高中数学必修四主要内容

第一章 三角函数

1.1 任意角和弧度制

角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．

角的分类：

象限角的概念：

①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．

终边相同的角的表示：

所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．

我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略．

弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为

;ππ=r

r

②整圆所对的圆心角为

.22ππ=r

r

③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. r

l

角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：

π2360=?； π=?180；rad 01745.0180

1≈=

?π

；rad n n 180

π

=

?． ②将弧度化为角度：

2360p =?；180p =?；1801(

)57.305718rad p

￠=盎??；180( )n

n p =?．

弧长公式

l l r r

a a =

??

弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．

正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角

1.2 任意角的三角函数

三角函数的定义： 诱导公式

)

Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ

有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

三角函数线的定义：

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点

P (,)x y ， 过P 作x

延 长线交与点T .

由四个图看出：

当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有

sin 1y y y MP r α=

===， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA

α====

我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

（1）三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线

在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂

（Ⅳ） （Ⅲ）

足；正切线由切点指向与α的终边的交点。

（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的

为负值。

（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。 三角函数定义

在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，

它与原点的距离为(0)r r ==

>，那么

（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y

r α=；

（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x

r α=；

（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y

x α=；

（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x

y

α=；

说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大

小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；

③当()2

k k Z π

απ=

+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于

0，

所以tan y

x

α=

无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；

④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y

x

、x y 分别是一个确定的实

数，

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

（1）商数关系：α

ααcon sin tan =

（2）平方关系：1cos sin 2

2=+αα

1.3 诱导公式

诱导公式（一）

tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(ααα

ααα=+?=+?=+?k k k

诱导公式（二）

tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(ααα

ααα=+?-=+?-=+?

诱导公式（三）

tan )tan(cos )cos( sin )sin(ααα

ααα-=-=--=-

诱导公式（四）

tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(ααα

ααα-=-?-=-?=-?

这四个可以总结为：函数名不变，符号看象限 诱导公式（五） sin )2

cos( cos )2sin(ααπ

ααπ

=-=- 诱导公式（六） sin )2

cos( cos )2sin(

ααπ

ααπ

-=+=+ 这两个总结为：函数正变余，符号看象限

1.4 三角函数的图像与性质

（1）函数y=sinx 的图象

第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.

（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.

第二步：在单位圆中画出对应于角6

,

0π

，

3π，2

π

,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.

第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.

把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.

（2）余弦函数y=cosx 的图象

探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？

根据诱导公式cos sin()2

x x π

=+

,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移

2

π

单位即得余y =c

o s

x 的图象. （课件第三页“平移曲线” ）

正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？ 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2

π

,1) (,0) (23π,-1) (2,0)

余弦函数y=cosx x [0,2]的五个点关键是哪几个？(0,1) (

2

π

,0) (,-1) (23π,0) (2,1)

周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

说明：1周期函数x 定义域M ，则必有x+T M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x 0+t) f (x 0)） 3T 往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T 中最小

的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2 （一般称为周期） （1）一般结论：函数sin()y A x ω?=+及函数cos()y A x ω?=+，x R ∈（其中,,A ω? 为

常数，且0A ≠，0ω>）的周期2T π

ω

=

；

（2）若0ω<，如：①3cos()y x =-； ②sin(2)y x =-； ③12sin()26

y x π

=-

-，x R ∈． 则这三个函数的周期又是什么？

一般结论：函数sin()y A x ω?=+及函数cos()y A x ω?=+，x R ∈的周期2||

T π

ω=

y=cosx

y=sinx

π

2π

3π

4π

5π

6π-π-2π-3π-4π-5π-6π

-6π-5π-4π-3π-2π-π6π5π

4π

3π

2π

π

-1

1y x

-11o x

y

奇偶性：函数y=sinx 是奇函数，函数y=cosx 是偶函数。 单调性：2.单调性 从y ＝sinx ，x ∈［－23,

2π

π］的图象上可看出：

当x ∈［－

2π，2π

］时，曲线逐渐上升，sinx 的值由－1增大到1. 当x ∈［2

π，23π

］时，曲线逐渐下降，sinx 的值由1减小到－1.

结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－

2π＋2k π，2

π

＋2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2

π

＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z)上都是减函数，其值

从1减小到－1.

余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；

在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

对称轴：

1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象

的物理意义：其中，二、函数)0,0)(,0[)sin(A >>+∞∈+=ω?ωA x x y

函数表示一个振动量时：

A ：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”. T ：. 2T 间，称为“周期”往复振动一次所需的时ω

π

=

f ：. 2T 1次数，称为“频率”单位时间内往返振动的π

ω==

f :?ω+x 称为“相位” .

:? x=0时的相位，称为“初相”.

1.6三角函数模型的简单应用

第二章 平面向量

2.1平面向量的实际背景及基本概念

向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。 数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）