季节ARIMA模型
季节模型原理
季节模型原理季节模型的原理解析什么是季节模型？季节模型是用于分析和预测时间序列数据（如销售数据、股票价格等）中的季节性变动的一种统计模型。
它可以帮助我们了解某个现象在不同季节中的表现，并预测未来的趋势。
季节模型的基本原理季节模型基于以下两个基本原理来进行分析：1. 季节性变动时间序列数据中往往存在一定的季节性变动，即某些现象在特定季节或时间段中表现出一定的规律性。
例如，零售业中的销售额在每年的春节和圣诞节期间通常会大幅增长，而在其他时间段则相对较平稳。
季节性变动可能是由于天气、节假日、学校开学等因素的影响。
2. 周期性变动除了季节性变动外，时间序列数据还可能存在一定的周期性变动，即某些现象在一定的时间长度内呈现出重复的模式。
例如，股票市场往往存在一定的周期性波动，一般呈现出7天、30天、365天这样的周期。
周期性变动可能是由于经济周期或其他影响因素的影响。
季节模型可以应用于多个领域，帮助分析和预测各种季节性变动的现象。
以下是一些常见的应用领域：•零售业：通过分析历史销售数据的季节性模式，可以预测未来几个季度的销售趋势，从而进行合理的库存管理和促销活动安排。
•旅游业：通过分析过去几年不同季节的旅游需求变化，可以预测未来季度的旅游需求，并根据需求波动进行优化资源配置和价格调整。
•股票市场：通过分析历史交易数据中的周期性变动，可以预测未来股票价格的趋势，从而指导投资决策。
季节模型的建模方法季节模型的建模方法主要包括以下几个步骤：1. 数据收集与准备首先，需要收集相关的时间序列数据，并进行数据清洗和准备工作。
这包括处理缺失值、异常值和噪声等，确保数据的质量。
2. 季节性分析接下来，需要进行季节性分析，找出数据中的季节性模式。
常用的方法包括绘制季节性曲线、计算季节指数和进行分解。
在了解了数据的季节性模式后，可以选择合适的季节模型进行建立。
常用的季节模型包括季节指数法、季节ARIMA模型和季节回归模型等。
4. 模型评估与预测建立季节模型后，需要对模型进行评估，并进行预测。
用python做时间序列预测九：ARIMA模型简介
⽤python做时间序列预测九：ARIMA模型简介本篇介绍时间序列预测常⽤的ARIMA模型，通过了解本篇内容，将可以使⽤ARIMA预测⼀个时间序列。
什么是ARIMA？ARIMA是'Auto Regressive Integrated Moving Average'的简称。
ARIMA是⼀种基于时间序列历史值和历史值上的预测误差来对当前做预测的模型。
ARIMA整合了⾃回归项AR和滑动平均项MA。
ARIMA可以建模任何存在⼀定规律的⾮季节性时间序列。
如果时间序列具有季节性，则需要使⽤SARIMA(Seasonal ARIMA)建模，后续会介绍。
ARIMA模型参数ARIMA模型有三个超参数：p,d,qpAR(⾃回归)项的阶数。
需要事先设定好，表⽰y的当前值和前p个历史值有关。
d使序列平稳的最⼩差分阶数，⼀般是1阶。
⾮平稳序列可以通过差分来得到平稳序列，但是过度的差分，会导致时间序列失去⾃相关性，从⽽失去使⽤AR项的条件。
qMA(滑动平均)项的阶数。
需要事先设定好，表⽰y的当前值和前q个历史值AR预测误差有关。
实际是⽤历史值上的AR项预测误差来建⽴⼀个类似归回的模型。
ARIMA模型表⽰AR项表⽰⼀个p阶的⾃回归模型可以表⽰如下：c是常数项，εt是随机误差项。
对于⼀个AR(1)模型⽽⾔：当ϕ1=0 时,yt 相当于⽩噪声；当ϕ1=1 并且 c=0 时,yt 相当于随机游⾛模型；当ϕ1=1 并且 c≠0 时,yt 相当于带漂移的随机游⾛模型；当ϕ1<0 时,yt 倾向于在正负值之间上下浮动。
MA项表⽰⼀个q阶的预测误差回归模型可以表⽰如下：c是常数项，εt是随机误差项。
yt 可以看成是历史预测误差的加权移动平均值，q指定了历史预测误差的期数。
完整表⽰即: 被预测变量Yt = 常数+Y的p阶滞后的线性组合 + 预测误差的q阶滞后的线性组合ARIMA模型定阶看图定阶差分阶数d如果时间序列本⾝就是平稳的，就不需要差分，所以此时d=0。
季节性ARIMA模型对社会消费品零售总额的建模和预报
季节性ARIMA模型对社会消费品零售总额的建模和预报【摘要】本研究旨在利用季节性ARIMA模型对社会消费品零售总额进行建模和预报。
文章首先介绍了研究背景、研究目的和研究意义，随后详细阐述了模型原理，包括数据准备、模型参数估计和模型评估。
通过对预测结果的分析，得出了模型效果评估，并进行总结和展望。
通过该研究，可以更准确地预测社会消费品零售总额的走势，从而为相关决策提供可靠的参考依据。
【关键词】季节性ARIMA模型、社会消费品零售总额、建模、预报、研究背景、研究目的、研究意义、模型原理介绍、数据准备、模型参数估计、模型评估、预测结果分析、模型效果评估、总结、展望。
1. 引言1.1 研究背景在当今社会，消费品零售总额是一个国家经济发展中非常重要的指标之一。
随着经济的不断发展和人们生活水平的提高，消费品零售总额的变化对国家经济形势和社会发展具有重要影响。
对消费品零售总额进行建模和预测是一项具有重要意义的研究。
在过去的研究中，传统的时间序列模型如ARIMA模型常常被应用于对消费品零售总额进行建模和预测。
季节性因素在消费品零售总额中往往起着重要作用，因此季节性ARIMA模型具有更好的预测能力。
通过考虑季节因素，季节性ARIMA模型能更好地捕捉数据中的周期性变化，从而提高预测的准确性。
本文将结合季节性ARIMA模型对社会消费品零售总额进行建模和预测，以期提高预测的精度和准确性，为国家经济政策的制定提供更为可靠的参考依据。
希望通过本研究能够更好地理解消费品零售总额的变化规律，为促进经济发展和社会稳定做出贡献。
1.2 研究目的研究目的：本文旨在利用季节性ARIMA模型对社会消费品零售总额进行建模和预测，以揭示其规律和趋势变化。
具体目的包括：一是深入探讨消费市场的季节性特征和影响因素，为政府和企业提供合理的决策参考；二是构建可靠的预测模型，准确预测未来社会消费品零售总额的变化趋势，为经济发展和产业布局提供科学依据；三是通过对模型的评估和分析，验证模型的准确性和稳定性，为相关研究提供可靠的数据支持。
季节ARIMA模型与LSTM神经网络预测的比较
理论探讨0引言宏观经济指标都是时间序列数据，GDP 被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，它反映了一国的经济实力和市场规模。
对GDP 的预测可以提前预知经济运行趋势，以便政府根据预测结果对国家宏观经济政策做决策和调整。
例如对投资、进出口、汇率和消费等进行针对性的调整，使GDP 增长趋于稳定，防止通货膨胀和过度失业。
国内外很多组织和学者对宏观经济进行了预测，国际货币基金组织、世界银行、亚洲发展银行、中国社会科学院等众多机构都定期发布相关预测报告。
他们采用的预测方法主要是传统统计计量预测模型和机器学习预测模型。
传统的统计计量预测模型包括向量自回归模型（VAR ）[1]、自回归移动平均模型（ARIMA ）[2]、广义自回归条件异方差模型（GARCH ）[3,4]等。
虽然这些线性模型在经济和金融领域的预测中取得了很大的进步，但由于时间序列本身的不确定性，以及各经济变量复杂的关系和模型建立的各种假设条件的限制，使得线性预测模型受到了极大的限制。
近年来，由于机器学习预测方法有更好的预测精度，因此成为学者研究的热点[5]。
机器学习方法主要有朴素贝叶斯（NB ）、支持向量机（SVM ）等，但这些模型也存在相关的问题：（1）模型的过拟合导致预测失效；（2）优化选择可能导致梯度消失和梯度爆炸从而使学习失效。
而深度学习的预测方法主要有深度神经网络（DNN ）、循环神经网络（RNN ）、长短期记忆网络（LSTM ）等。
这些模型更适合多类型数据的输入，并能够拟合变量间各种复杂的关系，同时还避免了过拟合问题。
LSTM 是从RNN 发展而来的，已被证明在时间序列预测中能更好地模拟数据的长期依赖性，能记忆数据间的长期关系[6]。
LSTM 因其独有的优势已被广泛用于金融预测[7]，但应用于宏观经济指标预测并不多见。
随着我国宏观经济指标数据的不断完善和更新，指标的样本点不断增加，使得采用深度学习方法进行预测成为可能。
为了验证深度学习方法的预测性能，本文选取了常用的传统统计计量预测模型（ARIMA 模型）和目前比较前沿的深度学习方法（LSTM 神经网络），对中国GDP 季度数据进行建模预测，并对两个模型的预测结果进行了比较研究，根据预测模型估算了2019年的现价GDP 总量和GDP 增长率。
季节ARIMA模型建模与预测
案例五、季节ARIMA模型建模与预测实验指导一、实验目的学会识别时间序列的季节变动，能看出其季节波动趋势。
学会剔除季节因素的方法，了解ARIMA模型的特点和建模过程，掌握利用最小二乘法等方法对ARIMA模型进行估计，利用信息准则对估计的ARIMA模型进行诊断，以及如何利用ARIMA模型进行预测。
掌握在实证研究如何运用Eviews软件进行ARIMA模型的识别、诊断、估计和预测。
二、基本概念季节变动：客观社会经济现彖受季节影响，在一年内有规律的季节更替现彖，其周期为一年四个季度或12个月份。
季节ARIMA模型是指将受季节影响的非平稳时间序列通过消除季节影响转化为平稳时间序列，然后将平稳时间序列建立ARMA模型。
ARIMA模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归移动平均过程（ARMA）以及ARIMA过程。
三、实验内容及要求1、实验内容：（1）根据时序图的形状，采用相应的方法把周期性的非平稳序列平稳化；（2）对经过平稳化后的桂林市1999年到2006的季度旅游总收入序列运用经典B-J方法论建立合适的ARDIA（pdq）模型，并能够利用此模型进行未来旅游总收入的短期预测。
2、实验要求：（1）深刻理解季节非平稳时间序列的概念和季节ARIMA模型的建模思想；（2）如何通过观察自相关，偏自相关系数及其图形，利用最小二乘法，以及信息准则建立合适的ARIMA模型；如何利用ARIMA模型进行预测：（3）熟练掌握相关Eviews操作。
四、实验指导1、模型识别（1）数据录入打开Eviews软件，选择"File”菜单中的"New--Workfile"选项，在"Workfilestructuretype”栏选择"Dated-regularfrequency”，在"Datespecification”栏中分别选择"Quarterly%季度数据），分别在起始年输入1999,终止年输入2006,点击ok,见图5-1,这样就建立了一个季度数据的工作文件。
季节ARIMA模型建模与预测
事例五、季节 ARIMA模型建模与展望实验指导一、实验目的学会辨别时间序列的季节改动，能看出其季节颠簸趋向。
学会剔除季节要素的方法，认识 ARIMA 模型的特色和建模过程，掌握利用最小二乘法等方法对ARIMA 模型进行预计，利用信息准则对预计的ARIMA 模型进行诊疗，以及怎样利用ARIMA 模型进行展望。
掌握在实证研究怎样运用Eviews 软件进行ARIMA 模型的辨别、诊疗、预计和展望。
二、基本观点季节改动：客观社会经济现象受季节影响，在一年内有规律的季节更替现象，其周期为一年四个季度或12 个月份。
季节ARIMA 模型是指将受季节影响的非安稳时间序列经过除去季节影响转变为安稳时间序列，而后将安稳时间序列成立ARMA 模型。
ARIMA 模型依据原序列能否安稳以及回归中所含部分的不一样，包含挪动均匀过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归挪动均匀过程（ARMA）以及 ARIMA 过程。
三、实验内容及要求1、实验内容：（1）依据时序图的形状，采纳相应的方法把周期性的非安稳序列安稳化；（2）对经过安稳化后的桂林市1999 年到 2006 的季度旅行总收入序列运用经典B-J 方法论成立适合的ARIMA（p, d ,q）模型，并能够利用此模型进行将来旅行总收入的短期展望。
2、实验要求：（1）深刻理解季节非安稳时间序列的观点和季节ARIMA 模型的建模思想；（2）怎样经过察看自有关，偏自有关系数及其图形，利用最小二乘法，以及信息准则成立适合的 ARIMA 模型；怎样利用 ARIMA 模型进行展望；（3）娴熟掌握有关 Eviews 操作。
四、实验指导1、模型辨别（1）数据录入翻开 Eviews 软件，选择“File菜”单中的“New--Workfile ”选项，在“Workfile structure type”栏选择“Dated –regular frequency ”，在“Date specification 栏”中分别选择“Quarterly”(季度数据)，分别在开端年输入 1999，停止年输入 2006，点击 ok，见图 5-1，这样就成立了一个季度数据的工作文件。
arima数学建模
arima数学建模
摘要：
1.ARIMA 模型介绍
2.ARIMA 模型的组成部分
3.ARIMA 模型的应用
4.ARIMA 模型的优缺点
正文：
ARIMA（AutoRegressive Integrated Moving Average）模型是一种用于时间序列预测的数学建模方法。
它是由自回归模型（AR）、差分整合（I）和移动平均模型（MA）组合而成的。
这种模型主要用于分析和预测具有线性趋势的时间序列数据，例如股票价格、降雨量和气温等。
ARIMA 模型的组成部分主要包括三个部分：自回归模型（AR）、差分整合（I）和移动平均模型（MA）。
自回归模型（AR）是一种通过自身过去的值来预测当前值的线性模型。
差分整合（I）是为了使时间序列数据平稳而进行的一种数学处理。
移动平均模型（MA）则是通过计算时间序列数据的平均值来预测未来值的模型。
ARIMA 模型在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在金融领域，ARIMA 模型可以用于预测股票价格和汇率等；在气象领域，ARIMA 模型可以用于预测降雨量和气温等；在工业生产领域，ARIMA 模型可以用于预测产量和销售量等。
尽管ARIMA 模型在时间序列预测方面具有很好的效果，但它也存在一些
优缺点。
首先，ARIMA 模型的优点在于其理论基础扎实，模型结构简单，计算简便，预测精度较高。
然而，ARIMA 模型也存在一些缺点，例如需要选择合适的模型参数，对非线性时间序列数据的预测效果较差，不能很好地处理季节性和周期性等因素。
总的来说，ARIMA 模型是一种重要的数学建模方法，它在时间序列预测领域具有广泛的应用。
时间序列上机实验-ARIMA模型建立(季节乘积模型)资料
实验二 ARIMA 模型的建立一、实验目的熟悉ARIMA 模型，掌握利用ARIMA 模型建模过程，学会利用自相关系数和偏自相关系数对ARIMA 模型进行识别，利用最小二乘法等方法对ARIMA 模型进行估计，利用信息准则对估计的ARIMA 模型进行诊断，以及学会利用ARIMA 模型进行预测。
掌握在实证研究如何运用Eviews 软件进行ARIMA 模型的识别、诊断、估计和预测。
二、基本概念ARIMA 模型，即将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将平稳的时间序列建立ARMA 模型。
ARIMA 模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA ）、自回归过程（AR ）、自回归移动平均过程（ARMA ）以及ARIMA 过程。
在ARIMA 模型的识别过程中，主要用到两个工具：自相关函数ACF ，偏自相关函数PACF 以及它们各自的相关图。
对于一个序列{}t X 而言，它的第j 阶自相关系数j ρ为它的j 阶自协方差除以方差，即j ρ＝j 0γ ，它是关于滞后期j 的函数，因此我们也称之为自相关函数，通常记ACF(j )。
偏自相关函数PACF(j )度量了消除中间滞后项影响后两滞后变量之间的相关关系。
三、实验内容（1）根据时序图的形状，采用相应的方法把非平稳序列平稳化；（2）对经过平稳化后的2000年1月到2011年10月美国的失业率数据建立ARIMA （,,p d q ）模型，并利用此模型进行失业率的预测。
四、实验要求：了解ARIMA 模型的特点和建模过程，了解AR ，MA 和ARIMA 模型三者之间的区别与联系，掌握如何利用自相关系数和偏自相关系数对ARIMA 模型进行识别，利用最小二乘法等方法对ARIMA 模型进行估计，利用信息准则对估计的ARIMA 模型进行诊断，以及如何利用ARIMA 模型进行预测。
五、实验步骤（1） 输入原始数据打开Eviews 软件，选择“File ”菜单中的“New--Workfile ”选项，在“Workfile structure type ”栏中选择“Dated-regular frequency ”，在“Frequency ”栏中选择“Monthly ”，分别在起始月输入1991.01，终止月输入2010.12，点击ok ，见图1。
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2.8 季节时间序列模型在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。
这种周期是由于季节性变化（包括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。
这类序列称为季节性序列。
比如一个地区的气温值序列（每隔一小时取一个观测值）中除了含有以天为周期的变化，还含有以年为周期的变化。
在经济领域中，季节性序列更是随处可见。
如季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等。
处理季节性时间序列只用以上介绍的方法是不够的。
描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型(seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。
较早文献也称其为乘积季节模型（multiplicative seasonal model）。
设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的变化周期为s，即时间间隔为s的观测值有相似之处。
首先用季节差分的方法消除周期性变化。
季节差分算子定义为，∆s = 1- L s若季节性时间序列用y t表示，则一次季节差分表示为∆s y t = (1- L s) y t = y t- y t - s对于非平稳季节性时间序列，有时需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。
在此基础上可以建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型（注意P、Q 等于2时，滞后算子应为(L s)2 = L2s。
A P (L s) ∆s D y t =B Q(L s) u t(2.60)对于上述模型，相当于假定u t是平稳的、非自相关的。
当u t非平稳且存在ARMA成分时，则可以把u t描述为Φp (L)∆d u t = Θq (L) v t(2.61)其中v t为白噪声过程，p, q分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数，d表示u t的一阶（非季节）差分次数。
由上式得u t = Φp-1(L)∆-dΘq (L) v t(2.62)把(2.62) 式代入(2.60) 式，于是得到季节时间序列模型的一般表达式。
Φp(L) A P(L s) (∆d∆s D y t) = Θq(L) B Q(L s) v t(2.63)其中下标P, Q, p, q分别表示季节与非季节自回归、移动平均算子的最大滞后阶数，d, D分别表示非季节和季节性差分次数。
上式称作(p, d, q) ⨯ (P, D, Q)s阶季节时间序列模型或乘积季节模型。
保证（∆d∆s D y t）具有平稳性的条件是Φp(L)A P(L s) = 0的根在单位圆外；保证（∆d∆s D y t）具有可逆性的条件是Θq (L)B Q(L s) = 0的根在单位圆外。
当P = D = Q = 0时，SARIMA模型退化为ARIMA模型；从这个意义上说，ARIMA模型是SARIMA模型的特例。
当P = D = Q = p = q = d = 0时，SARIMA模型退化为白噪声模型。
(1, 1, 1) ⨯ (1, 1, 1)12阶月度SARIMA模型表达为(1- φ1 L) (1- α1 L12) ∆∆12y t = (1+θ1 L) (1+β1 L12) v t∆∆12y t具有平稳性的条件是|φ1 | < 1，|α1 | < 1，∆∆12y t具有可逆性的条件是|θ1 | < 1，|β1 | < 1。
设log(Y t) = y t，变量∆∆12y t在EViews中用DLOG(Y,1,12)表示（这样表示的好处是EViews 可以直接预测到Y），上式的EViews估计命令是DLOG(Y,1,12) AR(1) SAR(12) MA(1) SMA(12)(0, 1, 1) ⨯ (0, 1, 1)12阶月度SARIMA模型表达为∆∆12y t = (1+ θ1 L) (1+ β1 L12) v t(2.64)(2.64) 式的EViews估计命令是DLOG(Y,1,12) MA(1) SMA(12)由(2.64) 式得∆∆12y t = (1+θ1 L) (1+β1 L12) v t = v t +θ1 L v t +β1 L12v t+ θ1 β1 L13v t= v t +θ1 v t–1 +β1 v t– 12 + θ1 β1v t– 13上式对应的EViews估计命令是DLOG(Y,1,12) MA(1) MA(12) MA(13)模型表达式是∆∆12y t = v t +θ1 v t–1 +θ12 v t– 12 + θ13v t– 13这是一个非季节模型表达式。
以上两个EViews估计命令是等价的，都是估计MA(13)模型。
注意：唯一不同点是上式对v t–13的系数没有约束，而对季节模型来说，相当于增加了一个约束条件，θ13=θ1 β1。
进一步化简∆(y t–y t - 12) = v t +θ1 v t–1 +β1 v t– 12 + θ1 β1 v t– 13∆ y t–∆ y t - 12 = v t +θ1 v t–1 +β1 v t– 12 + θ1 β1 v t– 13用于预测的模型型式是y t = y t -1 + y t - 12– y t – 13 + v t +θ1 v t–1 +β1 v t– 12 + θ1 β1 v t– 13(2.65) 从上式可以看出SARIMA模型可以展开为ARIMA模型。
对乘积季节模型的季节阶数，即周期长度s的识别可以通过对实际问题的分析、时间序列图以及时间序列的相关图和偏相关图分析得到。
以相关图和偏相关图为例，如果相关图和偏相关图不是呈线性衰减趋势，而是在变化周期的整倍数时点上出现绝对值相当大的峰值并呈振荡式变化，就可以认为该时间序列可以用SARIMA模型描述。
建立SARIMA模型，（1）首先要确定d, D。
通过差分和季节差分把原序列变换为一个平稳的序列。
令x t = ∆d∆s D y t（2）然后用x t 建立Φp (L) A P (L s) x t = Θq (L) B Q(L s) v t模型。
注意：（1）用对数的季节时间序列数据建模时通常D不会大于1，P和Q不会大于3。
（2）乘积季节模型参数的估计、检验与前面介绍的估计、检验方法相同。
利用乘积季节模型预测也与上面介绍的预测方法类似。
2.9 季节时间序列建模案例案例1：（文件名：b2c3，5b2c3）北京市1978:1~1989:12社会商品零售额月度数据（y t，单位：亿元人民币）曲线见图2.32，数据见表2.3。
y t与时间呈指数关系且存在递增型异方差。
对数的社会商品零售额月度数据（Ln y t）曲线见图2.33。
Lny t与时间近似呈线性关系（异方差问题也得到抑制）。
02004006008001000787980818283848586878889Y4.55.05.56.06.57.0787980818283848586878889LNY图2.32 y t图2.33 Lny t通过Lny t 的相关图和偏相关图（见图2.34）可以看到Lny t 是一个非平稳序列（相关图衰减很慢）且Lny t 与其12倍数的滞后期存在自回归关系。
图2.34 Lny t 的相关图（下）和偏相关图（上）对Lny t 进行一阶差分，得∆Lny t （图2.35）。
图2.36是对Lny t 进行2次一阶差分的结果，序列∆2Ln y t 是过度差分序列。
从 ∆Lny t 的相关图和偏相关图（图2.37）可以看到，通过差分 ∆Lny t 的平稳性得到很大改进，但与其12倍数的滞后期存在显著的自相关关系。
-0.4-0.20.00.20.4787980818283848586878889DLN Y-0.4-0.20.00.20.4787980818283848586878889D2LN Y图2.35 ∆Ln y t 图2.36 ∆2Ln y t图2.37 ∆Lny t 的相关图（下）和偏相关图（上）对Lny t 进行一次季节性差分（或12阶差分），得 ∆12 Lny t （图2.38）。
从 ∆12 Lny t 的相关图和偏相关图（图2.39）可以看到 ∆12 Lny t 仍然是非平稳的。
-0.4-0.20.00.20.4787980818283848586878889SD LNY图2.38 ∆12 Lny t ，（EViews ：DLOG(Y ,0,12)）图2.39 ∆12 Lny t 的相关图（下）和偏相关图（上）对Lny t 进行一阶差分和一阶季节性差分，得∆∆12 Lny t （见图2.40）。
从x t 的相关图和偏相关图（见图2.41）可以看到∆∆12 Lny t 近似为一个平稳过程。
-0.4-0.20.00.20.4787980818283848586878889D SD LN Y图2.40 ∆ ∆12 Lny t = x t ，（EViews ：DLOG(Y ,1,12)）图2.41 ∆∆12 Lny t 的相关图（下）和偏相关图（上）用1978:1~1989:11期间数据，估计y t 的 (1, 1, 1) ⨯ (1, 1, 0)12阶季节时间序列模型，得结果如下：(1+ 0.5924 L ) (1 + 0.4093 L 12) ∆∆12Lny t = (1+0.4734 L ) v t (2.66)(4.5) (5.4) (1.9)R 2 = 0.33, s.e. = 0.146, Q 36 = 15.5, χ20.05(36-2-1) = 44 EViews 估计命令是DLOG(Y ,1,12) AR(1) SAR(12) MA(1)EViews 输出结果见图2.42。
注意：（1）仔细对照（2.66）式和图2.42输出结果，不要把自回归系数估计值的符号写错。
通过自回归特征根倒数-0.59可知，把表达式中的算子写作(1+ 0.5924 L )是正确的。
通过移动平均特征根倒数-0.47可知，把表达式中的算子写作(1+0.4734 L ) 是正确的。
（2）表达式中，季节和非季节因子（特征多项式）之间是相乘关系。
（3）在EViews 估计命令中把变量写作DLOG(Y ,1,12)的好处是可以直接对y t 和∆∆12 Lny t 预测。
模型残差序列的相关与偏相关图如图2.43。
图2.42 EViews估计结果图2.43模型残差序列的相关与偏相关图对于∆∆12Lny t来，模型参数全部有显著性，Q36 = 15.5 < χ20.05(36-2-1) = 44。
两种检验通过。
见输出结果（2.42），对于∆∆12Lny t，模型共有14个特征根。
图2.44 D12DLny t的实际与预测序列图2.45 y t的实际与预测序列对1989年第12月份y t进行样本外1期预测，结果如图2.46。