学而思 小升初专项训练_行程篇(2) 教师版
2024年北师大版六年级下册数学小升初分班考专题：行程问题(含答案)
2024年北师大版六年级下册数学小升初分班考专题：行程问题一、单选题1．一艘客轮在静水中航行，每小时航行13千米，如果这艘客轮在水速为7千米/时的水中航行140千米，那么需要（ ）小时。
A．5B．6C．7D．82．电子猫在周长240米的环形跑道上跑了一圈，前一半时间每秒是跑5米，后一半的时间每秒跑3米，电子猫后120米用了（ ）秒．A．40 B．25 C．30 D．363．大毛骑车上学，去时每小时行18千米，回来时每小时行12千米，则大毛往返平均速度为（ ）千米/时．A．108B．14.4C．15D．16.24．甲乙两地间的铁路长480千米，客车和货车同时从两地相对开出，经过4小时相遇．已知客车每小时行70千米，货车每小时行x千米．不正确的方程是（ ）A．70×4+4x＝480B．4x＝480﹣70C．70+x＝480÷4D．（70+x）×4＝4805．在比例尺是1︰3000000的地图上，测得A、B两港之间的距离为12 cm。
一艘货轮于7时出发，以每小时24 km的速度从A港驶向B港，到达B港的时间是（ ）。
A．20时B．21时C．22时D．23时6．一辆汽车前2小时行了75千米，后2.5小时平均每小时行42千米，这辆汽车平均每小时行多少千米？下面算式中正确的是（ ）。
A．（75÷2+42）÷2B．（75+42×2.5）÷（2+2.5）C．（75+42）÷（2+2.5）D．（75×2+42×2.5）÷（2+2.5）二、填空题7．50辆军车排成一列，以300米/分的速度通过一座桥，前后两车之间保持2米距离，桥长200米，每辆车长5米，全部车通过桥需 秒． 8．一列火车经过一个路标要5秒，通过一座300米的山洞要20秒，经过一座800米的大桥要 秒。
9．甲、乙两条船，在同一条河上相距210千米．若两船相向而行，则2小时相遇；若同向而行，则14小时甲赶上乙，则甲船的速度为 ．10．两地相距280千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向出发，2时后相遇。
5小升初专项训练_行程篇(2)
第五讲小升初专项训练行程篇（二）一、小升初考试热点及命题方向多次相遇的行程问题是近两年来各个重点中学非常喜爱的出题角度，这类题型往往需要学生结合六年级所学习的比例知识和分数百分数来分析题干条件，在刚刚结束的06年小升初选拔考试中，诸如人大附中，首师附中，西城四中，东城二中和五中都涉及了这一类题型，希望同学们扎实掌握。
二、基本公式【复杂的行程】1、多次相遇问题；2、环形行程问题；3、运用比例、方程等解复杂的题；4、猎狗追兔5、电梯行程问题。
三、典型例题解析1 直线型的多次相遇问题（1）：学学和思思两个小朋友早上起来锻炼身体，两人分别从一条笔直的公路的两端甲乙两地出发，并且往返于两地之间，设甲乙全长为1，那么他们第一次，第二次，第三次，……第N次相遇两人的路程和分别为1，3，5，……，2N-1。
（奇数列）（2）：学学和思思两个小朋友早上起来锻炼身体，两人分别从一条笔直的公路的同端甲地出发，并且往返于两地之间，设甲乙全长为1，那么他们第一次，第二次，第三次，……第N次相遇两人的路程和分别为2，4，6，……，2N。
（偶数列）并且往返于两地之间，学学骑车，思思步行，设甲乙全长为1，那么学学第一次，第二次，第三次，……第N次追上思思两人的路程差分别为1，3，5，……，2N-1。
（奇数列）（4）学学和思思两个小朋友早上起来锻炼身体，两人分别从一条笔直的公路的同端甲地出发，并且往返于两地之间，设甲乙全长为1，那么学学第一次，第二次，第三次，……第N次追上思思两人的路程差分别为2，4，6，……，2N。
（偶数列）总结为如下规律：专题一、【多次相遇与追击】由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多次相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．【预备题】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300103000⨯=米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了3.5300014003.54⨯=+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点．【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【解析】17板块一 运用倍比关系解多次相遇问题【例1】 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地 方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是 8千米，这时是几点几分？【解析】画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。
小升初专题5行程二(教师版,含例题解析作业测试卷及答案)
小升初专题五行程二三、基本公式【基本公式】：路程＝速度×时间【基本类型】相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程；追及问题：速度差×追及时间＝路程差；流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2（也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个）其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏；【复杂的行程】1、多次相遇问题；2、环形行程问题；3、运用比例、方程等解复杂的题；例题1 直线型的多次相遇问题如果甲乙从A，B两点出发，甲乙第n次迎面相遇时，路程和为全长的2n-1倍，而此时甲走的路程也是第一次相遇时甲走的路程的2n-1倍（乙也是如此）。
请自己总结追及，以及从同一起点出发的情况。
【例1】（★★）湖中有A，B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。
两人分别从A，B两岛同时出发，他们第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400米。
问：两岛相距多远？【解】从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成1个全长，从起点到第二次迎面相遇地点，两人共同完成3个全长，此时甲走的路程也为第一次相遇地点的3倍。
画图可知，由3倍关系得到：A，B两岛的距离为 700×3－400=1700米【例2】（★★★）甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，乙的速度是甲的32,二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回。
已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B两地相距＿＿＿千米。
总结：若两人走的一个全程中甲走1份M米，则两人走3个全程中甲就走3份M米。
【来源】北京市第一届“迎春杯”初赛第二题第5题【解】将AC作为3份，则CB是2份第一次相遇，甲、乙共走一个AB，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB，因此，乙应走CB的2倍，即4份，从而AD是1份，DC是2份（＝3－1）。
小升初第4讲行程问题二(含答案)
2020小升初专项训练班讲义第四讲行程问题（二）测试卷1 '05^人大附川^^33）咖图，ABC 宾■牛辿罠为6米的恠1幼龟道-申玩具斗賦caj 中出川览逆时计行进.粘果芮乍第-;丸ffl 谴恰軒是在AfF 辰盹时针行比・i 甕症毘每抄 S!里卅.乙玩冀忙从B 点”求乙莊町秒走多少輕米72 f06年需申昭屮^；题）已如屮车連嗖为fiHMN90 TX.乙車建度;MtH'ii 』60『来, 在違待Cfe 时乙半比甲卡早列 10甘钟1胡：天甲乙井别从 地时屮怕比乙乍Y 创1牛半＜Mfb 那么 AB 刊离时参少？3 （06年卜一屮学甫S ）甲、乙，丙二人:卜厅的連度分别趙J W 分钟甲壷 90牧+乙疋 乙从该t 二曲的束头同时|时屋柑向河廿，甲、乙相遇后恰好 来.4 （06不曲减取验寿題）叩乙两人在 A B 两地何往理歆步.甲从 A.乙W B 冋吋出垃：第挟Wifl 点IT B i!t eo 来，'2瓜A^t 返；回时走r 10来第二欲耳甲扌口遇.A, B 川斗娄少来?5 （05年首师大附考題）屮・乙朗人世■糸检1fX ）；K 的氏殆上来回跑弘，甲时迪度 3味/眇・乙的速设2劇杪U 如渠他帕制时分别从程路的阿鼎岀毎为他1门跑r10甘钟民共相踞名少次？tt4DC乙―屮乙帯乍分划从A.B M 齟同时旳发*11向rfufj ,75 *・丙也SO 甲、丙从某粒如的a 虫、 4分钟£、内棚遇.那麽迟基Kth 的怪度圧【w 挣塞】1 【解】刚年第 2次WJfl 的対候，甲虐的&«为 6X5-30 JK ，乙定的韭离为 6X5*3»33*所以两车連度比为10： 1K W 为甲每秒走5順米-所以乙每抄走 55丿单来•2 [Wli ««可知某一个人到 C 点时何内•第一次卬走的和51二次甲走的ft 程和为一个金《还菱 9QX 10/60=15千米，第一次乙老的和邹二次乙走的踣《和为-个全积还绘 60X1.5=90千米•而速度比为 ®2：这样我们町以知逍甲走的路程就是：(9015)-H ( 3-2 ) X 3=215.所以全禅«是 215+15=230 米・3 【解】：叩.乙wa 茁 4分钟乙•丙相遇・说朝叩.乙郴遇时乙、《还笫 4分钟的路W.即还菱 4X(75+60)・540米；rt 这540米也是甲、乙相遇时间卑屮.丙的路程差，侨以甲■乙相遇 =540< 90-60) ・18分伸.所以长街K =18X ( 90+75)・2970米・4 【解h “第-次相a 点肥 Btt60 X" jftMie 乙龙了 litr 3个全程，一个全«里乙左r 60,则三个全«里乙龙r 可以发现乙走的賂—个令稈老了 10米.所以 5 【解】10 分神构人共ffif ( 3+2) X 60X10=3000 X 3000 4-100=30 个全锂•我訂如道两人同时从rt 地相向而行•他们总是在詣ft 个全昱时郴遇(不包括ia t) r 3、5. 7. •・29K 15次・60米和q 相遇，根<^总结・苗次相遇两人总丿〔 3X6O«18O 第一次相a 越AMMO*. A. Bffi 审=180-10=170 米•-、小升初韦试郑点於命題方向行捏树眩堆历年小斤也的占试醴H 各学检郝把打程当压轴題处S’型兄亍牧毘fj 程的舐现程度+ dj J4j ，程也車身世于就很1^- 憐唱罢样-变优食窑T 所M 对学生来说牡理舉很头烬- 血这也是学韦昶的匝点.这可以花竹休现学牛对®[lW5＞Wffe 力.二、2020考点预测2020年的小升初将继续以填空和大题形式考察行程，命题的热点在于相遇和追击的综合题型，以及环形跑道上的二次相遇问题，注意这类题型多运用比例关系解题较为便捷【址4^公式】：骼程=谜度＞：时创 【綁本娄型J相遇闷建：運度用K 和语讯间匚郴遇册｛血 追膻1”]题=谨度违X 追【七时间二路程莘：流水I 诃題T 娄®是抵住水連对追地和闸遇的时间不产宅储响】 顒木連哎-册堆+4＜速 逆小速咬二®M -木速靜水谨嗟=（鹼减連度十迎朮速度）*2 【也W 足顺木理度.逆水產哎、裾速・水谨It 他if.ijgg ：利川柑应划识解按，比如和筈莎恪Miiil 厂 E 粗甜的苻科1 r A ；拽栩JS 阳】a ；N 址出訂■程问理；3.运用比制、方F?等翳篁倉的世;如果屮乙从 A 0仙占山戻，I 卩乙®n 次迎血*11期时，珞程利为全丘前 N 曲 幽'此时I 卩也的樂用他是第一试用■^时甲走的蹄程的 2n-i 倍t 乙也是如此）.息怙:?：两人4_的 牛*輕叩卩止 1粉M1C 则腐人走3「全程中屮就止 3倍咏.请口 12总蛤逍业.垠^^^从同-起点由发的悄况4【例1] ** 湖中肓 电B 两岛，纳*乙-人都翌住两岛何游，个来回.神人井削从 九B 两的同时肥垃.他怕涓一次制遇时琢A 岛700 MC.帥；次《遇时肺 B,鸟400采a 问I 两岛桶㈱:苕远水速="Ci 水速度一连水連嗖》三24卜审.屮只莊冇 2个就可来力轴 2个》四、班型例趣解折公式需芈记 曲腿冇偽心T【解]从绘点到第一次迎面相a 地点.榭人共同完成1个全长，从«点到第二次遇地点.药人共同龙成 3个全长•此时屮疋的路《也为第一汝相遇地点的3倍・fiW 町知・由 3倍关系得到： A离为 700 X 3-400=1700米【例2J (★★★)甲.乙-人分别从A. BiWAhWftlHiftjtn 乙的迩虞是甲的甲到Btft.乙到A 地后立即fi 冋.已知二人第二次相遇的地点距第一次相«的地点是 B 两地相趣 ______________ T X.【解]将AC 作为3份-剧CB 足2份妙一次相«・叩・乙共疋一个 A&第一次相««第一次相I 儿 乙共疋2倍•即4份.从而ADM 1份・DC 是2份(■ 3-1).但已知OC 足20 F 米.所以 AB 的长度是20 + 2X ( 2+3) =50 (千米) 答t A 、B 两地相》50干米•【练习】甲・乙两牟同时从 A B 两地相向而行，在距 B 地54 F 米处相«•他们各自到达对方车站后立即 £何甌地.途中又在跑 A 地42 F 来处梅遇.求两次相遇地点的眾离•【例3] (★*★)甲.乙两车分别从 A. Bl«i 地出发，在 A. B 之何不斷往返行«•己知甲乍的遼度是毎 小韵15「米・乙干的速度毎小时 35T*.井fl'IL 乙《乍弟-次相遇(这1|!特指®对a 的W 遇)的地 点与第W 次相遇的地点恰好相距 100 r*.邵么，A 、B 两地2何的即离等于『米.【来《】1993年小学數学奥林K 克初« A#第12«【解】甲、乙it«Z 比足 3： 7-所以我m 可以《幣个路R 为 3£・10份.这样一个全程屮甲龙 3份.第三次««总共疋了 5个全程-所以甲总共走r 3X 5-15份，第四次和«总井走了 7个至《・所以甲总共走了 3X 7=21份.所以価图可知第三次相遇的地点与第四次相遇止好差 4份.所以毎份：100^4=25.所以总长为25 X 10=250米・【例41 (★★★)仃i 许电牟的起点站和忤点站分别绘甲站和乙站•每W 5分制电半从甲站出发开往乙站，全程耍龙15分神-仔一个人从乙站岀发沿电牟路线骑牟前柱甲站•他出发的时候，恰好务一情电车刽达乙站•在路上他乂a 到r 10辅迎面开来的电车，才到达甲站•这时帳•恰好乂U ■«电牟从甲站开出・问他从乙站到甲站用了多少分钟7【來第・・届-华杯赛”初赛第 16« [W] M 为电卡何隔5分种发出辅.15分忡走左全程・骑乍人在乙站看到的电耶ft 15分种以前发出的. 町以推9出，他从乙站出发的时候.第四辆电牟正从甲站出发.騎军人从乙站到甲站的这段时间业・甲站 发出的电车是从笫 4辆到第12 «•电车共发出 9辆.共有8卜何K •于足 5X8 = 40 (分)2工_人WJfl 茁绘续存进•20「米・《么.JA.【来《】北京市第一« -迎祥杯-初赛第.：《第 582个AB.因此.乙应建CB 的【例5] (*★★)花一卿形ft 道上•甲从 A 点.乙从B 点同时出发反向而行• 6分后两人郴遇.再过 4分 屮到达B 点.乂过8分两人再次相遇•甲、乙坏厅一1^«备潘《多少分？ 【分析J 20分・30分・ 【解】:由题总知.甲行如右国， A Bti 圆的岂?仝的曲増，甲& A 点，乙庄B 点同討dJ 发反向而行，丙人住 CD 点第二次Wa •已劲 CA A 有80米・D 离B 有60米•求这个W 的《长・【解】《«总结町知，第二次tliaw.乙一共疋r 80X3-240来・两人的总路程和为一W 半，又甲所逆略粹比一眉少60米.说明乙的胳稈比半胃g 60米.《么惻彫场地的羊W^K 为 24(>60=180米.尚长为1SGX 2-360 *•【例7】(★★★)甲・乙《名同慌ft 用K 为 300 XH 形»道上从同Tfe 点同时肯向粽习《步，I 卩毎秒》*»3・5米.乙毎秒钟》 4*. M ： ft 的笫I •次柿遇时•甲还需ft 娄少*;才能y 到出发点？【分析】《知道叩还需跑參少米才ft 回到出发点•实质上只《知道卬录后一次«开出发点又ffiiuriJ 少米•我m 先*看§甲从 开始到与乙第十次郴a 时共ftr 多迖•不罐知道，这段时何内屮.乙构人其》的跖程是■场用长的10倍(300X10=3000 *) • W 为甲的連度为MWft 3.5 % 乙的連度为毎抄忡跑 4米・由上一讲捉们可以teJig.这段时何内甲共行 14002 S(和沢亦)米•也就釣跡"离开槪点维续行了200米知逍甲还爲行100 ( «300・200 )粒34【解］3（X ）X 10X ~^= 1400 （米）35 + 41400-?300=4（H ）…200 （来〉 300-200-100 （米）4分相当于乙行6分・(獄住龙同・・風》程时何戍連度的比例关系)从弟一次相遇到再次相a ・ W 人共走一周.备行12分.而乙行12分相肖于甲行8分・所以甲坏行一周需12 I 8=20 （分）. 乙爲 20^4X6= 30 （分）•甲 CZ ）k【例8］ (****＞甲.乙两名运幼W 在周长 400米的环形跑道上进疔 10000米长跑比赛.两人从闾一超IBtt 同时4fi»•甲每分»400木.乙每分« 360 *.当甲比乙«先护棒-«时・两人何时加速・乙的速r 甲毎分比原® g 并唤这样笛速度保持到啄问"乙荫人论达终【解］(・5米。
六年级 提高班 第十讲 行程二 教师版 定稿 徐岚
名校真题 测试卷10 （行程篇二）时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________1（07年西城实验考题）一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1:2:3.某人走各段路程所有的时间之比依次是4:5:6.已知他上坡的时速度为每小时3千米，路程全长50千米，则此人全路程用时_______.2 （07年人大附中考题）有一个情报员在战场1和战场2往返送情报，往返一次需要1小时.一个将军从城堡出发，送情报到战场1和战场2.他每次都先到战场1，再去战场2.如果在路上遇到情报员，则将军便把情报告诉他，让他去送，自己去另一个战场.已知情报员比将军速度快.若将军10:00出发，由战场1和战场2分别在12:12和1:00得到情报，且将军在A点遇到情报员.如果将军提前2分钟出发，则两战场在12:00同时得到情报，那么将军什么时候遇到情报员的？3 （07年101中学考题）一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20％，可以提前1小时到达.如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30％，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？4 （07年十一学校考题）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，6小时相遇；如果甲早出发2小时，甲乙相遇时，甲已经走过AB的中点后还走了144千米；如果乙早出发2小时，甲乙相遇时，甲还差48千米才到AB 的中点；求甲乙两人的速度差.5 (07年实验中学考题)有男女运动员各一名在一个环形路道上练长跑，跑步时速度都不变，男运动员比女运动员路得稍快些.如果他们从同一起路点同时出发沿相反方向路，那么每隔25秒钟相遇一次.现在，他们从同一起跑点同时出发沿相同方向跑，经过13分钟男运动员追上女运动员，追上时，女运动员已经跑了多少圈？（圈数取整数）【附答案】1 【解】：由题意可知，上坡时间是50 ×3211++÷3=1850小时，所以行完去全程共用时：1850×4654++=10125小时.2 【解】： 由题意可知，城堡不在战场1和2的直线连线上（包括1、2之间和1、2两端）.所以城堡肯定在1、2直线连线的外边，1、2、城堡三者组成丁字形（交点为B），由题意知，战场1的情报一定是由情报员送到，而战场2的情报是由将军送到的.第一种情况和第二种情况的差别在于将军提前出发了两分钟，就造成了战场1、2同时在12点收到情报，所以，提前的2分钟一定使将军在刚到达战场1、2连线上B 时就恰好遇到情报员，情报员将情报送往战场1，而将军将情报直接送往另一个战场战场2，不用再去第一种情况下的相遇点A，则会少用从B 点到A 点的往返时间58分钟（58分钟=13点-12点-2分钟）才会12点到，所以从B 点到战场2用了2分钟.所以他们在B 点相遇时时间是11：58.3 【解】：设原速度是1. 后来速度为1+20%=1.2速度比值：这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.时间比值 ：6：5这样可以把原来时间看成6份，后来就是5份，这样就节省1份，节省1个小时.原来时间就是=1×6=6小时.同样道理，车速提高30％，速度比值：1：（1+30%）=1：1.3时间比值：1.3：1这样也节省了0.3份，节省1小时，可以推出行驶一段时间后那段路程的原时间为1.3÷0.3=13/3所以前后的时间比值为（6-13/3）：13/3=5：13.所以总共行驶了全程的5/（5+13）=5/184 【解】：考虑甲乙分别早出发2小时的两种情况，这两种情况甲乙的路程总和是AB 距离的两倍，甲乙行驶的总时间相同，甲乙行驶的路程差是(144-48)×2=192千米.因为甲乙共同行驶6个小时可以走完一个全程，所以甲乙共同行驶12个小时可以走完两个全程.192÷12=16(千米)，所以甲乙两人的速度差是每小时16千米.5 【解】：设一周的长度为1，由题意可知男女的速度和为：251；速度差为：7801.所以女的速度为：（251—7801）÷2=7800151；因此女的在这780秒内共行了780÷（1÷7800151）≈15圈.第五讲 小升初专项训练-----行程（二）一、小升初考试热点及命题方向多次相遇的行程问题是近两年来各个重点中学非常喜爱的出题角度，这类题型往往需要学生结合六年级所学习的比例知识和分数百分数来分析题干条件，在刚刚结束的07年小升初选拔考试中，诸如人大附中，首师附中，西城四中，东城二中和五中都涉及了这一类题型，希望同学们扎实掌握.二、2008年考点预测在上一章节我们已经说过，环形跑道上的二次相遇问题是今年考试的热点，注意这类题型多运用比例关系解题较为简捷，当然也不排除继续考察直线型的二次相遇问题，这是07年考试题型的重点，希望同学们认真掌握.超过二次的多次相遇问题出题概率很低.三、基本公式【基本公式】：路程＝速度×时间【基本类型】相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程；追及问题：速度差×追及时间＝路程差；流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2（也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个）其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏；【复杂的行程】1、多次相遇问题；2、环形行程问题；3、运用比例、方程等解复杂的题；1、多次相遇问题如果甲乙从A，B 两点出发，甲乙第n 次迎面相遇时，路程和为全长的2n-1倍，而此时甲走的路程也是第一次相遇时甲走的路程的2n-1倍（乙也是如此）.请自己总结追及，以及从同一起点出发的情况.【例1】（★★）地铁有A，B 两站，甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从A，B 两站同时出发，他们第一次相遇时距A 站800米，第二次相遇时距B 站500米.问：两站相距多远？【解】从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成1个全长，从起点到第二次迎面相遇地点，两人共同完成3个全长，一个全程中甲走1段800米，3个全程甲走的路程为3段800米.画图可知，由3倍关系得到：A，B 两站的距离为 800×3－500=1900米【例2】（★★★）甲、乙二人分别从A、B 两地同时相向而行，乙的速度是甲的32,二人相遇后继续行进，甲到B 地、乙到A 地后立即返回.已知二人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米，那么，A、B 两地相距＿＿＿千米.【来源】“迎春杯”初赛第二题第5题【解】第二次相遇，甲、乙共走三个AB，乙应走2×3=6份；第二次相遇到第三次相遇，甲、乙共走五个AB，因此，乙应走2×5=10份.但已知两次相距100千米，所以AB 的长度是100÷(10-6)×（2+3）＝125（千米）答：A、B 两地相距125千米.【练习】甲、乙两车同时从A，B 两地相向而行，在距B 地54千米处相遇.他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距A 地42千米处相遇.求两次相遇地点的距离.【例3】（★★★）甲、乙两车分别从A、B 两地出发，在A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的73，并且甲、乙两车第2007次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第2008次相遇的地点恰好相距120千米，那么，A、B 两地之间的距离等于多少 千米？【题说】小学数学奥林匹克初赛A 卷第12题【解】甲、乙速度之比是3：7，所以我们可以设整个路程为3+7=10份，这样一个全程中甲走3份，第2007次相遇时甲总共走了3×（2007×2-1）=12039份，第2008次相遇时甲总共走了3×（2008×2-1）=12045份，所以总长为120÷［12045-12040-（12040-12039）]×10=300米.2、多次相遇的次数问题【例4】（★★★）甲、乙两地间有一条公路，王明从甲地骑自行车前往乙地，同时有一辆客车从乙地开往甲地.40分钟后王明与客车在途中相遇，客车到达甲地后立即折回乙地，在第一次相遇后又经过10分钟客车在途中追上了王明.客车到达乙地后又折回甲地，这样一直下去.当王明骑车到达乙地时，客车一共追上（指客车和王明同向）王明几次？【解】设王明10分钟所走的路程为a 米，则王明40分钟所走的路程为4a 米，则客车在10分钟所走的路程为4a×2+a=9a 米，客车的速度是王明速度的9a÷a=9倍.王明走一个甲、乙全程则客车走9个甲、乙全程，其中5个为乙到甲地方向，4个为甲到乙地方向，即客车一共追上王明4次.【巩固】（★★★）甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池50米泳道的两端同时开始游，直到一方追上另一方为止，追上者为胜.已知甲、乙的速度分别为1.0米／秒和0.8米／秒.问：（1）比赛开始后多长时间甲追上乙？（2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？【解】（1）250秒；50÷(1-0.8)=250（2）4次.甲、乙分别游了5个和4个单程，故迎面相遇4次.3、环形跑道的多次相遇问题关键是要抓住同一段路程中不变的量【例5】A、B是一圈形道路的一条直径的两个端点，现有甲、乙两人分别从A、B两点同时沿相反方向绕道匀速跑步（甲、乙两人的速度未必相同），假设当乙跑完100米时，甲、乙两人第一次相遇，当甲差60米跑完一圈时，甲、乙两人第二次相遇，那么当甲、乙两人第十二次相遇时，甲跑完几圈又几米？【解】甲、乙第一次相遇时共跑0.5圈，乙跑了100米；第二次相遇时，甲、乙共跑1.5圈，则乙跑了100×3=300米，此时甲差60米跑一圈，则可得0.5圈是300-60=240米，一圈是480米. 第一次相遇时甲跑了240-100=140米，以后每次相遇甲又跑了140×2=280米，所以第十二次相遇时甲共跑了：140+280×11=3220=6圈340米.【前铺1】（★★★）在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？【分析】20分，30分.解：由题意知，甲行4分相当于乙行6分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12分，而乙行12分相当于甲行8分，所以甲环行一周需12＋8＝20（分），乙需20÷4×6＝30（分）.【前铺2】（★★★）如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇.已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长.【解】根据总结可知，第二次相遇时，乙一共走了80×3=240米，两人的总路程和为一周半，又甲所走路程比一周少60米，说明乙的路程比半周多60米，那么圆形场地的半周长为240-60=180米，周长为180×2=360米.【例6】（★★★★）甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分跑400米，乙每分跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快41，甲每分比原来多跑18米，并且都以这样的速度保持到终点.问：甲、乙两人谁先到达终点？【来源】 第九届《小数报》数学竞赛决赛应用题第3题【解】 从起跑到甲比乙领先一圈，所经过的时间为400÷（400－360）＝10（分）， 甲到达终点还需跑（10000－400×10）÷（400＋18）＝2097414（分）， 乙还需要（1000－360×10）÷［360×（1＋14）］＝2149（分） 由于92＜20974，所以乙先到达终点.【例7】（★★★）甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【分析】要知道甲还需跑多少米才能回到出发点，实质上只要知道甲最后一次离开出发点又跑出了多少米.我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇时共跑了多远.不难知道，这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍（300×10=3000米）.因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，由上一讲我们可以知道，这段时间内甲共行1400 3.5(3000)3.54=×+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，知道甲还需行100（=300-200）米.1400÷300=4（圈）……200（米）300-200=100（米）【例8】（★★★） 右图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A，B 同时爬行.甲蚂蚁从A 出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B 出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米.两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？【解】 “逗号”的周长与外圆的周长相等，都是40厘米.乙比甲多爬20厘米需20÷（5－3）＝10（秒），此时甲爬了30厘米，位于圆内的弧线上，而乙位于外圆周上，两只蚂蚁没有相遇.乙比甲多爬60厘米需60÷（5－3）＝30（秒），此时两只蚂蚁都在外圆周上，是第一次相遇，乙爬了5×30＝150=1.5米.4、与分数百分数结合（热点★★★）【例9】（★★）甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的23.甲跑第二圈的速度是比第一圈提高了13，乙跑第二圈的速度提高了15，已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，问这条跑道长多少米？【解】先找第一次相遇的地方在距起点2/5（或者3/5）处.再找到第二次相遇在距离起点（1-2/3）÷（4/ 3+4/5）×4/5=1/8处，两次相遇点间隔2/5+1/8=21/40，注意到1-21/40=19/40 <21/40，所以最短相距19/ 40，即190米是全长的19/40，所以这条跑道长190÷19/40=190×40/19=400米.【前铺】（★★）一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20%，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达.那么甲乙两地相距多少千米？（92年小学数学奥林匹克竞赛决赛试题） 【解】车速提高20%，速度比为5：6，路程一定的情况下，时间比应为6：5，所以以原始速度行完全程的时间为1÷（6－5）×6=6小时.以后一段路程为参考对象，车速提高25%，速度比为4：5，所用时间比应该为5：4 ，提前40分钟到达，则用规定速度行驶完这一段路程需要40×5=200分钟，进而用行程问题公式很容易求出甲乙两地相距270千米.5、其他常考类型【例10】（★★）快、慢两列火车相向而行，快车的车长是50米，慢车的车长是80米，快车的速度是慢车的速度的2倍，如果坐在慢车的人见快车驶过窗口的时间是5秒，那么，坐在快车的人见慢车驶过窗口的时间是＿＿秒.【来源】第九届“祖冲之”杯数学邀请赛填空题5题【解】两车相向而行慢车上的人看到快车的速度是两车速度之和，即每秒50÷5＝10（米），快车上的人看到慢车的速度也是每秒10米，因此看到慢车驶过窗口的时间是80÷10＝8秒.【例11】（★★★）小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？ （2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？【解】（1 ）75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是500÷1.25-180=220（米/分）.（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是 500÷（220-180）＝12.5（分）. 220×12.5÷500＝5.5（圈）.答：（1）小张的速度是220米/分；（2）小张跑5.5圈后才能追上小王.【例12】 （★★★）一位同学在360米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米.求他后一半路程用了多少时间?【来源】二中入学考题【解】由题意可知，这位同学的平均速度为(5+4) ÷2=4.5米/秒，则行完全程的时间是360÷4.5=80秒，所以行前一半路程要180÷5=36秒，因此行后一半路程要80-36=44秒.【前铺】学校组织春游，同学们下午一点出发，走了一段平坦的路，爬了一座山，然后按原路返回，下午七点回到学校.已知他们的步行速度平地为4千米／时，上山为3千米／时，下山为6千米／时.问：他们一共走了多少路？解：方法一：设下山用t时，则上山用2t时，走平路用（6-3t）时.全程为4（6-3t）＋3×2t＋6×t ＝24（千米）.方法二：设山路有X千米，则上山用时间X/3小时，下山用X/6小时，计算平均速度为2X/(X/3+X/6)=4千米/小时，与平地速度一样.所一共走了6×4=24千米.【教师版补充】一条小河流过A、B、C三镇.A、B两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为11千米/小时.B、C两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为3.5千米/小时.已知A、C两镇水路相距50千米，水流速度为1.5千米/小时.甲从A镇上船顺流而下到B镇，吃午饭用去1小时，接着乘木船又顺流而下到C镇，共用8小时，那么A、B两镇的距离是＿＿＿＿.①10千米 ②20千米 ③25千米 ④30千米 ⑤40千米【来源】北京市第四届“迎春杯”选择题第3题【解】汽船顺流速度是11＋1.5＝12.5千米/小时木船顺流速度是3.5＋1.5＝5千米/小时甲在船上行驶时间为8－1＝7（小时）.假设甲从A到C均乘汽船，所走的路程为12.5×7＝87.5（千米）.此假设较实际A到C的距离多87.5－50＝37.5（千米）.汽船与木船速度差为12.5－5＝7.5（千米/小时）乘木船所用时间为37.5÷7.5＝5（小时），乘木船所走路程，即B到C的距离为5×5＝25（千米）.所以，A到B的距离为50－25＝25（千米）答正确答案的序号是③小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）多次相遇问题. 参见例1、2、32）多次相遇的次数问题. 参见例43）环行跑道的多次相遇问题. 参见例5、6、7、84）与分数百分数相结合. 参见例95）其它常考的行程问题. 参见例10、11、12【课外知识】断金链难题一位来自阿肯色州的年轻太太格罗丽亚,正在加利福尼亚州旅行.她想在旅馆租用一个房间,租期一周.办事员此时正心绪不佳.办事员:"房费每天20元,要付现钱.格罗丽亚:"很抱歉,先生,我没带现钱.但是我有一根金链,共7节,每节都值20元以上.办事员:"好吧,把金链给我." 格罗丽亚:"现在不能给你.我得请珠宝匠把金链割断,每天给你一节,等到周末我有了现钱再把金链赎回.办事员终于同意了,但格罗丽亚必须决定如何断开金链的方法.格罗丽亚:"我该三思而行,因为珠宝匠是按照他所切割和以后重新连接的节数来索价的.格罗丽亚想了一下,悟到她不必把每一节都割断,因为她可以把一段段金链换进换出,以这种方式来付房费.当她算出需要请珠宝匠割断的节数时,她几乎不能自信.你想一想需要割开多少节?只需要割开一节.这一节应是从一端数起的第三节.把金链断开成1节,2节,4节这样三段后就能以换进换出的方式每天付给办事员一节作为房费.啊哈!领悟到下列两点才能解题.第一,至少需要有1节,2节,4节这样三段(即其节数成二重级数的一些段),这样才能以各种不同的组合方式组成1节,2节,3节,4节,5节,6节和7节.我们在药品混乱问题中已经知道,这就是作为二进制记数法基础的幂级数.第二,只需要割开一节就可以把金链分成符合要求的三段.关于这个问题,若把金链的长度增加,则可以想出一些新的问题.例如,假设格罗丽亚有一根63节的金链,她想把金链割开,以上面那种方式来付63天的房费(价格不变).要达到此种目的只需要割开三节.你想出来了吗?你能否根据金链的不同长度设计一个通用的解题程序,要求分割开的节数为最少?有一个有趣的变相问题:若所经手的 n 节首尾相连的闭合回路,例如说格罗丽亚有一串金项链,由79节相连而成,若每天房费为一节,试问最少需要分割开几节才能支付79天房费?这些问题使我们想到了二进制记数法.比如格罗丽亚的63节金项链如何分割?将63化成二进制表示:等于"111111"即63=1+2+4+8+16+32但是要把其中的2分成两个1，因为在4、8、16、32之间有三个间隔，这条金链子被分割成4段，也就从那三个间隔处割开了三节，所以63应该分成1、1、1、4、8、16、32.对于其他任意类型的数,却不能奏效,比如对于19节金项链,19的二进制记数法表示为"10011".即19=1+2+0+0+16,这样从1到3都能表示,可是从4到15都没法表示了.可以这样:你不是要求节数最少吗?假设 n=a+b 其中 a 是已经找到的最大的那一节数,b 是比 n 小的已经解决了的金链问题,由于 b 已经解决,因此 b 的拆分能够表示从1,2,3,...b-1,b 的所有金链节数,而再大一些的数就不能够表示了,比如 b+1,所以必须要 a 参加进来,如果 n 是奇数,可令 a=b+1,这样 n=2b+1,所以b=(n-1)/2,a=(n+1)/2,这样就找到了最大的一节的节数 a ,然后对 b=(n-1)/2继续应用如上的办法,即可解决问题.如果 n 是偶数,可令 a=b ,这样虽然 a 本身不能表示出 b+1,但是可以从 b 的拆分中拿出一个1来(这个1是必须存在的,因为要表示从1,2,3,...b-1,b的所有数)与 a 组成 a+1 也就是 b+1.所以 n=a+b=2a=2b,a=b=n/2.这样也找到了 n 为偶数时最大的一节金链的节数.对于 b 继续如上的过程,就可以找到全部应该断开的金链节数,我算出了从1到16的所有拆分如下:1=1 2=1+1 3=1+1+1 4=1+1+2 5=1+1+3 6=1+2+3 7=1+2+48=1+1+2+4 9=1+1+2+5 10=1+1+3+5 11=1+1+3+6 12=1+1+2+3+513=1+1+2+3+6 14=1+1+1+4+7 15=1+1+1+4+8 16=1+1+2+4+8上面的分成偶数节数是这样分的，比如8=1+1+2+4，是将第三节、第四节割开.对于19节金链子,19+1=20,20/2=10,最大的一节是10节,19-10=9,9+1=10,10/2=5,又找到了一节是5,9-5=4,4的表示法如上已经列出来了:4=1+1+2.最后得到19节的金链子的分割法:1,1,2,5,10.过去我也碰到过一道类似的题,是23节金链子,也能够很容易地解决:23+1=24,24/2=12;23-12=11,11=1+1+3+6;所以23的分割法为:1,1,3,6,12.显然,对于2k-1类型的数,用这里的办法与用二进制记数法得出的结果是一致的.当然,一个数的拆分不是唯一的,例如把15这样分割,会得到:1,1,2,4,7.也能够满足付房费的要求.上面提到的都是对于金链子的分割问题，对于金项链这样闭环的情况，要增加一节，只要把第一个不为1的数分出去一个1即可达到目的.如上面提到的79节金项链,(79+1)/2=40,79-40=39,(39+1)/2=20,39-20=19,19=1+1+2+5+10，所以我们得到1，1，2，5，10，20，40，但是在2，5，10，20，40之间有4个空隙，要将2分成1+1，这样也满足闭环的分割要求了，最后得到1，1，1，1，5，10，20，40.练习题（注：作业题--例题类型对照表，供参考）题1，2—类型4；题3，4，6—类型5；题5—追及问题，题7—火车问题.1、（★★★）客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需10时，货车行完全程需15时.两车在中途相遇后，客车又行了90千米，这时客车行完了全程的80％，求甲、乙两地的距离.解：2、（★★★）甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行.出发时，甲、乙的速度比是5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米.那么A、B两地相距多少千米？解：甲、乙原来的速度比是5：4，相遇后的速度比是5×（1－20%）：4×（1＋20%）＝4：4.8＝5：6. 相遇时，甲、乙分别走了全程的5/9和4/9.A，B两地相距：10÷（5/9-4/9×6/5）＝450千米.3、（★★）一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟，在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟.问：在无风的时候，他跑100米要用多少秒？解：顺风时的速度＝90÷10＝9米/秒，逆风时速度＝70÷10＝7米/秒，无风时速度＝（9＋7）×1/2＝8（米/秒），无风时跑100米需要100÷8＝12.5秒.4、（★★★）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山.他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍.甲到山顶时，乙距山顶还有400米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰.求从山脚到山顶的距离.2400米.解：如果两人下山的速度与各自上山的速度相同，则题中相应的条件应5、（★★★）甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上丙.甲出发后多长时间追上乙？解：75分.提示：行驶相同路程所需时间之比为：6、（★★★★）游乐场的溜冰滑道如下图.溜冰车上坡每分行400米，下坡每分行600米.已知从A点到B点需3.7分，从B点到A点只需2.5分.问：AC比BC长多少米？解：取AD等于BC（见下图）.因为从A到B与从B到A，走AD与BC两段路所用的时间和相同，所以D讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组学而思教育 08年寒假 六年级 提高班 第十讲 教师版 Page 106到C 比C 到D 多用3.7－2.5＝1.27、（★★）铁路旁的一条平等小路上，有一行人与一骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/小时，骑车人速度为10.8千米/小时.这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒钟，通过骑车人用26秒钟.这列火车的车身总长是＿＿＿＿（①22米②56米③781米④286米⑤308米）【来源】北京市第三届“迎春杯”第二题第1题【解】设这列火车的速度为x 米/秒，又知行人速度为1米/秒，骑车人速度为3米/秒.依题意，这列火车的车身长度是（x－1）×22＝（x－3）×26化简得4 x ＝56，即x ＝14（米/秒）所以火车的车身总长是（14－1）×22＝286（米），故选①.。
小升初重点专题练习：较复杂的行程问题（讲义）六年级下册数学北师大版
小升初重点专题练习----较复杂的行程问题一、行程问题三要素：路程、速度、时间路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度二、相遇问题甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间相遇问题：路程和=速度和×相遇时间速度和=路程和÷相遇时间相遇时间=路程和÷速度和三、追及问题有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上慢者，这就是“追及问题”。
要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）。
在相同的时间（追及时间）内（设甲走得快，乙走得慢）：追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间＝速度差×追及时间.追及问题：追及时间=路程差÷速度差路程差=速度差×追及时间速度差=路程差÷追及时间四、火车过桥问题（一）火车完全通过大桥火车完全过桥问题，首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥，列车过桥的总路程是桥长加车长。
基本数量关系：过桥的路程 = 桥长 + 车长完全通过桥的时间 =（桥长 + 车长）÷车速（二）火车完全在大桥上运行火车完全在大桥上运行，前提条件是桥长大于火车长，首先要弄清列车完全在大桥上运行是指从车尾上桥到车头离桥，总路程是桥长减车长。
基本数量关系：过桥的路程 = 桥长 - 车长完全在桥上的时间 =（桥长 -车长）÷车速典例精析：例1：（单人行程问题）淘气是一个自行车爱好者，正常骑自行车每小时行15千米。
学而思_小升初专项训练_工程篇_教师版
测试（工程篇）时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________1原计划18个人植树，按计划工作了2小时后，有3个人被抽走了，于是剩下的人每小时比原计划多种1棵树，还是按期完成了任务.原计划每人每小时植______棵树.2一项工程，甲做10天乙20天完成，甲15天乙12也能完成。
现乙先做4天，问甲还要多少天完成？3一部书稿，甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时完成。
如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时，再由甲接替乙打1小时，……两人如此交替工作。
那么，打完这部书稿时，甲、乙二人共用了多少小时？4如果用甲、乙、丙三那根水管同时在一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲、乙两管，1小时20分钟可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时15分钟可以灌满，那么，用乙管单独灌水的话，灌满这一池的水需要 ______小时。
5一项工程，预计15个工人每天做4个小时，18天可以完成。
为了赶工期，增加3人并且每天工作时间增加1小时，可以提前_______天完工。
【附答案】1 【解】： 3人被抽走后，剩下15人都多植树1棵，这样每小时都总共多植树15棵树，因为还是按期完成任务，所以这15棵树肯定是3人原来要种的，所以原来每人要植树15÷3=5棵。
2 【解】：甲10天+乙20天=1；甲15天+乙12天=1，所以工作量：甲10天+乙20天=甲15天+乙12天，等式两端消去相等的工作量得：乙8天=甲5天，即乙工作8天的工作量让甲去做只要5天就能完成，那么整个工程全让甲做要15+12×85=22.5天。
现在乙了4天就相当于甲做了4×85=2.5天，所以甲还要做20天。
3 【解】：甲的工作效率=141，乙的工作效率= 201，合作工效=14017，甲乙交替工作相当于甲乙一起合作1小时，这样1÷14017=17140=8…174，所以合作了8小时，这样还剩下174就是甲做的，所以甲还要做174÷141=3175，所以两人总共作了8+8+175小时。
小升初复习行程问题练习(含答案)
行程问题练习知识点梳理一、基础公式①路程＝速度×时间②时间＝路程÷速度③速度＝路程÷时间二、常见题型①一般相遇：路程和＝时间×速度和②中点相遇：四步曲（1）找出快走者多走的路程：中点路程×2 （2）算出速度差：快者速度－慢者速度 （3）时间：（1）的路程÷（2）的速度＝时间（4）套用公式：路程和＝时间×速度和③往返相遇：两者相对行驶，第三人在中间往返。
同时出发、同时停止就是相遇时间。
④环形相遇：背向行驶，相遇几次就共走了几个全长。
三、解题思路①画行程图理解题意。
②分析题型。
③套用公式。
例题1红红和聪聪分别从相距 1026 米的两地同时出发，相向而行。
红红家的小狗也跟来了，而且跑在了红红的前面。
当小狗和聪聪相遇后，立即返回跑向红红，遇到红红后，又立即返回跑向聪聪，这样跑来跑去，一直到两人相遇。
这只小狗一共跑了__________米。
(已知红红每分钟走54 米，聪聪每分钟走60 米，小狗每分钟跑70米）例题2一辆客车从 A 地出发开往 B 地，同时一辆货车从 B 地出发开往 A 地。
3 小时后两车在离 A 地 180 千米的 C 地相遇。
相遇后两车继续向前行驶，2 小时后，客车到达 B 地。
此刻，货车还要行驶多少小时才能到达A地？例题3星期天，小英从家里出发去少年宫学画画。
她刚走不久，妈妈发现小英忘了带画笔，于是就去追小英。
如图象表示两人行走的时间和路程。
①妈妈每分钟走__________米；②照这样的速度，妈妈出发后__________分钟可以追上小英。
例题4某日上午，甲、乙两车先后从 A 地出发沿一条公路匀速前往 B 地。
甲车 7 点出发，如图是甲行驶路程 s（千米）随行驶时间 t（小时）变化的图像。
乙车 8 点出发，若要在 9 点至 10 点之间（含 9 点和 10 点）追上甲车，则乙车的速度 v （单位：千米/时）的范围是__________。
小升初数学专题训练行程问题之变速行程下
小学数学思维训练之变速行程（下）例1 甲、乙两地相距3.6千米，两条狗从甲、乙两地相向奔跑。
它们每分钟分别跑450米和350米。
它们相向跑1分钟后，同时调头背向跑2分，又调头相向跑3分，再调头背向跑4分……直到相遇为止，从出发到相遇需多少分钟？例2 一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径两端同时出发沿圆周相向爬行。
这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5cm和3.5cm，两只蚂蚁分别爬行1秒、3秒、5秒……（连续奇数），就掉头爬行。
那么，他们第一次相遇时，已爬行的时间是多少秒？例3 A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲地开往乙地。
出发2小时后。
A 车出了故障，B车和C车照常前进。
A车停留半小时后以原速度的1.2倍继续前进。
B车和C车开出甲地320千米时，B车也出了故障。
C车照常前进，B车停留半小时后也以原速度的1.2倍继续前进。
结果A车比B车早1小时到达乙地；B 车比C车早1小时到达乙地。
那么，甲、乙两地的距离是多少千米？例4 甲、乙两人爬山，甲比乙爬得快，每个人下山的速度都是各自上山速度的1.5倍，当甲爬到山顶返回在离山顶60米与乙相遇，当乙爬到山顶时，甲已下到半山腰。
求山高多少米？例5 米老鼠和唐老鸭进行越野赛跑，按原定的速度，它们同时出发以后，米老鼠将比唐老鸭早到终点1分钟，在比赛前，米老鼠喝兴奋剂使自己的速度提高了20%，唐老鸭穿上了一种特殊的魔力鞋使自己的速度提高了25%，在比赛中魔力鞋发生故障原地修理了2分钟，最后比赛结果为：唐老鸭比米老鼠早到1分钟，那么唐老鸭跑完全程实际一共用了多少分钟？例6从甲市到乙市有一条公路，它分成三段，在第一段路上，汽车速度是40千米/时；在第二段路上，汽车速度是90千米/时；在第三段路上，汽车速度是50千米/时。
已知第一段路的长恰好是第三段路的2倍，现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，l小时20分后，在第二段路的13处（从甲到乙方向的13处）相遇。
小升初专题练习--行程模块天天练(含答案)
小升初专题练习--行程模块天天练第 1 天姓名：用时：1.解方程：xx x 910026411-=-+73223=+x x 2.大壮的家距离学而思480米，原计划7点40分从家出发8点可到教学点，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么大壮几点就可到学而思？3.甲、乙两地相距100千米。
下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10千米；晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？小升初专题练习--行程模块天天练第 2 天姓名：用时：1.解方程：3232613=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x 151423=++-x x 2.芝士从家骑车去学而思，每小时15千米，用时2小时，回来以每小时10千米的速度行驶，需要多少时间？3.两辆汽车都从扬州出发到A 地，货车每小时行60千米，15小时可到达。
客车每小时行50千米，如果客车想与货车同时到达A 地，它要比货车提前开出几小时？小升初专题练习--行程模块天天练第 3 天姓名：用时：1.解方程：3231223=+-⎪⎭⎫⎝⎛-x x x x 413243-=+2.南辕与北辙两位先生对于扬州的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，两人的速度分别为50千米每小时和60千米每小时，那么北辙先生出发5小时后他们相距多少千米？3.两列火车从相距80千米的两城背向而行，甲列车每小时行40千米，乙列车每小时行42千米，5小时后，甲、乙两车相距多少千米？小升初专题练习--行程模块天天练第 4 天姓名：用时：1.解方程：()()x x x 32475815-+=--2233554--+=+-+x x x x 2.两地相距400千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行40千米，乙车每小时比甲车多行5千米，4小时后两车相遇了吗？为什么？3.孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河见面，孙悟空的速度是每小时200千米，猪八戒的速度是每小时150千米，他们同时出发2小时后还相距500千米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？小升初专题练习--行程模块天天练第 5 天姓名：用时：1.解方程：12541314=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x 14137114972=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x 2.芝士和大壮早晨8时整从学而思出发去女儿国，芝士开车，速度是每小时60千米。
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名校真题测试卷5 （行程篇二）时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________1 （05年人大附中考题）如图，ABCD是一个边长为6米的模拟跑道，甲玩具车从A出发顺时针行进，速度是每秒5厘米，乙玩具车从CD的中点出发逆时针行进，结果两车第二次相遇恰好是在B点，求乙车每秒走多少厘米?2 （06年清华附中考题）已知甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲乙两车分别从A,B两地同时出发相向而行，在途径C地时乙车比甲车早到10分钟；第二天甲乙分别从B,A两地出发同时返回原来出发地，在途径C 地时甲车比乙车早到1个半小时，那么AB距离时多少？3 （06年十一中学考题）甲、乙、丙三人步行的速度分别是：每分钟甲走90米，乙走75米，丙走60米。
甲、丙从某长街的西头、乙从该长街的东头同时出发相向而行，甲、乙相遇后恰好4分钟乙、丙相遇，那麽这条长街的长度是米.4 （06年西城实验考题）甲乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A、乙从B同时出发；第一次相遇点距B处60 米。
当乙从A处返回时走了lO米第二次与甲相遇。
A、B相距多少米?5 (05年首师大附考题)甲，乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。
如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？【附答案】1 【解】两车第2次相遇的时候，甲走的距离为6×5=30米，乙走的距离为6×5+3=33米所以两车速度比为10：11。
因为甲每秒走5厘米，所以乙每秒走5.5厘米。
2 【解】：画图可知某一个人到C点时间内，第一次甲走的和第二次甲走的路程和为一个全程还差90×10/60=15千米，第一次乙走的和第二次乙走的路程和为一个全程还差60×1.5=90千米。
而速度比为3：2；这样我们可以知道甲走的路程就是：（90-15）÷（3-2）×3=215,所以全程就是215+15=230千米。
3 【解】：甲、乙相遇后4分钟乙、丙相遇，说明甲、乙相遇时乙、丙还差4分钟的路程，即还差4×（75+60）=540米；而这540米也是甲、乙相遇时间里甲、丙的路程差，所以甲、乙相遇=540÷（90-60）=18分钟，所以长街长=18×（90+75）=2970米。
4 【解】：“第一次相遇点距B处60 米”意味着乙走了60米和甲相遇，根据总结，两次相遇两人总共走了3个全程，一个全程里乙走了60，则三个全程里乙走了3×60=180米，第二次相遇是距A地10米。
画图我们可以发现乙走的路程是一个全程多了10米，所以A、B相距=180-10=170米。
5 【解】10分钟两人共跑了（3＋2）×60×10=3000 米 3000÷100=30个全程。
我们知道两人同时从两地相向而行，他们总是在奇数个全程时相遇（不包括追上）1、3、5、7。
29共15次。
第五讲 小升初专项训练 行程篇（二）一、小升初考试热点及命题方向多次相遇的行程问题是近两年来各个重点中学非常喜爱的出题角度，这类题型往往需要学生结合六年级所学习的比例知识和分数百分数来分析题干条件，在刚刚结束的06年小升初选拔考试中，诸如人大附中，首师附中，西城四中，东城二中和五中都涉及了这一类题型，希望同学们扎实掌握。
二、2007年考点预测在上一章节我们已经说过，环形跑道上的二次相遇问题是今年考试的热点，注意这类题型多运用比例关系解题较为简捷，当然也不排除继续考察直线型的二次相遇问题，这是06年考试题型的重点，希望同学们认真掌握。
超过二次的多次相遇问题出题概率很低。
三、基本公式【基本公式】：路程＝速度×时间【基本类型】相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程；追及问题：速度差×追及时间＝路程差；流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2（也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个）其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏；【复杂的行程】 1、多次相遇问题； 2、环形行程问题；3、运用比例、方程等解复杂的题；1 直线型的多次相遇问题如果甲乙从A ，B 两点出发，甲乙第n 次迎面相遇时，路程和为全长的2n-1倍，而此时甲走的路程也是第一次相遇时甲走的路程的2n-1倍（乙也是如此）。
请自己总结追及，以及从同一起点出发的情况。
【例1】（★★）湖中有A ，B 两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。
两人分别从A ，B 两岛同时出发，他们第一次相遇时距A 岛700米，第二次相遇时距B 岛400米。
问：两岛相距多远？【解】从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成1个全长，从起点到第二次迎面相遇地点，两人共同完成3个全长，此时甲走的路程也为第一次相遇地点的3倍。
画图可知，由3倍关系得到：A ，B 两岛的距离为 700×3－400=1700米【例2】（★★★）甲、乙二人分别从A 、B 两地同时相向而行，乙的速度是甲的32,二人相遇后继续行进，甲到B 地、乙到A 地后立即返回。
已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A 、B 两地相距＿＿＿千米。
【来源】北京市第一届“迎春杯”初赛第二题第5题【解】将AC 作为3份，则CB 是2份第一次相遇，甲、乙共走一个AB ，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB ，因此，乙应走CB 的2倍，即4份，从而AD 是1份，DC 是2份（＝3－1）。
但已知DC 是20千米，所以AB 的长度是20÷2×（2+3）＝50（千米）答：A 、B 两地相距50千米。
【练习】甲、乙两车同时从A ，B 两地相向而行，在距B 地54千米处相遇。
他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距A 地42千米处相遇。
求两次相遇地点的距离。
【例3】（★★★）甲、乙两车分别从A 、B 两地出发，在A 、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米，那么，A 、B 两地之间的距离等于_________ 千米。
【来源】1993年小学数学奥林匹克初赛A 卷第12题【解】甲、乙速度之比是3：7，所以我们可以设整个路程为3+7=10份，这样一个全程中甲走3份，第三次相遇总共走了5个全程，所以甲总共走了3×5=15份，第四次相遇总共走了7个全程，所以甲总共走了3×7=21份，所以画图可知第三次相遇的地点与第四次相遇正好差4份，所以每份：100÷4=25，所以总长为25×10=250米。
【例4】（★★★）有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。
每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟。
有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。
他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。
在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站。
这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。
问他从乙站到甲站用了多少分钟?【来源】第一届“华杯赛”初赛第16题【解】因为电车每隔5分钟发出一辆，15分钟走完全程。
骑车人在乙站看到的电车是15分钟以前发出的，可以推算出，他从乙站出发的时候，第四辆电车正从甲站出发。
骑车人从乙站到甲站的这段时间里，甲站发出的电车是从第4辆到第12辆。
电车共发出9辆，共有8个间隔，于是5×8＝40（分）2 环形跑道的多次相遇问题【例5】（★★★）在一圆形跑道上，甲从A 点、乙从B 点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B 点，又过8分两人再次相遇。
甲、乙环行一周各需要多少分？【分析】20分，30分。
【解】：由题意知，甲行4分相当于乙行6分。
（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12分，而乙行12分相当于甲行8分，所以甲环行一周需12＋8＝20（分），乙需20÷4×6＝30（分）。
【例6】（★★★）如右图，A ，B 是圆的直径的两端，甲在A 点，乙在B 点同时出发反向而行，两人在C 点第一次相遇，在D 点第二次相遇。
已知C 离A 有80米，D 离B 有60米，求这个圆的周长。
【解】根据总结可知，第二次相遇时，乙一共走了80×3=240米，两人的总路程和为一周半，又甲所走路程比一周少60米，说明乙的路程比半周多60米，那么圆形场地的半周长为240-60=180米，周长为180×2=360米。
【例7】（★★★）甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【分析】要知道甲还需跑多少米才能回到出发点，实质上只要知道甲最后一次离开出发点又跑出了多少米。
我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇时共跑了多远。
不难知道，这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍（300×10=3000米）。
因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，由上一讲我们可以知道，这段时间内甲共行14003.5(3000)3.54=⨯+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米 知道甲还需行100（=300-200）米。
1400÷300=4（圈）……200（米）300-200=100（米）【例8】（★★★★）甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分跑400米，乙每分跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快41，甲每分比原来多跑18米，并且都以这样的速度保持到终点。
问：甲、乙两人谁先到达终点？【来源】 第九届《小数报》数学竞赛决赛应用题第3题【解】 从起跑到甲比乙领先一圈，所经过的时间为400÷（400－360）＝10（分），甲到达终点还需跑（1000－400×10）÷（400＋18）＝2097414（分），乙还需要（1000－360×10）÷［360×（1＋41）］＝9214（分） 由于92＜20974，所以乙先到达终点。
【例9】（★★★） 右图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A ，B 同时爬行。
甲蚂蚁从A 出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B 出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米。