《材料力学》第六章-弯曲变形
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材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
材料力学课件ppt-6弯曲变形
L 6
(x
a)3 ]
4、求转角
x 0 代入得：
A
1
x0
Fb(L2 b2 ) 6LEI
x L代入得：
B
2
xL
Fab(L 6LEI
a)
目录
5、求 ymax 。
由 dy 0 求得 ymax 的位置值x。
dx
A
Fb(L2 b2 ) 6LEI
0,
C
1
xa
Fab(a b) 3LEI
0( a
例6-4 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
目录
w w w
目录
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 w
B1
ql3 24 EI
,
wC1
5ql 4 384 EI
w
B3
(ql2 ) l 3EI
ql3
3EI
,
wC 3
3ql 4 48 EI
w
B2
(ql) l2 16 EI
ql3 16 EI
,
wC 2
(ql )l 3 48 EI
则简支梁的转角方程和挠度方程为
AC段 (0 x a)
1(x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2
)],
y1 ( x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
b2 )x],
BC段 (a x L)
2 ( x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2 )]
F(x 2
a)2
,
y2
(x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
b2)x
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形 一、叠加法前提
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
刘鸿文版材料力学第六章
F6bl
(l2
b2 ) x1
CB 段： a x2 l
y
F
A A
DC
FAy x1
x2
a
ym ax b
B B x
FBy
EI
Fb 2 2l
2
x2
F 2
(
x2
a)2
Fb (l2 6l
b2 )
EIy2
Fb 6l
x32
F 6
(
x2
a)3
F6lb (l2 b2 ) x2
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
目录
§6-5 简单超静定梁
例7 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F = 40kN， q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。
解 从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂 梁。
MA
FA FB
FB FB
yB2
yB1
FB
变形协调方程为： 物理关系
yB1 yB 2
4
EI
ql 4 48EI
ql 4 16 EI
11ql 4 ( ) 384 EI
3
ql 3
B i 1 Bi 24EI
ql 3 16EI
ql 3 3EI
11ql 3 ( ) 48EI
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形
例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、
yC
EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C
§6-4 用叠加法求弯曲变形
讨论 叠加法求变形有什么优缺点？
目录
§6-5 简单超静定梁
1.基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束 超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统
材料力学第六章弯曲时的变形精品PPT课件
1
(x)
(1| ww2|)32
(1| ww2|)32
M(x) EI
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 w
M
M
为正, w轴竖直向上为正.
x
O
曲线向下凸时: w 0M 0
M 0
曲线向上凸时, w 0M 0w
w 0
M
M
因此, w 与 M 的正负号相同
O M 0 w 0
x
w (1 w2)32
两段梁的挠曲线方程分别为：
1 ( 0 x a)
挠曲线方程 EIw1 M1Fbl x
转角方程
EIwFb l
x2 2
C1
挠度方程 EIw1Fb lx63C1xD 1
2 (axl )
挠曲线方程 E Iw 2 M 2F b lxF (xa)
转角方程 挠度方程
E Iw 2 'F b lx 2 2F (x 2 a)2C 2 E Iw 2 F b lx 6 3 F (x 6 a )3 C 2 x D 2
转角
B
x
w挠度（
B
3、挠曲线 :梁变形后的轴线称为挠曲线 . 挠曲线方程为:
w f(x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度（
B
转角
4、挠度与转角的关系：
tg w ' w '(x )
w
A
挠曲线
C C'
转角
B
x
w挠度
B
5、挠度和转角符号的规定
挠度:向上为正,向下为负.
转角:自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.
材料力学-第六章
第15单元第六章 弯曲变形§6-1 引言应用：梁的刚度问题，静不定梁，压杆稳定挠曲轴：变弯后的梁轴(当外力位于梁对称面内时，挠曲线为平面曲线)。
挠度()y x ： 横截面形心的位移 转角()θx ：横截面绕中性轴的转角挠曲轴方程：()y y x = (挠曲轴的解析表达式)()tg dy dxy x θ=='()θθ≈='tg y x(通常θ<︒1=0.01745弧度)§6-2 梁变形基本方程目的：求()y x ，()()[]θx y x =' 途径：建立微分方程求解 一、挠曲轴微分方程1.中性层曲率表示的弯曲变形公式()1ρ=M x EI(其中M 可以通过弯矩方程表示为x 的函数，ρ为曲率半径，它可由'y 和''y 表示) 2.由数学()11232ρ=±''+'y y3.挠曲轴微分方程()()±''+'=y y M x EI1232(1) 4.方程简化，挠曲轴近似微分方程 小变形，()'≈<y θ0.0175(弧度)'<<y 21112+'≈y ((1)式分母等于1)正负号确定——确定坐标系：y 向上''>y 0(从数学) ''<y 0M >0(本书规定) M <⇒选正号()∴''=y M x EI二、积分法计算梁的变形()θ='=+⎰y M x EI dx C()y M x EIdx Cx D =++⎰⎰C 、D 为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。
三、位移边界与连续条件边界条件：固定端 y A A ==00,θ 固定铰，活动铰 0,0==F E y y 自由端：无位移边界条件 连续条件 y y C C C C 左右左右===00θθy y y y B BG G G G 左右左右左右===θθ例1：()M x M =0，()''=y x M EI 0()()θ='=+y x M EI x C 0()y x M EIx Cx D =++022由()()y D y C 00000=='==()()∴==y x M EIxx M EIx022θ例2：求挠曲轴微分方程AB 段： BC 段''=y M EI x l 10 ''=-⎛⎝ ⎫⎭⎪y M EI x l201y M EI x lC xD =++03116 y M EI x l x C x D =-⎛⎝ ⎫⎭⎪++0322262边界和连续条件()y 100= ()y l 20=y l y l 1222⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪(连续条件)'⎛⎝ ⎫⎭⎪='⎛⎝ ⎫⎭⎪y l y l 1222 (光滑条件)四个方程定4个常数()()y x M x lEI x l 1022244=- ()()y x M x l EIl2024=-例3：1.画剪力弯矩图2.列挠曲线的位移和连续条件3.画挠曲线大致形状(注明凹凸性与拐点) 位移与连续条件 A ：()y 100= B:()()()()a y a y a y a y 2121'='=,C:()()020232==a y a y ,()()a y a y 2232'=' D:无挠曲线大致形状的画法 (1)根据弯矩图定凹凸性， +→⋃-→⋂,(2)弯矩图过零点处为拐点 (3)支座限定支座处的位移§6-3 计算梁位移的奇异函数法奇异函数法仍属积分法。
工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
q
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
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（b）求截面C的挠度：
C点的挠度为转角 B 引起的挠度和F1作用下的挠度之和。
B 引起的挠度
wC1
a B
F1a 2l 3EI
F2al 2 16 EI
F1作用下的挠度：把BC部分为悬臂梁(图d)，由表6.1（2）得
wC 2
F1a 3 3EI
wC
wC1
wC2
F1a 2 3EI
a l
D1＝D2＝0
将其代入，得转角和挠度方程式为：
EI1
Fbx12－ Fb
2l
6l
l 2－b 2
EI2ຫໍສະໝຸດ Fbx22－ F2l
2
x2－a
2
－
Fb 6l
l 2－b2
EIw1
Fb x13－ Fbx1
6l
6l
l 2－b2
EIw2
Fbx23－ 6l
F 6
x2－a3－
例6.4 图示简支梁，承受均布载荷ｑ和集中力F的作用，试求梁
中点C的挠度(EI为常数)。
解 首先把作用在粱上的载荷系分解为只有均布载荷q作用 和 只有集中力P作用两种情形。
从表 6.1(10)、(8)查得：
wq
5ql 4 -
384 EI
(↓)
wF
- Fl 3 48EI
(↓)
总挠度为：
w
wq
wF
转角方程
挠曲线的斜率为：
tg dw
dx
tg 对于小变形情形，转角θ的值很小
dw 反映了挠度和转角之间的关系
dx
我们知道了挠曲线方程式， 对x求一次导数，就可以得到转 角方程式。因此，研究梁的变 形问题的关键就是建立挠曲线 方程式。
§6.2 挠曲线近似微分方程
上一章中，得出梁的 任一微段曲率公式：
度。这个角位移叫做该截面的转角(θ) ，常用单位为rad。
挠度w和转角θ的正负号与所选的坐标系有关，在图示所选
坐标系中，规定挠度w与坐标的正向一致者为正，反之为负。 转角θ规定以逆时针转者为正，反之为负。
二、挠曲线方程和转角方程
挠度w与转角θ是坐标x的函数：
w=f(x)
挠曲线方程式
θ=f ’(x)
需利用尾架顶尖或中间直接安装中心架等方法，以减小工件
变形，保证加工精度。
例6.2 内燃机中的凸轮轴或某些齿轮轴，可简化成在集中力F作 用下的简支梁，如图6.10所示。试讨论这一简支梁的弯曲变形。
解 (1)分段列出弯矩方程式M(x)。
支反力 AC段
FRA＝
Fb l
FRB＝
Fa l
CB段
（0≤x1≤a）
M
x1
＝
Fb l
x1
（a≤x2≤l）
M
x2
＝
Fb l
x2
-
F
x2
-
a
（2）代人挠曲线近似微分方程式，并积分；
AC段
CB段
E
Iw1＝
Fb l
x1
EIw2
＝
Fb l
x2
-
Fx2
-
a
EI1
Fb x 12 2l
C1
EIw1
Fb 6l
x
3 1
C1
x1
D1
E I 2
Fbx22－ F
以ｘl=0.5l代入w1得:
wl 2
- Fb 48EI
3l 2－4b2
例6.3 桥式起重机的大梁和建筑中的梁都可简化成简支梁，梁的 自重就是均布载荷。讨论在均布载荷作用下，简支梁的弯曲变形。
解：(1)列出弯矩方程式
M＝ qlx － qx2 22
(2)建立挠曲线近似微分方程式,积分。
EI ql x 2－ q x3 C
x1
l2 - b2 3
wmax
-
Fb 9
l2 - b2 3EIl
当载荷P处于梁中点，即ｂ=l／２时，ｘl=0.5l；
当载荷Ｐ移至支座B,即ｂ→０时
l2
x1
0.577l 3
即使在这种极端的情况下，最大挠度的位置距 中点只有0.077l，也就是说点的位置影响甚小，最大 挠度总是发生在梁跨中点的附近。可以认为在工程 中当有一集中力作用在简支梁上时，梁的最大挠度 发生在梁的中点，其结果误差不超过3％。
2l
2
x2－a2＋C2
EIw2
Fbx23－ F
6l
6
x2－a3＋C2 x2＋D2
（3）确定积分常数，得到具体的挠度和转角方程式；
边界条件: 当ｘ1=０时，w1=０； 当ｘ２=l时，w２=０ 连续条件:当ｘ1=ｘ２=ａ时，θ1=θ２ ，w1=w２
得
C1
C2
－ Fb 6l
l 2－b2
由于梁的挠曲线近似微分方程式是线性微分方 程式，梁截面的剪力、弯矩、转角和挠度都是载荷的 线性函数。因此可用叠加法计算梁的变形。即，由载 荷系引起的挠度曲线就等于由各载荷单独作用时所引 起的挠度曲线的迭加。
运用叠加法，可以求出载荷共同作用下的挠度和转 角。其步骤如下:
1.求出各载荷单独作用时的变形； 2.求其代数和 。
- 5ql 4 384 EI
-
Fl 3 48EI
例6.5 车床主轴可简化成图示外伸梁。F1为切削力，F2为齿轮传 动力。若把外伸梁作为等截面梁，求截面B的转角和端点C的挠度。
解：设想沿截面B将外伸梁 分成两部分。AB部分为简支 梁(图c)，梁上除集中力F2外， 在截面B上还有剪力FS和弯矩
M，且FS= F1，M= F1a。剪力
2.用叠加法借助查表求弯曲变形时的注意点 (1)勿舍简就繁； (2)根据题给情况作物理量的代换，不能照搬公式； (3)当题给载荷与表中反向时，表中给出的转角、挠度均应
取相反的符号； (4)当挠曲线方程为分段函数时，应注意每段函数的适用范
围，不能随意取一个。
§6.6 提高弯曲刚度的一些措施
影响梁弯曲变形的各种因素： (1)梁的几何尺寸(惯性矩I和梁长L)， (2)材料的弹性模量, (3)梁的支承和载荷情况。
Ｃ=０，Ｄ=０
1 EI
Plx－ 1
2
Px 2
Plx 2EI
2 -
x l
(5)确定最大挠度
w 1 1 Plx2－ 1 Px3 Plx2 3 - x
EI 2
6 6EI l
工作的最大挠度发生在自由端。 ｘ=l时
wmax
Pl3 3EI
（2）中间铰处，挠曲线是连续而不光滑的，即铰两恻的梁， 在中间铰处挠度相等，但转角不相等。
例6.1 图(a)为车床上用三爪夹紧工件进行切削的示意图。图 (b)为其计算简图。若车刀作用于工件上的力P=360N，工件直
径d=1.5cm，长度l=7.5cm，工件材料的弹性模量E=200GPa， 试问由于工件弯曲变形而产生的最大直径误差是多少?
§6.1 工程中的弯曲变形问题
工程中有些受弯构件在载荷作用下虽能满足强度 要求，但由于弯曲变形过大，刚度不足，仍不能保证 构件的正常工作，成为弯曲变形问题。
出现“爬坡”现象
使齿轮啮合力沿齿宽分布极 不均匀，加速齿轮的磨损。
一、挠度和转角
构件的弯曲变形通常用截面的挠度和转角度量。
梁在横向力作用下发生弯曲变 y
F2al 2 16 EI
例6.6 在简支梁的一部分上作用均布载荷(图6.13)。试求 跨度中点的挠度。设 b l
2
解：可将梁分为两段，用积分法。现用叠加法。
查表6.1（9），微分载荷dF=qdx引起的挠度为
dwC
dF x 48EI
3l 2 4x2
qx 48EI
(4)确定最大挠度和转角
x=l/2时，w’=θ=0,
f max
w l x 2
5ql 4 384 EI
max
A
B
ql 3 24 EI
说明：因为梁结构对称，挠曲线在跨度中点对 称。因此，该点处出现挠度的最大值。
§6.4 用叠加法求弯曲变形
当梁上作用有各种不同的载荷时，M(x)就有比较 多的项，若继续采用积分法计算梁的变形，其计算过 程就比较繁琐，为此，在工程中常采用叠加法。
360 7.53
3 20106
1.54
＝0.0102cm
64
wmax
PL3 3EI
d 2wmax 2 0.0102 0.0204cm
工件长度增至2L，工件的直径误差将增加8倍。即
随着工件长度的增加，其加工精度将明显降低，甚至很难加
工，因此，卡盘夹紧法常用来加工短粗工件，对于细长工件，
从微分学知，曲线w=f(x) 上任一点处的曲率公式：
挠曲线微分方程
说明： 1. 适用范围：虎克定律使用的弹性范围 且当变形很小；可略去剪切变形的影响。 2.挠曲线近似微分方程，其结果虽然是 近似的，但对于大多数工程实际问题来说 是能够满足其精度要求的。
挠曲线近似微分方程
§6.3 用积分法求弯曲变形
Fbx2 6l
l 2－b2
(4)求最大挠度。
令
w1 1 0
Fb 2l
x1
2
-
Fb 6l
l2
- b2
0
当ａ>ｂ时，x1<a，wmax发生在AC段内。
得： x1
l2 -b2 3
wmax
-