第六章 弯曲变形
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材料力学 第六章 弯曲变形
dw EI EI M ( x)dx C dx
再积分一次得挠度：
EIw [ M ( x)dx ]dx Cx D
积分常数：C和D
2、边界条件
用于确定积分常数C和D的梁支承处已知的变形条件，称为边界条件。
x 0, w 0
w x 0 0
dw x 0 dx
x 0
0
w x 0 0 w xl 0
3、连续条件
x a w1 w2 x a w1 w2
以A为原点，取直角坐标系 （1） 求支座反力
RA P, M A Pl
（2）列弯矩方程
M ( x) M A RA x Pl Px
（3）列挠曲线近似微分方程
Px 2 Pl 2 P 3 2 x 6 x 6 EI (3l x)
（教材173页表6-3序2）
（7）求最大转角和最大挠度
Pl 2 B ,即 2 EI
3
max
Pl 2 2 EI
3
Pl Pl wB ,即 w max 3EI 3EI
说明：转角为负，说 明横截面绕中性轴顺 时针转动；挠度为负， 说明B点位移向下。
64
(84 44 ) 188cm4
材料的弹性模量：
E 210GPa 21 106 N/cm2
由表6-1查出，因P1在C处引起的 挠度和在B引起的转角（图c）为：
yCP1
P1a 2 2000 202 (l a ) (40 20) 40.6 104 cm 3 EI 3 21 106 188
将吊车梁简化为如图例 6-12b所示的简支梁。
（1）计算变形
材料力学B第6章弯曲变形
F AA A A A
A A AA A
~ ~ ~ ~
~
第六章 弯曲变形
材料力学
梁的刚度条件
w max w
max
w
许用挠度
许用转角
可从相应的设计规范或手册中查得。
第六章 弯曲变形
材料力学
例 6-1 写出挠度和转角方程，并计算最大挠度wmax.
y O x
M(x)
FQ(x)
tan w wx
这表明挠曲线在某一点的斜率可用该点横截面的转 角表示.
第六章 弯曲变形
材料力学
对于纯弯曲状态，曲率方程为：
M EI z
对于横力弯曲状态 (忽略剪力 FQ ), 曲率方程为:
1
M x 1 x EI Z
经数学推导，可得如下公式：
最后
Fx3 Fax 2 2 Fa3 w2 6 EI 2 EI 3EI
(向下)
(逆时针方向)
7 Fa3 wA w1 x 0 6 EI Fa 2 A 1 x 0 EI
第六章 弯曲变形
材料力学
注意
(1) 如果梁被分成两段，将有4个积分常数，积分 常数的数量是分段数的两倍； (2) 各段之间的连续性条件对于确定积分常数是必须 的；
d w M ( x) 2 dx EI z
d 2w EI 2 M ( x ) dx
2
d 2w M ( x) 2 dx EI z
在我们选定的坐标系中，挠曲轴微分方程的最终形式为
第六章 弯曲变形
材料力学
6.3 用积分法求弯曲变形
对于等截面梁, 微分方程可写为:
d 2w EI 2 M ( x ) dx
材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
工程力学第六章 弯曲变形
荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形
状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，
就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式 48EI
作 业
1、2、4（a、e)
§6-3 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个 载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分 别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
例： 梁AB，横截面为边长为a的正方形，
弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆 形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁 中点的挠度。
例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。
解：
二、梁的刚度计算
刚度条件：
max [ ] max [ ]
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定
q
B
x
l
由边界条件： x 0时， 0 x l时， 0
ql 3 , D0 得： C 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
B
x
l
A qx (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
l 2
x
P AC 解： 段：M ( x ) x 2 y P EI " x 2 A P 2 EI ' x C x 4 l 2 P 3 EI x Cx D 12
《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形
成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2
材料力学6-第六章 弯曲变形
目录第六章弯曲变形 (2)§6－1 弯曲变形基本概念 (2)一、梁的挠曲轴 (2)二、挠度、转角 (2)三、挠度和转角的关系 (2)§6－2 挠曲线的微分方程 (3)§6－3 用积分法求梁弯曲变形 (4)§6－4 用叠加法求梁弯曲变形 (5)一、叠加法原理 (5)二、叠加法的应用 (5)§6－5 简单静不定问题 (7)§6－6 梁的刚度条件 (8)一、梁的刚度条件 (8)二、提高弯曲刚度的措施 (8)第六章 弯曲变形§6－1 弯曲变形基本概念一、梁的挠曲轴在外力作用下，受弯后梁的轴线变为一条连续光滑的曲线。
二、挠度、转角 1. 挠度、转角挠度：梁横截面的形心在垂直于轴线方向的位移。
转角：梁横截面绕其中性轴所转的角位移。
2. 挠度、转角正负规定挠度正负规定： 挠度与坐标轴正向一致取正，反之取负。
转角正负规定： 转角顺时针转向为正，逆时针转向为负。
三、挠度和转角的关系1. 挠曲线方程：)(x v v = 。
挠曲轴是挠曲线方程的函数曲线2. 转角方程：)(x θθ=3. 挠曲线上任一点斜率 dxdv =θtan 在小挠度情况下，θ很小（不超过 1或0.0175rad ）θθtan ≈所以，)()()(x v dxx dv x '==θ§6－2 挠曲线的微分方程1. 梁在纯弯曲情况下的曲率公式EIM 1=ρ a) 2. 对于跨度l 远大于高度h 的细长梁)10(≥lh,剪力对于弯曲变形的影响不计，M 和ρ1皆为x 的函数，所以EIM(x)x 1=）（ρ b) 从几何关系上看，平面曲线的曲率又有表达式：23222)dx dv (1d x 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+±=dx v ）（ρ c) 当M(x)为正时，梁的绕曲线向下凹，022<dx vd ,当M(x)为负时，梁的绕曲线向上凸，022>dx vd ,由弯矩的正负号规定和本章所取坐标系，得：EI M(x))dx dv (1d 23222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-dx v ，在小变形条件下，梁的转角很小，所以得EI M(x)d 22-=dx v 近似微分方程适用于弹性范围内小挠度平面弯曲。
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CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
第六章 弯 曲 变 形
§6.1 概 述
一、工程实践中的弯曲变形问题 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的
强度外, 还要求变形不能过大, 即要求构件有足够的刚度, 以保证结构或机器正常工作。
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
摇臂钻床的摇臂或车床 的主轴变形过大，就会影响 零件的加工精度，甚至会出 现废品。
第六章 弯 曲 变 形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
桥式起重机的横梁变形 过大, 则会使小车行走困难, 出现爬坡现象。
Fx 2EI
(x
2l)
w
F x2 6EI
(x
3l)
最大转角和最大挠度分别为：
max
B
Fl2 2EI
wmax
wB
Fl3 3EI
第六章 弯 曲 变 形
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例：已知梁的抗弯刚度为E I。试求图示简支梁在集中力 F 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax 。
第六章 弯 曲 变 形
2
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
例：已知梁的抗弯刚度为 E I。试求图示悬臂梁在集中 力F 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和 wmax。
第六章 弯 曲 变 形
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解：
B
qa 2 2
2a
3EI
qa (2a)2 16EI
qa3 12EI
D
B
qa3 6EI
qa3 4EI
wD
B
a
qa 4 8EI
5qa 4 24EI
第六章 弯 曲 变 形
+
||
||
+
第六章 弯 曲 变 形
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例：求图示变截面梁的最大挠度和最大转角。
第六章 弯 曲 变 形
6
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例：求图示梁 D 端 的转角和挠度。
例：欲使 AD梁C点挠度 为零, 求 F与q的关系。 解：
+
wC
5q(2a)4 384EI
Fa(2a)2 16EI
0
F
5 6
qa
第六章 弯 曲 变 形
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例：若图示梁 B 端的转 角B 0 , 则力偶矩 M e等于 多少？
例：已知梁的抗弯刚度为 E I。试求图示简支梁的转角 方程、挠曲线方程，并确定max 和 wmax 。
解：由对称性，只考虑半跨梁 ACD
M1(x1) qax1
M
2
(x2
)
qax2
q 2
( x2
a)2
第六章 弯 曲 变 形
(0 x1 a) (a x2 2a)
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例：求图示梁 C点的挠度 wC 。
第六章 弯 曲 变 形
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例：求图示变截面梁 B、C 截面的挠度 wB、wC。
解：
wB
Fa3 3(2EI )
2
q 6EI
[3ax22
( x2
a)3
11a 3
w1
qa 6EI
(11a2 x1
x13
)
w2
q 24EI
[4ax23
( x2
a)4
44a3x2 ]
0 x1 a a x2 2a 0 x1 a a x2 2a
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
1
x1 0
11qa 3 6EI
wmax
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梁的挠曲线近似微分方程: 或
EIw M (x)
EI
d2w dx2
M
(x)
第六章 弯 曲 变 形
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二、用积分法求梁的变形 EIw M (x)
Fl3
Ⅰ
3EI
Ⅱ
第六章 弯 曲 变 形
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例：简支梁在整个梁上受均布载荷q 作用，若其跨度 增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？
wmax
5ql 4 384 E I
第六章 弯 曲 变 形
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例如, 车辆上的板弹簧, 要求有足够大的变形，以缓解 车辆受到的冲击和振动作用。
但在另外一些情况下, 有时却要求构件具有较大的弹性 变形，以满足特定的工作需要。
第六章 弯 曲 变 形
第六章 弯 曲 变 形
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第六章 弯 曲 变 形
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解：AC段
M (x)
F 2
x
EIw
F 2
x
EIw
F 4
x2
C
EIw
F 12
x3
Cx
D
由边界条件 x 0 时 w 0
由对称条件
x
l 2
时
w 0
第六章 弯 曲 变 形
得 D0
得
C
Fl2 16
解：
wB
q(2a)4 8EI
qa(2a)3 3EI
14qa 4 3EI
wD
wB 2
2qa(2a)3 48EI
8qa 4 3EI
第六章 弯 曲 变 形
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~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
解： M (x) F (l x)
EIw F x Fl
EIw
F 2
x2
Flx C
EIw
F 6
x3
Fl 2
x2
Cx
D
由边界条件 x 0 时，w 0 ，w 0
得 CD0
第六章 弯 曲 变 形
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梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
第六章 弯 曲 变 形
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解：
M ( x)
ql 2
x
q 2
x2
EIw
ql 2
x
q 2
x2
EIw
ql 4
x2
q 6
x3
C
EIw
ql 12
x3
q 24
x4
Cx
D
由边界条件 x 0 时，w 0
x l 时， w 0
得
C
ql 3 24
二、弯曲变形的基本概念 1. 挠曲线 —— 梁的轴线变弯后的曲线
挠曲线
第六章 弯 曲 变 形
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2. 挠度和转角
规定：向上的挠度为正；逆时针的转角为正
挠曲线方程： w f (x)
转角方程：
tan
dw dx
第六章 弯 曲 变 形
，
D0
第六章 弯 曲 变 形
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梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q 24 EI
(6lx 2
4x3
l3)
w
qx 24EI
(2lx2
x3
l3)
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
B
ql 3 24 EI
wmax
w
x
l 2
5ql 4 384EI
Fa a2 2(2EI )
5Fa3 12EI
B
Fa 2 2(2EI )
Fa a 2EI
3Fa 2 4EI
wC
wB
B
a
Fa3 3EI
3Fa3 2EI
第六章 弯 曲 变 形
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例：求图示 梁 B、D 两点的 挠度wB 、wD 。
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AC 段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
F 16EI
(4x2
l2)
w
Fx 48EI
(4x2
3l2)
最大转角和最大挠度分别为：
第六章 弯 曲 变 形
§6.1 概 述
一、工程实践中的弯曲变形问题 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的
强度外, 还要求变形不能过大, 即要求构件有足够的刚度, 以保证结构或机器正常工作。
第六章 弯 曲 变 形
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摇臂钻床的摇臂或车床 的主轴变形过大，就会影响 零件的加工精度，甚至会出 现废品。
第六章 弯 曲 变 形
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桥式起重机的横梁变形 过大, 则会使小车行走困难, 出现爬坡现象。
Fx 2EI
(x
2l)
w
F x2 6EI
(x
3l)
最大转角和最大挠度分别为：
max
B
Fl2 2EI
wmax
wB
Fl3 3EI
第六章 弯 曲 变 形
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例：已知梁的抗弯刚度为E I。试求图示简支梁在集中力 F 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax 。
第六章 弯 曲 变 形
2
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例：已知梁的抗弯刚度为 E I。试求图示悬臂梁在集中 力F 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和 wmax。
第六章 弯 曲 变 形
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解：
B
qa 2 2
2a
3EI
qa (2a)2 16EI
qa3 12EI
D
B
qa3 6EI
qa3 4EI
wD
B
a
qa 4 8EI
5qa 4 24EI
第六章 弯 曲 变 形
+
||
||
+
第六章 弯 曲 变 形
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例：求图示变截面梁的最大挠度和最大转角。
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6
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例：求图示梁 D 端 的转角和挠度。
例：欲使 AD梁C点挠度 为零, 求 F与q的关系。 解：
+
wC
5q(2a)4 384EI
Fa(2a)2 16EI
0
F
5 6
qa
第六章 弯 曲 变 形
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例：若图示梁 B 端的转 角B 0 , 则力偶矩 M e等于 多少？
例：已知梁的抗弯刚度为 E I。试求图示简支梁的转角 方程、挠曲线方程，并确定max 和 wmax 。
解：由对称性，只考虑半跨梁 ACD
M1(x1) qax1
M
2
(x2
)
qax2
q 2
( x2
a)2
第六章 弯 曲 变 形
(0 x1 a) (a x2 2a)
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例：求图示梁 C点的挠度 wC 。
第六章 弯 曲 变 形
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例：求图示变截面梁 B、C 截面的挠度 wB、wC。
解：
wB
Fa3 3(2EI )
2
q 6EI
[3ax22
( x2
a)3
11a 3
w1
qa 6EI
(11a2 x1
x13
)
w2
q 24EI
[4ax23
( x2
a)4
44a3x2 ]
0 x1 a a x2 2a 0 x1 a a x2 2a
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
1
x1 0
11qa 3 6EI
wmax
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梁的挠曲线近似微分方程: 或
EIw M (x)
EI
d2w dx2
M
(x)
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二、用积分法求梁的变形 EIw M (x)
Fl3
Ⅰ
3EI
Ⅱ
第六章 弯 曲 变 形
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例：简支梁在整个梁上受均布载荷q 作用，若其跨度 增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？
wmax
5ql 4 384 E I
第六章 弯 曲 变 形
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例如, 车辆上的板弹簧, 要求有足够大的变形，以缓解 车辆受到的冲击和振动作用。
但在另外一些情况下, 有时却要求构件具有较大的弹性 变形，以满足特定的工作需要。
第六章 弯 曲 变 形
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解：AC段
M (x)
F 2
x
EIw
F 2
x
EIw
F 4
x2
C
EIw
F 12
x3
Cx
D
由边界条件 x 0 时 w 0
由对称条件
x
l 2
时
w 0
第六章 弯 曲 变 形
得 D0
得
C
Fl2 16
解：
wB
q(2a)4 8EI
qa(2a)3 3EI
14qa 4 3EI
wD
wB 2
2qa(2a)3 48EI
8qa 4 3EI
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~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
解： M (x) F (l x)
EIw F x Fl
EIw
F 2
x2
Flx C
EIw
F 6
x3
Fl 2
x2
Cx
D
由边界条件 x 0 时，w 0 ，w 0
得 CD0
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梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
第六章 弯 曲 变 形
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解：
M ( x)
ql 2
x
q 2
x2
EIw
ql 2
x
q 2
x2
EIw
ql 4
x2
q 6
x3
C
EIw
ql 12
x3
q 24
x4
Cx
D
由边界条件 x 0 时，w 0
x l 时， w 0
得
C
ql 3 24
二、弯曲变形的基本概念 1. 挠曲线 —— 梁的轴线变弯后的曲线
挠曲线
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2. 挠度和转角
规定：向上的挠度为正；逆时针的转角为正
挠曲线方程： w f (x)
转角方程：
tan
dw dx
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，
D0
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梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q 24 EI
(6lx 2
4x3
l3)
w
qx 24EI
(2lx2
x3
l3)
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
B
ql 3 24 EI
wmax
w
x
l 2
5ql 4 384EI
Fa a2 2(2EI )
5Fa3 12EI
B
Fa 2 2(2EI )
Fa a 2EI
3Fa 2 4EI
wC
wB
B
a
Fa3 3EI
3Fa3 2EI
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例：求图示 梁 B、D 两点的 挠度wB 、wD 。
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AC 段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
F 16EI
(4x2
l2)
w
Fx 48EI
(4x2
3l2)
最大转角和最大挠度分别为：