大学物理下-Week-15-2-量子力学基础

2.4 玻尔的氢原子理论
一、经典原子模型及其困难
1) 汤姆逊的面包夹葡萄干原子结构模型（1903年） 此模型是汤姆逊发现电子后提 出的。
m 的带 正电球体，正电荷均匀分布于球体 上，而电子镶嵌在原子球内，在各 自的平衡位置作简谐振动并发射同 频率的电磁波。 --似乎可以解释观察到的原子发光 现象。 整个原子是半径为 10-10
给出粒子数的分布密度。
在时刻 t、空间 r 点处，体积元 dV 中发现微观粒子 的概率为： * ρ( r , t )dV Ψ r , t Ψ r , t dV
对N 粒子系，在体积元 dV 中发现的粒子数为
* dN NΨ r , t Ψ r , t dV
说明氢原子中定态的电子绕核轨道运动的半径是量 子化的。
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Bohr半径 • 氢原子的能量、 基态能（电离能） 电子在某一定态轨道上运动时，原子系统（或 电子）的总能量 E 为:
10
由以上两式可得：
上式表明氢原子的定态能量是量子化的。
基态能（电离能）
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根据玻尔跃迁假设:
氢原子光谱的波数为：
上式与广义的巴耳末公式完全相同，比较两式可得：
E t 2
可以解释为什么原子谱线自然宽度
E 2t
110 7 eV
谱线宽度：
E 1108 Hz h
v
与实验测量结果吻合！
原子基态寿命无穷长，基态有确定的能量值。
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说明：
• 不确定性与测量没有关系，是微观粒子波粒 二象性的体现。 • 不确定性的物理根源是粒子的波动性。
Ψ ( x , t ) ψ0 e
其中 ω 2π ν,
i ( t kx )
k 2π λ
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由关系
E h ,
ph
i ( Et px )
可将波函数改写为
( x, t ) 0e
——0 为待定常数 若粒子为三维自由运动，波函数可表示为
(r , t ) 0 e
n>m (n=m+1，m+2,…) 莱曼线系（Lyman 1906) m =1
5
巴耳末线系（Balmer 1890)
m=2
1 1 ~ RH 2 2 n 2
.
n 3,4,5
帕邢线系（Paschen 1908)
m=3
1 1 ~ RH 2 2 n 3
Δ z Δ pz h
不确定的根源是‚波粒二象性‛。
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说明：在量子力学中可以证明严格的不确定性关系 应该是：
x p x 2 y p y 2 z p z 2
一个量确定的越准确，另一个量的不确定程度就 越大。 对宏观粒子，因 很小，所以 xpx 0 可视为位置 和动量能同时准确测量 .
E h h p c c
19
3.1
微观粒子的波动性
法国物理学家德布罗意 （1892 – 1987 ) 思想方法 自然界在许多方面都是明显地对称的，他采 用类比的方法提出物质波的假设。
‚整个世纪以来，在光的理论上，比起波动的研究方 法来，是过于忽略了粒子的研究方法；在物质粒子的 理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们把 ‘粒子’的图象想得太多，而过分忽视了波的图象 20 呢？‛
-
-
- -
r~10-10 m
1
2)卢瑟福的 粒子散射实验(1908)和原子的核式结构 模型（1911年） 粒子
+ 金箔
-
1908年，卢瑟福(E. Rutherford) 在粒子散射实验中 观测到小部分大角度散射事件，并于1911年提出原子的 核式结构模型： 带正电的原子核集中在原子的中心，占原子尺度的很 小部分，带负电的电子则分布在核外，由此导出正确的 粒子散射公式。并由实验数据得到原子核半径 r<10-14 m.
vn rn -e m mp +e En
3）角动量量子化条件：电子绕核作圆 周运动时角动量是量子化的，取值 为 n = 1，2，3 … 量子数 m v n rn n
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2. 氢原子光谱的Bohr理论解释
经典理论: 氢原子中电子绕核做圆周运动: mp +e
vn rn -e m En
得到：氢原子中定态的电子绕核运动的轨道半径为：
8.67 102 nm
此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当.
23
二
德布罗意物质波的实验验证
戴维孙－革末－汤姆孙电子衍射实验（1927年）
电子束透过多晶铝箔的衍射
D
P
M
X 射 线
K
U
电 子 束
电子衍射与x射线衍射图样的比较
说明电子具有波动性
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微观粒子具有波粒二象性
25
3.3 不确定关系
玻恩获1954年诺贝尔物理学奖。
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说明： Ψ (r , t ) 不同于经典波的波函数，它无直接的物理意义。
有意义的是
2 * ρ r , t Ψ r , t Ψ r , t Ψ r ,子的概率分布密度；
2
对N 个粒子， N Ψ
xpx h
xpx h
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二、能量和时间的不确定关系
将光子的位置-动量不确定性关系
x px 2
变为：
h ct 2 c
可得粒子处于某状态的能量和时间的不确定性关系
E t 2
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例 原子在激发态的寿命为10-8 s，由不确定关系
电子经过缝时的位置不确定度
x b
一级衍射极小对应的衍射角:
x
b
ph
y
sin b
忽略衍射次极大，电子通过单缝 后，在x 方向动量P的不确定度 （即动量可取的范围）为:

ph
o
p x p sin p
h p

b
h p x b
电子的单缝衍射实验 考虑衍射次极大有
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En(eV) 0
-0.54 -0.85 -1.51
布喇开系
普芳德系
帕邢系 巴耳末系
5 4 3
2
-3.39
-13.6
赖曼系
1
氢原子能级图
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例：若用能量为12.6 eV的电子轰击氢原子，将 产生哪些光谱线？ 解：
可取 n = 3
14
可能的能级跃迁： 31 ，32 ，21
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玻尔理论的局限性：
1. 只能解释核外只有一个电子的H原子和类氢离子 体系. 2. 理论本身缺乏和谐性（经典理论 + 一些假设）。
需要发展一种崭新的理论—即量子力学理论。
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第3章 量子力学基础
W. Heisenberg (1901-1976)
E. Schrö dinger (1887-1961)
P. Dirac (1902-1984)
一
德布罗意物质波假设（1924年）
德布罗意提出：具有能量E和动量P的微粒联系着 物质波，其频率v 和波长与微粒的E和P的关系同 于光的情形：
德布罗意关系:
E h
或
E
p
注 意
h

或
p k
由于宏观物体的德布罗意波长小到实验 难以测量的程度，因此宏观物体仅表现 出粒子性 .
i ( pr E t)
波函数的物理意义是什么？
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二、波函数的统计解释
对应粒子波动性的波函数做为一个重要的新概念登上 量子力学舞台后，其本身的物理意义却模糊不清，使 许多物理学家感到迷惑不解而大伤脑筋。 爱因斯坦为了解释光子和波的波粒二象性，把光波的 强度解释为光子出现的几率密度。 玻恩(M．Born，1882－1970)在这个观念的启发下， 马上将其推广到 Ψ 函数上： |Ψ|2 必须是电子（或其 它粒子）的几率密度‛ 。 波函数的模的平方（波的强度）代表 时刻t、在空间 r 点处，单位体积元中 微观粒子出现的概率。
.
n 4,5,6
6
三、Bohr 氢原子理论
Niels Bohr：1922获诺贝尔物理学奖
• 1911 年 赴 Cambridge 大 学 ， 在 Cavendish实验室工作。 • 1912 年在 Manchester大学 Rutherford 实验室工作四个月，参加了‚ 粒子 散射实验‛研究工作。
一、位置—动量不确定关系
被束缚在某区域的粒子不可能具有确定的动量，即微 观粒子的坐标和动量不能同时取确定值，存在一个不确 定关系。
海森堡（W. Heisenberg）在1927年发表了著名的位置— 动量不确定关系 x p x h
完整的不确定关 系为
Δ x Δ px h
Δ y Δ py h
1.8 10 28 kg m s 1
动量的不确定范围
p 0.01% p 1.8 10
34
32
kg m s
3
1
位置的不确定量范围 6.63 10 x m 5.9 10 m p 2 1.8 10 29
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用电子衍射说明不确定关系
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主要内容
微观粒子的波动性 波粒二象性
不确定关系
波函数和概率波
薛定谔方程
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光的波粒二象性
在有些情况下，光突出显示出波动性；而在另一些 情况下，则突出显示出粒子性 ——光有波粒二象性， 并有如下关系：
能量： 质量： 静质量： 动量：
E = h
E h m c c
2 2
m0 m 1 υ 2 /c 2 0
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3.4
一、波函数