函数的单调性与奇偶性课件-高三数学一轮复习
2
(C) y x sin x
(D) y
log2
3 3
x x
解：(A)选项，定义域为R,但 f 1 4, f 1 2, f 1 f 1, f x为非奇非偶函数；
(B)选项，定义域为R, f x ex ex f x, f x 为偶函数；
2
(C)选项，定义域为R, 由于奇×奇=偶， f x 为偶函数；
设 y log1 u，u x2 3x 2，
2
y log1 u 为R上的减函数，u在 ，1 为减函数，
2
函数 y log1 x2 3x 2 的 单调增区间是，1 .
2
三、例题讲解
例3 下列函数为奇函数的是（
）.
(A)y x3 3x2 (B) y ex ex (C) y x sin x 2
(D)选项，定义域为3,3 关于原点对称，
f
x
log2
3x 3+ x
log2
3 3
x x
log2
3 3
x x
f
x,
f x 为奇函数.
三、例题讲解
例4
已知函数
f
x
3a
1
x
4a,
x
≤1,
是R上的单调减函数，
则实数a的取值范l围oga是x,_x__1_.____17_,_13_______.
5.结论.
f
(x)
x
a x
在区间
a, 上单调递增，在区间 0, a 上单调递减.
三、例题讲解
例2 求函数 y log1 x2 3x 2 单调增区间.
2
分析： 1.单调区间是定义域的子集.
2.复合函数单调性判断法则是 “同增异减”.
解： x2 3x 2 0， x 1，或 x 2.
x2 (x1x2
a) .
3.变形，
x1x2
于是当 x1x2 a 0 时，即 x1, x2∈
a, ，f x1 f x2 0, 即 f x1 f x2 .
4.与“0”Biblioteka ，同理当 x1x2 a 0 时，即 x1, x2∈ 0, a ，f x1 f x2 0, 即 f x1 f x2 .
(D) y
log2
3 3
x x
分析： 函数奇偶性的判断方法:
1.用定义，首先确定函数的定义域是否关于原点对称；
2.用性质：（在公共定义域内） 奇±奇=奇，偶±偶=偶；
奇×奇=偶，偶×偶=偶， 奇×偶=奇.
三、例题讲解
例3 下列函数为奇函数的是（ D ）.
(A)y x3 3x2 (B) y ex ex
三、例题讲解
例1
讨论函数
f
x
x
a x
a
0 在区间
0, 内的单调性.
解：
∀ x1, x2∈0, , 且x1 x2 , 则
1.任取，
f
x1
f
x2
x1
a x1
x2
a x2
2.作差，
x1
x2
a
x1 x1x2
x2
由 0 x1 x2 ，得x1 x2 0, x1x2 0,
x1
那么就说函数 f x 在区间D上是增 那么就说函数 f x 在区间D上是减
函数.
函数.
图 象 描 述 自左向右看图象是__上__升____的.
自左向右看图象是__下__降____的.
一、知识梳理
1.函数的单调性
（2）单调区间的定义
如果函数 y f x 在区间D上是_增__函__数__或_减__函__数___，那么就说函数
函数的单调性与奇偶性
高三年级 数学
一、知识梳理
1.函数的单调性
（1）单调函数的定义 增函数
减函数
一般地，设函数 f x 的定义域为 I ，如果对于定义域 I
定 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, x2,
义 当 x1 x2 时，都有_f__x_1____f__x_2__， 当 x1 x2 时，都有_f__x_1____f__x_2__，
y f x 在这一区间具有（严格的）单调性，__区__间__D__叫做函数 y f x
的单调区间.
2.函数的奇偶性
奇函数
偶函数
定义
如果对于函数f x 的定义域内任意一个x，都有
f x f x,
f x f x,
图象 关于__0_,_0__对称，
关于__y_轴___对称.
二、双基自测
1(.1下)函列数结y论正1确在的画“, 0√ ”0,,错误和的内画是“减函×数”..
分析： y x a2 1 a2 ,
分类讨论
此函数图象为开口向上，以 x a 为对称轴的抛物线.
a2
a2
a2
二、双基自测
f 0 0
4.已知 f x 满足对任意 x∈R ，f x f x 0，且当 x≥ 0 时，
f x ex m（m为常数），则 f ln 5 的值为_____4_____.
则 f x在区间 0, 内是增函数.
（√ ）
如何证明？
二、双基自测
2.下列函数中，在区间 0, 上是单调递增的是（
1
(A) y x 2 (B)y 2x (C) y log0.5 x
分析:
A ）.
(D) y 1 x
熟悉初等函数图象
二、双基自测
3.若函数 y x2 2ax 1 在 , 2 上是减函数，则实数a 的取值范围是_2_,____.
分析：
m 1,
f x f x
f ln 5 f ln 5
？
梳理一下思路！
eln5 m 5 m
三、例题讲解
例1
讨论函数
f
x
x
a x
a
0 在区间
0, 内的单调性.
分析： 用定义证明单调性的步骤：
1.任取， 2.作差， 3.变形， 4.与“0”比，
非负项和 因式乘积
我们试一试！
5.结论.
x
(2)函数f x log5 2x 1 的单调增区间是 0, .
（×） （×）
(3)设任意x1, x2∈ a,b
，且x1
x2
f
，
x1
x1
f
x2
x2
0
f x 在区间 a,b 上是增函数.（√）
(4)若函数f x为定义在R 上的奇函数，则一定有 f 0 0. （√ ）
(5)已知函数 y f x 是定义在R上的偶函数，若 f x 在, 0 内是减函数，
分析： 本题考查分段函数单调性问题，
关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小.
解：依题意， 3a 1 0, 0 a 1,
a∈
1 7
,
1 3
.
3a 1 4a≥ loga 1.
三、例题讲解
例5 已知函数 f x 是定义在 0, 内的增函数，若 f a2 a f a 3 ，
则实数a的取值范围为___3_, __1____3_,_____.
(C) y x sin x
(D) y
log2
3 3
x x
解：(A)选项，定义域为R,但 f 1 4, f 1 2, f 1 f 1, f x为非奇非偶函数；
(B)选项，定义域为R, f x ex ex f x, f x 为偶函数；
2
(C)选项，定义域为R, 由于奇×奇=偶， f x 为偶函数；
设 y log1 u，u x2 3x 2，
2
y log1 u 为R上的减函数，u在 ，1 为减函数，
2
函数 y log1 x2 3x 2 的 单调增区间是，1 .
2
三、例题讲解
例3 下列函数为奇函数的是（
）.
(A)y x3 3x2 (B) y ex ex (C) y x sin x 2
(D)选项，定义域为3,3 关于原点对称，
f
x
log2
3x 3+ x
log2
3 3
x x
log2
3 3
x x
f
x,
f x 为奇函数.
三、例题讲解
例4
已知函数
f
x
3a
1
x
4a,
x
≤1,
是R上的单调减函数，
则实数a的取值范l围oga是x,_x__1_.____17_,_13_______.
5.结论.
f
(x)
x
a x
在区间
a, 上单调递增，在区间 0, a 上单调递减.
三、例题讲解
例2 求函数 y log1 x2 3x 2 单调增区间.
2
分析： 1.单调区间是定义域的子集.
2.复合函数单调性判断法则是 “同增异减”.
解： x2 3x 2 0， x 1，或 x 2.
x2 (x1x2
a) .
3.变形，
x1x2
于是当 x1x2 a 0 时，即 x1, x2∈
a, ，f x1 f x2 0, 即 f x1 f x2 .
4.与“0”Biblioteka ，同理当 x1x2 a 0 时，即 x1, x2∈ 0, a ，f x1 f x2 0, 即 f x1 f x2 .
(D) y
log2
3 3
x x
分析： 函数奇偶性的判断方法:
1.用定义，首先确定函数的定义域是否关于原点对称；
2.用性质：（在公共定义域内） 奇±奇=奇，偶±偶=偶；
奇×奇=偶，偶×偶=偶， 奇×偶=奇.
三、例题讲解
例3 下列函数为奇函数的是（ D ）.
(A)y x3 3x2 (B) y ex ex
三、例题讲解
例1
讨论函数
f
x
x
a x
a
0 在区间
0, 内的单调性.
解：
∀ x1, x2∈0, , 且x1 x2 , 则
1.任取，
f
x1
f
x2
x1
a x1
x2
a x2
2.作差，
x1
x2
a
x1 x1x2
x2
由 0 x1 x2 ，得x1 x2 0, x1x2 0,
x1
那么就说函数 f x 在区间D上是增 那么就说函数 f x 在区间D上是减
函数.
函数.
图 象 描 述 自左向右看图象是__上__升____的.
自左向右看图象是__下__降____的.
一、知识梳理
1.函数的单调性
（2）单调区间的定义
如果函数 y f x 在区间D上是_增__函__数__或_减__函__数___，那么就说函数
函数的单调性与奇偶性
高三年级 数学
一、知识梳理
1.函数的单调性
（1）单调函数的定义 增函数
减函数
一般地，设函数 f x 的定义域为 I ，如果对于定义域 I
定 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, x2,
义 当 x1 x2 时，都有_f__x_1____f__x_2__， 当 x1 x2 时，都有_f__x_1____f__x_2__，
y f x 在这一区间具有（严格的）单调性，__区__间__D__叫做函数 y f x
的单调区间.
2.函数的奇偶性
奇函数
偶函数
定义
如果对于函数f x 的定义域内任意一个x，都有
f x f x,
f x f x,
图象 关于__0_,_0__对称，
关于__y_轴___对称.
二、双基自测
1(.1下)函列数结y论正1确在的画“, 0√ ”0,,错误和的内画是“减函×数”..
分析： y x a2 1 a2 ,
分类讨论
此函数图象为开口向上，以 x a 为对称轴的抛物线.
a2
a2
a2
二、双基自测
f 0 0
4.已知 f x 满足对任意 x∈R ，f x f x 0，且当 x≥ 0 时，
f x ex m（m为常数），则 f ln 5 的值为_____4_____.
则 f x在区间 0, 内是增函数.
（√ ）
如何证明？
二、双基自测
2.下列函数中，在区间 0, 上是单调递增的是（
1
(A) y x 2 (B)y 2x (C) y log0.5 x
分析:
A ）.
(D) y 1 x
熟悉初等函数图象
二、双基自测
3.若函数 y x2 2ax 1 在 , 2 上是减函数，则实数a 的取值范围是_2_,____.
分析：
m 1,
f x f x
f ln 5 f ln 5
？
梳理一下思路！
eln5 m 5 m
三、例题讲解
例1
讨论函数
f
x
x
a x
a
0 在区间
0, 内的单调性.
分析： 用定义证明单调性的步骤：
1.任取， 2.作差， 3.变形， 4.与“0”比，
非负项和 因式乘积
我们试一试！
5.结论.
x
(2)函数f x log5 2x 1 的单调增区间是 0, .
（×） （×）
(3)设任意x1, x2∈ a,b
，且x1
x2
f
，
x1
x1
f
x2
x2
0
f x 在区间 a,b 上是增函数.（√）
(4)若函数f x为定义在R 上的奇函数，则一定有 f 0 0. （√ ）
(5)已知函数 y f x 是定义在R上的偶函数，若 f x 在, 0 内是减函数，
分析： 本题考查分段函数单调性问题，
关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小.
解：依题意， 3a 1 0, 0 a 1,
a∈
1 7
,
1 3
.
3a 1 4a≥ loga 1.
三、例题讲解
例5 已知函数 f x 是定义在 0, 内的增函数，若 f a2 a f a 3 ，
则实数a的取值范围为___3_, __1____3_,_____.
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人教版高中数学课件：正弦函数性质(单调性与奇偶性)新人教版
3 2
2
O -1
2
3 2
2
u
y=sinu y=- |sinu|
, k ], k Z
即： 增区间为 减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k
2
], k Z
, k , k
4
], k Z
4
y为增函数 y为减函数
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
3 4 3 4
,k Z ,k Z
为减区间。 为增区间。
当
2k
x 3
4
2k
2
6k
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下：
4
4
y 1
y=|sinu|
2
2
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
3
4
5
6
x
高三一轮函数的奇偶性与单调性54页PPT
高三一轮函数的奇偶性与单调性
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·—孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
54
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·—孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
54
2023届高考人教A版数学一轮复习课件：函数的奇偶性与周期性
(1)函数f(x)=x3(x≥0)是奇函数.( × )
(2)若函数f(x)为奇函数,则必有f(0)=0.( × )
(3)若函数f(x),g(x)均为奇函数,则函数f(g(x))也为奇函数.( √ )
(4)若函数f(x)满足f(x-2)=f(x+3),则函数的周期为1.( × )
(5)若f(4+x)+f(4-x)=0,则函数y=f(4+x)是奇函数.( √ )
(方法2)作出函数f(x)的图象(图略),由f(x)的图象关于原点对称可知,函数为
奇函数.
方法总结判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法:
(2)图象法:
(3)性质法:
在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=
奇.
对点训练1(2021湖南岳阳高三模拟)设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函
故选B.
(2)解 ①函数定义域为R,且f(-x)=(-x)2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以函数是
偶函数.
2
②函数定义域为 R,且 f(-x)=log2(-x+ (-) + 1)=log2(-x+√ 2 + 1)
=log2
1
+ 2 +1
=-log2(x+√ 2 + 1)=-f(x),所以函数是奇函数.
提示根据偶函数的定义,如果函数f(x+a)是偶函数,那么可得到
f(-x+a)=f(x+a),由此可得到函数f(x)图象的对称轴为直线x=a.也可从图象
变换的角度来理解,函数f(x+a)是偶函数,则其图象关于y轴对称,将该图象
(2)若函数f(x)为奇函数,则必有f(0)=0.( × )
(3)若函数f(x),g(x)均为奇函数,则函数f(g(x))也为奇函数.( √ )
(4)若函数f(x)满足f(x-2)=f(x+3),则函数的周期为1.( × )
(5)若f(4+x)+f(4-x)=0,则函数y=f(4+x)是奇函数.( √ )
(方法2)作出函数f(x)的图象(图略),由f(x)的图象关于原点对称可知,函数为
奇函数.
方法总结判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法:
(2)图象法:
(3)性质法:
在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=
奇.
对点训练1(2021湖南岳阳高三模拟)设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函
故选B.
(2)解 ①函数定义域为R,且f(-x)=(-x)2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以函数是
偶函数.
2
②函数定义域为 R,且 f(-x)=log2(-x+ (-) + 1)=log2(-x+√ 2 + 1)
=log2
1
+ 2 +1
=-log2(x+√ 2 + 1)=-f(x),所以函数是奇函数.
提示根据偶函数的定义,如果函数f(x+a)是偶函数,那么可得到
f(-x+a)=f(x+a),由此可得到函数f(x)图象的对称轴为直线x=a.也可从图象
变换的角度来理解,函数f(x+a)是偶函数,则其图象关于y轴对称,将该图象
高三数学复习课件-函数的奇偶性和单调性综合复习
(3)f(x)= (x-1) .
1 x 1 x
评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： (1)求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称. (2)计算f(-x)，并与f(x)比较，判断f(-x)＝f(x)或f(-x)＝-f(x)
之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时，可考查其
例2：函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，满足： f(xy)=f(x)+f(y)，f(8)=3，解不等式f(x)+f(x-2)≥3
[4，+∞）
注：利用函数的单调性解不等式时，必须考虑条件和定义域
练习 1、函数f(x)在（0，+∞）上是减函数求f(a2-a+1)与 f( 3 )的大小关系
3 f(a2-a+1) ≤f( ) 4 2－mx＋5 在区间 [－2，+∞) 上是增 2、函数 f(x)＝4x 函数，求f(1) 的取值范围。 f(1) ≥25 3、设f(x)是定义域为[-1，1]上的增函数， 解不等式f(x-1)<f(x2-1). （1， 2 ]
函数图像能直观地显示函数的单调性.在单调区间上的增函 数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减 函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的.
y
例1 、 画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像， 并指出函数的单调区间.
解：函数图像如下图所示，
当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-(x-1)2+4； 当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-(x+1)2+4.
减↓ 增↑ 减↓ 减↓ 增↑
注：
1、复合函数y=f[g(x)]的单调区间必须是其定义域的 子集 2、对于复合函数y=f[g(x)]的单调性是由函数y=f(u)及 u=g(x)的单调性确定的且规律是“同增，异减”
高考数学一轮复习第二章函数3函数的奇偶性与周期性课件新人教A版2
f(x)g(x)为奇函数,故A错误;
对于B选项,|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)为偶函数,故B错误;
对于C选项,f(-x)|g(-x)|=-f(x)·
|g(x)|,f(x)|g(x)|为奇函数,故C正确;
对于D选项,|f(-x)g(-x)|=|f(x)·
g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.
(6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期.( × )
-7知识梳理
双基自测
1
2
2.下列函数为奇函数的是(
A.y=√
C.y=cos x
3
4
5
)
B.y=|sin x|
D.y=ex-e-x
关闭
令y=f(x),选项A,定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以为非奇非偶函数;
利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等
式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.
-20考点1
考点2
考点3
考点4
(4)解不等式
利用奇偶性与单调性,将抽象函数不等式转化为关于未知数的不
等式,进而得出未知数的取值范围.
(5)画函数图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的
1
1
A. 0, e
B. e ,e
1
D. 0, e ∪(e,+∞)
(3)若f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x3-8,则{x|f(x-2)>0}=
( B )
A.{x|-2<x<0或x>2}
B.{x|0<x<2或x>4}
对于B选项,|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)为偶函数,故B错误;
对于C选项,f(-x)|g(-x)|=-f(x)·
|g(x)|,f(x)|g(x)|为奇函数,故C正确;
对于D选项,|f(-x)g(-x)|=|f(x)·
g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.
(6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期.( × )
-7知识梳理
双基自测
1
2
2.下列函数为奇函数的是(
A.y=√
C.y=cos x
3
4
5
)
B.y=|sin x|
D.y=ex-e-x
关闭
令y=f(x),选项A,定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以为非奇非偶函数;
利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等
式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.
-20考点1
考点2
考点3
考点4
(4)解不等式
利用奇偶性与单调性,将抽象函数不等式转化为关于未知数的不
等式,进而得出未知数的取值范围.
(5)画函数图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的
1
1
A. 0, e
B. e ,e
1
D. 0, e ∪(e,+∞)
(3)若f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x3-8,则{x|f(x-2)>0}=
( B )
A.{x|-2<x<0或x>2}
B.{x|0<x<2或x>4}
3.2函数的单调性与奇偶性课件-2024届高三数学一轮复习
即练即清
1.判断正误(对的打“√”,错的打“✕”)
(1)函数y= 1 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). ( × )
x
(2)若定义在R上的函数f(x)有f(-1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函数. ( × )
(3)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( × )
1
2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 3 .
因此f(1)≠f(-1), f(-1)≠-f(1),
故f(x)为非奇非偶函数.
(3)由1 x2 0, 得函数的定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,
| x 2 | 2,
∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)= lg(1 x2) .
x
又∵f(-x)= lg[1 (x)2]=- lg(1 x2) =-f(x),
1 0
1
+b=ln +b=0,
2 (1 0)
2
∴b=-ln 1 =ln 2,此时f(x)=ln 1 1 +ln 2=ln 1 x ,满足题意.
2
2 1 x
1 x
综上可知,a=-1 ,b=ln 2.
2
答案 -1 ;ln 2
2
即练即清
3.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
1
3x x2
;(2)f(x)=|x|+x;
2.(2024届江苏淮安期中,7)若函数f(x)=(3aax, x1)x1 4a, x 1,是定义在R上的减函数,则a的 取值范围为 ( A )
A. 18
,
1 3
函数的奇偶性课件-2024届高三数学一轮复习
奇函数
偶函数
(3) f (x) g(x)
奇函数
(4) f (x) g(x)
偶函数
题型二：已知函数的奇偶性求参数 例1.已知函数 f (x) (ex aex ) sin 2x是偶函数，则 a _______
解析：解法1：根据f (1) f (1),可以得到a 1; 解法2：ex ex是偶函数；ex ex是奇函数。所以a 1
3
f (a) g(a) 1 4 3
综合应用
2.若函数y f (x)是奇函数，且函数F(x) af (x) bx 2在(0,) 上的最大值为8，则函数F ( x)在(,0)上有（）
A.最大值8 B.最小值8 C.最小值 6 D.最小值 4
解析： f (x)是奇函数，设g(x) af (x) bx,则g(x)也是奇函数。 则g(x)在(0,)有最大值6，则在(,0)有最小值 6,则F(x)在(,0) 有最小值 4, 所以选D
x2 4x 3, x 0
综上：f (x) 0, x 0
x
2
4
x
3,
x
0
题型三：已知函数的奇偶性求表达式、求值
练1.已知奇函数f
(x)
x2
3xx
,
x
0则g(x)
_______
g(x) 1, x 0
练2.已知函数 f (x)是奇函数，函数 g(x)是偶函数，若 f (x) g(x) x sin x,
题型三：已知函数的奇偶性求表达式、求值
例1.已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x 0时，f (x) x2 4x 3， 则函数f (x)的解析式为________
解析： f (x)为奇函数，当 x 0时，f (x) 0;
[精]高三第一轮复习全套课件4三角函数：第4课时 三角函数的单调性、奇偶性、
第4课时 三角函数的单调 性、奇偶性、周期性
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.单调性 (1)y=sinx的单调增区间是[2kπ-π/2，2kπ+π/2](k∈Z)，减区 间是[2kπ+π/2，2kπ+3π/2](k∈Z) (2)y=cosx的单调增区间是[2kπ+π，2kπ+2π](k∈Z)，减区间 是[2kπ，2kπ+π](k∈Z) (3)y=tanx的单调增区间是(kπ-π/2，kπ+π/2)(k∈Z)
(A)f(x+2)是奇函数
(C)f(x-2)是奇函数
(B)f(x+2)是偶函数
(D)f(x-2)是偶函数
3 .已知 函 数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4， 当 f(2001)=5 时 ， f(2002)=( )B (A)1 (B)3 (C)5 (D)7
4.函数y=2sin2x+sin2x是( D ) (A)以2π为周期的奇函数 (B)以2π为周期的非奇非偶函数 (C)以π为周期的奇函数 (D)以π为周期的非奇非偶函数 5.下列命题中正确的是( D ) (A)若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ (B)函数y=sinx· cotx的单调递增区间是(2kπ-π/2，2kπ+ π/2)，k∈Z (C)函数y=(1-cos2x)/sin2x的最小正周期是2π (D) 函 数 y=sinxcos2φ-cosxsin2φ 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 则 φ=kπ/2+π/4，k∈Z
2.判断下列函数是否为周期函数；若是，判断其是否存 在最小正周期，若存在，求出它的最小正周期：
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.单调性 (1)y=sinx的单调增区间是[2kπ-π/2，2kπ+π/2](k∈Z)，减区 间是[2kπ+π/2，2kπ+3π/2](k∈Z) (2)y=cosx的单调增区间是[2kπ+π，2kπ+2π](k∈Z)，减区间 是[2kπ，2kπ+π](k∈Z) (3)y=tanx的单调增区间是(kπ-π/2，kπ+π/2)(k∈Z)
(A)f(x+2)是奇函数
(C)f(x-2)是奇函数
(B)f(x+2)是偶函数
(D)f(x-2)是偶函数
3 .已知 函 数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4， 当 f(2001)=5 时 ， f(2002)=( )B (A)1 (B)3 (C)5 (D)7
4.函数y=2sin2x+sin2x是( D ) (A)以2π为周期的奇函数 (B)以2π为周期的非奇非偶函数 (C)以π为周期的奇函数 (D)以π为周期的非奇非偶函数 5.下列命题中正确的是( D ) (A)若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ (B)函数y=sinx· cotx的单调递增区间是(2kπ-π/2，2kπ+ π/2)，k∈Z (C)函数y=(1-cos2x)/sin2x的最小正周期是2π (D) 函 数 y=sinxcos2φ-cosxsin2φ 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 则 φ=kπ/2+π/4，k∈Z
2.判断下列函数是否为周期函数；若是，判断其是否存 在最小正周期，若存在，求出它的最小正周期：
高考数学一轮复习函数的单调性、奇偶性、周期性-教学课件
提示:不能.如 f(x)= 1 及 f(x)=tan x. x
质疑探究 2:当一个函数的增区间(或减区间) 有多个时,能否用“∪”将函数的单调增区间 (减区间)连接起来? 提示:不能直接用“∪”将它们连接起来,例如: 函数 y=x3-3x 的单调增区间有两个:(-∞,-1) 和(1,+∞),不能写成(-∞,-1)∪(1,+∞).
义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),
f(x)在区间 D 上是增函数
那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数
图
象
描
述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)增减函数定义的等价形式:设 x1,x2∈D,x1≠x2,
解析:(1)f(-1)=-f(1)=-[g(1)-4]=-(2-4)=2. (2)函数 f(x)的定义域是 R, 且 f(-x)=e-x-ex=-f(x), 因此 f(x)为奇函数,故选 A. 答案:(1)2 (2)A
考点四 函数的周期性及应用
【例 4】 已知函数 f(x)对任意的实数满足:f(x+3)=
y=
1 2
x
,定义域为 R,在(0,+∞)上递减,y=x+
1 x
,定义域为(-∞,0)∪
(0,+∞),在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增.故选 A.
3.若函数 f(x)=ax+1 在 R 上递减,则函数 g(x)=a(x2-4x+3)的增区间是( B ) (A)(2,+∞) (B)(-∞,2) (C)(-2,+∞) (D)(-∞,-2) 解析:由 f(x)在 R 上递减知 a<0,所以 g(x)在 (-∞,2)上递增,在(2,+∞)上递减.故选 B.
质疑探究 2:当一个函数的增区间(或减区间) 有多个时,能否用“∪”将函数的单调增区间 (减区间)连接起来? 提示:不能直接用“∪”将它们连接起来,例如: 函数 y=x3-3x 的单调增区间有两个:(-∞,-1) 和(1,+∞),不能写成(-∞,-1)∪(1,+∞).
义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),
f(x)在区间 D 上是增函数
那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数
图
象
描
述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)增减函数定义的等价形式:设 x1,x2∈D,x1≠x2,
解析:(1)f(-1)=-f(1)=-[g(1)-4]=-(2-4)=2. (2)函数 f(x)的定义域是 R, 且 f(-x)=e-x-ex=-f(x), 因此 f(x)为奇函数,故选 A. 答案:(1)2 (2)A
考点四 函数的周期性及应用
【例 4】 已知函数 f(x)对任意的实数满足:f(x+3)=
y=
1 2
x
,定义域为 R,在(0,+∞)上递减,y=x+
1 x
,定义域为(-∞,0)∪
(0,+∞),在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增.故选 A.
3.若函数 f(x)=ax+1 在 R 上递减,则函数 g(x)=a(x2-4x+3)的增区间是( B ) (A)(2,+∞) (B)(-∞,2) (C)(-2,+∞) (D)(-∞,-2) 解析:由 f(x)在 R 上递减知 a<0,所以 g(x)在 (-∞,2)上递增,在(2,+∞)上递减.故选 B.
高考数学第一轮考点复习课件 函数的奇偶性
x)． ▪ ∴f(x)为偶函数．
(4)由1x2－－x12≥≥00，， 得 x2＝1， ∴x＝±1，且 f(x)＝0. ∴f(－x)＝f(x)＝－f(x)． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
▪
▪ 判断函数的奇偶性，首先应考察定义域是 否关于原点对称，再研究f(x)与f(－x)的关 系.
变式迁移 1 判断下列各函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x－1) 11－＋xx； (2)f(x)＝|xlg2－(1－2|－x2)2.
f(x－，x)＝都f(有x)
，那么函数f(x)就
叫做偶函数．
▪ (2)如果对于函数f(x)奇定函义数域内任意一个 x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(奇x)偶就性叫 做 ．如果函数f(x)是奇函数或偶函数， 那么我们就说函数f(x)具有 ．
▪ 2．具有奇偶性的函数的图象特点
▪ 一般地，奇函数的图象原关点于 对称，反
过来，如果一个原点函数的图象关于 对称，
那么这个函数是奇y轴函数；偶函数的图象关
于 对称，反过来，如果一偶函个数函数的图
象关于y轴对称，那么这个函数是
．
▪ 3．函数奇偶性的判定方法
▪ (1)根据定义判定，首先看函数的定义 原域点是否关于 对称，若不非对奇称非，偶 则函数是
函数；若对称，再判定f(－x)＝ f(x)或f(－x)＝－f(x)．有时判f定(x)f＝(－0 x)＝ ±f(x或)比±判较1定困难，可考虑判定f(－x)±
▪ 因为∀x1，x2∈R，且x1<x2，均有x<x， 从而x＋x1<x＋x2.
________.
▪ 解析：∵f(x－4)＝－f(x)， ▪ ∴f(x)＝－f(x－4)＝－[－f(x－8)]＝f(x－
8)．
(4)由1x2－－x12≥≥00，， 得 x2＝1， ∴x＝±1，且 f(x)＝0. ∴f(－x)＝f(x)＝－f(x)． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
▪
▪ 判断函数的奇偶性，首先应考察定义域是 否关于原点对称，再研究f(x)与f(－x)的关 系.
变式迁移 1 判断下列各函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x－1) 11－＋xx； (2)f(x)＝|xlg2－(1－2|－x2)2.
f(x－，x)＝都f(有x)
，那么函数f(x)就
叫做偶函数．
▪ (2)如果对于函数f(x)奇定函义数域内任意一个 x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(奇x)偶就性叫 做 ．如果函数f(x)是奇函数或偶函数， 那么我们就说函数f(x)具有 ．
▪ 2．具有奇偶性的函数的图象特点
▪ 一般地，奇函数的图象原关点于 对称，反
过来，如果一个原点函数的图象关于 对称，
那么这个函数是奇y轴函数；偶函数的图象关
于 对称，反过来，如果一偶函个数函数的图
象关于y轴对称，那么这个函数是
．
▪ 3．函数奇偶性的判定方法
▪ (1)根据定义判定，首先看函数的定义 原域点是否关于 对称，若不非对奇称非，偶 则函数是
函数；若对称，再判定f(－x)＝ f(x)或f(－x)＝－f(x)．有时判f定(x)f＝(－0 x)＝ ±f(x或)比±判较1定困难，可考虑判定f(－x)±
▪ 因为∀x1，x2∈R，且x1<x2，均有x<x， 从而x＋x1<x＋x2.
________.
▪ 解析：∵f(x－4)＝－f(x)， ▪ ∴f(x)＝－f(x－4)＝－[－f(x－8)]＝f(x－
8)．