2020学年新教材高中数学 第十章 概率 10.1.1 有限样本空间与随机事件课时作业 新人教A版必修第二册
数学新教材高一下人教A版必修第二册10.1.1 有限样本空间与随机事件
思维升华
不重不漏地列举实验的所有样本点的方法 (1)结果是相对于条件而言的，要弄清实验的结果，必须第一明确实验中的条 件. (2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可借助画树 状图、列表等，确保样本点不重、不漏.
【训练2】 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机实 验的条件和样本空间. (1)从中任取1球； (2)从中任取2球. 解 (1)条件为：从袋中任取1球.若“红”表示一次实验中，取出的是红球， 则样本空间为{红，白，黄，黑}. (2)条件为：从袋中任取2球.若记(红，白)表示一次实验中，取出的是红球与白 球，则样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄， 黑)}.
4. 从 数 字 1 ， 2 ， 3 中 任 取 两 个 数 字 ， 则 该 实 验 的 样 本 空 间 Ω ＝ {_(_1_，__2_)_，__(1_，__3_)_，__(_2_，__3_)}_.
解析 从1，2，3中任取两个数字，共有3种结果(1，2)，(1，3)， (2，3)， 所以Ω＝{(1，2)，(1，3)，(2，3)}.
思维升华
判断一个事件是哪类事件要看两点：一看条件，因为三种事件都是相对于一定 条件而言的；二看结果是否产生，一定产生的是必然事件，不一定产生的是随 机事件，一定不产生的是不可能事件.
【训练1】 下列事件中是随机事件的为( C )
A.若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)c B.锐角三角形中两个内角的和小于90° C.抛掷一枚硬币，反面向上 D.在标准大气压下，温度到达60 ℃时水沸腾 解析 选项A中是必然事件，选项B，D是不可能事件，C项“抛掷一枚 硬币，反面向上”是随机事件.
2. 写 实 验 结 果 时 ， 要 按 顺 序 写 ， 特 别 要 注 意 题 目 中 的 有 关 字 眼 ， 如 “ 先 后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等.
2020_2021学年新教材高中数学第十章概率10.1随机事件与概率10.1.3古典概型课时作业含解析人教A版必修二
课时作业45 古典概型时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．(多选)下列是古典概型的是( CD )A ．任意抛掷两枚骰子所得点数之和作为样本点时B ．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时C ．从甲地到乙地共n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率D ．抛掷一枚均匀硬币，反面向上解析：A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A 不是；B 项中的样本点是无限的，故B 不是；C 项满足古典概型的有限性和等可能性，故C 是；D 项满足古典概型的有限性和等可能性，故D 是．2．一个口袋中装有5个球，其中有3个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，若一次从中摸出2个球，则至少有一个红球的概率为( A )A.910B.35C.310D.110解析：由题意知：白球有5－3＝2(个)．记三个红球为：A ，B ，C ；两个白球为：a ，b ，一次摸出2个球所有可能的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，a )，(A ，b )，(B ，C )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )，共10种，至少有一个红球的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，a )，(A ，b )，(B ，C )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，共9种，∴所求概率P ＝910. 3．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5}，若|a －b |≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( C )A.1125B.1225C.1325D.1425解析：甲乙两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故所有可能的结果有5×5＝25(种)，“心有灵犀”的情况包括：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，共13种，故他们“心有灵犀”概率为1325. 4．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，恰好是两面涂色的概率是( C )A.29B.827C.49D.1627 解析：由题可得：大正方体的最上层有4个恰好是两面涂色的小正方体，大正方体的中间一层及最底层都有4个恰好是两面涂色的小正方体，所以恰好是两面涂色的小正方体个数为4×3＝12(个)，所以从这些小正方体中任取一个，恰好是两面涂色的概率是P ＝1227＝49. 5．某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率是( B )A.13B.23C.14D.34解析：此人从小区A 前往H 的所有最短路径为：A →G →O →H ，A →E →O →H ，A →E →D →H ，共3个．记M ＝“此人经过市中心O ”，则M 包含的样本点为：A →G →O →H ，A →E →O →H ，共2个．∴P (M )＝23，即他经过市中心的概率为23. 6．下列命题中正确的命题有( A ) (1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；(2)从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同；(3)分别从3个男同学、4个女同学中各选一个作代表，那么每个同学当选的可能性相同；(4)5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由题意，(1)中，因为某袋中装由大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，任取一球，红球出现的概率是12，黑球出现的概率为13，白球出现的概率为16，所以每种颜色的球被摸到的概率不相同，所以不正确；(2)中，从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0的概率为47；不小于0的概率为37，所以不相同，故不正确； (3)分别从3个男同学、4个女同学中各选一个作代表，那么男同学被选中的概率为37，每位女同学被选中的概率为47，所以每个同学当选的可能性不相同，所以是不正确的； (4)5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性是相同的，所以不正确，故选A.二、填空题7．过点O (0,0)作直线与以点(45，8)为圆心，半径长为13的圆相交，若在被截弦长为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，则被截弦长长度不超过14的概率为932. 解析：由题意可知，最长弦为圆的直径：2r ＝2×13＝26.∵O (0,0)在圆内部且圆心到O 的距离为80＋64＝12， ∴最短弦长为：2×169－144＝10，∴弦长为整数的直线的条数有：2×(25－10)＋2＝32(条)．其中长度不超过14的条数有：2×(14－10)＋1＝9(条)，∴所求概率：P ＝932. 8．盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为23. 解析：由题可知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有15种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果，所以根据等可能事件的概率得到P ＝1015＝23. 9．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为35. 解析：从正方形四个顶点A ，B ，C ，D 及其中心O 这5个点中，任取2个点，有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，O )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，O )，(C ，D )，(C ，O )，(D ，O )共10种情况，这2个点的距离不小于该正方形边长的有(A ，B )，(B ，C )，(C ，D )，(A ，D )，(A ，C )，(B ，D )共6种情况，∴这2个点的距离不小于该正方形边长的概率P ＝610＝35. 三、解答题10．袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a ，b 的两个黑球和编号为c ，d ，e 的三个红球，从中任意摸出两个球．(1)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；(2)求至少摸出1个黑球的概率．解：(1)记事件A ＝“恰好摸出1个黑球和1个红球”，该试验样本空间Ω＝{(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e)，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e)，(c ，d )，(c ，e)，(d ，e)}，共10个样本点，A ＝{(a ，c )，(a ，d )，(a ，e)，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e)}，共6个样本点，由古典概型的概率公式可知，P (A )＝610＝35；(2)事件B＝“至少摸出1个黑球”，则B＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)}，共7个样本点，由古典概型的概率公式可知，P(B)＝7 10 .11．东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展．通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼，摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[20,70]之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：(1)求频率分布直方图中x的值，并根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x和中位数m(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(2)为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层随机抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会．①在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数：年龄[20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 人数一人的年龄在[30,40)的概率．解：(1)由频率分布直方图各个小矩形的面积之和为1，得x＝0.025，在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数为：x＝25×0.05＋35×0.1＋45×0.2＋55×0.4＋65×0.25＝52，设中位数为m，由0.05＋0.1＋0.2＋(m－50)×0.04＝0.5，解得m＝53.75.(2)①每组应各抽取人数如下表：年龄[20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 人数 1 2 4 8 5的是a1，a2，在[40,50)的是b1，b2，b3，b4，列举选出2人的所有可能如下：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)共15种情况．设A＝“这2人至少有一人的年龄在区间[30,40)”，则包含：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)9种情况，则P (A )＝915＝35. ——能力提升类——12．集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是( B )A.23B.13C.12D.16解析：集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数有2×3＝6(种)，其两数之和为4的情况有两种：(2,2)，(1,3)，所以这两数之和等于4的概率P ＝26＝13，故选B. 13．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为( A )A.13B.12C.23D.34解析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，红)，(白，白)，(白，蓝)，(蓝，红)，(蓝，白)，(蓝，蓝)．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，故他们选择相同颜色运动服的概率为39＝13，故选A. 14．小李在做一份调查问卷，共有4道题，其中有两种题型，一种是选择题，共2道，另一种是填空题，共2道．小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则所选的题不是同一种题型的概率为23；小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则所选的题不是同一种题型的概率为12. 解析：将2道选择题依次编号为1,2；2道填空题依次编号为4,5.从4道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(2,5)，(4,1)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,4)}，包含12个样本点．设事件A ＝“所选的题不是同一种题型”，则A ＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)}，包含8个样本点，所以P (A )＝812＝23； 从4道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(2,5)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,4)，(5,5)}，包含16个样本点．设事件B ＝“所选的题不是同一种题型”，由A 知所选的题不是同一种题型的样本点共8个，所以P (B )＝816＝12. 15．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，60件，30件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机抽样方法抽取了一个样本量为n 的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了2件．(1)应从甲、丙两个车间的产品中分别抽取多少件，样本量n 为多少？(2)设抽出的n 件产品分别用A 1，A 2，…，A n 表示，现从中随机抽取2件产品． ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M ＝“抽取的2件产品来自不同车间”，求事件M 发生的概率．解：(1)由已知得甲、乙、丙三个车间抽取产品的数量之比是421，由于采用分层随机抽样的方法乙车间的产品中抽取了2件产品，因此应从甲、丙两个车间分别抽取4件和1件，样本量n 为7.(2)①从抽出的7件产品中随机抽取两件产品的所有可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 1，A 7)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 2，A 7)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 3，A 7)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 4，A 7)，(A 5，A 6)，(A 5，A 7)，(A 6，A 7)，共21种．②不妨设抽出的7件产品中，来自甲车间的是A 1，A 2，A 3，A 4，来自乙车间的是A 5，A 6，来自丙车间的是A 7，则从7件产品中抽取的2件产品来自不同车间的所有可能结果为(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 1，A 7)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 2，A 7)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 3，A 7)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 4，A 7)，(A 5，A 7)，(A 6，A 7)，共14种．所以，事件发生的概率为P (M )＝1421＝23.。
新教材人教版高中数学必修第二册 第10章 10.1.1 有限样本空间与随机事件10.1.2 事件的关系和运算
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第十章 概 率
[变条件、变问法]在本例中，设事件 E＝{3 个红球}，事件 F ＝{3 个球中至少有一个白球}，那么事件 C 与 A、B、E 是什么 运算关系？C 与 F 的交事件是什么？ 解：由事件 C 包括的可能结果有 1 个红球 2 个白球，2 个红球 1 个白球，3 个红球三种情况，故 A⊆C，B⊆C，E⊆C，所以 C ＝A∪B∪C，而事件 F 包括的可能结果有 1 个白球 2 个红球， 2 个白球 1 个红球，3 个白球，所以 C∩F＝{1 个红球 2 个白球， 2 个红球 1 个白球}＝D.
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第十章 概 率
【解】 判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发 生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个 发生． (1)因为“恰有 1 名男生”与“恰有 2 名男生”不可能同时发 生，所以它们是互斥事件；当恰有 2 名女生时它们都不发生， 所以它们不是对立事件． (2)因为恰有 2 名男生时“至少有 1 名男生”与“全是男生”同 时发生，所以它们不是互斥事件．
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第十章 概 率
【解】 (1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2， 2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)， (4，2)，(4，3)，(4，4)}． (2)样本点的总数为 16. (3)“x＋y＝5”包含以下 4 个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)， (1，4)；“x<3 且 y>1”包含以下 6 个样本点：(1，2)，(1，3)， (1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)． (4)“xy＝4”包含以下 3 个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；“x ＝y”包含以下 4 个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．
10.1.1 有限样本空间与随机事件
第十章概率10.1随机事件与概率10.1.1有限样本空间与随机事件基础过关练题组一样本点与样本空间1.下列关于样本点、样本空间的说法错误的是()A.样本点是构成样本空间的元素B.样本点是构成随机事件的元素C.随机事件是样本空间的子集D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多2.为了丰富高一学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组,某学生选择报其中的2个,则该试验的样本点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差,则该试验的样本空间Ω=.4.将一枚骰子掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有实数根的样本点个数为.5.(2020北京通州高一期末)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“任何一个大于4的偶数都是两个质数之和”,如16=3+13.现从不超过16的质数中随机选取两个不同的数(两个数无序),试列举出满足条件的样本空间.(注:不超过16的质数有2,3,5,7,11,13)深度解析题组二随机事件的含义及其应用6.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中选取不相同的两个数构成平面直角坐标系上的点的坐标,则事件“点落在x轴上”包含的基本事件共有()A.7个B.8个C.9个D.10个7.先后抛掷一枚骰子两次,记事件A:向上的点数之和是5,则事件A的集合表示为.8.从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的样本空间;(2)写出下列随机事件包含的样本点:事件A:取出的两件产品都是正品;事件B:取出的两件产品恰有一件次品.9.在所有考试中,小明同学的语文、数学、英语这三科的成绩都是优秀或良好.随机抽取一次考试的成绩,记录小明同学的语文、数学、英语这三科成绩的情况.(1)写出该试验的样本空间;(2)用集合表示下列事件:A=“至少有两科成绩为优秀”;B=“三科成绩不都相同”.题组三事件类型的判断10.下列事件不是随机事件的是()A.东边日出西边雨B.下雪不冷化雪冷C.清明时节雨纷纷D.梅子黄时日日晴11.在10名学生中,男生有x名,现从这10名学生中任选6名去参加某项活动,有下列事件:①至少有1名女生;②5名男生,1名女生;③3名男生,3名女生.若要使①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件,则x 为()A.5B.6C.3或4D.5或612.(2020海南中学高一月考)在200件产品中,有192件一级品,8件二级品,给出下列事件:①在这200件产品中任意选9件,全部是一级品;②在这200件产品中任意选9件,全部是二级品;③在这200件产品中任意选9件,不全是一级品.其中随机事件是;不可能事件是.(填序号)答案全解全析基础过关练1.D由样本点、样本空间的定义可知,A、B、C中的说法均正确.因为随机事件是样本空间的子集,所以随机事件中样本点的个数不可能比样本空间中的多,故D中说法错误.故选D.2.C该学生选报的所有可能情况有:{数学和计算机},{数学和航空模型},{计算机和航空模型},所以试验的样本点共有3个.3.答案{-2,2,-5,5,-9,9,-3,3,-7,7,-4,4}解析因为1-3=-2,3-1=2,1-6=-5,6-1=5,1-10=-9,10-1=9,3-6=-3,6-3=3,3-10=-7,10-3=7,6-10=-4,1 0-6=4,所以试验的样本空间Ω={-2,2,-5,5,-9,9,-3,3,-7,7,-4,4}.4.答案19解析掷一枚骰子两次出现的点数如表所示:c123456b1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)方程x2+bx+c=0有实数根的充要条件为b2-4c≥0,即b2≥4c.由上表可知,满足题意的共有1+2+4+6+6=19个样本点.5.解析用(x,y)表示从不超过16的质数2,3,5,7,11,13中随机选取两个不同的数,则样本空间为{(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13) ,(11,13)}.方法技巧写试验的样本空间可分两步完成:1.确定试验的基本结果,即样本点是什么,共有多少个;2.选择合适的方法(用列举法还是描述法,用文字描述还是用数字、字母表示等)用集合的形式写出样本空间.6.C用(a,b)表示平面直角坐标系上的点,由题意得b=0,a≠0,所以“点落在x轴上”包含的基本事件共有9个.故选C.7.答案{(1,4),(2,3),(4,1),(3,2)}解析因为抛掷一枚骰子两次,事件A:向上的点数之和是5,所以A={(1,4),(2,3),(4,1),(3,2)}.8.解析(1)第一次取出的基本结果用x表示,第二次取出的基本结果用y表示,试验的样本点用(x,y)表示,则该试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.(2)事件A={(a1,a2),(a2,a1)},包含(a1,a2),(a2,a1)2个样本点.事件B={(a1,b),(b,a1),(a2,b),(b,a2)},包含(a1,b),(b,a1),(a2,b),(b,a2)4个样本点.9.解析分别用x1,x2,x3表示语文、数学、英语的成绩,则样本点表示为(x1,x2,x3).用1表示优秀,用0表示良好,则x1,x2,x3∈{0,1}.(1)该试验的样本空间可表示为Ω={(x1,x2,x3)|x1,x2,x3∈{0,1}},用列举法表示为Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.(2)A={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.10.B B中事件是必然事件,其余都是随机事件.11.C由题意知,10名学生中,男生人数少于5,但不少于3,∴x=3或x=4.12.答案①③;②解析事件①和③可能发生,也可能不发生,故是随机事件.因为二级品只有8件,所以9件产品不可能全是二级品,所以②是不可能事件.。
2019-2020学年新教材人教A版高中数学必修第二册课件：第十章 10.1.1 有限样本空间与随机事件
（2）我们把两个白球和两个黑球分别编号：1，2，3，4，于是4个人按 顺序依次从袋中摸出1球的所有可能结果用树状图直观表示如图所示.
这个试验的样本空间 含有元素（1，2，3，4），（1，2，4，3），（1， 3，2，4），（1，3，4，2）……（4，1，2，3）}，共有样本点的总数 为24.
反思感悟：列举法写出样本空间的方法很多，除了一一列举法还有树
状图法、列表法等，具体问题中，要根据需要应用合适的方法列举会显得 更加直观易懂、简明扼要。
随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空 间. 一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.在本书中，我们只讨论Ω为有限集的情 况.如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1， ω2，…，ωn}为有限样本空间.样本点有如下特征：
1.样本点是试验中不能再分的最简单的结果； 2.样本空间是全体样本点的集合，在书写时要注意表达形式， 可用列举法写，也可用描述法写； 3.样本空间相当于集合中的全集，样本点是样本空间的元素； 4.同一个试验，由于观察目标的不同，其样本点、样本空间一 般也会不同； 5. 样本点有无限多个的随机试验不在本书的范围内.
【解】记3张红色卡片为1，2，3号，2张白色卡片为4，5号.
（1）“从中一次摸出两张卡片”，无顺序，故这个试验中等可能出现的结
果有10种，分别为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），
（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）（其中（1，2）表示
新教材高中数学第10章概率10.1随机事件与概率课时作业46古典概型新人教A版必修第二册
新教材高中数学第10章概率10.1随机事件与概率课时作业46古典概型新人教A版必修第二册课时作业46 古典概型知识点一样本点个数的计算1.一个家庭有两个小孩，对于性别，则所有的样本点是( )A．(男，女)，(男，男)，(女，女)B．(男，女)，(女，男)C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D．(男，男)，(女，女)答案 C解析把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．故选C.2．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求出这个试验的样本点的总数；(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．解(1)这个试验的样本空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．(2)样本点的总数为6.(3)“第1次取出的数字是2”包含以下2个样本点：(2,0)，(2,1).知识点二古典概型的判断3.下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________．答案③解析 ①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性.知识点三 古典概型概率的计算4.一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球记为A 1，A 2,4个黑球记为B 1，B 2，B 3，B 4，从中一次性摸出2个球．(1)写出这个试验的样本空间及样本点总数；(2)求摸出的2个球颜色不同的概率．解 (1)这个试验的样本空间Ω＝{(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)}，共15个样本点．(2)因为(1)中的15个样本点出现的可能性是相等的，事件“摸出的2个球颜色不同”包含的样本点有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，共8个，故所求事件的概率P ＝815. 5．一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张形状、大小完全相同的标签，先后随机地选取2张标签，根据下列条件，分别求2张标签上的数字为相邻整数的概率．(1)标签的选取是无放回的；(2)标签的选取是有放回的．解 记事件A 为“选取的2张标签上的数字为相邻整数”．(1)从4张标签中无放回地随机选取2张，则试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，共有12个样本点，这12个样本点出现的可能性是相等的，A ＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)}，包含6个样本点．由古典概型的概率计算公式知P (A )＝612＝12，故无放回地选取2张标签，这2张标签上数字为相邻整数的概率为12. (2)从4张标签中有放回地随机选取2张，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共有16个样本点，这16个样本点出现的可能性是相等的．A ＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)}，包含6个样本点，这6个样本点出现的可能性是相等的．由古典概型的概率计算公式知P (A )＝616＝38，故有放回地选取2张标签，这2张标签上数字为相邻整数的概率为38. 6．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解 甲校的男教师用A ，B 表示，女教师用C 表示，乙校的男教师用D 表示，女教师用E ，F 表示．(1)根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，这个试验的样本空间Ω1＝{AD ，AE ，AF ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF }，共有9个样本点，这9个样本点发生的可能性是相等的．其中“选出的2名教师性别相同”包含的样本点有AD ，BD ，CE ，CF ，共4个．故选出的2名教师性别相同的概率P 1＝49. (2)若从报名的6名教师中任选2名，这个试验的样本空间Ω2＝{AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF }，共有15个样本点，这15个样本点发生的可能性是相等的．其中“选出的2名教师来自同一个学校”包含的样本点有AB ，AC ，BC ，DE ，DF ，EF ，共6个样本点．故选出的2名教师来自同一学校的概率P 2＝615＝25. 易错点 对样本空间列举不全致误7.任意掷两个骰子，计算：(1)出现点数之和为奇数的概率；(2)出现点数之和为偶数的概率．易错分析 本题易出现样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,6)}的错误；忽略先后顺序导致对样本空间列举不全致误．正解 任意掷两个骰子，这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共包含36个样本点，这36个样本点发生的可能性是相等的．(1)“出现点数之和为奇数”包含的样本点有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，共18个．因此点数之和为奇数的概率为1836＝12. (2)“出现点数之和为偶数”包含的样本点有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18个．因此点数之和为偶数的概率为1836＝12.一、选择题1．下列有关古典概型的四种说法：①试验中所有样本点的个数只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④已知样本点总数为n ，若随机事件A 包含k 个样本点，则事件A 发生的概率P (A )＝k n. 其中所有正确说法的序号是( )A ．①②④B ．①③C ．③④D ．①③④ 答案 D解析 ②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．故选D.2．将一枚骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数的概率是( ) A.19B.16C.14D.13 答案 D解析 这个试验的样本空间中共包含36个样本点，且这36个样本点发生的可能性是相等的，“点数之和为3的倍数”包含的样本点有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共12个，因此所求概率为1236＝13. 3．从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于23的概率是( )36C.18D.14答案 A 解析 这个试验的样本空间Ω＝{12,13,21,23,31,32}，共包含6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的，因此是古典概型．其中“大于23”包含的样本点有31,32，共2个，所以所求概率P ＝26＝13. 4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为( )A.13B.14C.15D.16答案 D解析 设齐王的下等马、中等马、上等马分别为a 1，a 2，a 3，田忌的下等马、中等马、上等马分别为b 1，b 2，b 3.齐王与田忌赛马，其情况有：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 3)，齐王获胜；(a 1，b 1)，(a 2，b 3)，(a 3，b 2)，齐王获胜；(a 2，b 1)，(a 1，b 2)，(a 3，b 3)，齐王获胜；(a 2，b 1)，(a 1，b 3)，(a 3，b 2)，齐王获胜；(a 3，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 3)，田忌获胜；(a 3，b 1)，(a 1，b 3)，(a 2，b 2)，齐王获胜．共6种情况，且这6种情况发生的可能性是相等的．其中田忌获胜的只有一种情形，即(a 3，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 3)，则田忌获胜的概率为16.故选D.5．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1，2,3,4}，若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.38B.581616答案 B解析 两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，这个试验共包含16个样本点，这16个样本点发生的可能性是相等的，其中“|a －b |≤1”包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为1016＝58. 二、填空题6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．答案 13解析 设一、二等奖分别用A ，B 表示，另一张无奖用C 表示，甲、乙两人各抽取一张，这个试验的样本空间Ω＝{AB ，AC ，BA ，BC ，CA ，CB }，共包含6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的．其中两人都中奖的事件包含的样本点有AB ，BA ，共2个，故所求的概率P ＝26＝13. 7．从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为________．答案 23解析 从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，这个试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，共6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的．其中“甲、乙两人中有且只有一人被选取”这个事件包含的样本点有(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，共4个，故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为46＝23. 8．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．答案 12解析 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个，且组成这24个自然数的可能性是相等的．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以组成的三位数为“有缘数”的概率为1224＝12. 三、解答题9．先后掷两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A ：两个骰子点数相同，事件B ：点数之和小于7，求P (A )，P (B )，P (AB )，P (A ∪B )．解 用数对(x ，y )表示抛掷结果，则这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共包含36个样本点，这36个样本点发生的可能性是相等的，A ＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，包含6个样本点，所以P (A )＝636＝16. B ＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)}，包含15个样本点，所以P (B )＝1536＝512. AB ＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)}，包含3个样本点，所以P (AB )＝336＝112.A ∪B ＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，包含18个样本点，所以P (A∪B )＝1836＝12. 10．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数(不考虑指针落在分界线上的情况)．设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：①若xy ≤3，则奖励玩具一个；②若xy ≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解 用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N,1≤x ≤4,1≤y ≤4}一一对应．因为S 中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n ＝16，且这16个样本点发生的可能性是相等的．(1)记“xy ≤3”为事件A ，则事件A 包含的样本点共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516. (2)记“xy ≥8”为事件B ，“3<xy <8”为事件C .则事件B 包含的样本点共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P (B )＝616＝38. 事件C 包含的样本点共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P (C )＝516.因为38>516， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．。
《有限样本空间与随机事件》课件与同步练习
典例解析
例4如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这 个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常. (1)写出试验的样本空间; (2)用集合表示下列事件： M=“恰好两个元件正常”； N=“电路是通路”； T=“电路是断路”.
解：(1)分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用 (x1,x2,x3)表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，
解：用i表示朝上面的“点数为i”， 因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果， 所以试验的样本空间可以表示为Ω ={1,2,3,4,5,6}.
构建样本空间，这是将实际问题数学化的关键步骤，其作用体现在：可以利用集合工具 （语言）描述概率问题，能用数学语言严格刻画随机事件的概念，通过与集合关系与运 算的类比，可以更好地理解随机事件的关系和运算意义.可以用符号语言准确而简练地 表示求解概率问题的过程.
A.3个都是篮球
B.至少有1个是排球
C.3个都是排球
D.至少有1个是篮球
答案:C 解析:根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球,四个选项都是随 机事件,进一步C是不可能事件,D是必然事件.
2．先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y， 则事件：log2xy＝1包含的样本点有________．
则样本空间Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0ห้องสมุดไป่ตู้1),(0,1,1),(1,1,1)}.
如图,还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.
(2)“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3) ∈Ω,且x1,x2,x3中恰有两个为1, 所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}. “电路是通路”等价于(x1,x2,x3) ∈Ω ,x1=1,且x2,x3中至少有一个是1,所以 N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}。 同理，“电路是断路”等价于(x1,x2,x3) ∈Ω，x1=0,或x1=1,x2=x3=0.所以 T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.
10.1 随机事件与概率(精讲)(解析版)
10.1 随机事件与概率（精讲）考法一 有限样本空间与随机事件【例1-1】（2021·全国高一）给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x 为某一实数时，可使x 2≤0”是不可能事件； ③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件． 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】对于①，三个球全部放入两个盒子，有两种情况：1+2和3+0，故必有一个盒子有一个以上的球，所以该事件是必然事件，①正确；对于②，x =0时x 2=0，所以该事件不是不可能事件，②错误；对于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以该事件是随机事件，③错误；对于④，“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”，发生与否是随机的，所以该事件是随机事件，④正确．故正确命题有2个.故选：C ．【例1-2】（2020·全国高一）袋子中有4个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，从中随机摸出一个球，记录球的编号，先后摸两次.（1）若第一次摸出的球不放回，写出试验的样本空间； （2）若第一次摸出的球放回，写出试验的样本空间. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】m 表示第一次摸出球的编号，用n 表示第二次摸出球的编号，则样本点可用(),m n ，{},1,2,3,4m n ∈表示.（1）若第一次摸出的球不放回，则m n ≠，此时的样本空间可表示为()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3Ω=，共有12个样本点.（2）若第一次摸出的球放回，则m ，n 可以相同.此时试验的样本空间可表示为(){}{},,1,2,3,4m n m n Ω=∈，共有16个样本点.【一隅三反】1．（2021·全国高一课时练习）下列事件中，随机事件的个数为（）①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；②13个人中至少有两个人生肖相同；③某人买彩票中奖；④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以①是随机事件；一年只有12生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同是必然事件，所以②是必然事件；购买彩票号码是随机的，某人买彩票中奖也是随机的，所以③是随机事件；在标准大气压下，水加热到100℃才会沸腾.故④是不可能事件故选：B2．（多选）（2020·全国高一单元测试）下列事件中，是随机事件的是（）A．2021年8月18日，北京市不下雨B．在标准大气压下，水在4C时结冰C．从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签x≥D．若x∈R，则20【答案】AC【解析】A选项与C选项为随机事件，B为不可能事件，D为必然事件．故选：AC．3．（2020·全国高一课时练习）写出下列各随机试验的样本空间：（1）采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；（2）采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；（3）随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；（4）射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；（5）射击靶3次，观察中靶的次数.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析（4）详见解析（5）详见解析【解析】解：（1）一名同学的性别有两种可能结果：男或女.故该试验的样本室间可以表示为Ω={男，女}；（2）一名同学的血型有四种可能结果：A型、B型、AB型、O型.故该试验的样本空间可表示为{}Ω=；A B AB O,,,（3）每个小孩的性别有男或女两种可能，两个小孩的性别情况有四种可能，故该试验的样本空间可表示为{（男、男），（男，女），（女，男），（女，女）}；（4）每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能，用1表示中靶，用0表示脱靶，该试验的样本空间可表示为()()()()()()()(){}0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1N =；（5）射击3次，中靶的次数可能是0，1，2，3，故该试验的样本空间可以表示为{}0,1,2,3N =. 4．（2021·全国高一）写出下列试验的样本空间：（1）设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回逐个取出，直到白球全部取出为止，记录取球的次数； （2）甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）从中不放回逐个取出，直到白球全部取出为止，则取球次数为{}4,5,6,7,8,9,10N =； （2）由抽签确定演讲的顺序，抽签的结果即样本空间可表示为{（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲）}.考法二 事件的关系与运算【例2-1】（2020·全国高一课时练习）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球.设事件A =“1个红球和2个白球”，事件B =“2个红球和1个白球”，事件C =“至少有1个红球”，事件D “既有红球又有白球”，则：（1）事件D 与事件,A B 是什么关系？（2）事件C 与事件A 的交事件与事件A 是什么关系？【答案】（1）D A B =⋃.（2）事件C 与事件A 的交事件与事件A 相等.【解析】（1）对于事件D ,可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球,故D A B =⋃. （2）对于事件C ,可能的结果为1个红球和2个白球,2个红球和1个白球或3个红球,故C A A ⋂=,所以事件C 与事件A 的交事件与事件A 相等.【例2-2】（2021·全国高一）掷一枚骰子，给出下列事件：A =“出现奇数点”，B =“出现偶数点”，C =“出现的点数小于3”. 求：（1）AB ，BC ⋂；（2）A B ，B C ⋃.【答案】（1）A B =∅，B C ⋂=“出现2点”.（2）AB =“出现1，2，3，4，5或6点”，BC =∪“出现1，2，4或6点”.【解析】由题意知：A =“出现奇数点”{}1,3,5=，B =“出现偶数点”{}2,4,6=，C =“出现的点数小于3”{}1,2=，（1）A B =∅，{}2B C ⋂==出现2点”；（2）{}1,2,3,4,5,6AB ==“出现1，2，3，4，5或6点”，{}1,2,4,6B C ⋃==“出现1，2，4或6点”.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件A =“三个圆的颜色全不相同”，事件B =“三个圆的颜色不全相同”，事件C =“其中两个圆的颜色相同”，事件D “三个圆的颜色全相同”.（1）写出试验的样本空间.（2）用集合的形式表示事件,,,A B C D .（3）事件B 与事件C 有什么关系？事件A 和B 的交事件与事件D 有什么关系？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）事件B 包含事件C ，事件A 和B 的交事件与事件D 互斥.见解析 【解析】(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.则试验的样本空间Ω={（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）,（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}. (2)A ={（红,黄,蓝）}B ={（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}C ={（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）}.D {（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）}.(3)由(2)可知事件B 包含事件C ,事件A 和B 的交事件与事件D 互斥.2．（2021·全国高一）记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件A ，B ，C ，D ，指出下列事件的含义： （1）AB C ；（2）B C ∩； （3）B C D ∪∪.【答案】（1）射中10环或9环或8环. （2）射中9环.（3）射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.【解析】（1）A=射中10环，B=射中9环，C=射中8环，∴A B C=∪∪射中10环或9环或8环. （2）C=射中8环，∴C=射中环数不是8环，则B C=∩射中9环.（3）B C D=∪∪射中9环或8环或7环，则B C D=∪∪射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.3．（2021·全国高一）在试验“甲、乙、丙三人各射击1次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“甲中靶”，事件B表示随机事件“乙中靶”，事件C表示随机事件“丙中靶”，试用A，B，C的运算表示下列随机事件：（1）甲未中靶；（2）甲中靶而乙未中靶；（3）三人中只有丙未中靶；（4）三人中至少有一人中靶；（5）三人中恰有两人中靶.【答案】（1）A（2）AB（3）ABC（4）ABC（5）()()() ABC ABC ABC【解析】（1）甲未中靶：A.（2）甲中靶而乙未中靶：A B⋂,即AB.（3）三人中只有丙未中靶：A B C,即ABC.（4）三人中至少有一人中靶ABC.（5）三人中恰有两人中靶()()()ABC ABC ABC.考法三互斥与对立【例3】（多选）（2020·全国高一课时练习）袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（）A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个C．至少一个白球与至多有一个红球D．至少有一个红球与两个白球【答案】BD【解析】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B 中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B 成立； 在C 中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C 不成立；在D 中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D 成立； 故选：BD. 【一隅三反】1．（多选）（2020·全国高一课时练习）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ） A ．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B ．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件 C ．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件 D ．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 【答案】BD【解析】对于A ，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A 错误 对于B ，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B 正确 对于C ，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C 错误对于D ，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D 正确 故选：BD2．（多选）（2020·全国高一课时练习）下面结论正确的是（ ） A ．若()()1P A P B +=，则事件A 与B 是互为对立事件 B ．若()()()P AB P A P B =，则事件A 与B 是相互独立事件 C ．若事件A 与B 是互斥事件，则A 与B 也是互斥事件 D ．若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与B 也是相互独立事件 【答案】BD【解析】对于A 选项，要使,A B 为对立事件，除()()1P A P B +=还需满足()0P AB =，也即,A B 不能同时发生，所以A 选项错误.对于C 选项，A 包含于B ，所以A 与B 不是互斥事件，所以C 选项错误. 对于B 选项，根据相互独立事件的知识可知，B 选项正确. 对于D 选项，根据相互独立事件的知识可知，D 选项正确.故选：BD3．（2020·全国高一课时练习）在试验E “连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件j A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j ，事件B 表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，事件C 表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，（1）试用样本点表示事件AB 与A B ；（2）试判断事件A 与B ，A 与C ，B 与C 是否为互斥事件； （3）试用事件j A 表示随机事件A .【答案】（1）详见解析（2）事件A 与事件B ，事件A 与事件C 不是互斥事件，事件B 与事件C 是互斥事件.（3）123456A A A A A A A =【解析】由题意可知试验E 的样本空间为Ω=()()()()()(){1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6, ()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6, ()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6, ()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,()()()()()()}6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6.（1）因为事件A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,所以满足条件的样本点有()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,即()()()()()(){}1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6A =.因为事件B 表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”,所以满足条件的样本点有()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1,即()()()()(){}1,5,2,4,3,3,4,2,5,1B =.所以(){}1,5AB =,()()()()()()()()()(){}1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,4,3,3,4,2,5,1A B =.（2）因为事件C 表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”,所以()()(){}1,4,2,5,3,6C =. 因为(){}1,5AB =≠∅,(){}1,4AC =≠∅,B C =∅,所以事件A 与事件B ,事件A 与事件C 不是互斥事件,事件B 与事件C 是互斥事件.（3）因为事件j A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j ”,所以(){}(){}(){}(){}(){}(){}1234561,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6A A A A A A ======, 所以123456A A A A A A A =.考法四 古典概型【例4】（2020·全国高一课时练习）在一次语文考试的阅卷过程中，两位老师对一篇作文打出的分数都是两位的正整数，且十位数字都是5，则两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于1的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.2C ．0.28D ．0.32【答案】C【解析】用(),x y 表示两位老师的打分，则(),x y 的所有可能情况有1010100⨯=种. 当50x =时，y 可取50，51，共2种；当51x =，52，53，54，55，56，57，58时，y 的取值均有3种； 当59x =时，y 可取58，59，共2种；综上可得两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于1的情况有28种， 由古典概型的概率公式可得所求概率280.28100P ==故选：C. 【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）从数字1，2，3，4中任取两个数，则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率为（ ） A ．14B ．12C ．13D ．23【答案】D【解析】基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6个，其中符合条件的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,4)共4个，所求概率为4263P ==.故选：D 2．（2021·全国高一）把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ） A ．23B ．13C ．35D ．14【答案】B【解析】分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()12,3,4，()12,4,3，()3,12,4，()4,12,3，()3,4,12，()4,3,12，有6种分法；第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()1,23,4，()4,23,1，()23,1,4，()23,4,1，()1,4,23，()4,1,23，有6种分法；第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()1,2,34，()2,1,34，()34,1,2，()34,2,1，()1,34,2，()2,34,1，有6种分法；共有18种分法， 则2，3连号的概率为61183P ==. 故选：B .3．（2021·全国高一）为了更好了解某年入伍新兵的身高情况，解放军某部随机抽取100名新兵，分别对他们的身高进行了测量，并将测量数据分为以下五组：[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]进行整理，如下表所示：（1）在下面的图纸中，画出频率分布直方图；（2）若在第4，5两组中，用分层抽样的方法抽取6名新兵，再从这6名新兵中随机抽取2名新兵进行体能测试，求这2名新兵来自不同组的概率． 【答案】（1）直方图见解析；（2）815. 【解析】（1）频率分布直方图如下图所示：（2）因为第4，5组共有30名新兵，所以利用分层抽样从中抽取6名，每组应抽取的人数分别为： 4组：206430⨯=名，第5组：106230⨯=名， 设第4组抽取的4名新兵分别为1A ，2A ，3A ，4A ，第5组抽取的2名新兵分别为1B ，2B ．从这6名新兵中随机抽取2名新兵，有以下15种情况：12{,}A A ，13{,}A A ，14{,}A A ，11{,}A B ，12{,}A B ，23{,}A A ，24{,}A A ，21{,}A B ，22{,}A B ，34{,}A A ，31{,}A B ，32{,}A B ，41{,}A B ，42{,}A B ，12{,}B B ，这2名新兵来自不同组的情况有以下8种：11{,}A B ，12{,}A B ，21{,}A B ，22{,}A B ，31{,}A B ，32{,}A B ，41{,}A B ，42{,}A B ，故所求的概率P =815． 考法五 概率的基本性质【例5-1】（2020·全国高一课时练习）老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指（ ）A ．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂B ．老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道C ．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%D ．以上解释都不对 【答案】C【解析】概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%.故选：C 【例5-2】（2020·全国高一课时练习）在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M （男）、F （女））及年级（1G （高一）、2G （高二）、3G （高三））分类统计的人数如下表：若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：()P M =____________，()P F =____________，()P M F =____________，()P MF =____________，()1P G =____________，()2P MG =____________，()3P FG =____________【答案】0.52 0.48 1 0 0.35 0.76 0.07 【解析】()()123182014520.52100100100100P M P MG MG MG ==++==； ()()10.48P F P M =-=； ()1P MF =；()()0P MF P =∅=；()()11118170.35100100P G P MG FG ==+=； ()()()()2220.520.440.200.76P MG P M P G P MG =+-=+-=；()370.07100P FG == 故答案为：（1）0.52；（2）0.48；（3）1；（4）0；（5）0.35；（6）0.76；（7）0.07 【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为110.那么以下理解正确的是（ ） A ．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次 B ．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖 C ．某顾客消费210元，一定不能中奖 D ．某顾客消费1000元，至少能中奖1次 【答案】B 【解析】中奖概率110表示每一次抽奖中奖的可能性都是110，故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖， 故选：B.2．（2020·全国高一课时练习）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率； （1）命中10环；（2）命中的环数大于8环； （3）命中的环数小于9环； （4）命中的环数不超过5环.【答案】（1）0.2 （2）0.5 （3）0.5 （4）0 【解析】用x 表示命中的环数，由频率表可得. （1）(10)0.2P x ==；（2）(8)P x P >=（9x =或10x =）(9)(10)0.30.20.5P x P x ==+==+=； （3）(9)(6)(7)(8)0.10.150.250.5P x P x P x P x <==+=+==++=； （4）(5)1(6)1(0.10.150.250.30.2)0P x P x =-=-++++=.3．（2021·全国高一课时练习）判断下列说法是否正确，若错误，请举出反例 （1）互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件； （2）互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；（3）事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大；（4）事件A 与事件B 同时发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率小.【答案】（1）错误，举例见解析；（2）正确；（3）错误，举例见解析；（4）错误，举例见解析. 【解析】（1）错误；（2）正确；（3）错误：（4）错误. 设某试验的样本空间为{1,2,3,4}Ω=.（1）中反例，取{1},{2}A B ==，则A ,B 互斥但不对立. （2）由互斥事件与对立事件的定义可知(2)正确（3）中反例，取{1},A B ==∅,则1()()4P A B P A ⋃==1()()()4P AB AB P AB P A ⋃===. （4）中反例，取{1},{1,2}A B ==,则1()()4P AB P A ==,1()()4P AB AB P AB ⋃==.4．（2020·全国高一课时练习）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： （1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶； （4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立 由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====. （1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义 得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯= （2）“恰好有一人中靶” ABAB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得()()()P ABAB P AB P AB=+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯=（3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”AB ABAB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥,所以()P ABAB AB()()()P AB P AB P AB =++ ()()P AB P ABAB =+0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶” 根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=5．（2020·全国高一课时练习）已知n 是一个三位正整数，若n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如135，256，345等）现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析.【解析】（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个.分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.（2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竟赛”为事件A ，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A 含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个. 由古典概型计算公式，得13()20A P A ==事件含有的基本事件的个数试验所有基本事件的总数，又A 与B 对立，所以137()1()12020P B P A =-=-=， 所以()()P A P B >.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.。
新教材高中数学第十章有限样本空间与随机事件学案新人教A版必修第二册(含答案)
新教材高中数学学案新人教A版必修第二册：10.1.1 有限样本空间与随机事件课程标准1.理解随机试验、样本点与样本空间，会写试验的样本空间．2．了解随机事件的有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一随机试验1．随机试验：我们把对________的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E来表示．2．随机试验的特点：(1)试验可以在相同条件下________进行；(2)试验的所有可能结果是________的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．要点二样本点与样本空间❶我们把随机试验E的每个可能的________称为__________，全体样本点的集合称为试验E的________，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为________．要点三随机事件1．随机事件(1)随机事件：我们将样本空间Ω的________称为随机事件❷，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为________．(2)表示：随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．(3)在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．2．必然事件和不可能事件❸(1)必然事件：Ω作为自身的________，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为________．(2)不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为________．助学批注批注❶样本点与样本空间的关系是元素与集合的关系．样本空间中的元素可以是数，也可以不是数．批注❷随机事件在一定条件下可能发生，也可能不发生．批注❸必然事件一定会发生，不可能事件一定不会发生．夯实双基1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对于随机试验，当在同样的条件下重复进行试验时，每次试验的所有可能结果是不知道的．( )(2)试验的样本点的个数是有限的．( )(3)随机试验的样本空间是一个集合．( )(4)“某人射击一次，中靶”是随机事件．( )2．下列事件中，是随机事件的是( )A．守株待兔 B．瓮中捉鳖C．水中捞月 D．水滴石穿3．体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同，分别标有号码0，1，2， (9)球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球．记“摇到的球的号码小于6”为事件A，则事件A包含的样本点的个数为( )A．4 B．5C．6 D．74．抛掷二枚硬币，面朝上的样本空间有________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1事件类型的判断例1 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件．(1)如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a；(2)从分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10张号签中任取一张，得到4号签；(3)某人投篮5次，投中6次；(4)在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时沸腾．题后师说判断一个事件是哪类事件要看两点一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．巩固训练1 有两个事件，事件A：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件B：367人中至少有2人生日相同．下列说法正确的是( )A．事件A、B都是随机事件B．事件A、B都是必然事件C．事件A是随机事件，事件B是必然事件D．事件A是必然事件，事件B是随机事件题型2 确定试验的样本点、样本空间例2 将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用(x，y)表示，其中x表示第一次抛掷出现的点数，y表示第二次抛掷出现的点数，求样本空间中的样本点个数．题后师说求样本点的三种方法巩固训练2 (1)一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球，共有多少个样本点？(2)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况，写出试验的样本空间．题型 3 随机事件的表示例3 试验E：甲、乙两人玩出拳游戏(锤子、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况．设事件A表示随机事件“甲乙平局”；事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；事件C表示随机事件“乙不输”．试用集合表示事件A，B，C.题后师说对于随机事件的表示，应先列出所有的样本点，然后，确定随机事件中含有哪些样本点，这些样本点作为元素表示的集合即为所求．巩固训练3 从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，其中x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字．(1)写出样本空间；(2)写出“第1次取出的数字是2”这一事件的集合表示．10．1.1 有限样本空间与随机事件新知初探·课前预习[教材要点]要点一1．随机现象2．(1)重复(2)明确可知要点二基本结果样本点样本空间有限样本空间要点三1．(1)子集基本事件2．(1)子集必然事件(2)不可能事件[夯实双基]1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．解析：守株待兔是随机事件，故A选项正确；瓮中捉鳖是必然事件，故B选项错误；水中捞月是不可能事件，故C选项错误；水滴石穿是必然事件，故D选项错误．故选A.答案：A3．解析：由题意可知，事件A＝{0，1，2，3，4，5}，共6个样本点．故选C.答案：C4．解析：每枚硬币都有可能正面朝上、反面朝上，则样本空间为{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}．答案：{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}题型探究·课堂解透例1 解析：(1)如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a，是必然事件；(2)从分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10张号签中任取一张，可能得到4号签，也可能是其它号签，故为随机事件；(3)某人投篮5次，投中6次，是不可能事件；(4)在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时是不可能沸腾的，故为不可能事件．巩固训练1 解析：对于事件A，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件A为随机事件；对于事件B，一年有365天或366天，由抽屉原理可知，367人中至少有2人生日相同，事件B为必然事件．故选C.答案：C例2 解析：方法一(列举法) 试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共36个样本点．方法二(树状图法) 一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示，如图所示．由图可知，共36个样本点．方法三(坐标系法) 如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描述的点一一对应．由图可知，样本点个数为36.巩固训练2 解析：(1)用1，2，3表示3个白球，用a，b表示2个黑球，则从袋中一次摸出2个球的不同结果：(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)，所以共10个样本点．(2)如图：设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4，所以样本空间Ω＝{(1，2，3，4)，(1，2，4，3)，(1，3，2，4)，(1，3，4，2)，(1，4，2，3)，(1，4，3，2)，(2，1，3，4)，(2，1，4，3)，(2，3，1，4)，(2，3，4，1)，(2，4，1，3)，(2，4，3，1)，(3，1，2，4)，(3，1，4，2)，(3，2，1，4)，(3，2，4，1)，(3，4，1，2)，(3，4，2，1)，(4，1，2，3)，(4，1，3，2)，(4，2，1，3)，(4，2，3，1)，(4，3，1，2)，(4，3，2，1)}．例3 解析：设锤子为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间E＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}．因为事件A表示随机事件“甲乙平局”，则满足要求的样本点共有3个：(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，∴事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}．事件B表示“甲赢得游戏”，则满足要求的样本点共有3个：(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，∴事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}．因为事件C表示“乙不输”，则满足要求的样本点共有6个，(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)，∴事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}．巩固训练 3 解析：(1)用有序数对(x，y)表示事件，所以Ω＝{(0，1)，(1，0)，(0，2)，(2，0)，(1，2)，(2，1)}.(2)根据题意可知，0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，第一次取出2，则第二次取出的只能是0或1，所以“第1次取出的数字是2”这一事件为{(2，0)，(2，1)}.。
高考数学复习第十章 10.1.1
可能事件；③“明天兰州要下雨”是必然事件；④“从 100 个灯
泡中取出 5 个，5 个都是次品”是随机事件．其中正确命题的序
号是( )
A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．①②
解析：选 C ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个 盒子有一个以上的球”一定发生，是必然事件，①正确；②“当 x 为某一实数时，可使 x2<0”不可能发生，没有哪个实数的平方 小于 0，是不可能事件，②正确；③“明天兰州要下雨”是随机 事件，故③错；④“从 100 个灯泡中取出 5 个，5 个都是次品” 有可能发生，也有可能不发生，是随机事件，故④正确．
解析：选 B 依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为 X，那 么 X＝4 表示的随机试验的样本点是第一枚是 3 点，第二枚是 1 点或第一枚是 1 点，第二枚是 3 点或两枚都是 2 点．故选 B.
2．为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、
航空模型 3 个兴趣小组，小明要选报其中的 2 个，则包含的样本
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上选项均不正确 解析：选 B 从所给的 10 个数中，任取 3 个不同的数，其和 最小为 6.故事件“这 3 个数的和小于 6”为不可能事件，故选 B.
6．给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以
上的球”是必然事件；②“当 x 为某一实数时，可使 x2<0”是不
(2)必然事件
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总
有一个样本点发生，所以 Ω 总会发生，称 Ω 为必然事件． (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称∅为
不可能事件．
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10.1.1 有限样本空间与随机事件
一、选择题
1．下列事件中，是必然事件的是( )
A．长度为3,4,5的三条线段可以构成一个三角形
B．长度为2,3,4的三条线段可以构成一个直角三角形
C．方程x2＋2x＋3＝0有两个不相等的实根
D．函数y＝logax(a>0且a≠1)在定义域上为增函数
解析：A为必然事件，B、C为不可能事件．
答案：A
2．从你班里选取2名同学，代表班级参加学校活动．下面哪个情况是样本点( )
A．2个男生 B．2个女生
C．1男1女 D．以上都有
解析：从班里选2名同学的样本空间为{(男，男)，(女，女)，(男，女)}．
答案：D
3．下列试验能够构成随机事件的是( )
A．掷一次硬币
B．射击一次
C．标准大气压下，火烧至100℃
D．摸彩票中头奖
解析：A、B、C都具有条件，而没说该条件下的结果，D则既有条件又有结果．
答案：D
4．下列四种说法：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
②“当x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件 ③“一个三角形的大边对的角小、小边对
的角大”是必然事件 ④“从100个灯泡(有10个次品)中取出5个，5个都是次品”是随机
事件．其中正确的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：①正确，因为无论怎么放，其中一个盒子的球的个数都不小于2；②正确，因为
无论x为何实数，x2<0均不可能发生；③错误，三角形中大边对大角，所以③是不可能事件；
④正确，因为“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”这件事有可能发
生，也有可能不发生，确实是随机事件．
答案：B
二、填空题
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5．从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个事件是________(填“必
然”，“不可能”或“随机”)事件．
解析：由题意知该事件为必然事件．
答案：必然
6．从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个．
①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品．
以上的样本点是________．
解析：从100个产品(其中2个次品)中任取3个可能结果是：“三个全是正品”，“两
个正品一个次品”，“一个正品两个次品”．
答案：①②③
7．给出下列四个命题：
①集合{x||x|<0}为空集是必然事件；
②y＝f(x)是奇函数，则f(0)＝0是随机事件；
③若loga(x－1)>0，则x>1是必然事件；
④对顶角不相等是不可能事件．
其中正确命题是________．
解析：∵|x|≥0恒成立，∴①正确；
奇函数y＝f(x)只有当x＝0有意义时才有f(0)＝0，
∴②正确；由loga(x－1)>0知，当a>1时，x－1>1即x>2；
当0
答案：①②③④
三、解答题
8．指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件？
(1)如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a.
(2)从分别标有号数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到4号签．
(3)没有水分，种子发芽．
(4)某电话总机在60秒内接到至少15次呼叫．
(5)在标准大气压下，水的温度达到50℃时沸腾．
解析：结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知(1)是必然事件；(3)，(5)是
不可能事件；(2)，(4)是随机事件．
9．某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，
每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．
(1)写出这个试验的所有结果；
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(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．
解析：(1)当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；当x＝3时，y＝1,2,4；当
x
＝4时，y＝1,2,3.因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，
(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．
[尖子生题库]
10．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放
回，连续取两次．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件A；
(3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，请你回答
上述两个问题．
解析：(1)这个试验的所有可能结果Ω＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，b)，(a2，a1)，(b，
a1)，(b，a
2
)}．
(2)A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
(3)①这个试验的所有可能结果Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，
(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}．
②A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．