第六章 弯曲变形
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材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
第六章弯曲变形ppt课件
2.常见截面对中性轴的惯性矩Iz。
精品课件
弯曲变形/用积分法求弯曲变形
§6.3 用积分法 求弯曲变形
精品课件
d2w M（x） dx2 EI
挠度和转角是弯曲变形的标志，如何 根据挠曲线微分方程求解挠度和转角呢？
精品课件
弯曲变形/用积分法求弯曲变形
由挠曲线的近似微分方程 d 2 w M ( x )
精品课件
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形
例1已知：q、l、EI，
求：wC 和B
精品课件
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形
w
参见188页表6.1
w
w
精品课件
10 8、9
6
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形 w
w
w
精品课件
B1
ql3 24EI
,
5ql4 wC1 384EI
B2
(ql)l2 16EI
q3l , 16EI
(ql)l3 wC2 48EI
B3
(q2l)l q3l , 3EI 3EI
wC3
ql 4 16EI
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形
BB1B2B3
ql 3
ql 3
ql 3 11ql 3
24 EI 3 EI 16 EI 48 EI
w Cw C 1w C 2w C 3 5ql 4 384EI
3 ql 4 48 EI
精品课件
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形
例2已知：F、L、a、EI，
求：wC
F
A
B
C
L
a
精品课件
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形 F 1）考虑AB段(BC段看作刚体)
A
F作用在支座上，不产生变形。
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
工程力学第六章 弯曲变形
荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形
状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，
就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式 48EI
作 业
1、2、4（a、e)
§6-3 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个 载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分 别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
例： 梁AB，横截面为边长为a的正方形，
弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆 形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁 中点的挠度。
例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。
解：
二、梁的刚度计算
刚度条件：
max [ ] max [ ]
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定
q
B
x
l
由边界条件： x 0时， 0 x l时， 0
ql 3 , D0 得： C 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
B
x
l
A qx (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
l 2
x
P AC 解： 段：M ( x ) x 2 y P EI " x 2 A P 2 EI ' x C x 4 l 2 P 3 EI x Cx D 12
《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形
成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2
工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
q
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
材料力学《第六章》弯曲变形ppt课件
F A l C B l
铰支座：wA = 0，wB = 0
弯曲变形对称点：qC = 0
连续性条件：挠曲线为一条光滑连续曲线，其上任意点由唯一 确定的挠度和转角。
F
A
a
上海交通大学
C
B
C截面处： qC+ = qC–
b
wC+= wC–
例1 图示悬臂梁，已知F、l，EIz为常数。 w 试求： qB，wB 解：(1) 弯矩方程 M(x) = –F (l –x)= –Fl + Fx A x l
上海交通大学
称为转角方程
五、挠度与转角之间的微分关系 转角q w 挠曲轴 A q 由几何关系得：q = q '
qC
q'
x
wC C B 挠度w F
由小变形条件：q' ≈ tanq '
d w 由微分知识： tan θ w ( x ) w d x
d w ∴ θ tan θ w ( x ) w d x
B
F
பைடு நூலகம்
变弯后的梁轴称为挠曲轴，又称为挠曲线； 对称弯曲时，挠曲线为位于纵向对称平面内的平面曲线； 小变形下，挠曲线为平坦曲线，水平位移不计，曲线连续、 光滑、单值； 对细长梁，剪力对弯曲变形的影响一般可忽略不计，因而 弯曲变形后梁横截面仍保持为平面，并与挠曲线正交。
上海交通大学
四、弯曲变形的表示和度量
上海交通大学
上式化简为
2 1 d w 2 w ρ (x ) d x
1 M (x ) ρ (x) EI z
(a)
2 1 d w 2 ρ (x ) dx
(b)
(b)代入(a) ，得梁挠曲线的近似微分方程：
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FCy l 3 11Fl 3 , vCFcy vCF y 96 EI 6 EI 11 FCy F 16
天津大学工程力学
解法二：
相当于将原来的超静定梁分解成两个简支梁 变形几何关系: C＝ C
MC l MC l Fl 2 C , C 3 EI 3 EI 16 EI
q lx 2 x 3 C1 EIv 2 2 3
q lx3 x 4 EIv C1 x C2 2 6 12
天津大学工程力学
3．确定积分常数 边界条件： x＝0时，v＝0 x＝l时，v＝0 4．列出转角方程和挠度方程 q l 3 6lx 2 4 x3 24 EI ql 3 C1 ，C 2 0 24
vB 0
vB vBF vBFBy 0
4)列平衡方程，求其余反力
天津大学工程力学
静定基的选取不是唯一的 变形协调条件：
A＝0
即：
A＝AF＋AMA＝0
天津大学工程力学
例8：已知梁的抗弯刚度为EI，试解此超静定梁。
q
B A l
天津大学工程力学
解法一：
q
A
B
FBy
变形协调条件：
§6.4 用叠加法求梁变形
1．叠加法 在若干个载荷共同作用下，梁任意横截面上的变形， 等于各载荷单独作用时引起的变形的代数和. 2．适用条件 在线弹性、小变形情况下，梁的挠度与转角为梁上 载荷的线性齐次式. 教材P172-175 表6 6-3 3 简单载荷下梁的转角和挠度
天津大学工程力学
例4：图示梁 EI 已知，试求vB和θB
q3 ql 48 EI
ql 3 48 EI
vC 2 0
C
q / 2 l / 2 A2 B 2 24 EI
3
ql l3 384 EI
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§6.5 梁的刚度校核
一、弯曲刚度条件
max [ ], ]
（1）刚度校核 （2）设计截面 （3）计算许用载荷
天津大学工程力学
讨论：梁挠曲线的大致形状
M ( x) v EI
由M 的正负确定挠曲线的凹凸性 弯矩图中M为零的点为挠曲线的拐点 若弯矩图中有一段M=0 0，则此段挠曲线为直线 由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致形状
天津大学工程力学
天津大学工程力学
A B
C
D
天津大学工程力学
M max 1 2 1 ql Fl 40kN m 8 4
M max 40 103 10 3 Wz 250 103 (mm ) 3 [ ] 160
查型钢表，18a号槽钢，Wz＝282.8×103mm3， Iz＝2545.4×104mm4
5ql 4 Fl 3 5ql 4 8Fl 3 vmax 384 EI 48 EI 384 EI 5 10 (4 10 3 )4 8 20 10 3 (4 10 3 ) 3 11.78(mm ) [v ] 3 4 384 200 10 2545.4 10
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vmax [v ]
二、刚度条件可进行三方面计算
例7：一跨度l＝4m的简支梁如图示，同时承受均布载荷q＝ 10kN/m和集中载荷F＝20kN。梁由两槽钢组成。已知许用应 力[]＝160MPa，许用挠度[v]＝0.003l，E＝200GPa。试选定 槽钢型号。 解：梁的最大弯矩发生在中点C
天津大学工程力学
B
挠曲线是光滑连续唯一的
例1：试分析图示被切削工件由于弯曲变形而引起的加 工误差。 解:
1．列出弯矩方程、微分方程 M(x)＝F(l－x)
Hale Waihona Puke EI v Fl Fx2．积分
EIv Flx
EIv
F 2 x C 2
Fl 2 F 3 x x Cx D 2 6
Fb 3 F x 2 ( x 2 a ) 3 C 2 x 2 D2 EIv 2 6l 6
天津大学工程力学
3．确定积分常数 边界条件： 在x1＝0处，v1＝0 在x2＝l处， v2＝0 连续条件： 在x1＝x2＝a 处， v1＝ v2 和 v 1＝ v 2 代入（1）、（2）、（3）、（4）联立求解，可得
C1 C 2 Fb 2 2 ( b l ), D1 D2 0 6l
天津大学工程力学
4．列出转角方程和挠度方程
EIv1 Fb 2 b2 l 2 3 x1 6l
EIv 1
EIv 2
Fb 3 x1 b 2 l 2 x1 6l
Fb 2 F Fb 2 2 2 b l x2 x2 a 2l 2 6l
②b
天津大学工程力学
例6：试按叠加原理如图所示等直梁的跨中截面挠 度 vc 和两支座截面的转角θA 及θ B。
天津大学工程力学
天津大学工程力学
5 q / 2 l 4 5ql 4 vC1 384 EI 768 EI
C
q / 2 l 3 A1 24 EI q / 2 l 3 B1 24 EI
EI 2 EIv
Fb 3 F Fb 2 2 3 x2 x2 a b l x2 6l 6 6l
5．最大转角
Fb( l 2 b 2 ) Fab( l b) A , 6 EIl 6 EIl
B
Fab( l a ) 6 EIl
当a>b时， max B
第六章
弯曲变形
第六章 弯曲变形
§6.1 概述
1）工程实际中，除了强度要求外，还有刚度要求。
装有齿轮的传动轴
天津大学工程力学
车床切削加工
2）有时弯曲变形是有益的，在工程中可以利用弯曲变形。
减振板弹簧
原子力显微镜探针
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§6.2 梁的挠曲线的近似微分方程
天津大学工程力学
一、梁弯曲变形的度量——挠度和转角
Fb ( 3 l 2 4b 2 ) 48 EI
vl / 2
天津大学工程力学
当F力靠近B支座时, x1≈0.577l。在这种极端情况下，最大 挠度所在位置仍在梁中点附近，所以用中点挠度代替最大 挠度，引起的误差不超过3%。
A
B
简支梁上不管承受何种载荷，只要其挠曲线朝一个方向弯 曲，即无拐点时，就可用中点挠度来代替最大挠度。
M1
Fb x1 EIv1 l
CB段(a≤x2≤l )
M2 Fb x2 F ( x2 a ) l
EIv 2＝ Fb x2 F ( x2 a ) l
Fb x1 l
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2．积分 AC段(0≤x1≤a)：
EIv1
EIv1 Fb x1 l
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三、提高刚度的措施
1.减少梁跨长 2．超静定梁 增加约束后静定梁变为超静定梁
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3．增大惯矩 改变截面形状，在截面积基本不变下增大惯性矩 4 ． 预加反弯度
5．合理选择材料 采用弹性模量高的材料
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6．合理安排载荷施加方式和支座位置
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§6.6 简单超静定梁
( )
vmax
Fl 3 3 EI
(↑)
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例2：简支梁受均布载荷q，试求此梁的转角方程和 挠度方程，并确定其最大转角和最大挠度。 解: 1．弯矩方程、微分方程
q ql 1 2 M x x qx 2 2
2．积分
q A l B
q EIv M x lx x2 2
q 3 3 4 v l x 2 lx x 24 EI
5. 最大转角与最大挠度
max
ql 3 B A 24 EI
vmax
5ql 4 v(l 2) 384 EI
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例3：图示一简支梁，在C点承受集中载荷F。试求此梁的转角 方程和挠度方程，并确定其最大转角和最大挠度。 解： 1．弯矩方程和微分方程 AC段(0≤x1≤a) )
1．梁的挠曲线(弹性曲线) 轴线变形后所形成的光滑连续的曲线 2．梁变形的度量 符号： ， 梁横截面绕中性轴转动的角度， 1)转角： 正负：逆时针转动为正，反之为负； 2)挠度： 梁横截面形心的竖向位移，符号：v 正负：向上为正，反之为负。
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v
m'θ m c' '
F
t'
θ
v
t
o x l
M ( x) v dxdx Cx D EI
式中C、D为积分常数，由已知的位移边界条件与连续 条件确定。
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二、位移边界条件与连续条件
1) 位移边界条件 固定铰与可动铰 固定端
v0
2)连续条件：
F A C
v 0 v' 0
v|C v|C θ|C θ|C
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3．确定积分常数 边界条件： x＝0时，v＝0 x＝0时，v＝0 4．列出转角方程和挠度方程
F v EI 1 2 lx x 2
F 2 x3 v lx 2 EI 3
C＝0，D＝0
5. 最大转角与最大挠度
max
Fl 2 2 EI
小变形，(v)2<<1,可略去
( x ) v
M ( x) v" EI
3．挠曲线近似微分方程：
M ( x) v EI