中国科学院大学《高等物理光学》期末知识点总结

20 讲题目：平面波与球面波；空间频率；角谱：波的叠加；空间频率的丢失：卷积的物理意
义；抽样定理；衍射与干涉；透过率函数；近场与远场衍射；
“傅里叶变换与透镜”
；対易：衍
射的分析法：空品対易；全息；阿贝成像原理（4f 系统）；泽尼克相衬显微镜；CTF;OTF;非相
干与相干成像系统；衍射的计算机实验；衍射的逆问题；叠层成像（Ptychography）
；如何撰
写科技文章
面有限短距离 z 处得观察平面上，坐标是(0, b).求观察平面上的光强分布，并说明该光强分布
与孔径是什么关系;若该孔径是两个矩形孔，求观察平面上的光强分布，并画出沿 y 轴方向的
𝐴
𝑘
光强分布曲线。解：孔径平面上透射波的光场分布为U(𝑥0 , 𝑦0 ) = exp(−𝑗𝑘𝑧) exp {−𝑗 [𝑥0 2 +
𝑧
抽样定理：利用梳状函数对连续函数𝑔(𝑥, 𝑦)抽样，得𝑔𝑠 (𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑚𝑏 ( ) 𝑐𝑜𝑚𝑏 ( ) 𝑔(𝑥, 𝑦)抽样
U(x, y) =
函数𝑔𝑠 ,由δ函数的阵列构成，各个空间脉冲在𝑥方
向和y方向的间距分别为𝑋, 𝑌。每个δ函数下的体
积正比于该点 g 的函数值。利用卷积定理，抽样
函数𝑔𝑠 的频谱为
空间域函数的抽样，导致函数频谱𝐺的周期性复
𝑛 𝑚
现，以频率平面上( , )点为中心重复𝐺见图。假
exp⁡[𝑗
𝑥
𝑦
𝑋
𝑌
∞
(
𝑌
2𝐵𝑦
称为奈奎斯特间隔。显然，当函数起伏变
化大，包含的细节多、频带范围较宽时，
2𝑋
1
2𝐵𝑥
)(
2𝑌
1
2𝐵𝑥
)=
(4𝑋𝑌)(4𝐵𝑥 𝐵𝑦 ) = 16𝑋𝑌𝐵𝑥 𝐵𝑦 = 𝑆𝑊这是空间带宽积（函
数在空域和频域中所占面积之积）
2.10 若只能用𝑎 ∗ 𝑏表示的有效区间上的脉冲点阵对函
数进行抽样，即
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑔𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥, 𝑦)[𝑐𝑜𝑚𝑏 ( ) 𝑐𝑜𝑚𝑏 ( ) 𝑟𝑒𝑐𝑡 ( ) 𝑟𝑒𝑐𝑡( )]
𝑋
𝑌
𝑎
𝑏
试说明，及时采用奈奎斯特间隔抽样，也不在能用一个
理想低通滤波器精确恢复𝑔(𝑥, 𝑦)。解：因为表示的有限
区域以外的函数抽样对精确恢复，也有贡献不可省略。
用𝑎 ∗ 𝑏表示的有限区间上的脉冲点阵对函数进行抽样，
即
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑔𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥, 𝑦)[𝑐𝑜𝑚𝑏 ( ) 𝑐𝑜𝑚𝑏 ( ) 𝑟𝑒𝑐𝑡 ( ) 𝑟𝑒𝑐𝑡( ) ，
𝑋
𝑌
𝑎
𝑋
𝑌
𝑏
𝑛
∞
𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑎𝑓𝑥 )𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑏𝑓𝑦 ) = [∑∞
𝑛=−∞ ∑𝑚=−∞ 𝐺(𝑓𝑥 − , 𝑓𝑦 −
𝑋
𝑛 𝑚
)] ∗ 𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑎𝑓𝑥 )𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑏𝑓𝑦 ),上式右端大括号中的函数，是以( , )点为中心周期性重复出现的
𝑌
𝑋 𝑌
函数频谱𝐺。对于限带函数，采用奈奎斯特间隔抽样，𝐺𝑠 中的各个频谱区域原本不会发生混叠
现象，但是和二维𝑠𝑖𝑛𝑐函数卷积后，由于𝑠𝑖𝑛𝑐函数本身的延展性，会造成各函数频谱间发生混
叠现象，因而不再能用低通滤波的方法精确恢复原函数𝑔(𝑥, 𝑦)。从另一角度看，函数𝑔(𝑥, 𝑦)被
𝑥
𝑦
矩形函数限制范围后，成为𝑔(𝑥, 𝑦)rect( )rect( ),新的函数不再是限带函数，抽样时会发生频
𝑎
𝑏
谱混叠，可以得出同样的解释。
2.11 如果用很窄的矩形脉冲阵列对函数抽样（物理上并不可能在一些严格的点上抽样一个函
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑋
𝑌
𝐿𝑥
𝐿𝑦
数）即𝑔𝑠 (𝑥, 𝑦) = [𝑐𝑜𝑚𝑏 ( ) 𝑐𝑜𝑚𝑏 ( )] ∗ [𝑟𝑒𝑐𝑡 ( ) 𝑟𝑒𝑐𝑡 ( )]式中，𝐿𝑥 、𝐿𝑦 为每个脉冲在𝑥, 𝑦方
向的宽度。若抽样间隔合适，说明能否由𝑔𝑠 还原函数𝑔(𝑥, 𝑦)。解：用很窄的矩形脉冲阵列对函
数进行抽样，例如当采用 CCD 采集图像，每个像素都有一定的尺寸大小。这时抽样函数
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑔𝑠 (𝑥, 𝑦) = [𝑐𝑜𝑚𝑏 ( ) 𝑐𝑜𝑚𝑏 ( )] ∗ [𝑟𝑒𝑐𝑡 ( ) 𝑟𝑒𝑐𝑡 ( )]对应的频谱为
𝑋
𝑌
𝐿𝑥
𝐿𝑦
𝑛
∞
𝐺𝑠 (𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 ) = [𝐺(𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 ) ∗ ∑∞
𝑛=−∞ ∑𝑚=−∞ 𝛿(𝑓𝑥 − 𝑋 , 𝑓𝑦 −
𝑚
𝑛
∞
)]𝐿𝑥 𝐿𝑦 sinc(𝐿𝑥 𝑓𝑥 )sinc(𝐿𝑦 𝑓𝑦 ) = [∑∞
𝑛=−∞ ∑𝑚=−∞ 𝐺(𝑓𝑥 − 𝑋 , 𝑓𝑦
𝑌
𝑚
− )]𝐿𝑥 𝐿𝑦 sinc(𝐿𝑥 𝑓𝑥 )sinc(𝐿𝑦 𝑓𝑦 ) , 由
𝑌
𝑛 𝑚
于𝐿𝑥 、𝐿𝑦 尺寸很小，二维𝑠𝑖𝑛𝑐函数是平缓衰减的函数，对𝐺𝑠 中各个以( , )点为中心的函数频
𝑋 𝑌
谱𝐺(𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 )的高度给以加权衰减。上式也可以看成是用经𝑠𝑖𝑛𝑐 函数加权衰减的脉冲序列与
𝐺(𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 )卷积，结果是一样的。由于各个重复出现的频谱𝐺(𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 )形状不变，带宽不变，不发生
混叠，因而只要抽样间隔合适，仍然能通过低通滤波还原𝑔(𝑥, 𝑦).
空间频率的理解：传播矢量位于x0 z平面时，由于
𝑐𝑜𝑠𝛽 = 0,xy平面上复振幅分布为
𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝐴𝑒𝑥𝑝(𝑗𝑘𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼) 等 位 相 线方 程 为xcosα =
C与不同 C 值相对应的等位相线是一些垂直于x轴的
平行线，图画出了位相依次相差2π的几个波面，与
xy平面相交得出的等位相线，这些等位相线接近相
等，由于等位相线上的光振动相同，所以复振幅在
xy 平面周期分布的空间周期可以用位相相差2𝜋的
两相邻等位相线的间隔 X 表示，𝑘𝑋𝑐𝑜𝑠𝛼 = 2𝜋所以
𝑋=
长度内变化的周期数，即𝑓𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝛼
角谱理解：𝐴 (
𝜆
，
𝑐𝑜𝑠𝛽
𝜆
)=
1
𝑋
=
𝐶𝑂𝑆𝛼
𝜆
2𝜋
𝑘𝑐𝑜𝑠𝛼
=
𝜆
𝑐𝑜𝑠𝛼
用空间周期的倒数表示 x 方向单位
,𝑓𝑥 成称为复振幅分布在 x 方向上的空间频率。
∞
𝐶𝑂𝑆𝛼
∬−∞ 𝑈(𝑥, 𝑦) 𝑒𝑥𝑝 [−𝑗2𝜋 ( 𝜆 𝑥
+
𝐶𝑂𝑆𝛽
𝜆
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑦)] 𝑑𝑥𝑑𝑦 ，𝐴(
𝜆
，
𝑐𝑜𝑠𝛽
𝜆
)称
作𝑥𝑦平面上复振幅分布的角谱，引入角谱的概念，进一步理解复振幅分解的物理含义：单色光
波场中某一平面上的场分布可看做不同方向传播的单色平面波的叠加，在叠加时各平面波成分
有自己的振幅和常量位相，它们的值分别取决于角谱的模和辐角。
泰伯效应：用单色平面波垂直照射一个周期性物体，在物体后面周期性距离上出现物体的像。
这种自成像效应就称为泰伯效应，是一种衍射成像。
𝑥
3.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为t(𝑥0 ) = 𝑎 + 𝑏𝑐𝑜𝑠(2𝜋 0 )式中，𝑑为光栅的周期；a > b > 0。
𝑑
观察平面与光栅相距为 z。当 z 分别取下述值时，试确定单色平面垂直照明光栅时在观察平面
上产生的强度分布。解：1）z = 𝑧𝑇 =
2𝑑2
𝜆
为泰伯距离，光栅透射光场为
式中，A 为平面波振幅值。该透射光场对应的空间频率为
的传递函数
可写出观察平面上得到广场的频谱为
当z = 𝑧𝑇 =
2𝑑2
𝜆
时
根据菲涅尔衍射
则式（A）变为
对上式做傅里叶逆变换可得到
观察平面上的光场复振幅分布为
强度分布为
强度分布与光栅透射场
𝑧
分布相同。结论：在泰伯距离处，可以观察到物体的像；在 𝑇处观察到的是对比度反转的泰伯
𝑧
𝑗𝑘𝑧
2
exp [j
𝑘
2𝑧
∞ 𝐴
(𝑥 2 + 𝑦 2 )] ∗ ∬−∞ exp(−𝑗𝑘𝑧) ∗ exp⁡{−𝑗
(𝑥0 + 𝑦0 2 )] ∗ exp⁡[−𝑗
2𝜋
2𝜋
𝜆𝑧
𝑧
(𝑥𝑥0 + 𝑦𝑦0 )]𝑑𝑥0 𝑑𝑦0 =
∞
)2 |∬−∞ 𝑡(𝑥0 , 𝑦0 )exp⁡{ − 𝑗
2
2𝜋
𝑧𝜆
𝐴
𝑗𝑘𝑧
𝑘
2𝑧
𝑘
[𝑥0 2 + (𝑦0 − 𝑏)2 ]}𝑡(𝑥0 , 𝑦0 ) ∗
(𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑏 2 )] ∗
exp⁡[𝑗
2
2𝑧
强
度
其
分
布
I(x, y) =
为
𝑥0 𝑥 + (𝑦 − 𝑏)𝑦0 ] 𝑑𝑥0 𝑑𝑦0 |^2即证明了观察平面上强度分布是以
联系：CTF 与 OTF 分别是描述同一个成像系统采用相干照明和非相干照明时的传递函数，它
2
们都取决于系统本身的物理性质，沟通二者的桥梁是ℎ𝐼 = ⌈ℎ̃⌉ CTF 和 OTF 分别定义为
𝐻𝑐 (𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 ) = 𝐹{ℎ̃(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )}
抽样函数𝑔𝑠 (𝑥, 𝑦)对应的频谱为𝐺𝑠 (𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 ) = [𝐺(𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 ) ∗
𝑋𝑌𝑐𝑜𝑚𝑏(𝑋𝑓𝑥 )𝑐𝑜𝑚𝑏(𝑌𝑓𝑦 )] ∗ absinc(a𝑓𝑥 )sinc(b𝑓𝑦 ) =
𝑛
𝑚
∞
𝐺(𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 ) ∗ ∑∞
𝑛=−∞ ∑𝑚=−∞ 𝛿(𝑓𝑥 − , 𝑓𝑦 − )] ∗
𝑚
𝐴
𝜆𝑧
个频谱区域就不会出现混叠现象。这样就
有可能用滤波的方法从𝐺𝑠 中抽取出原函数
频谱 G，而滤除其他各项，再由 G 求出原
函数，因而能由抽样值还原原函数的条件
是 1）g(x, y)是限带函数 2）在 x，y 方向上
1
1
抽样点最大允许间隔分别为 ， 通常
抽样间隔就应当较小。抽样数目最小应为(
2𝑧
exp⁡(𝑗𝑘𝑧)
P 点为中心的孔径的夫琅禾费单缝衍射图样。以上分析表明，若采用向观察平面汇聚的球面波
照明孔径，在近距离上就可以观察到孔径的夫琅禾费单缝衍射分布。
双圆孔:振幅透过率表示
透射光场
傅里
叶变换
夫琅禾费光场分布
强度分布
可双孔衍射图样的强度分布是单孔的衍射图样与双光束干涉图样相互调制结果。
双矩形：振幅透过率表示
透射光场
傅
里叶变换
夫琅禾费光场分布
强度分布
可双矩形孔衍射图样的强度分布是单矩形孔的衍射图样与双光束干涉图样相互调制结果。
傅里叶透镜和普通透镜的区别：傅里叶变换透镜与普通透镜并无本质区别，只是根据作用的
不同将透镜分为傅里叶变换透镜与普通透镜。为了能在较近的距离观察到物体的远场夫琅禾
费衍射图样，通常是利用传统的光学元件----透镜，也就是说透镜可以用来实现物体的“傅里
叶变换”
，我们把实现这种功能的这类透镜称为傅里叶变换透镜。
4.2 楔形棱镜，楔角为α ，折射率为 n，底边厚度为∆0.其位相变换函数，并利用它来确定平
行光束小角度入射时产生的偏向角δ。解：如图所示，棱镜的厚度函数为L(x, y) = n(∆0 − αy) +
αy = n∆0 − (𝑛 − 1)𝛼𝑦 则 棱 镜 的 位 相 调 制 可 以 表 示 为 t(x, y) = exp[jkL(x, y)] =
exp⁡(jkn∆0 )exp⁡[−jk(n − 1)αy] 忽 略 常 系 数 ， 则 棱 镜 的 位 相 变 换 函 数 可 表 示 为 t(x, y) =
exp⁡[−jk(n − 1)αy]对于小角度入射的平行光束（假设入射角为θ），其复振幅分布为𝑈0′ (𝑥, 𝑦) =
𝑈0 (𝑥, 𝑦)𝑡(𝑥, 𝑦) = 𝐴𝑒𝑥𝑝(𝑗𝑘θy) exp[−𝑗𝑘(𝑛 − 1)𝛼𝑦] = 𝐴𝑒𝑥𝑝{𝑗𝑘[θ − (n − 1)α]𝑦}与入射光相比，
其传播角度发生了偏转，角度为δ = (n − 1)α
CTF: 把 相 干 脉 冲 响 应 的 傅 里 叶 变 换 定 义 为 相 干 传 递 函 数 ， 即 𝐻𝑐 (𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 ) =
𝐹{ℎ̃(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )},𝐻𝑐 (𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 ) = P(λ𝑑𝑖 𝑓𝑥 , 𝜆𝑑𝑖 𝑓𝑦 )
OTF:非相干成像系统的光学传递函数，强度的传递函数，它描述非相干成像系统在频域的效
应。
𝑋 𝑌
2𝐵𝑥
𝑘
∬−∞ 𝑡(𝑥0 + 𝑦0 )exp⁡{−𝑗 𝑧𝜆 [𝑥0 𝑥 + (𝑦 − 𝑏)𝑦0 ]}𝑑𝑥0 𝑑𝑦0
定g(x, y)是限带函数，其频谱仅在频率平面一个
有限区域 R 不为 0.若2𝐵𝑥 ，2𝐵𝑦 分别表示包围 R 的
最小矩形，在𝑓𝑥 ，𝑓𝑦 方向上的宽度，则只要
1
1
≥ 2𝐵𝑥 , ≥ 𝐵𝑦 ，X,Y 为抽样间隔。𝐺𝑠 中各
𝑋
2𝑧
(𝑦0 − 𝑏)2 ]} 𝑡(𝑥0 , 𝑦0 )把它代入菲涅尔衍射方程，得到衍射光场为
2
像；在 𝑇处观察到的是泰伯副像，条纹频率变为原来的两倍。
4
3.4 孔径的透过率函数表示为𝑡(𝑥0 , 𝑦0 ),用向 P 点汇聚的单色球面波照射孔径Σ，P 点位于孔径后
利用傅里叶的自相关定理得到
因此，对
于同一系统来说光学传递函数 等于相干传递函数𝐻𝑐 的归一化自相关函数。
区别：截止频率：OTF 的截止频率是 CTF 截止频率的两倍，但前者是对强度而言，后着是对
复振幅而言的，两者由于对应物理量不同，不能从数值上简单比较，成像好坏也物体本身有
关。两点分辨率：根据瑞丽分辨率判据，对两个等强度的非相干点光源，若一个点光源产生
的艾里斑中心恰好与第二个点光源产生的艾里斑的第一个零点重合，则认为这两个点光源刚好
能分辨，高斯像面的最小可分辨间隔是δ = 1.22
𝜆𝑑𝑖
𝑙
，l 是出瞳的直径，对于想干成像系统能否
分辨两个点光源，主要考虑两点间距外，还必须考虑他们的位相关系。相干噪声：想干成像系
统在像面上会出现激光散斑或灰尘等产生的衍射斑，这些相干噪声对成像不利。非相干成像系
统不产生相干噪声。
1
1
5.2 一个余弦型光栅，复振幅透过率为t(𝑥0 , 𝑦0 ) = + cos⁡(2𝜋𝑓̃0 𝑥0 )放在图上所示的成像系统的
2
2
物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波传播方向在𝑥0 𝑧平面内，与 z 轴夹角为θ。透镜焦距为
𝑓，孔径为𝑙。1)求物体透射光场的频谱 2)使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面
强度分布 3）若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与θ = 0时截止
频 率 相 比 结 论 如 何 ？ 解 ： 1) 倾 斜 单 色 平 面 波 入 射 ， 在 物 平 面 上 产 生 的 入 射 光 场 为
Aexp（jksinθ𝑥0 ）则物平面的透射光场为
其频谱为
其频谱如
图，物体有三个频率分量，与垂直入射(θ = 0)的情况相比，其频谱沿𝑓𝑥 轴整体平移
𝑠𝑖𝑛θ
𝜆
。本题
中简化计算，θ > 0。2)物体的空间频谱包括三个分量，其中任意一个分量都对应空间某一特
定传播方向的平面波。如果仅让一个分量通过系统，则在像面上不会有强度起伏，因此为了在
像面上有强度起伏，即有条纹，至少要让两个频率分量通过系统。对于想干成像系统，其截止
𝑙
𝑙
频率为𝑓0 =
=
,式中𝑙为透镜直径；𝑑𝑖 = 2𝑓。因此选取的θ角必须至少保证最低的两个
2𝜆𝑑𝑖⁡⁡
4𝜆𝑑𝑖⁡⁡
频率分量能通过系统，即最低的两个频率分量都在系统的通频带内，即要求
𝑠𝑖𝑛θ
{
−
𝑙
4𝜆𝑓
≤
𝑙
𝜆
4𝜆𝑓
𝑠𝑖𝑛θ
≤
𝜆
− 𝑓̃ ≤
l
𝑙
同时满足上述条件，需要𝑓̃ −
𝑙
4𝜆𝑓
≤
𝑠𝑖𝑛θ
𝜆
≤
𝑙
4𝜆𝑓
，θ角可以选取的最大值为
4𝜆𝑓
θ𝑚𝑎𝑥 = arcsin⁡( )当θ取该值时，只有两个频率分量通过系统，像的频谱为
4f
对应的复振幅分布为
强度分布为
𝑙
𝑠𝑖𝑛θ
𝑙
3）当θ取该最大值时，要求光栅频率满足如下关系𝑓̃ −
≤
=
即要求𝑓̃ ≤
𝑓̃
𝑚𝑎𝑥 =
𝑓̃
𝑚𝑎𝑥 =
𝑙
2𝜆𝑓
𝑙
4𝜆𝑓
4𝜆𝑓
𝜆
4𝜆𝑓
(θ = θ𝑚𝑎𝑥 )当θ = 0时，要求光栅频率不大于系统截止频率，即要求𝑓̃ ≤
𝑙
2𝜆𝑓
𝑙
4𝜆𝑓
或者是说
或者是说
(θ = 0)可见，当采用θ = θ𝑚𝑎𝑥 倾斜角的平面波照明时，系统允许通过的物光栅的频
率比垂直照明时提高了一倍。
5.12 图所示成像系统，双缝光阑缝宽为 a，中心间距为 d 照明光波长为λ求系统的脉冲响应和
传递函数并画出他们的截面图。1)相干照明 2)非相干照明。解：
时间相干性：假定光源发出的光是由一个有限长度的波列所组成的，将波列在真空中的传播的
长度称为相干长度𝐿𝑐 。单个波列持续的时间τ𝑐 = 𝐿𝑐 /𝑐称为相干时间。通常用相干长度和想干时
间来衡量时间相干性的好坏。当时间延迟τ远大于τ𝑐 或光程差远大于𝐿𝑐 观察不到干涉条纹。相
干时间和光源谱宽之间的关系（时间相干性的反比公式）为∆v · τ𝑐 ≈ 1，∆v为谱线宽度。谱线
越窄，相干时间和相干长度就越长，时间相干性越好，可以得到𝐿𝑐 = cτ𝑐 ≈
𝑐
∆v
=
̅𝜆̅̅2̅
；讨论在空
∆𝜆
间某一点，在两个不同时刻光场之间的相关性.(同地异时)例如迈克尔孙干涉仪。同一光源形成
的光场中，同一地点不同时刻的光之间的相干性。
空间相干性：讨论在同一时刻 , 空间中两点光场之间的相关性。(同时异地)例如杨氏双缝干涉
实验。同一光源形成的光场中，不同地点同一时刻的光之间的相干性。
6.7 在图所示的杨氏干涉实验，采用宽度为 a 的准单色缝光源，辐射强度均匀分布为𝐼0 ，𝜆̅ =
0.6μm。试 1)写出计算𝑄1 , 𝑄2 两点空间相干度|𝜇12 |的公式。2)若 a=0.1mm，z=1m，d=3mm，求
观察屏上杨氏干涉条纹对比度的大小。3)若 z 和 d 仍取上述值，欲使观察屏上干涉条纹对比度
下降为 0.4，求缝光源宽度 a 应为多少？解：1）缝光源的强度分布为I(x) = 𝐼0 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒（𝑥/𝑎）
根据傍轴近似下范西特-泽尼克定理的表达式可确定𝑄1 , 𝑄2 两点的负空间相干度为
∆𝜀
其模的大小为⌈𝜇12 ⌉ = ⌈𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑎 ̃ )⌉,⁡∆𝜀为𝑄1 , 𝑄2 在 x 方向上的间距。
𝜆𝑧

𝑑
∆𝜀 = 𝑑，则𝑄1 , 𝑄2 点的空间相干度为⌈𝜇12 ⌉ = ⌈𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑎 ̃ )⌉；2）条纹对比度就等于负空间相干度
𝜆𝑧
的模。若 a=0.1mm、z=1m，d=3mm，则代入上式，可确定条纹对比度为
3）
𝑎𝑑
𝑑
𝜆𝑧
𝜆𝑧
若 z 和 d 仍取上述值，欲使观察屏上干涉条纹对比度下降 0.4，则要求⌈𝑠𝑖𝑛𝑐( )⌉ = 0.4有𝑎 ̃ =
0.67，代入已知，a=0.134mm
彩虹全息：用激光记录物体的全息图时，在光路的适当位置加上狭缝，照明全息图时，物体的
三围像和狭缝像同时再现，观察者需通过狭缝再现像才能观察物体再现像，这种透射全息图就
是彩虹全息图。
傅里叶变换全息
请用物理图像配合数学语言的方式描述”傅里叶变换全息”的原理
原理：利用透镜的傅里叶变换性质产生物体
的频谱，并引入参考波与之干涉，得到傅里
叶全息图，傅里叶变换全息通常用于记录透
射的平面物体。
光路如图：前焦面上总的光场为：
U x0 , y0   g x0 , y0   r0 x0 , y0  b 
后焦面得到物体频谱与参考光波干涉，略去
常系数，光场可表示为：
U  f x , f y   G  f x , f y   r0 exp  j 2bf y 
其 中
y
x ，
fy 
fx 
f
f
所以底片记录的光强:
I  f x , f y   r0  G  r0G exp j 2bf y   r0G * exp j 2bf y 
2
2
显影后全息图的复振幅透过率正比于曝光光强，即：
t  tb   [ G  r0G exp j 2bf y   r0G * exp j 2bf y ]
'
2
傅里叶变换全息特点：每一物点与全息图上一组特定方向、特定空间频率的余弦条纹相对应。
即是说来自物上的每一个点的光与参考光发生干涉产生余弦条纹，其空间频率矢量是该物点特
有的。对于无透镜的傅里叶变换全息图，尽管事实上并没有发生傅里叶变换，但由于其干涉图
样是由物体上的单个点发出的光所生成的，物波与参考波干涉产生的干涉图样也是一组余弦条
纹，条纹的空间频率矢量是该物点独有的，这与真正的傅里叶变换全息图的性质完全相同。这
种全息图与真正的傅里叶变换全息图的差别在于余弦条纹的相位并不是物体的傅里叶变换相
位。
试从数字图像处理的角度阐述 4f 系统的原理，并举出一个简单例子
4f 系统是一种相干滤波系统
利用透镜的傅里叶变换性质，
记录输入信息的透明片在相
干光照明下，在透镜后焦面
得到其空间频谱，在该焦面
安置滤波器，实现对各频率
成分的振幅和位相调制，再
经过一次傅里叶逆变换，相
对的振幅和位相关系已发生变化的各频率分量在空间域合成，给出期望输出。这一过程相当于
用计算机将图像从图像空间转换到频域空间，图像的信息表现为不同频率分量的组合，在频域
空间对图像进行变换，例如平滑相当于低通滤波，锐化相当于高通滤波等，将增强后的图像再
从频域空间转换到图像空间，输出图像。
例子：在 4f 系统的物面放记录网点图像的透明片，在频谱面放置开孔适当大小的低通滤波器，
这样可以消除图像上的周期网格。
本课程所学习的光信息处理系统是以模拟系统为主还是以数字系统为主，为什么？答：本课程
以应用广泛的模拟光学信息处理系统为主，因为“数字的”或“数值的”光学计算领域尚未得
到很好的发展。
我们可以运用各类光学滤波器做些什么，请举例说明之答：低通滤波器可用来去掉图像的高频
成分，可用于消除印刷图像上的周期网格；高通滤波可以突出图像的边缘部分，可用于抽取轮
廓；带通滤波能使所需要的那一部分频谱成分通过，用于信号或缺陷检测；位相滤波用于观察
位相型物体，例如显微镜标本等；光栅滤波器可用于图像加减或微分；全息滤波器用于图像识
别；补偿滤波器、逆滤波器等可用于图像复原等。
阿贝原理：阿贝成像理论把成像过程看成两次衍射的过程，第一次衍射发生在物平面到谱面，
受物体调制的光场复振幅分布被分解为各频谱分量，这是一次傅里叶变换过程，第二次衍射发
生在谱面到像面，各频谱分量又复合为像，这是一次傅里叶逆变换过程，所以成像过程经历了
从空间域到频率域，又从频率域到空间域的两次变换过程，当物的所有频谱分量都无畸变的传
播到像面时，像逼真于物，但是由于光瞳的限制，物的高频分量总是被系统阻挡，因而产生像
的失真。
请问你怎么看待阿贝原理的重要性？答阿贝成像原理的价值在于它提供了一种全新的频谱语
言来描述和分析成像过程，既然光场与其频谱构成一个一一对应的傅里叶变换对，而且用透镜
又很容易实现光场的傅里叶变换，这就启示人们可以用分析频谱的方法来分析物面结构，用改
变频谱的方法来改变像面结构，从而实现二维图像信息的检测和变换。
位相滤波（泽尼克相衬法）：改变各种频率成分的相对位相分布，把空间位相调制的信息变换
为空间强度（振幅）调制的信息。
8.4 如果泽尼克相衬显微镜的相移点同时具有部分吸收，其强度透过率为τ(0 < τ < 1)，求观察
到的像强度的表达式。就向的对比度与没有吸收的情况做出比较。解：泽尼克相衬显微镜是用
来观察位相变化远小于 1rad 的位相型物体。由于常数位相因子不影响观察到的像的光强度缝
补，所以位相物体的复振幅透过率可以表示为
Ф(𝑥1 , 𝑦1 )是光波通过物体
后的位相延迟。由于它远小于 1rad，故上式可以近似表示为
如果
用单位振幅的单色平面波垂直照明物体，则透过物体的复振幅分布为
𝑃2 面上的频谱分布为
Ф(𝑥1 , 𝑦1 )是 φ(𝑥1 , 𝑦1 )的频谱。在泽尼克相衬显微镜里，放一相移点与透镜后焦点，
π 3π
他的位相延迟等于 或 ，用复数表示为 j 或-j。若它的强度透过率为τ，则振幅透过率为√τ。𝑃2
2
2
面上的滤波函数可以表示为
经滤波后的频谱为
相移点仅影响直接透射光，像的复振幅分
布为
像的强度分布为
由于想移很小，略去∅2 项，𝐼𝑖 与∅成线性关
系。当∅与介质的厚度成正比时，相衬显微镜易于直接测量透明介质的厚度变化。当相移点位
π
3π
相延迟 时，上式取正号，若∅增大，𝐼𝑖 增大，称为正相衬；反之，当相移点位相延迟 ，取负
2
号，若∅增大，𝐼𝑖 减小，为负相衬。像的对比度C =
2√𝜏∅
𝜏
=
2∅
√𝜏
2
在相移点没有吸收的情况时，像的
对比读2∅,因为0 < τ < 1,所以，使用有吸收的相移点，能使像的对比度改善。
诺贝尔化学奖：1）基于点扩散函数调制的超分辨率技术的代表