别为 x1＝ 0，x2＝2，且在 0＜x＜2内，函数1图象在 x 轴下方，则由定积分的几何意义可知，所求图形面积的积分表达式为2 (x－ 2x2)dx.10.函数 f(x)＝ xe x－ e x＋1的单一递加区间是 ()A.( －∞， e)B.(1 ， e)C.(e，＋∞ )D.(e － 1，＋∞ )答案D分析x x x＋1xf ′(x)＝ e ＋ xe － e＝(x－e＋ 1)e ，由 f′ (x)＞ 0，得 x＞ e－ 1.应选 D.二、填空题11.若曲线 y＝ kx＋ ln x 在点 (1 ，k)处的切线平行于 x 轴，则 k＝.答案－ 11分析求导得 y′＝ k＋x，依题意 k＋1＝ 0，因此 k＝－ 1.12.已知函数 f(x)＝－ x3＋ ax 在区间 (－ 1,1)上是增函数，则实数 a 的取值范围是.答案a≥ 3分析由题意应有f′ (x)＝－ 3x2＋ a≥0 在区间 (－ 1,1)上恒建立，则a≥ 3x2在 x∈ (－ 1,1)时恒建立，故a≥ 3.13.已知函数y＝xf′ (x)的图象如下图( 此中 f′ (x)是函数 f(x)的导函数 )，给出以下说法：第3页共6页①函数 f(x)在区 (1，＋∞ )上是增函数；②函数 f(x)在区 (－1,1)上无性；1③函数 f(x)在 x＝－获得极大；④函数 f(x)在 x＝1 获得极小.此中正确的法有.答案①④分析从象上能够，当x∈ (1，＋∞ )，xf′ ( x)＞0，于是f′ ( x)＞0，故f(x)在区(1，＋∞ )上是增函数，故① 正确；当 x∈ (－1,1)， f′ (x)＜ 0，因此函数f(x) 在区 (－ 1,1)上是减函数，②，③也；当 0＜x＜ 1 ， f(x)在区 (0,1) 上是减函数，而在区(1，＋∞ )上是增函数，因此函数f(x)在x＝ 1 获得极小，故④正确 .n ＋1*)在 (1,1)的切与 x 的交点的横坐 x n， log2 015x1＋ log2 015x214.曲 y＝ x(n∈N＋⋯＋ log 2 015x2 014的.答案－1分析∵ y′ |x＝1＝ n＋1，∴切方程y－ 1＝ (n＋ 1)(x－ 1)，令 y＝0，得 x＝1－1＝n，即 x n＝n. n＋ 1 n＋ 1n＋ 1∴log 2 015x1＋ log 2 015x2＋⋯＋ log2 015x2 014＝log 2 015(x1·x2·⋯·x2 014)1 2 2 014＝ log2 0151＝－ 1.＝ log 2 015··⋯ ·2 3 2 015 2 015三、解答15.函数 f( x)＝2x3－ 3(a＋ 1)x2＋ 6ax＋ 8，此中 a∈R .已知 f(x)在 x＝ 3 获得极 .(1)求 f( x)的分析式；(2)求 f( x)在点 A(1,16)的切方程.解 (1)f′ (x)＝ 6x2－ 6(a＋ 1)x＋ 6a.∵ f(x) 在 x＝ 3 获得极，∴f′ (3)＝ 6× 9－ 6(a＋ 1)× 3＋ 6a＝ 0，解得 a＝ 3.∴f(x) ＝2x3－ 12x2＋ 18x＋ 8.第4页共6页(2)A 点在 f(x)上，由 (1) 可知 f ′ (x)＝ 6x 2－ 24x ＋ 18，f ′ (1) ＝ 6－ 24＋18＝ 0，∴ 切线方程为 y ＝ 16.2 3 616.设 3<a<1 ，函数 f(x)＝ x 3－ 2ax 2＋ b (－ 1≤x ≤ 1)的最大值为1，最小值为－2 ，求常数 a ，b.解 令 f ′( x)＝ 3x 2－ 3ax ＝ 0， 得 x 1＝ 0，x 2＝a.a 3f(0) ＝b ， f( a)＝－ 2 ＋ b,3f(－ 1)＝－ 1－ 2a ＋ b ，3f(1) ＝1－ 2a ＋ b.23因为 3<a<1，因此 1－ 2a<0，故最大值为 f(0) ＝ b ＝ 1，因此 f(x)的最小值为f(－1) ＝－3 a ＋ b ＝－ 3 1－ a ，2 2因此－ 3 a ＝－ 662 ，因此 a ＝3 .2故 a ＝ 36，b ＝ 1.17.已知函数 f(x)＝ ( x ＋1)ln x －x ＋ 1.(1)若 xf ′ (x)≤ x 2＋ax ＋ 1，求 a 的取值范围；(2)求证 (x － 1)f(x)≥ 0.(1)解 f ′ (x)＝x ＋ 1＋ ln x － 1＝ln x ＋1， xf ′ (x)＝xln x ＋ 1，而 xf ′ (x)≤ x 2＋ax ＋ 1 等价于 ln xx x－ x ≤ a.令 g(x)＝ ln x － x ，则 g ′ (x)＝1x － 1，当 0＜ x ＜ 1 时， g ′ (x)＞ 0；当 x ＞ 1 时， g ′ (x)＜＝ 1 是 g(x)的极大值点，也是最大值点， ∴ g(x)≤ g(1) ＝－ 1.综上可知， a 的取值范围是 [－ 1，＋ ∞ ).(2)证明 由(1) 知， g(x)≤ g(1) ＝－ 1，即 ln x －x ＋ 1≤ 0.当 0＜ x ＜ 1 时， f( x)＝ (x ＋ 1)ln x － x ＋ 11－ 1＝ xln x ＋ (ln x － x ＋ 1)≤ 0；当 x ≥ 1 时， f(x)＝ ln x ＋ (xln x － x ＋1)＝ ln x ＋ x ln x ＋ x ＝ ln x －11x ln － ＋ 1 ≥ 0.∴(x － 1)f(x) ≥0.第 5页共6页18.已知函数 f(x)＝－ 1 3 2 23x ＋ 2ax － 3a x ＋b(a ＞0).7(1) 当 f( x)的极小值为－ 3，极大值为－ 1 时，求函数 f(x)的分析式；(2) 若 f( x)在区间 [1,2] 上为增函数，在区间 [6，＋∞ )上为减函数，务实数a 的取值范围 .解 (1)f ′ (x)＝－ x 2＋ 4ax － 3a 2＝－ (x － a)(x － 3a)，令 f ′ (x)≥ 0，得 a ≤ x ≤ 3a ，令 f ′ (x)≤0，得 x ≥ 3a 或 x ≤ a ，∴ f(x)在 (－ ∞， a]上是减函数，在[a,3a]上是增函数，在 [3a ，＋ ∞ )上是减7函数， ∴ f( x) 在 x ＝ a 处取极小值，在x ＝ 3a 处取极大值 . 由已知有f a ＝－ 3， 即f 3a ＝－ 1，13337－ 3a ＋ 2a － 3a＋ b ＝－ 3， a ＝ 1， 1 解得b ＝－ 1，－ 3× 27a 3＋18a 3－ 9a 3＋ b ＝－ 1，∴ f(x) ＝－ 1x 3＋ 2x 2－ 3x －1. 3(2)由 (1)知 f(x)在 (－ ∞， a]上是减函数，在[a,3a] 上是增函数，在 [3a ，＋ ∞)上是减函数， ∴要a ≤ 1，2≤ a ≤1.使 f(x)在区间 [1,2] 上为增函数，在区间 [6，＋∞)上是减函数， 则一定有 3a ≥ 2，解得3a ≤ 6，3第 6页共6页。
高二下数学第一章导数及其应用单元检测(含答案)
阶段质量检测：导数及其应用(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 2．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0， π2上的极大值点为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π23．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．若函数()ln f x x a x=+不是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）．A ．[)0,+∞B ．(],0-∞C ．(),0-∞D ．()0,+∞5．若e x ≥k ＋x 在R 上恒成立，则实数k 的取值范围为( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．[－1，＋∞)6．若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，103 B.⎣⎡⎭⎫2，103 C.⎝⎛⎭⎫103，174 D.⎝⎛⎭⎫2，174 7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－310，67B.⎝⎛⎭⎫－85，－316C.⎝⎛⎭⎫－83，－116D.⎝⎛⎭⎫－∞，－310∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞ 8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )9．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( ) A ．6千台 B ．7千台 C ．8千台D ．9千台10．.已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( )A.4f (1)<f (2)B.4f (1)>f (2)C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)11．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3 ·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a >b >cB.c >b >aC.a >c >bD.c >a >b12．若函数f (x )＝sin xx ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝21sin x x ，12sin b x x =，则a ，b 的大小关系是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.14．若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．15．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．16．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17． (本小题满分12分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． (1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．18． (2021·百师联盟考试)设函数f (x )＝ln x ＋ax(a 为常数).(2)不等式f(x)≥1在x∈(0，1]上恒成立，求实数a的取值范围.19．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．20．(本小题满分12分) (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝e x＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥12x3＋1，求a的取值范围.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋ax＋1(a∈R).(2)若函数f (x )的图象与x 轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2.22． (本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．参考答案1.【解析】选A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 2.答案：B3.【解析】选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4.【答案】C【解析】由题意知0x >,()1af x x'=+,要使函数()ln f x x a x =+不是单调函数,则需方程10ax+=在0x >上有解,即x a =-,所以0a <,故选C ． 5.解析：选A 由e x ≥k ＋x ，得k ≤e x －x . 令f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1. 当f ′(x )<0时，解得x <0，当f ′(x )>0时，解得x >0.∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．∴f (x )min ＝f (0)＝1. ∴实数k 的取值范围为(－∞，1]．故选A.6.解析：选D 因为f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有极值点可化为f ′(x )＝x 2－ax ＋1＝0在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有解， 即a ＝x ＋1x 在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有解，设t (x )＝x ＋1x ，则t ′(x )＝1－1x 2， 令t ′(x )>0，得1<x <4，令t ′(x )<0，得13<x <1.所以t (x )在(1,4)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减．所以t (x )min ＝t (1)＝2，又t ⎝⎛⎭⎫13＝103，t (4)＝174，所以a ∈⎝⎛⎭⎫2，174. 7.【解析】选D f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫103a ＋1⎝⎛⎭⎫－76a ＋1<0，解得a <－310或a >67. 故选D. 8.【解析】选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9.【解析】选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．10.答案 B【解析】设函数g (x )＝f （x ）x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′（x ）－2xf （x ）x 4＝xf ′（x ）－2f （x ）x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，因此g (1)>g (2)， 即f （1）12>f （2）22，所以4f (1)>f (2). 11.答案 D【解析】 设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，又当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，∴x <0时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，0)上单调递减.由y ＝f (x )在R 上为奇函数， 知g (x )在R 上为偶函数，∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴c ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319＝g (－2)＝g (2)，又0<log π3<1<30.3<3<2， ∴g (log π3)<g (30.3)<g (2)，即b <a <c .12.【解析】选A f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x－cos x ＝－x sin x .∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0,1)上是减函数，得g (x )<g (0)＝0，故f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上是减函数，由0<x 1<x 2<1得12211212sin sin ,sin sin x x x x x x x x >∴>,a >b ，故选A. 13.【解析】f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23. 答案：2314.【解析】 对函数求导得f ′(x )＝x －1＋a ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝(x ＋a )(x －1)x ，x >0，因为函数存在唯一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x ＝1是唯一的极值点，此时－a ≤0，且f (1)＝－12＋a ≥1，所以a ≥32.答案 ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 15.【解析】f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]16.【解析】f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，因为f ′(x )＝1＋cos x≥0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b .答案：c <a <b17.【解析】(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时， g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点．当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0， 故1不是g (x )的极值点．所以g (x )的极值点为－2. 18.【解析】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －ax 2，当a ≤0时，又x >0，∴x －a >0，∴f ′(x )>0， ∴f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，∴f (x )单调递增； 若0<x <a ，则f ′(x )<0，∴f (x )单调递减.综上可知：当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当a >0时，f (x )在区间(0，a )上是减函数，在区间(a ，＋∞)上是增函数. (2)f (x )≥1⇔a x ＋ln x ≥1⇔ax ≥－ln x ＋1⇔a ≥ －x ln x ＋x 对任意x ∈(0，1]恒成立. 令g (x )＝－x ln x ＋x ，x ∈(0，1].则g ′(x )＝－ln x －x ·1x ＋1＝－ln x ≥0，x ∈(0，1]， ∴g (x )在(0，1]上单调递增，∴g (x )max ＝g (1)＝1， ∴a ≥1，故a 的取值范围为[1，＋∞).19.【解析】(1)由投资额为零时收益为零，可知f (0)＝－a ＋2＝0，g (0)＝6ln b ＝0， 解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝2x ，g (x )＝6ln(x ＋1)．设投入经销B 商品的资金为x 万元(0＜x ≤5)， 则投入经销A 商品的资金为(5－x )万元，设所获得的收益为S (x )万元， 则S (x )＝2(5－x )＋6ln(x ＋1)＝6ln(x ＋1)－2x ＋10(0＜x ≤5)．S ′(x )＝6x ＋1－2，令S ′(x )＝0，得x ＝2.当0＜x ＜2时，S ′(x )＞0，函数S (x )单调递增；当2＜x ≤5时，S ′(x )＜0，函数S (x )单调递减．所以当x ＝2时，函数S (x )取得最大值， S (x )max ＝S (2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A 商品3万元，B 商品2万元时， 他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．20.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x ＋x 2－x ，x ∈R ，f ′(x )＝e x ＋2x －1.故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增. (2)由f (x )≥12x 3＋1得，e x ＋ax 2－x ≥12x 3＋1，其中x ≥0， ①当x ＝0时，不等式为1≥1，显然成立，此时a ∈R .②当x >0时，分离参数a ，得a ≥－e x －12x 3－x －1x 2，记g (x )＝－e x －12x 3－x －1x 2，g ′(x )＝－（x －2）⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12x 2－x －1x 3.令h (x )＝e x－12x 2－x －1(x >0)， 则h ′(x )＝e x －x －1，令H (x )＝e x －x －1，H ′(x )＝e x －1>0，故h ′(x )在(0，＋∞)上是增函数，因此h ′(x )>h ′(0)＝0，故函数h (x )在(0，＋∞)上递增，∴h (x )>h (0)＝0，即e x －12x 2－x －1>0恒成立，故当x ∈(0，2)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减.因此，g (x )max ＝g (2)＝7－e 24，综上可得，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－e 24，＋∞. 21.【解析】(1) 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋a ＝ax ＋1x .当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a .若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，f ′(x )>0，f (x )单调递增；若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，f ′(x )<0，f (x )单调递减.综上所述：当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减.(2)证明 由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不满足条件. 所以a <0，此时f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－ln(－a )，由已知得－ln(－a )＝0，故a ＝－1，此时f (x )＝ln x －x ＋1.不妨设0<x 1<x 2，则f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2等价于ln x 2x 1<x 2x 1－x 1x 2＋x 2－x 1，即证：ln x 2x 1－x 2x 1＋x 1x 2<x 2－x 1.令g (x )＝ln x －x ＋1x (x >1)，则g ′(x )＝1x －1－1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34x 2<0，故g (x )在(1，＋∞)单调递减，所以g (x )<g (1)＝0<x 2－x 1.所以对于任意互不相等的正实数x 1，x 2， 都有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2成立.22.【解析】(1)由f (x )≥h (x )，得m ≤xln x 在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增． 故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e.所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a .函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点．φ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减，当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3，要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点，则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．。
第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)
单元综合测试三(第三章)时间：90分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(12)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1D ．2解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )． 又f ′(12)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos xD ．y ′＝cos 2x ＋cos x解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x .答案：C3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝3－3x 2>0⇒x ∈(－1,1)．答案：C4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( )A ．14B ．4C ．10D ．6解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14.答案：A5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π2)＝1， ∴k ＝－a2＝－1，a ＝2. 答案：D6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)， ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎨⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②∴⎩⎨⎧y 1＝8，y 2＝2，∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x ＝4＝4，∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x ＝－2＝－2.∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立⎩⎨⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A的纵坐标为－4. 答案：C7．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是(－∞，－33)，(33，＋∞)，则a的取值范围是()A．a>0 B．－1<a<0 C．a>1 D．0<a<1解析：依题意y′＝a(3x2－1)>0的解集为(－∞，－33)，(33，＋∞)，故a>0.答案：A8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．0 B．10C．18 D．20解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1为函数f(x)的极值点，因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.答案：D10．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)>f(－33)，∴排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，f(－x)＝－(x＋1)2，－1不是f(－x)的极小值点，∴排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除C.故选D.答案：D11．若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则()A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)C．af(a)<bf(b) D．af(b)<bf(a)解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在R上是增函数，又a>b，∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b)．答案：B12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：由题意知f ′(x )＝e x x 3－2f (x )x ＝e x －2x 2f (x )x3.令g (x )＝e x－2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x －2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x －2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g (x )x 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．解析：∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P (－2,6＋c )，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4. 答案：414．如果函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是________．解析：存在与x 轴平行的切线，即f ′(x )＝3x 2－6b ＝0有解，∵x ∈(0,1)，∴b ＝x 22∈(0，12)．答案：{b |0<b <12}15．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，则f ′(x )＝12x 2＋8x ＝4x (3x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－23.又f (－1)＝1, f (－23)＝4327，f (0)＝1，f (1)＝9，故f (x )在[－1,1]上的最小值为1，故a ≤1.答案：(－∞，1]16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，若∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值是________．解析：二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(0)>0，得b >0，又对∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则a >0， 且Δ＝b 2－4ac ≤0，故c >0，所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a b ＋c b ＋1≥2acb 2＋1≥2ac4ac ＋1＝2，所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，且f ′(0)＝23.(1)求f (x )的解析式；(2)求曲线f (x )在x ＝－1处的切线方程． 解：(1)∵f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，∴f ′(x )＝12x ＋a ·(2x ＋a )′＋2x ＝22x ＋a ＋2x .又∵f ′(0)＝23，∴2a ＝23，解得a ＝3. 故f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.(2)由(1)知f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3，且f (－1)＝ln(－2＋3)＋(－1)2＝1， f ′(－1)＝4×(－1)2＋6×(－1)＋22(－1)＋3＝0，因此曲线f (x )在(－1,1)处的切线方程是y －1＝0(x ＋1)，即y ＝1.18．(12分)已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求函数f (x )的增区间；(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f (2)＝－43，f ′(2)＝0，又f ′(x )＝x 2＋a ，所以83＋2a ＋b ＝－43，4＋a ＝0，所以a ＝－4，b ＝4，则f (x )＝13x 3－4x ＋4，令f ′(x )＝x 2－4>0，得x <－2或x >2，所以增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，则当x ∈[－4,3]时，f (x )的最大值为283，故要使f (x )≤m 2＋m ＋103对∈[－4,3]恒成立，只要283≤m 2＋m ＋103，所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤－3.19．(12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b －4＝4，所以a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x－12)．令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．20．(12分)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程． (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax . (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，所以f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x >0可知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当16≤x ≤24时，这种食品日供应量p 万千克，日需量q 万千克近似地满足关系：p ＝2(x ＋4t －14)(t >0)，q ＝24＋8ln 20x .当p ＝q 时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克？解：(1)由p ＝q 得2(x ＋4t －14) ＝24＋8ln 20x (16≤x ≤24，t >0)， 即t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)． ∵t ′＝－14－1x <0，∴t 是x 的减函数． ∴t min ＝132－14×24＋ln 2024＝12＋ln 2024＝12＋ln 56； t max ＝132－14×16＋ln 2016＝52＋ln 54， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋ln 56，52＋ln 54.(2)由(1)知t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)．而当x ＝20时，t ＝132－14×20＋ln 2020＝1.5(元/千克)，∵t 是x 的减函数，∴欲使x ≤20，必须t ≥1.5(元/千克)． 要使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为1.5元/千克．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)若函数f (x )在x ＝2处取得极值，求实数a 的值． (2)若函数f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围． (3)当a ＝－12时，关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解：(1)由题意，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)， 因为x ＝2时，函数f (x )取得极值，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－34，经检验，符合题意．(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，依题意，f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立，则a ≤1－2x x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1在x >0时恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1min (x >0)，当x ＝1时，⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1取最小值－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)当a ＝－12时，f (x )＝－12x ＋b ， 即14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)， 则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x， 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )极大极小所以g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2， g (x )极大值＝g (1)＝－b －54， 又g (4)＝2ln2－b －2，因为方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0，解得ln2－2<b ≤－54，所以实数b 的取值范围是(ln2－2，－54)．。
新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题（含答案）
新课标⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题（含答案）新课改⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）⼀、选择题(本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分)1．设xx y sin 12-=，则='y （）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）．A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线⽅程为（）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y 5.满⾜()()f x f x '=的函数是A . f (x )＝1－x B. f (x )＝x C . f (x )＝0D . f (x )＝16.曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线⽅程是A . 74y x =+ B. 72y x =+ C. 4y x =- D. 2y x =-7.若关于x 的函数2m n y mx -=的导数为4y x '=,则m n +的值为 A. -4 B. 1- C. D . 48.设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)内为A ．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定 9．函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3，0]上的最⼤值、最⼩值分别是A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－1910.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所⽰，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极⼩值点 A 1个B 2个C 3个D 4个第Ⅱ卷（⾮选择题，共60分）⼆、填空题（每⼩题5分，共15分。
高二数学单元测试试卷(导数及其应用)
高二数学单元测试试卷（文科）（导数及其应用）班别 座号 姓名 成绩一、选择题（每题5分，共50分，答案写在后面的表格中） 1、曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为033=++y x ，则（ ）A 、0)('0>x fB 、0)('0<x fC 、0)('0=x fD 、)('0x f 不存在2、曲线423+-=x x y 在点)31(，处的切线的倾斜角为（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、120°3、设x x x f ln )(⋅=，若2)('0=x f ，则x 0=（ ）A 、e 2B 、eC 、22ln D 、2ln 4、若物体的运动方程是21223=-+=，t t t s 时物体的瞬时速度是（ ）A 、12B 、20C 、10D 、195、函数13)(23+-=x x x f 是减函数的单调区间为（ ）A 、),2(+∞B 、)2,(-∞C 、)0,(-∞D 、)2,0(6、函数51232)(23+--=x x x x f 在[0,3]上的最大值和最小值分别是（ ）A 、155-，B 、45-，C 、154--，D 、165-，7、函数12+=ax y 的图象与直线x y =相切，则a =（ ）A 、1B 、21 C 、41 D 、81 8、下列求导运算正确的是（ ）A 、211)'1(xx x +=+B 、2ln 1)'(log 2x x = C 、e x x 3log 3)'3(⋅= D 、x x x sin 2)'cos (2-=9、与直线052=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程是（ ）A 、032=+-y xB 、032=--y xC 、012=+-y xD 、012=--y x10、设)()(x ，g x f 是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且0)(')()()('<-⋅x g x f x g x f ，则当b x a <<时有（ ）A 、)()()()(b g b f x g x f ⋅>⋅B 、)()()()(x g a f a g x f ⋅>⋅C 、)()()()(x g b f b g x f ⋅>⋅D 、)()()()(a g a f x g x f ⋅>⋅二、填空题（每题5分，共20分） 11、若函数ax x x f -=3)(在区间),1[+∞内单调递增，则a 的最大值是 。
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选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题一、选择题：(每小题有且只有一个答案正确，每小题5分，共50分) 1．下列结论中正确的是（ ） A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值C ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值D ．如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值 2. 已知函数c ax x f +=2)(,且(1)f '=2,则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．－1D ．03．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x 与()g x 满足()()f x g x ''=，则()f x 与()g x 满足( ) A ．()()f x g x = B ．()()f x g x -为常数函数 C ．()()0f x g x ==D ．()()f x g x +为常数函数4．函数x x y 33-=在[－1，2]上的最小值为（ ） A ．2 B ．－2 C ．0D ．－45．设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）6．方程0109623=-+-x x x 的实根个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．07．曲线ln(21)y x =-上的点到直线082=+-y x 的最短距离是 （ ） AB ．C ．D ．08．曲线)230(cos π≤≤=x x y 与坐标轴围成的面积是（ ） A ．4 B ．52C ．3D ．29．设12ln )(:2++++=mx x x e x f p x 在),0(+∞内单调递增，5:-≥m q ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为（ ）A ．1n B ．11n + C ．1n n + D ．1 二、填空题：(每小题5分，共25分) 11．若xex f 1)(-=，则0(12)(1)limt f t f t→--=___________.12．220(3)10,x k dx k +==⎰则 ；8-=⎰_________________.13．由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积为 .14．已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集 .15．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '最小值为 .三、解答题：(共75分) 16．（本小题满分12分）已知函数1193)(23+--=x x x x f （1）写出函数()f x 的递减区间；（2）讨论函数()f x 的极大值或极小值，如有试写出极值； 17．（本小题满分12分）当0>x 时，证明不等式2211x x e x++>成立. 18．（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在2x =-处取得极值,并且它的图象与直线33y x =-+ 在点( 1 , 0 ) 处相切, 求a , b , c 的值.AB C D19．（本小题满分12分）如图所示，等腰三角形△ABC 的底边AB=CD=3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ，记BE=x ，V （x ）表示四棱锥P-ACEF 的体积。
（1）求V(x)的表达式；（2）当x 为何值时，V(x)取得最大值？20．（本小题满分13分）定义在定义域D 内的函数)(x f y =，若对任意的D x x ∈21,都有12|()()|1f x f x -<，则称函数)(x f y =为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”.试问函数]1,1[()(3-∈+-=x a x x x f ,R a ∈)是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()e xf x kx x =-∈R ，（1）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（2）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()n n F F F n n +*>+∈N ．选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题答案：1. B2. A3. B4. B5. D6. C7. B8. C9. Ｂ 10. B11. e 2- 12. 1；45413. 114. (,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞ 15. 216. 解：令0)('=x f ，得11-=x ，31=x ，x 变化时，)('x f 的符号变化情况及()f x 的增减性如下表所示：（2）由表可得，当1-=x 时，函数有极大值16)1(=-f ；当3=x 时，函数有极小值16)3(-=f .17. 证明：设(),2112x x e x f x---=则()x e x f x --=1'， 令,1)(x e x g x --=则1)('-=xe x g ，当0>x 时，()01'>-=xe x g ，∴)(x g 在()+∞,0上单调递增，而0)0(=g ，∴(),0)0(=>g x g 0)(>x g 在()+∞,0上恒成立，即0)('>x f 在()+∞,0恒成立. ∴)(x f 在()+∞,0上单调递增，又,0)0(=f ∴,02112>---x x e x 即0>x 时，2211x x e x++>成立.18._ P_ F_ E _ D_ C_ B_ A'2'2'2:()32(2)3(2)2(2)01240(1)3231,8()(1,0)1106f x x ax b f a b a b f a b a b f x a b c c =++∴-=-+-+=∴-+==++=-∴==-∴+⨯+⨯+=∴=3解又又过点,119. 解：（1）由折起的过程可知，PE ⊥平面ABC ，ABC S ∆=2254BEFBDC x S S x ∆∆=⋅=21(9)12x -（0x << （2）21'())4V x x =-，所以(0,6)x ∈时，'()0v x > ，V(x)单调递增；6x <<'()0v x < ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值20. 解:因为|||)()(|min max 21f f x f x f -<-，)3(13)(]],1,1[()(23分导数是函数 -='∈-∈+-=x x f R a x a x x x f)2(,1924|||)()(|,932,932)],1,1[()(,)1()1()2(;932]0,1[)(,),4(;932]1,0[)(,013)(,33;013)(,330.33,013min max 213222分故最小值是的最大值是所以函数因为分内的极大值是在同理分内的极小值是在故时当时当即时当 <=-<--+∈-∈+-==-=+--∈>-='><-='<<±==-f f x f x f a a R a x a x x x f a f f a x f a x x f x x f x x x f x x x )],1,1[()(3R a x a x x x f ∈-∈+-=所以函数是“妈祖函数”.（2分）21. 本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e xf x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0xf x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥．依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．（Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e 2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+故12(1)(2)()(e2)nn F F F n n +*>+∈N ，．_ P_ F_ E _ D_ C_ B_ A。