矩阵论2015年试题

2015年矩阵论

一、判断题（2 X 6=12分）

（1） 线性空间R 3中的正交投影是正交变换。

（2） 如果g (λ)=(λ−2)(λ−5)2是矩阵A 的化零多项式，即g(A)=0，则2和5是矩阵A

的特征值。

（3） 设A 为n 阶方阵，矩阵函数f(A)有意义，如果A 相似于对角矩阵，则f(A)也相似于

对角矩阵。

（4） 如果矩阵运算A ⊗B =0，则矩阵A=0或者B=0。

（5） 如果矩阵A 既有左逆又有右逆，则矩阵A 一定是方阵，且为可逆矩阵。

（6） 对于矩阵A 和矩阵A +的秩，有rank(A) = rank(A +)

二、填空题（每个空3分，共27分）

（1） 设矩阵A =[11+2i 3

23−i −21−22−3i

]，其中 i =√−1，则‖A ‖∞=___________________

（2） 线性空间W =*A ∈R 4x4| A T =A +的维，dimW=____________________________

（3） 设A =[130−2

]，矩阵B 的特征值为2,3,4，则矩阵A ⊗B 的特征值为 （4） 设线性空间R 3中的线性变换T 被定义为绕向量e 2=,010-T ，逆时针旋转一个θ

角的旋转变换，则变换T 的一个二维不变子空间是

（5） 设矩阵A 的UV 分解为A =[50

033064−1][1270250

02]，则矩阵A 的LDV 分解为 （6） 设函数矩阵A(t)=[10t 3t ]，则d(A −1(t))dt

= _____________________________ 三、 （12分）设P 为R 3中的正交投影，P 将空间R 3中的向量投影到平面π上，

π=*(x y z )T |x +y −z =0+，求P 在线性空间R 3的自然基*e 1 e 2 e 3+下的变换矩阵A 。

四、 （15分）设矩阵A =[3

1−112−1210

]，

（1） 求可逆矩阵P 和矩阵A 的Jordan 矩阵J A ，使得P -1AP = J A

（2） 设参数t ≠0，求矩阵函数e At 和矩阵e At 的Jordan 矩阵J e At

五、 （15分）设矩阵A =[1

1111

−1]，（1）求矩阵A 的奇异值分解 （2）求A + 六、 （15分）设矩阵A =[−120t ]，B =[1−2−10]，D =[132−3

]，矩阵方程为AX+XB=D ， （1） 讨论t 为何值，矩阵方程有唯一解

（2） 在矩阵方程有唯一解时，求解其中的未知矩阵X

七、证明题（6分+7分=13分）

（1） 如果矩阵A 是正规矩阵，且矩阵函数f(A)有意义，证明f(A)也是正规矩阵。（6分）

（2）（7分）假设A ∈C n×n 是可逆的，证明：

‖A ‖2‖A −1‖2=σmax σmin 其中σmax ，σmin 分别为A 的最大和最小的奇异值