材料力学B试题6弯曲变形
材料力学B作业
第一章 绪 论一、选择题1、构件的强度是指_________，刚度是指_________，稳定性是指_________。
A. 在外力作用下构件抵抗变形的能力B. 在外力作用下构件保持其原有的平衡状态的能力C. 在外力作用下构件抵抗破坏的能力2、根据均匀性假设，可认为构件的________在各点处相同。
A. 应力B. 应变C. 材料的弹性常数D. 位移3、下列结论中正确的是________ 。
A. 内力是应力的代数和B. 应力是内力的平均值C. 应力是内力的集度D. 内力必大于应力4、下列说法中，正确的是________ 。
A. 内力随外力的改变而改变。
B. 内力与外力无关。
C. 内力在任意截面上都均匀分布。
D. 内力在各截面上是不变的。
5、图示两单元体虚线表示其受力后的变形情况,两单元体的切应变γ分别为________ 。
A. α，αB. 0，αC. 0，-2αD. α,2α二、计算题1、如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求该点处的正应力σ与切应力τ。
2、已知杆内截面上的内力主矢为F R与主矩M如图所示，且均位于x-y平面内。
试问杆件截面上存在哪种内力分量，并确定其大小。
图中之C点为截面形心。
3、板件ABCD的变形如图中虚线A’B’C’D’所示。
试求棱边AB与AD的平均正应变以及A点处直角BAD的切应变。
第二章 拉伸与压缩一、选择题和填空题1、轴向拉伸杆件如图所示，关于应力分布正确答案是_________。
A 1-1、2-2面上应力皆均匀分布；B 1-1面上应力非均匀分布，2-2面上应力均匀分布；C 1-1面上应力均匀分布，2-2面上应力非均匀分布；D 1-1、2-2面上应力皆非均匀分布。
2、图示阶梯杆AD 受三个集中力作用，设AB 、BC 、CD 段的横截面积分别为3A 、2A 、A ，则三段的横截面上 。
A 轴力和应力都相等B 轴力不等，应力相等C 轴力相等，应力不等D 轴力和应力都不等3、在低碳钢拉伸曲线中，其变形破坏全过程可分为4个变形阶段，它们依次是 、 、 、 。
材料力学B试题6弯曲变形
弯曲变形1. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为：(A) M e1/M e2=2； (B) M e1/M e2=3； (C) M e1/M e2=1/2； (D) M e1/M e2=1/3。
答：(C)2. 外伸梁受载荷如致形状有下列(A)(B)、(C)，(D)四种：答：(B)3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： (A)EI x M x w q xF F x M )(d d ,d d ,d d 22SS ===；(B)EI x M xw q x F F xM)(d d ,d d ,d d 22SS =-=-=； (C)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22SS -==-=；(D)EI x M x w q xF F x M )(d d ,d d ,d d 22SS -=-==。
答：(B)4. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示，自由端的挠度EIl M EI Fl w B 232e 3+=（↓）则截面C 处挠度为：(A)2e 3322323⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛l EI M l EI F （↓）；(B)233223/323⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI Fl l EI F （↓）； (C)2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F （↓）。
答：(C)5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。
答：6.7.(a)、(b)刚度关系为下列中的哪一种： (A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)；(C) (a)=(b)； (D) 不一定。
答：(C)8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。
材料力学课件ppt-6弯曲变形
L 6
(x
a)3 ]
4、求转角
x 0 代入得：
A
1
x0
Fb(L2 b2 ) 6LEI
x L代入得：
B
2
xL
Fab(L 6LEI
a)
目录
5、求 ymax 。
由 dy 0 求得 ymax 的位置值x。
dx
A
Fb(L2 b2 ) 6LEI
0,
C
1
xa
Fab(a b) 3LEI
0( a
例6-4 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
目录
w w w
目录
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 w
B1
ql3 24 EI
,
wC1
5ql 4 384 EI
w
B3
(ql2 ) l 3EI
ql3
3EI
,
wC 3
3ql 4 48 EI
w
B2
(ql) l2 16 EI
ql3 16 EI
,
wC 2
(ql )l 3 48 EI
则简支梁的转角方程和挠度方程为
AC段 (0 x a)
1(x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2
)],
y1 ( x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
b2 )x],
BC段 (a x L)
2 ( x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2 )]
F(x 2
a)2
,
y2
(x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
b2)x
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形 一、叠加法前提
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学第6章弯曲变形
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
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§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
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§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
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§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
《材料力学》弯曲计算-习题
②无均布载荷段弯矩图均为直线。有均布载荷段，弯矩图为
抛物线，其开口与均布载荷方向相同。
(3)弯矩、剪力、载荷集度的关系
①
M '(x) F S (x) F S'(x) q(x)
② FS=0的点是M图的取极值的点，FS=0的段M图是平行
于轴线的直线。
注意: 内力图上要注明控制面值、特殊点纵坐标值。
利用微分关系绘内力图
y
B截面 30.3 +
z
C截面 15.1 z
-
+
69
34.5
(d) 单位:MPa
Engineering Mechanics
四、弯曲 弯曲强度计算
例3 之二
解：（1）求截面形心轴，即中性轴z轴。
yC
( yi Ai ) Ai
170 30 170 30 200 (170 30)
2
2
17030 30 200
解：（1）外力分析，判变形。
10kN
50kN
(a) A
CD
B
z
4m
2m
4m
求得支坐反力
FA 26kN ,FB 34kN
荷载与梁轴垂直，梁将发
26kN 26 16
34kN
生平面弯曲。中性轴z过形心
+ (b)
与载荷垂直，沿水平方向。
FQ(kN)
104 136
34
（2）内力分析，判危险面。剪力
+
(c)
⑤解题步骤：
1）外力分析，判变形、中性轴，求截面的几何性质、支反力。 2）内力分析，判危险面，画剪力图、弯矩图（可只画弯矩图）
3）应力分析，判危险点。 4）强度计算。
材料力学B试题6弯曲变形
弯曲变形1。
已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为：（A) M e1/M e2=2； （B ） M e1/M e2=3；（C ） M e1/M e2=1/2； （D) M e1/M e2=1/3.答:(C)2。
外伸梁受载荷如致形状有下列(A)（B)、（C ）,(D)答:(B)3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： （A ）EI x M xw q xF FxM )(d d ,d d ,d d 22SS ===；(B ）EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S =-=-=; （C)EI x M xw q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S -==-=;(D ）EI x M xw q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S -=-==。
答：（B ）4。
弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示,自由端的挠度EIl M EI Flw B 232e3+=（↓)则截面C 处挠度为：（A ）2e 3322323⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛l EI M l EI F （↓）;（B ）233223/323⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI Fl l EI F （↓）； （C）2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F (↓）.答：（C ）5. 画出（a ）、（b)、(c ）三种梁的挠曲线大致形状。
答：6.7.(a ）、(b)刚度关系为下列中的哪一种: (A) （a)＞（b ）； (B) (a)＜(b)；（C ） (a)=（b ）； （D) 不一定. 答：(C)8。
材料力学弯曲变形
压杆稳定计算 1）根据压杆的约束条件确定长度系数 ）根据压杆的约束条件确定长度系数µ 2）计算杆件自身的柔度 ）计算杆件自身的柔度λ(10.7)，判断发生弯曲的平面 ， 也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面） （也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面） 3）通过比较 的大小，判断计算临界压力的公式 的大小， ）通过比较λ的大小
1. λ1与材料的性能有关，材料不同，λ1的数 与材料的性能有关，材料不同， 值也就不同； 越大，杆件越容易弯曲。 值也就不同；λ越大，杆件越容易弯曲。 2. 满足 1条件的杆件称为细长杆或大柔度杆； 满足λ≥λ 条件的杆件称为细长杆 大柔度杆； 细长杆或 也叫大柔度杆的分界条件。 也叫大柔度杆的分界条件。其临界应力可用欧 拉公式计算。 拉公式计算。 3. λ越大杆件越容易弯曲。 越大杆件越容易弯曲。 越大杆件越容易弯曲 解题步骤： 解题步骤： 1）由截面形状确定最大、最小刚度平面 ）由截面形状确定最大、 2）计算柔度，判断欧拉公式是否适用 ）计算柔度， 3）计算临界压力和临界应力 ）
σ =
P ≤ [σ ] st A
14
图示结构中， 为圆截面杆 直径d=80 mm，A端固 为圆截面杆， 例10.4 图示结构中，AB为圆截面杆，直径 ， 端固 端铰支； 是正方形截面杆 边长a=70 mm，C端也为 是正方形截面杆， 定，B端铰支；BC是正方形截面杆，边长 端铰支 ， 端也为 铰支； 和 杆可以独自发生弯曲变形而互不影响 杆可以独自发生弯曲变形而互不影响； 铰支；AB和BC杆可以独自发生弯曲变形而互不影响；两杆 的材料是A3钢 的材料是 钢，其λp=104 ，l=3 m，稳定安全系数 st=2.5 ； ，稳定安全系数n 求结构的许可载荷P。 求结构的许可载荷 。
π 2E Pcr = σ cr A = 2 ⋅ A = 269kN λ
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弯曲变形1. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为：(A) M e1/M e2=2； (B) M e1/M e2=3； (C) M e1/M e2=1/2； (D) M e1/M e2=1/3。
答：(C)2. 外伸梁受载荷如图状有下列(A)、(B)、(C)(D)四种： 答：(B)3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为：(A)EI x M xw q xF F xM)(d d ,d d ,d d 22SS ===； (B)EI x M xw q x F F x M)(d d ,d d ,d d 22SS =-=-=； (C)EI x M xw q x F F x M)(d d ,d d ,d d 22SS -==-=； (D)EI x M xw q xF F xM)(d d ,d d ,d d 22SS -=-==。
答：(B)4. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示，自由端的挠度EIl M EI Fl w B 232e 3+=（↓） 则截面C 处挠度为：(A)2e 3322323⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI M l EI F （↓）； (B)233223/323⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI Fl l EI F （↓）；(C)2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F （↓）。
答：(C)5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。
答：6.7.、(b)两(A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)；(C) (a)=(b)； (D) 不一定。
答：(C)8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。
答：x =0, w 1=0, 1w '=0；x =2a ，w 2=0，w 3=03w '=。
9. 试画出图示静定组合梁在集中力F答：(a)(b)(c)w ===θw w10. 画出图示各梁的挠曲线大致形状。
答：11. 12. l -2⎥⎦⎤=⎰lx w x 0d d ρ令外伸端长度为a ，内跨长度为2b ，a lb -=，因对称性，由题意有：得= 0 即13. w =-Ax 3处应施加的载荷。
解：EIAx w EI x M 6)(-=''= F S (x ) = -6EIA x=l ， M = -6EIAlF =6EIA （↑），M e =6EIAl ）14. 变截面悬臂梁受均布载荷q E 。
试求截面A 的挠度w A 和截面C 解：x lhb h x b x I 1212)()(303==6F 6Fll由边界条件0,='==w w l x 得3043032,3hb ql D h b ql C -==3042h Eb ql w A -=（↓） ， 30338h Eb ql C =θ（）15. 在刚性圆柱上放置一长2R 、宽b 、厚h 的钢板，已知钢板的弹性模量为E 。
试确定在铅垂载荷q 作用下，钢板不与圆柱接触部分的长度l 及其中之最大应力。
解：钢板与圆柱接触处有 EIql R 2/12=故 qREbh RqEIl 623==16. 弯曲刚度为EI挠度及其挠曲线方程。
解：30)(6)(x l lqx M w EI --==''12024)(120403050l q x l q x l l q EIw -+--=w max 17. 图示梁的左端可以自由上下移动，但不能左右移动及转动。
试用积分法求力F 作用处点A 下降的位移。
解：Fx Fl w EI -=''EIFl w A 33-=（↓）18. 简支梁上自A 至B 的分布载荷q (x )=-线方程。
解：2)(Kx q x M -==''二次积分 B Ax x Kx M ++=412)(x =0， M =0， B =0x =l ， M =0， 123Kl A -=x =0， w =0， D =0x =l ， w =0， 36045Kl C -=)45(3605336x l x l x EIKw +--=（↓） 19. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁原有微小初曲率，其方程为y =Kx 3。
现在梁B 端作用一集中力，如图示。
当F 力逐渐增加时，梁缓慢向下变形，（1）梁与水平面的接触长度； （2）梁B 端与水平面的垂直距离。
解：(1) 受力前C 处曲率Ka a 6)(11=ρ，弯矩M (a )1 = 0 受力后C 处曲率0)(12=a ρ，弯矩M (a )2 = -F (l - a ) (2) 同理, 受力前x 1截面处 0)(),(6d d )(111122111=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=x M x a K x y x xa x ρ受力后x 1截面处 )()(,d d )(1121211221x b F x M x y x --==ρ 积分二次 D Cx EIFx EI Fbx Kx Kax y +++-+=132131211623 C =0， D =020. 图示弯曲刚度为EI 的两端固定梁，其挠度方程为式中A 、B 、C 、D 为积分常数。
试根据边界条件确定常数A 、B 、C 、D ，并绘制梁的剪力F S 、弯矩M 图。
解：x = 0，w = 0，D = 0 0,='=w l x 代入w '方程 242ql B -=21. 已知承受均布载荷q 0三角形分布载荷作用梁中点C 的挠度为w C 答：EIlq 768540（↓）22. 试用叠加法计算图示梁A 点的挠度w A 。
ql解：22)2/(3)2/(3)2/(233aEI a F EI a F EI a F w A ++= EIFa48133=（↓） 23. 试求图示梁BC 段中点的挠度。
解：EIa q EI a qa EI a qa w 384)2(53)3(3)(21433+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=EIqa 8394=（↓） 24. 已知梁的弯曲刚度EI 。
试用叠加法求图示梁截面C 的挠度w C 。
解：EI a a l q EI a l q EI l a l q EI ql w C 96)2(256)2(96)2(76853434⋅-+-+--= EIa l qa 96)23(222-=（↓）25. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数。
试用叠加法求图示梁B 截面的挠度和转角。
解： EI l q EI l q EI l q w B 12011308404040=-=（↓） EIl q EI l q EI l q B 8246303030=-=θ26. 试用叠加法求图示简支梁跨度中点C 的挠度。
解：+27. 用点C 的挠度。
解：EIFlEI l F EI l F w w B B C 483)4/(413414333====（↓）28. 已知简支梁在均布载荷作用下跨中的挠度为EIql w C 38454=，用叠加法求图示梁中点C 的挠度。
解： ()EIl q EI l q w C 76853842/54040=⋅=（↓）29. 弯曲刚度为EIA 端的转角θA 。
解：A d 0θ EI EIllA 10202=⎰θ 30. 弯曲刚度为EI 的等截面梁受载荷如图示，试用叠加法计算截面C 的挠度w C 。
解：EIlq q EI l q q w C 768)(53842/)(5421421+=⋅+⋅=（↓）31. 如图所示两个转子，重量分别为P 1和1及EI 2的两个轴上，支承轴是A 、B 、C 、D 四个轴承。
B 、C 两轴承靠得极近以便于用轴套将此两轴连接在一起。
如果四个轴承的高度相同，两根轴在B 、C 处连接时将出现“蹩劲”现象。
为消除此现象可将A 处轴承抬高，试求抬高的高度。
解： 121116EI l P B ⋅=θ， 222216EI l P C ⋅=θ点A 抬高的高度为131116EI l P +32. 图示梁AB 的左端固定，横截面高度为h ，弯曲刚度为为l α1度为t 2（t 2＞t 1），试求此梁的约束力。
解：因温度变化而弯曲的挠曲线微分方程为 ht t x w x l )(d d d d 1222-==αθq /23q 2由A 处边界条件得 2122)(x ht t w l -=α而 EIl F w B BFB33=33. 图示温度继电器中两种金属片粘结的组合梁，左端固定，右端自由。
两种材料的弹性模量分别为E 1与E 2。
线膨胀系数分别为1l α与2l α，并且1l α＞2l α。
试求温度升高t ℃时在解：1l α＞2l α，梁上凸下凹弯曲 平衡条件 F N1 = F N2 = F N M 1 + M 2 = F N h 变形协调 θ1 =θ2，2211E M E M =ε1 =ε2，即ε1N +ε1M +ε1t =ε2N +ε2M +ε2t 得t I E hM A E F t I E h M AE F l l 222222N21111111N 22αα+-=+- 其中 A 1 = A 2 = bh ，I 1 = I 2 =123bh则 F N1 = F N2 =21222121212114)()(E E E E E E E tbhE l l +++-αα M 1 =21222122122114)(E E E E E E tbh l l ++-αα M 2=21222122122114)(E E E E E E tbh l l ++-αα故 )14()(222122212212122221121E E E E h l E tE b I E l M I E l M w l l B ++-===αα 34. 单位长度重量为q ，弯曲刚度为EI 的均匀钢条放置在刚性平面上，钢条的一端伸出水平面一小段CD ，若伸出段的长度为a ，试求钢条抬高水平面BC 段的长度b 。
解： ()062/2423=-=EIbqa EI qb B θ 35. 图示将厚为h = 3 mm 的带钢围卷在半径R = 1.2 m 的刚性圆弧上，试求此时带钢所产生的最大弯曲正应力。
已知钢的弹性模量E = 210 GPa ，屈服极限s σ= 280 MPa ，为避免带钢产生塑性变形，圆弧面的半径R 应不小于多少？ 解：262maxmax ==ρσEy MPa ，hR Eh+=2s σ， R = 1.12 m 36. 一悬臂梁受分布载荷作用如图示，荷载集度x lq x q 2πcos)(0=，试用叠加原理求自由端处截面B 的挠度w B ，梁弯曲刚度EI 为常量。