第六章 弯曲变形
FCy l 3 11Fl 3 , vCFcy vCF y 96 EI 6 EI 11 FCy F 16
天津大学工程力学
解法二：
相当于将原来的超静定梁分解成两个简支梁 变形几何关系: C＝ C
MC l MC l Fl 2 C , C 3 EI 3 EI 16 EI
q lx 2 x 3 C1 EIv 2 2 3
q lx3 x 4 EIv C1 x C2 2 6 12
天津大学工程力学
3．确定积分常数 边界条件： x＝0时，v＝0 x＝l时，v＝0 4．列出转角方程和挠度方程 q l 3 6lx 2 4 x3 24 EI ql 3 C1 ，C 2 0 24
vB 0
vB vBF vBFBy 0
4)列平衡方程，求其余反力
天津大学工程力学
静定基的选取不是唯一的 变形协调条件：
A＝0
即：
A＝AF＋AMA＝0
天津大学工程力学
例8：已知梁的抗弯刚度为EI，试解此超静定梁。
q
B A l
天津大学工程力学
解法一：
q
A
B
FBy
变形协调条件：
§6.4 用叠加法求梁变形
1．叠加法 在若干个载荷共同作用下，梁任意横截面上的变形， 等于各载荷单独作用时引起的变形的代数和. 2．适用条件 在线弹性、小变形情况下，梁的挠度与转角为梁上 载荷的线性齐次式. 教材P172-175 表6 6-3 3 简单载荷下梁的转角和挠度
天津大学工程力学
例4：图示梁 EI 已知，试求vB和θB
q3 ql 48 EI
ql 3 48 EI
vC 2 0
C
q / 2 l / 2 A2 B 2 24 EI
3
ql l3 384 EI
天津大学工程力学
§6.5 梁的刚度校核
一、弯曲刚度条件
max [ ], ]
（1）刚度校核 （2）设计截面 （3）计算许用载荷
天津大学工程力学
讨论：梁挠曲线的大致形状
M ( x) v EI
由M 的正负确定挠曲线的凹凸性 弯矩图中M为零的点为挠曲线的拐点 若弯矩图中有一段M=0 0，则此段挠曲线为直线 由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致形状
天津大学工程力学
天津大学工程力学
A B
C
D
天津大学工程力学
M max 1 2 1 ql Fl 40kN m 8 4
M max 40 103 10 3 Wz 250 103 (mm ) 3 [ ] 160
查型钢表，18a号槽钢，Wz＝282.8×103mm3， Iz＝2545.4×104mm4
5ql 4 Fl 3 5ql 4 8Fl 3 vmax 384 EI 48 EI 384 EI 5 10 (4 10 3 )4 8 20 10 3 (4 10 3 ) 3 11.78(mm ) [v ] 3 4 384 200 10 2545.4 10
天津大学工程力学
vmax [v ]
二、刚度条件可进行三方面计算
例7：一跨度l＝4m的简支梁如图示，同时承受均布载荷q＝ 10kN/m和集中载荷F＝20kN。梁由两槽钢组成。已知许用应 力[]＝160MPa，许用挠度[v]＝0.003l，E＝200GPa。试选定 槽钢型号。 解：梁的最大弯矩发生在中点C
天津大学工程力学
B
挠曲线是光滑连续唯一的
例1：试分析图示被切削工件由于弯曲变形而引起的加 工误差。 解:
1．列出弯矩方程、微分方程 M(x)＝F(l－x)
Hale Waihona Puke EI v Fl Fx2．积分
EIv Flx
EIv
F 2 x C 2
Fl 2 F 3 x x Cx D 2 6
Fb 3 F x 2 ( x 2 a ) 3 C 2 x 2 D2 EIv 2 6l 6
天津大学工程力学
3．确定积分常数 边界条件： 在x1＝0处，v1＝0 在x2＝l处， v2＝0 连续条件： 在x1＝x2＝a 处， v1＝ v2 和 v 1＝ v 2 代入（1）、（2）、（3）、（4）联立求解，可得
C1 C 2 Fb 2 2 ( b l ), D1 D2 0 6l
天津大学工程力学
4．列出转角方程和挠度方程
EIv1 Fb 2 b2 l 2 3 x1 6l
EIv 1
EIv 2
Fb 3 x1 b 2 l 2 x1 6l
Fb 2 F Fb 2 2 2 b l x2 x2 a 2l 2 6l
②b
天津大学工程力学
例6：试按叠加原理如图所示等直梁的跨中截面挠 度 vc 和两支座截面的转角θA 及θ B。
天津大学工程力学
天津大学工程力学
5 q / 2 l 4 5ql 4 vC1 384 EI 768 EI
C
q / 2 l 3 A1 24 EI q / 2 l 3 B1 24 EI
EI 2 EIv
Fb 3 F Fb 2 2 3 x2 x2 a b l x2 6l 6 6l
5．最大转角
Fb( l 2 b 2 ) Fab( l b) A , 6 EIl 6 EIl
B
Fab( l a ) 6 EIl
当a>b时， max B
第六章
弯曲变形
第六章 弯曲变形
§6.1 概述
1）工程实际中，除了强度要求外，还有刚度要求。
装有齿轮的传动轴
天津大学工程力学
车床切削加工
2）有时弯曲变形是有益的，在工程中可以利用弯曲变形。
减振板弹簧
原子力显微镜探针
天津大学工程力学
§6.2 梁的挠曲线的近似微分方程
天津大学工程力学
一、梁弯曲变形的度量——挠度和转角
Fb ( 3 l 2 4b 2 ) 48 EI
vl / 2
天津大学工程力学
当F力靠近B支座时, x1≈0.577l。在这种极端情况下，最大 挠度所在位置仍在梁中点附近，所以用中点挠度代替最大 挠度，引起的误差不超过3%。
A
B
简支梁上不管承受何种载荷，只要其挠曲线朝一个方向弯 曲，即无拐点时，就可用中点挠度来代替最大挠度。
M1
Fb x1 EIv1 l
CB段(a≤x2≤l )
M2 Fb x2 F ( x2 a ) l
EIv 2＝ Fb x2 F ( x2 a ) l
Fb x1 l
天津大学工程力学
2．积分 AC段(0≤x1≤a)：
EIv1
EIv1 Fb x1 l
天津大学工程力学
三、提高刚度的措施
1.减少梁跨长 2．超静定梁 增加约束后静定梁变为超静定梁
天津大学工程力学
3．增大惯矩 改变截面形状，在截面积基本不变下增大惯性矩 4 ． 预加反弯度
5．合理选择材料 采用弹性模量高的材料
天津大学工程力学
6．合理安排载荷施加方式和支座位置
天津大学工程力学
§6.6 简单超静定梁
( )
vmax
Fl 3 3 EI
(↑)
天津大学工程力学
例2：简支梁受均布载荷q，试求此梁的转角方程和 挠度方程，并确定其最大转角和最大挠度。 解: 1．弯矩方程、微分方程
q ql 1 2 M x x qx 2 2
2．积分
q A l B
q EIv M x lx x2 2
q 3 3 4 v l x 2 lx x 24 EI
5. 最大转角与最大挠度
max
ql 3 B A 24 EI
vmax
5ql 4 v(l 2) 384 EI
天津大学工程力学
例3：图示一简支梁，在C点承受集中载荷F。试求此梁的转角 方程和挠度方程，并确定其最大转角和最大挠度。 解： 1．弯矩方程和微分方程 AC段(0≤x1≤a) )
1．梁的挠曲线(弹性曲线) 轴线变形后所形成的光滑连续的曲线 2．梁变形的度量 符号： ， 梁横截面绕中性轴转动的角度， 1)转角： 正负：逆时针转动为正，反之为负； 2)挠度： 梁横截面形心的竖向位移，符号：v 正负：向上为正，反之为负。
天津大学工程力学
v
m'θ m c' '
F
t'
θ
v
t
o x l
M ( x) v dxdx Cx D EI
式中C、D为积分常数，由已知的位移边界条件与连续 条件确定。
天津大学工程力学
二、位移边界条件与连续条件
1) 位移边界条件 固定铰与可动铰 固定端
v0
2)连续条件：
F A C
v 0 v' 0
v|C v|C θ|C θ|C
天津大学工程力学
3．确定积分常数 边界条件： x＝0时，v＝0 x＝0时，v＝0 4．列出转角方程和挠度方程
F v EI 1 2 lx x 2
F 2 x3 v lx 2 EI 3
C＝0，D＝0
5. 最大转角与最大挠度
max
Fl 2 2 EI
小变形，(v)2<<1,可略去
( x ) v
M ( x) v" EI
3．挠曲线近似微分方程：
M ( x) v EI
合集下载
材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
第六章弯曲变形ppt课件
2.常见截面对中性轴的惯性矩Iz。
精品课件
弯曲变形/用积分法求弯曲变形
§6.3 用积分法 求弯曲变形
精品课件
d2w M（x） dx2 EI
挠度和转角是弯曲变形的标志，如何 根据挠曲线微分方程求解挠度和转角呢？
精品课件
弯曲变形/用积分法求弯曲变形
由挠曲线的近似微分方程 d 2 w M ( x )
精品课件
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形
例1已知：q、l、EI，
求：wC 和B
精品课件
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形
w
参见188页表6.1
w
w
精品课件
10 8、9
6
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形 w
w
w
精品课件
B1
ql3 24EI
,
5ql4 wC1 384EI
B2
(ql)l2 16EI
q3l , 16EI
(ql)l3 wC2 48EI
B3
(q2l)l q3l , 3EI 3EI
wC3
ql 4 16EI
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形
BB1B2B3
ql 3
ql 3
ql 3 11ql 3
24 EI 3 EI 16 EI 48 EI
w Cw C 1w C 2w C 3 5ql 4 384EI
3 ql 4 48 EI
精品课件
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形
例2已知：F、L、a、EI，
求：wC
F
A
B
C
L
a
精品课件
弯曲变形/用叠加法求弯曲变形 F 1）考虑AB段(BC段看作刚体)
A
F作用在支座上，不产生变形。
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
工程力学第六章 弯曲变形
荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形
状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，
就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式 48EI
作 业
1、2、4（a、e)
§6-3 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个 载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分 别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
例： 梁AB，横截面为边长为a的正方形，
弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆 形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁 中点的挠度。
例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。
解：
二、梁的刚度计算
刚度条件：
max [ ] max [ ]
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定
q
B
x
l
由边界条件： x 0时， 0 x l时， 0
ql 3 , D0 得： C 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
B
x
l
A qx (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
l 2
x
P AC 解： 段：M ( x ) x 2 y P EI " x 2 A P 2 EI ' x C x 4 l 2 P 3 EI x Cx D 12
《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形
成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2
工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
q
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
材料力学《第六章》弯曲变形ppt课件
F A l C B l
铰支座：wA = 0，wB = 0
弯曲变形对称点：qC = 0
连续性条件：挠曲线为一条光滑连续曲线，其上任意点由唯一 确定的挠度和转角。
F
A
a
上海交通大学
C
B
C截面处： qC+ = qC–
b
wC+= wC–
例1 图示悬臂梁，已知F、l，EIz为常数。 w 试求： qB，wB 解：(1) 弯矩方程 M(x) = –F (l –x)= –Fl + Fx A x l
上海交通大学
称为转角方程
五、挠度与转角之间的微分关系 转角q w 挠曲轴 A q 由几何关系得：q = q '
qC
q'
x
wC C B 挠度w F
由小变形条件：q' ≈ tanq '
d w 由微分知识： tan θ w ( x ) w d x
d w ∴ θ tan θ w ( x ) w d x
B
F
பைடு நூலகம்
变弯后的梁轴称为挠曲轴，又称为挠曲线； 对称弯曲时，挠曲线为位于纵向对称平面内的平面曲线； 小变形下，挠曲线为平坦曲线，水平位移不计，曲线连续、 光滑、单值； 对细长梁，剪力对弯曲变形的影响一般可忽略不计，因而 弯曲变形后梁横截面仍保持为平面，并与挠曲线正交。
上海交通大学
四、弯曲变形的表示和度量
上海交通大学
上式化简为
2 1 d w 2 w ρ (x ) d x
1 M (x ) ρ (x) EI z
(a)
2 1 d w 2 ρ (x ) dx
(b)
(b)代入(a) ，得梁挠曲线的近似微分方程：
材料力学(刘鸿文)第六章-弯曲变形)
B3
(ql2 ) l 3EI
ql3 3EI
,
q
C1
ql
C2
C3
B1
B2
ql2
B3
3、变形叠加
B B1 B2 B3
ql3 24 EI
ql3 16 EI
ql3 3EI
11ql3 48 EI
C C1 C2 C3 5ql4 (ql)l3 3ql4 11ql 4 384 EI 48EI 48EI 384 EI
根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确 定的挠度和转角；
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
A
C
M B
边界条件 连续性条件
a
L
x0: 0 0
xal 0
x a : C左 C右
例1悬臂梁受力如图所示。求 A 和 A 。
取参考坐标系
ω
q
1、列写弯矩方程
A
M (x) 1 qx2 2
A
a
C
B
EA
光滑连续性条件
L
x a:
C 左
C
右
C左 C右
讨论：挠曲线分段
（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
A
C
M B
a
L
讨论：挠曲线分段
（4）凡分段点处应列出连续条件；
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形
§6-6 提高梁刚度的措施
§6-1 工程中的弯曲变形问题 一、为何要研究弯曲变形
第六章 弯曲变形(材料力学)
d w 2 d x
3/2
M (x) EI
第六章 弯曲变形
挠曲线的近似微分方程 在小变形的情况下，
dw 1 dx
方程中正负号的确定
d2 w d x2
M (x) EI
材料力学Ⅰ
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 为正, w轴竖直向上为正.
第六章 弯曲变形
y
M
M
x
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
§6-1 基本概念及工程实例
一、工程实例
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大 的弹性变形，以满足特定的工作需要。
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形， 以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
材料力学
第六章 弯曲变形
Wednesday, March 11, 2020
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
第六章 弯曲变形
§6-1 基本概念及工程实例 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形 §6-5 静不定梁的解法 §6-6 提高弯曲刚度的措施
F
F
2
2
F
材料力学Ⅰ
二、研究目的:
第六章 弯曲变形
1、 解决梁的刚度问题 2、 求解静不定梁 3、 为研究稳定问题打基础
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
三、梁的变形描述
1、挠度 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向的