弹塑性力学应力应变关系

我所认识的应力和应变关系在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。

但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系；几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。

而谈到应力与应变的关系，对于可变形固体，在弹塑性力学中，在外力的作用下，其将发生变形。

变形分为两个阶段，弹性阶段和塑性阶段。

在弹性阶段，发生的弹性变形可以完全恢复，它是一个可逆过程。

此时，应力与应变的关系是一一对应的，是单值函数关系。

而在塑性阶段，所发生的塑性变形是不可以恢复的，是不可逆过程。

相对应的，塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系，不存在一一对应的关系。

我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。

本构关系也称为物理关系，它反应的是可变形材料的固有属性，实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式，也就是我们所说的本构方程。

在说应力与应变的关系之前，先说一下本构关系的相关影响因素，包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。

即，),,(T t f εσ=。

另外，有各种各样的本构系，比如：弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。

简单情况的本构关系：应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。

我们所说的是线性弹性体的应力应变关系，又分为简单应力状态和复杂应力状态。

在简单拉伸情况下，理想弹性材料的应力和应变的关系很简单，就是材料力学中的胡克定律： 。

而在塑性阶段，应力应变之间不再是简单的胡克定律，而是 。

另外，简单拉伸情况下的卸载定律是 。

在后继弹性阶段，也就是卸载后重新加载的材料会继续发生新的塑性变形，在此时的屈服称为后继屈服，相应的屈服点称为后继屈服点。

初始屈服和后继屈服的不同是：第一，应力的数值不一样，后继屈服的应力值更大；第二，屈服点的个数不一样。

初始屈服点只有一个，而后继屈服点会有好多个，则其对应的应力值也会有很多个。

最后，在卸载全部载荷后进行反向加载比如说把拉伸改成压缩，此时会产生Bauschinger 效应。

对于该效应，说明材料在某一个方向的硬化将引起反方向的软化。

也就是说，各向同性材料产生塑性变形之后会变成各向异性。

此时的弹性阶段的卸载荷压缩可表示： 。

总结一下材料弹塑性行为的特殊规律大致有以下三点：一是在弹性阶段应力应变的关系是线性的，在塑性阶段它们之间的关系是非线性的；二是应力应变在εσE=)(εσΦ=εσ∆=∆E -+=s s σσ弹性阶段的存在单值对应关系，而在塑性阶段，它们之间的关系与加载路径或者变形历史有关，是非线性的；对于简单应力状态下弹性阶段与塑性阶段的界限用屈服点来判别，初始屈服 ，后继屈服 。

理想化模型：在弹塑性力学中，应力应变常用的简化模型有：理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型和幂强化模型等。

下面为上述几种模型的示意图：理想线弹性模型 理想刚塑性模型线性强化刚塑性模型 理想弹塑性模型s σσ='=s σσ线性强化弹塑性模型 幂强化模型应力应变关系的一般准则：弹性体在外力作用下，不可避免的产生变形，同时外力的势能也要产生变化。

根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界吸收或释放热量。

外力在变形过程中所做的功将全部转化为内能存储在弹性体内部。

这种贮存在弹性体内部的能量是因变形而获得的，故称之为弹性应变能。

根据能量关系，可以得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。

应变能函数是应变状态的单值函数，仅取决于应变状态的起始状态，而与最终状态无关。

由于应变能函数的存在，根据弹性体的应变能函数，如果将应力分量表达为应变分量的函数，可以得到应力和应变关系的一般表达式，即格林公式。

也就是弹性体的应力分量等于应变能对相应应变分量的偏导数：ijij ij u εεσ∂∂=)(线弹性体本构关系：首先是线弹性体的判定：（1）完全弹性，也就是说在任意时刻，应力应变是一一对应的。

（2）无处应力，即物体处于自然地状态下。

（3）小应变。

满足上述三个条件的属于线弹性体。

对线弹性体，把单向应力状态下得胡克定律推广到三维应力状态下。

其一般形式为：111213141516x x y z xy yz zxC C C C C C σεεεγγγ=+++++212223242526y x y z xy yz zx C C C C C C σεεεγγγ=+++++ 313233343536z x y z xy yz zxC C C C C C σεεεγγγ=+++++ 414243444546xy x y z xy yz zx C C C C C C τεεεγγγ=+++++ 515253545556yz x y z xy yz zx C C C C C C τεεεγγγ=+++++ 616263646566zx x y z xy yz zx C C C C C C τεεεγγγ=+++++该式可简写为：其中，ijkl C 是一个三维四阶张量，称为弹性张量。

由于{}{}{}199919⨯⨯⨯=kl ijkl ij C εσ ，所以独立的分量有81个。

由于应力张量和应变张量的对称性，弹性张量具有对称性： 及 ，所以在弹性张量中，独立的分量只有36个。

再从弹性矩阵的对称性出发，实际上的独立分量只有21个。

其中，ijkl C 是材料的弹性常数，它与弹性体内点的坐标、温度以及方向有关。

一些特殊情况下的线弹性本构关系：（1）极端各向异性的线弹性体，独立的材料常数有21个； （2）具有一个弹性对称面的线弹性体，独立的材料常数有13个； （3）正交各向异性的线弹性体，独立的材料常数有9个； （4）横观各向同性的线弹性体，独立的材料常数有5个； （5）各向同性的线弹性体，独立的材料常数有2个。

各向同性体本构关系：各向同性体是指材料的某点沿任意方向的力学性能相同，材料常数与方向无关。

1、各向同性体本构关系（1）应力表示应变的广义胡克定律，用应力求应变； （2）应变表示应力的广义胡克定律，用应变求应力； （3）体积胡克定律：ij ijkl klC σε==ijkl ijlkC C =ijkl jiklC C一点的体积应变由平均应力引起并与平均应力成正比。

或其中， ，（4）应力强度、应变强度表示的胡克定律：231232221)()()(21σσσσσσσ-+-+-=i 应力强度（相当应力） 231232221)()()(32εεεεεεε-+-+-=i 应变强度（相当应变） （5）球张量与偏张量表示的胡克定律：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=ij ij ii ii S G E v 2121εσε 广义胡克定律对任意正交坐标系都能成立。

2、各向同性体本构关系的特点正应力引起线应变，剪应力引起剪应变。

（1）应力主轴与应变主轴是重合的； （2）体积应力与体积应变成比例； （3）应力强度与应变强度成比例； （4）应力偏量与应变偏量成比例。

3、常用的工程弹性常数常用的工程弹性常数有杨氏弹性模量E 、泊松比v 、拉梅常数λ、μ、剪切弹性模量G 、体积弹性模量K 等。

其中，λ、μ、G 、K 分别满足：)21)(1(v v Ev -+=λ、)1(2v E +=μ、)1(2v EG +==μ、Θ-=E v e 21Ke m σ=zy x σσσ++=Θ33Θ=++=zy x m σσσσii E εσ=)21(3v EK -=。

屈服条件：材料从自然状态受载变形，由弹性变为塑性的过程中必定会经历一个屈服过程，也就是区分材料处于弹性阶段还是塑性阶段的一个判别方式。

1.初始屈服函数及初始屈服曲面的形式在简单应力状态下，初始屈服函数为： ，其中σ与应力分量有关，s σ与材料常数有关。

在复杂应力状态下，初始屈服函数为：C f j i =)(σ，其中j i σ与应力分量有关，C 与屈服有关的材料常数。

如果材料是各向同性的，屈服函数与坐标的选取无关，它可写成应力张量不变量的函数 或写成主应力的函数 通过该假设，屈服面由六维空间中的一个超曲面简化为三维主应力空间中的一个曲面；如果平均应力不影响塑性状态，则屈服函数只应与应力偏量的不变量有关，即 或者写成只是应力偏量主值的函数在主应力空间中，屈服面必定是一个垂直与π平面的等截面的柱面，它的母线与矢量ON 平行。

屈服面是一个等截面的柱面，它在任意垂直与ON 的平面上的投影曲线都是一样的，研究这个柱面的特征，只要研究它在π平面上的投影曲线即可，这条投影曲线称为屈服曲线。

关于屈服曲线有以下几个特点：一是它是包围原点的封闭曲线；二是它是外凸的；三是它关于三个坐标轴对称；四是它与垂线均匀对称。

s σσ=123(,,)0f I I I =123(,,)0f σσσ=''23(,)0f J J =123(,,)0f S S S =max k τ=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=ij ij ij ij S G e E v 2121σε)1(2μ+=EG ⎪⎩⎪⎨⎧==ij ijiji i ij GSS e 323σσε2.常用的两个屈服条件（1）Tresca 屈服条件Tresca 屈服条件是指最大剪应力达到某一极限值时，材料发生屈服。

其中k 是和屈服有关的材料常数，可由单向拉伸实验或纯剪切实验确定。

（2）Mises 屈服条件Mises 屈服条件是指形状必能达到某一值时，材料开始发生屈服。

22132322212)()()(C W f =-+-+-=σσσσσσ，C 是和材料性质有关的一个常数。

两个屈服条件的特点分别为：对于Tresca 屈服条件：其没有反应中间主应力对屈服的影响，分段线性，不光滑，在主应力大小和顺序都已知时应用方便；对于Mises 屈服条件：能够很好地反应三个主应力的影响，非线性，光滑，而且与实验结果的吻合度很高。

3.后继屈服函数及后继屈服面的形式后继屈服是指固体由后继弹性状态屈服进入塑性状态，在简单应力状态下， ，σ与应力分量有关，'s σ非材料常数，与塑性变形历史有关，且比初始屈服极限大。

在复杂应力状态下，与瞬时应力状态、变形历史有关。

后继屈服函数为：0),(=ΦK j i σ，其中j i σ与应力分量有关，K 是记录变形历史的常数。

对于简单应力状态下的后继屈服的几何形式是一排点，在复杂应力下的后继屈服几何形式是一族与K 即变形历史有关的曲面。

塑性本构关系：在谈到塑性本构关系时，要区分加载和卸载过程。

各种描述塑性变形规律的理论大致可以分为两大类，即增量理论和全量理论。

增量理论建立了塑性状态下塑性应变增量与应力及应力增量之间的关系。