流体力学教材 6
工程流体力学课件 第06章 流体流动微分方程 - 4
时 可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导 微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。 流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量 守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空 间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种 分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。 微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺 输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )
流体力学知识点总结教材
lim法向应力P APlim为A 点压应力，即A 点的压强单位为;，2m s流体力学知识点总结第一章 绪论1液体和气体统称为流体，流体的基本特性是具有流动性，只要剪应力存在流动 就持续进行，流体在静止时不能承受剪应力。
2流体连续介质假设：把流体当做是由密集质点构成的，内部无空隙的连续体来 研究。
3流体力学的研究方法：理论、数值、实验。
4 作用于流体上面的力（1）表面力：通过直接接触，作用于所取流体表面的力。
P A TA切向应力为A 点的剪应力应力白质量位力帕白作用在所取流体体积内每面力点上的递性。
力的大小与流体的质量 成比例。
（常见的质量力：重力、惯性力、非惯性力、离心力）uv v 良5流体的主要物理性质（i ）惯性：物体保持原有运动状态的性质。
质量越大，惯性越大，运动状态越难改变常见的密度（在一个标准大气压下）3 C 时的水1000 kg /m 33c 时的空气1.2 kg / m（2）粘性作用于A 上的平均压应力 周围流体作用 的表面力切向应力牛顿内摩擦定律： 流体运动时，相邻流层间所产生的切应力与剪切变形的速率成正比A 即du以应力表示dydudr dy dtT —粘性切应力，是单位面积上的内摩擦力du u由图可dy h速度梯度，剪切应变率（剪切变形速度）运动粘度单位：m2/s 同加速度的单位K 表示，单位是“ Pa”粘度卩是比例系数，称为动力黏度，单位“pa ・s ”动力黏度是流体黏性大小的度量, 卩值越大，流体越粘，流动性越差。
说明：1） 气体的粘度不受压强影响，液体的粘度受压强影响也很小。
2） 液体 T T 卩/ 气体 T T 卩匸无黏性流体无粘性流体，是指无粘性即卩=0的液体。
无粘性液体实际上是不存在的，它只 是一种对物性简化的力学模型。
（3）压缩性和膨胀性压缩性：流体受压，体积缩小，密度增大，除去外力后能恢复原状的性质。
T 一定，dp 增大，dv 减小膨胀性：流体受热，体积膨胀，密度减小，温度下降后能恢复原状的性质。
流体力学
h1 流体运动示图
在这个过程中，机械能的增量为：
a´ 2 v2
h2
△2
l
△E ＝ E 2 － E 1
状态2的（动能＋势能）－ 状态1的（动能＋势能）
△E ＝ E 2 － E 1
1 1 2 △ E ＝ △m v2＋△mgh 2 － △m v12 － △mgh 1 2 2
在这个过程中，流体两端 的压力对流体作的功为：
＝ 3.6×105 Pa
第四节 伯努利方程的应用
一.文特利管（串接在管道中测量流体流速）
s1 s2
已知条件：粗管和细管的横截面s1、 s2，水银柱的高度差h 原理：设，流体密度为ρ，大小管处的 压强分别为P1、P2，流速分别为v1、v2 由连续性方程和伯努利方程
h
曲管压强计
消去v2，可得
1ρ v 2 ＋ ＝ 1ρ v 2 ＋P P1 2 2 2 1 2
△F dF ＝lim △S ＝d P S 液体内部压强的特点:
△S 0
单位: Pa (帕斯卡)
1.静止液体内部同一点各个方向的压强相等。 2. 静止液体内部随深度的增加，压强也增加。
ρ P＝ g h
3. 密闭容器内的静止流体受到
也称重力压强
P
e
外界压强时，流体内任一点的 压强是：
ρ P＝ P ＋ g h
设：入水端和出水端的截面分别为A1和A2
由：
入水端
v A ＝ v A ＝ 常数
1 1 2 2 1 2 1 2 2 2
2
1
(
v ＝v
π d） （ A 2 ＝ ( 6.4 ＝v × 4.0 A 2.5 d） π （ 2 ＝ 26 m/s
1
2
流体力学教材
流体力学教材部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑第4章流体动力学基本定理及其应用第2章我们研究了静止流体中的压力分布及流体对物体的作用力，但没有涉及运动问题；第3章我们从几何的观点研究了流体的运动，但没有讨论运动发生的原因。
本章将应用力学基本定律建立流体运动的动力学方程，从而揭示流体的运动和力之间的关系。
4.1输运公式在介绍运输公式之前先说明系统和控制体的概念。
4.1.1系统和控制体1.系统由确定的流体质点组成的流体团或有限的流体体积称为系统。
系统和外界的分界面称为系统的边界面。
系统具有如下特征：b5E2RGbCAP<1）系统是运动流体质点的集合，系统的体积和边界面的形状可以随时间变化；<2）系统边界上没有质量的输入和输出，系统内的质量不变，但有动量和能量的变化；<3）系统边界面上有力的相互作用。
系统内物理量的总和对时间的变化率称为系统导数，用Dt D 表示。
例如，系统总质量为⎰⎰⎰=)(d t V V M ρ，则它的系统导数为⎰⎰⎰=)(d t V V Dt D Dt DM ρ<4.1.1）由于系统的体积V ( t >随时间而变，故微分号不能直接移到积分号的内部。
2.控制体被流体流过的，相对于选定的坐标系固定不变的空间体积称为控制体。
控制体的边界面称为控制面。
控制体具有如下特征：p1EanqFDPw <1）控制体的几何外形和体积相对于选定的坐标系是固定不变的；<2）控制面上可以有流体的流入、流出，有质量、动量和能量的交换；<3）控制面上有力的相互作用。
控制体内某物理量的总和对时间的变化率称为控制体的局部导数，用t ∂∂表示。
例如，控制体内的总质量为⎰⎰⎰=VV M d ρ，则它的局部导数为DXDiTa9E3d ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂=∂∂V V V tV t d d ρρ<4.1.2）由于控制体的体积V 与时间无关，故微分号可直接移到积分号的内部。
第六章 流体力学的试验研究方法相似原理和量纲分析
和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立Vc的公式结构。 和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立V 的公式结构。 [解] 假定 vc = kρ α ⋅ µ β ⋅ d γ 为无量纲常数。 式中k为无量纲常数。 将各物理量的量纲
vc ] = LT −1 , [ ρ ] = ML−3 [
µ ] = ML−1T −1 , [ d ] = L [
（8-5b） 5b）
§8.2 相似准则与量纲分析
若模型与原型系统相似， 若模型与原型系统相似， 几何相似 运动相似 满足相似条件
x p = Cl xm , y p = Cl ym , z p = Cl zm
v px = Cv vmx , v py = Cv vm y , v pz = Cv vm z , t p = Ct tm
∂vpz
∂vpz
∂vpz
（8-5a） 5a）
∂vmz ∂vmz ∂vmz ∂vmz 1 ∂pm µm ∂2vmz ∂2vmz ∂2vmz + vpx + vmy + vmz = −gm − + 2 + 2 + 2 ρm ∂zm ρm ∂x m ∂y m ∂z m ∂tm ∂xm ∂ym ∂zm
动力相似
p p = C p pm , g p = Cg g m ,
其他物理量
ρ p = C ρ ρ m , µ p = Cµ µ m ,
（8-6）
§8.2 相似准则与量纲分析
（8-6）代入（8-5），可得到以模型参数和相似比例尺 代入（ ），可得到以模型参数和相似比例尺 表示的原型流动方程
2 CV ∂vmz CV ∂vmz ∂vmz ∂vmz + vmx + vmy + vmz = Ct ∂tm Cl ∂xm ∂ym ∂zm Cp 1 ∂pm Cv Cµ µm ∂2vmz ∂2vmz ∂2vmz −Cg gm − + 2 2 + 2 + 2 （8-7） CCρ ρm ∂zm C lCρ ρm ∂x m ∂y m ∂z m l
流体力学吴望一教材第六章作业参考答案
第六章作业参考答案18.求理想不可压重力作用下的流体，在开口曲管中的振动规律.假定管为等截面的，管中流柱长为,,l αβ围曲管于水平线间的夹角，运动的初始条件是由平衡位置开始振动.解：设流体离开平衡位置的位移为x ，则由lagrange 积分得：()222212121102P P v v xds g z z t ρ--∂+++-=∂⎰ ()212121,,sin sin a P P P v v z z x αβ===-=+()sin sin 0xlg x αβ∴++=∴振动周期为2T π=ω=20.从充满空间的理想不可压缩流体中突然取出半径为c 的球状体积，设在无穷远处各点作用着压力()p 常数.无外力作用，求流体的运动规律.习题册25.宽为b 的二维理想不可压缩流体喷柱，正击于一静止的平板后，向两边分流.设来流速度为v ，密度为ρ.如果不考虑重力影响，试求平板所受的冲击力.解：取一正方形计算动量通量，x 方向动量通量为0，合面力为0。
y 方向动量通量为： v vb y ρ-= 方向面力()ap p nds P =-=-⎰⎰ 2aP V b bp ρ=+板 28.设流体是理想不可压缩的，流动是定常的.流体高度为h ，流速为V ，在重力作用下流过闸门（如图）.闸门下游流体深为l .要固定闸门，求闸门单位宽度上所需的力R ，用,,g h l ρ和表示.解：我们取沿表面一圈为控制体CS ，通过CS 的动量通量=合面力+合体力我们只考虑水平方向的动量通量：设来流速度为1v ，出口速度为2v 则12v h v l =又()11221200hla v v h v v l p dy p dy p D l R ρρ-+=+---⎰⎰ 其中()1a p p g h y ρ=+-()2a p p gl y ρ=+-闸门的合力为()a R P h D --2. 证明在不可压缩的平面运动中，速度分布()()11,k n k n n n v akr e v ar e r θθθ-+-+== 是一种可能的速度分布。
普通高校流体力学教材
普通高校流体力学教材
普通高校流体力学的教材有很多种，下面是一些常见的教材：
《流体力学》张兆顺等，清华大学出版社
《流体力学》孔珑，中国电力出版社
《流体力学》闻德荪，高等教育出版社
《流体力学》吴望一，北京大学出版社
《流体力学》王献孚，高等教育出版社
这些教材都是比较系统、全面的流体力学教材，涵盖了流体力学的基本原理、流体动力学、流动阻力、水头损失、孔口出流、渗流等内容。
不同的教材侧重点略有不同，但整体内容大同小异。
以上信息仅供参考，如果还有疑问，建议咨询专业人士。
流体力学 中文 经典教材
流体力学中文经典教材
流体力学中文经典教材包括：
1. 《流体力学》（吴望一）：该书是北京大学力学系吴望一教授等编著的经典教材，全面系统地介绍了流体力学的基本概念、基本理论和基本方法，内容丰富，涵盖了流体力学的主要领域。
2. 《流体力学》（张兆顺、崔桂香、许春晓）：该书是张兆顺、崔桂香、许春晓等教授编著的教材，详细介绍了流体力学的基本原理和应用，注重物理概念和数学方法的有机结合，适合研究生和本科高年级学生使用。
3. 《流体力学》（黄继汤）：该书是黄继汤教授编著的教材，重点介绍了流体动力学、粘性流体动力学、湍流理论等内容，注重与实际应用的结合，适合本科高年级学生和研究生使用。
4. 《流体力学》（董曾南）：该书是董曾南教授编著的教材，主要介绍了流体力学的基本概念、基本理论和基本方法，内容深入浅出，易于理解，适合本科高年级学生和研究生使用。
此外，还有《流体力学》（谢春红）等教材也是中文经典教材之一。
这些教材都具有不同的特点，读者可以根据自己的需求选择适合自己的教材。
流体力学教材
流体力学教材1. 引言流体力学是研究流体在力学作用下的运动行为和力学性质的学科。
研究对象广泛，包括气体、液体、等离子体等。
流体力学在工程、地球科学和生物学等领域都有重要应用。
本教材旨在系统介绍流体力学的基本理论和应用。
2. 流体的性质和特点2.1 流体的定义流体是一种物质状态，其特点是能够自由流动，没有固定的形状和体积。
流体包括液体和气体两种状态，其运动行为可以通过连续介质力学描述。
2.2 流体的运动描述流体的运动可以通过速度场和流函数来描述。
速度场是流体中各点的速度矢量分布，流函数是满足连续性方程的标量函数。
流体的运动还可以通过流线、路径线和流管等来描述。
2.3 流体的性质流体具有压力、密度、粘性、表面张力等性质。
压力是单位面积上施加的力，密度是单位体积上的质量。
流体的粘性决定了其黏滞性和摩擦性，而表面张力是液体表面的一种现象。
3. 流体静力学3.1 静力学基本定律流体静力学研究的是静止流体的力学性质。
流体静力学基于质量守恒定律和动量守恒定律，推导出了静压力和大气压力的计算公式。
3.2 压力的计算静力学的基本定律和质量守恒方程可以用来计算流体中的压力分布。
常见的应用包括液体的静水压力计算和大气压力的计算。
3.3 浮力和浮力平衡浮力是物体在液体中受到的向上的力，其大小等于所排开的液体的重量。
浮力平衡是指物体在液体中所受的浮力等于物体所受的重力，使得物体能够漂浮在液体中。
4. 流体动力学4.1 运动的描述流体动力学研究的是流体的运动行为。
流体动力学基于质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律推导出了流体的运动方程。
4.2 流体流动类型流体流动可以分为层流和湍流两种类型。
层流指流体呈现有序流动的状态，而湍流则是流体流动的一种不规则状态。
4.3 流体流动的流量和速度流量是单位时间内通过某一截面的流体体积或质量。
速度是流体运动过程中流体质点的运动速率。
流量和速度之间存在一定的关系，可以通过连续性方程来计算。
workbench 流体力学 书
Workbench流体力学书简介Workbench流体力学书是一本介绍流体力学的教材，旨在帮助读者全面了解流体力学的基本概念、原理和应用。
本书适用于学习流体力学的初学者和专业人士，无论是工程师、科研人员还是学生，都能从中获得有用的知识和技能。
目录1.引言–流体力学的定义–流体力学的应用领域–本书的结构和内容概述2.流体的基本性质–流体的定义和分类–流体的密度、压力和温度–流体的运动状态和流动性质3.流体静力学–流体的静力学平衡–流体静力学的基本方程–流体静压力和压力分布4.流体动力学基础–流体的动力学性质和运动描述–流体的质量守恒和动量守恒定律–流体的能量守恒和伯努利方程5.流体流动的数学描述–流体流动的连续性方程–流体流动的动量方程–流体流动的能量方程6.管道流动–管道流动的基本特性–管道流动的雷诺数和摩擦阻力–管道流动的流量计算和压力损失7.外部流动–外部流动的基本特性–外部流动的边界层和分离现象–外部流动的阻力和升力8.流体力学的数值模拟–流体力学的数值模拟方法–流体力学软件和工具的应用–流体力学模拟的案例研究9.流体力学的应用–工程流体力学的应用领域–流体力学在航空航天、汽车工程等领域的应用–流体力学在自然环境和生物领域的应用10.结论–流体力学的重要性和应用前景–对读者的建议和展望书籍特点•全面详细：本书涵盖了流体力学的各个方面，从基本概念到高级应用，无论是静力学还是动力学，都有详尽的介绍和案例分析。
•深入剖析：本书通过深入剖析流体力学的原理和数学模型，帮助读者理解流体行为的本质和规律，培养解决实际问题的能力。
•应用导向：本书注重将理论知识与实际应用相结合，通过大量的工程案例和实验数据，展示流体力学在各个领域的应用，并提供解决实际问题的方法和技巧。
•适用广泛：本书适用于不同层次的读者，无论是初学者、专业人士还是学术研究者，都能从中获得有益的知识和技能。
结论Workbench流体力学书是一本全面详细、深入剖析的流体力学教材，旨在帮助读者全面了解流体力学的基本概念、原理和应用。
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第6章 水波理论据统计在海面上大约70%的时间发生海浪，海浪使舰船摇摆、击水并产生波浪增阻，波浪还会周期或随机地冲击海上钻井平台、海工结构物、海底管线、海岸堤坝和港口；另一方面，水面舰船或近水面航行体兴起的波浪将使舰船遭受兴波阻力。
因此，合理地设计和建造船舶、海洋或海岸结构物，必须考虑海浪的影响，水波理论也就成为从事上述领域的工程技术人员必须掌握的基础知识。
海洋中存在着各种各样的波动，如阵风作用的风波、船体扰动的船行波、太阳和月亮引力作用的潮汐波、海底摇荡产生的地震津波，还有压缩性引起的声波、表面张力引起的毛细波等。
这些波动形成的原因虽然不同，但是其物理本质是一样的，即恢复力与惯性力的动态平衡。
风波和船行波的恢复力是重力。
本章讨论在重力作用下具有自由面的不可压缩理想流体的波动，即与船体尺度相当的风波和船波，这种波动主要发生在水（液体）表面附近，因此称为水表面波、水波或重力波。
水波可分为线性波和非线性波，这里仅介绍线性波，重点讲述线性简谐波的数学描述、运动特性和能量概念，为进一步研究非线性波以及波浪与结构物的相互作用打下基础。
水波问题的基本方程和定解条件6.1.1 基本方程我们知道，重力场中处于静止状态液体的自由面必为水平面。
在某种扰动（如风压或船体压力）的作用下引起凸凹不平，其液面离开了自己的平衡位置，而重力则力图使凸起的液面回到原来的平衡位置；这时惯性的作用驱动液面再次离开平衡位置，重力又使其恢复；流体的这种往复运动以波的形式在整个自由面上传播，形成波浪。
当外界扰动停止后，水的粘性将使波浪运动衰减并逐渐消失，但这种衰减过程极其缓慢，以至于可忽略粘性影响。
即使有粘性影响，仅局限于水底面附近很薄的边界层内。
因此，在波浪理论中假定水是不可压缩的理想流体。
根据Kelvin 定理，对于不可压缩或正压的理想流体，如果质量力有势，则原来处于静止状态的水受某种扰动后的运动将永远是无旋的。
综上所述，研究水波问题基于以下基本假定：(1) 流体是不可压缩的，在重力场中运动；(2) 流体是理想的，忽略粘性； (3) 流体的运动无旋，存在速度势，且。
此外，我们仅考虑波长较大（与船体尺度相当）的波浪，不计表面张力。
取水在静止状态时的自由面为xoy 平面，z轴垂直向上，设水底深度为h(x,y)，扰动后的自由面或波面形状为，如图6.1.1所ϕϕ∇=v ),,(t y x z ζ=图6.1.1示。
图中a 称为波幅，λ 称为波长，波面的极大值称为波峰，极小值称为波谷。
对于不可压缩流体的无旋运动，存在速度势，它满足Laplace 方程（在流体中） （6.1.1）只要解出速度势，即得速度场，然后根据Lagrange 方程（6.1.2） 得到压力场。
下面给出方程（6.1.1）应满足的边界条件和初始条件。
边界条件及其线性化1. 边界条件（1）底面条件在静止的底面上，流体不可穿透，有（6.1.3） 式中为法线方向。
记底面方程为，以代入上式得底面条件. （6.1.4） 如果底面是水平面，即，则底面条件简化为 （6.1.5）（2）自由面运动学条件 自由面是重力场中水与空气之间的界面，它是由流体质点组成的流体面，在运动过程中自由面上的流体质点始终位于自由面上，即自由面上流体质点的法向速度与自由面本身的法向速度相同，但质点可以沿切向滑移。
记自由面方程为，由式（5.1.6）得自由面上的运动学条件为（6.1.6）（3） 自由面动力学条件 在自由面上流体的压力，将其代入（6.1.2）式得自由面上的动力学条件（6.1.7） 令ζ),,,(t z y x ϕ0),,,(2=∇t z y x ϕϕϕ∇=v )(212t f gz V p t =+++∂∂ρϕ),(y x h z -=0=∇⋅=∂∂ϕϕn nn 0),(=+=y x h z F F F ∇∇±=n )),((0y x h z zy h y x h x -==∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂ϕϕϕconst h =)(0h z z-==∂∂ϕ0),,(=-=t y x z F ς)(ζζϕζϕζϕ=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂z yy x x t z const p p ==02011()2p V g f t t ϕζρ∂+++=∂显然，可将作为原流场速度势而不影响速度场的求解。
把上式代入式（6.1.7），并略去下标“1”得自由面上的动力学条件（6.1.8）自由面边界条件式（6.1.6）及（6.1.8）是水波运动速度势在自由面上应满足的一般条件式。
水波动力学问题研究的未知量有速度势、压力和自由面形状，由于在问题解决之前自由面击数是未知的，而且自由面条件式的右端均含有非线性项，因此它们是在未知的自由面边界上满足的非线性方程，求解十分困难。
如果我们考虑微幅波（或小振幅波），则自由面边界条件可以简化。
2． 自由面条件的线性化微幅波假定：（1）波幅与波长及水深之比均为小量，即，（见图6.1.1）。
它表明波面 偏离静水面是小量，波倾角和也是小量，这样就可以把在未知波面上满足的条件式（6.1.6）及（6.1.8）近似为在上满足。
（2） 流体质点的运动速度也是小量，即。
由此可略去条件式（6.1.6）和（6.1.8）右端的高阶小量而只保留线性项。
基于以上假定的线性化运动学和动力学自由面条件成为(6.1.9) . (6.1.10)联立以上两式，消去未知的，可得到用速度势表示的线形自由面条件（6.1.11） 与线性自由面条件相匹配，微幅波浪中的压力分布也略去高阶项。
不失一般性，将式（6.1.2）写成 (6.1.12)6.1.3初始条件 ⎰-+=tdt t f t p 0101)(ρϕϕv =∇=∇ϕϕ11ϕ())(211ζϕϕϕζ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇⋅∇+∂∂-=z t g ),,(t y x z ς=ϕp ),,(t y x ζζ1<<λa1<<ha ζ0=z x ∂∂ζy∂∂ζζ=z 0=z 1<<∇ϕ)0(=∂∂=∂∂z z t ϕζ)0(1=∂∂-=z t g ϕζς)0(022==∂∂+∂∂z z g tϕϕgz t p p -∂∂-=-ϕρ由于波浪运动是非定常的，波浪运动速度势除满足上述边界条件外,还需满足初始条件。
一般地可有两种初始扰动作用引起波动：一是作用于自由面上，如阵风、船体压力面；二是作用于水中，如潜艇运动、海底地震、造波板摇荡等。
下面仅考虑前者。
在自由面上的初始扰动也可归结为二种情形。
一是给定初始波面位移而初始速度为零，记，由式（6.1.10）知(6.1.13)二是给定静止液面上的初始速度，这相当于脉冲压力扰动的兴波问题，这时有（6.1.14）当上述两种初始扰动都存在时，同时给出以上两个条件。
综上所述，线性（微幅）水波运动速度势应满足的定解条件为(6.1.15)(6.1.16)(6.1.17) (6.1.18) 满足上述边界条件和初始条件的Laplace 方程的解是唯一的，它描述了给定初始条件下定深无界水域中的波动解。
解出后就求得液体的运动，再由式（6.1.10）和（6.1.12） 决定液体的自由表面形状和压力分布如果波浪中存在其它运动物体，如船舶、潜器或海洋结构物等，则还应加上物面条件（6.1.19） 式中为物体表面的法向运动速度。
式（6.1.15）~（6.1.19）构成了研究波—物相互作用问题的定解条件。
需要指出，在水波问题中，研究在给定初始条件下液体如何运动以及波—物之间相互作用的问题已超出本书范围，读者可阅读专门书籍。
这里只介绍周期性波动解及其运动特性，因为任何波动过程可以由这些周期性谐波叠加而成。
为了清晰的了解波动的基本特征，只考虑平面上的微幅平面波情形。
所谓平面波，是指波形具有相互平行且无限长的波峰和波谷线，也称长峰波。
如果取波峰线方向为轴，则所有物理量与无关。
下面首先寻求速度势满足Laplace 方程（6.1.15）和边界条件（6.1.16）、（6.1.17）的周期性解−−平面驻波，然后再讨论波的线性叠加−−平面进行波、波群和船行波。
平面驻波初始时刻自由面受扰后，在每一空间点上流体的运动是周期性变化的，因此设速度势有ϕ),()0,,(1y x f y x =ς),(y x f g =-ς)0,0(),(===∂∂z t y x f t ϕ)0,0(),(===z t y x F ϕ),,,(t z y x ϕ)0( 0),,,(2<<-=∇z h t z y x ϕ)0( 0 22==∂∂+∂∂z z g t ϕϕ)( 0zh z -==∂∂ϕ)0,0( ),(),,(===∂∂=z t y x f ty x F ϕϕϕ在物面上）( bn v n=∂∂ϕbn v xoz y y下列击数形式(6.2.1)式中称为波浪简谐运动的圆频率，代表秒钟振动的次数；称为初相位；是只与坐标有关的待求击数。
6.2.1 有限水深平面驻波的解设水底深度为。
显然，由（6.2.1）式所表示的已满足周期性（初始）条件，它还应当满足Laplace 方程（6.1.15）和边界条件（6.1.16）（6.1.17）。
为此，将（6.2.1）式代入可得确定的方程和边界条件(6.2.2) (6.2.3) (6.2.4) 这仍然是一个求解Laplace 方程解的问题。
解出后，自然得到。
令仍有可分离变量的形式 (6.2.5)将代入（6.2.2）式得因等式左边和右边分别为和的函数，所以他们只能等于同一常数，令其为，有常微分方程这两个方程的通解为 (6.2.6) 常数、、、和需用边界条件确定。
由底部条件（6.2.4）知即要求将它们代入式（6.2.6），合并常数，则式（6.2.5）式改写为(6.2.7)常数k 用自由表面条件式(6.2.3) 决定，将上式代入得或 ),()cos(),,(z x t t z x φεωϕ+=ωπ2ε),(z x φconst h =ϕφ22220 (0) h z x z φφ∂∂+=-<<∂∂)0( z 2==∂∂z gφωφ)( 0zh z -==∂∂φφϕφ)()(),(z Z x X z x =φφ )()()()( ''''z Z z Z x X x X -=x z 2k -0)()(, 0)()(2''2''=-=+z Z k z Z x X k x X ⎭⎬⎫+=-=+=- e e )(sin sin cos 2121kz kz C C Z x k B kx B kx B X ξB 1C 2C ξk 0e e 21=--kh kh k C k C kh kh C C C C -==e 2,e 221A BC =)(sin )(ch ξφ-+=x k h z k A kh g kh k ch sh 2ω=(6.2.8)这是常数与之间得关系，它表明给定常数k 也就决定了波动的圆频率。