计数原理、概率、 (1)

核心考点·精准研析
（参考数据:0.33≈ 1 )
3
(1)如果试验继续下去,根据上表数据,出现“数字之和为7”的频率将稳定在它 的概率附近.试估计“出现数字之和为7”的概率,并求x的值. (2)在(1)的条件下,设定一种游戏规则:每次摸2球,若数字和为7,则可获得奖金 7元,否则需交5元.某人摸球3次,设其获奖金额为随机变量η元,求η的数学期 望和方差.
A.0.1
B.0.2
C.0.5
D.0.9
核心考点·精准研析
2.已知离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
P
1
p
3
E(X)= 4 ,D(X)= 2 ,则px1x2的最小值为 ________.
3
9
核心考点·精准研析
3.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶 6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售 经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求 量为500瓶;如果最高气温位于区间 ,需求量为300瓶;如果最高气温低于20, 需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高 气温数据,得下面的频数分布表:
核心考点·精准研析
①下面是检验员在某次抽取的20件药品的主要药理成分含量:10.02,9.78,
10.04,9.92,10.14,10.04,9.22,10.13,9.91,9.95,10.09,9.96,9.88,10.01,
9.98,9.95,10.05,10.05,9.96,10.12.
经计算得
核心考点·精准研析
摸球总 次数 10 20 30 60 90 120 180 240 330 450
“和为7”出现 的频数 1 9 14 24 26 37 58 82 109 150
“和为7”出现 的频率 0.10 0.45 0.47 0.40 0.29 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33
核心考点·精准研析
核心考点·精准研析
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列. (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的 进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值.
核心考点·精准研析
核心考点·精准研析
(1)假设生产状态正常,记X表示某次抽取的20件药品中主要药理成分含量在 (μ-3σ,μ+3σ)之外的药品件数,求P(X=1) (精确到0. 000 1)及X的数学期望. (2)在一天内四次检测中,如果有一次出现了主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+ 3σ)之外的药品,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现异常情况,需 对本次的生产过程进行检查;如果在一天中,有连续两次检测出现了主要药理成 分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品,则需停止生产并对原材料进行检测.
3
3
3
则η=7ξ-5(3-ξ)=12ξ-15,
E(η)=E(12ξ-15)=12E(ξ)-15=12-15=-3, D(η)=D(12ξ-15)=144D(ξ)=144× 2 =96.
3
22 33
核心考点·精准研析
命题角度2 与统计中的回归直线方程、独立性检验有关的综合问题 【典例】随着手机的发展,“微信”逐渐成为人们交流的一种形式,某机构对 “使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对 “使用微信交流”赞成人数如表:
P(X
0)
C37 C130
7 ，P(X 24
1)
C72C13 C130
21， 40
P(X 2) C17C32 7 ，P(X 3) C33 1 ，
C130 40
C130 120
核心考点·精准研析
所以X的分布列为
所以均值为E(X)=0× 7 1 21 2 7 3 1 9 .
24 40 40 120 10
9
3
选B.
核心考点·精准研析
考点三 与统计交汇的综合问题
考什么:与统计知识交汇命题,考查统计背景下离散型随机变量的分 命 布列、均值、方差的计算问题. 题 怎么考:与统计中频率分布直方图、独立性检验、线性回归方程、 精 茎叶图等知识结合,综合考查统计中的数字特征和概率分布中的均 解 值、方差. 读 新趋势:概率与统计结合,综合考查离散型随机变量的分布列、均
核心考点·精准研析
(2)①当200≤n≤300时,若X=200,
则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=4X-2n=800-2n, P(Y=800-2n)=1 .
5
若X=300时, 则Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)2= ,
5
若X=500时, 则Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)2= .
核心考点·精准研析
2.因为 2+p=1,
3
所以p= 1,
3
又因为E(X)=
2 3
x1+
13x2=
4,
3
D(X)=
2 3
(x1
4 3
)2
1 3
(x 2
4 3
)2
2， 9
解得
xx12
1， 或
2
x1 x 2
5， 3 2， 3
核心考点·精准研析
所以px1x2=2
3
或px1x2=1207 ,
所以px1x2的最小值为1207 .
所以Pk+1= 1 ,k∈N*,
3
所以Pk+1-
1 4
=
1 3
(Pk
1 4
).
由P1=1知,数列{Pk
1} 4
是首项为
3 4
,公比为- 1
3
的等比数列,所以Pk-
1 3 ( 1 )k1， 44 3
所以Pk=
1 4
3 4
(
1 3
)k1，P7
1 4
3 4
(
1 )6 3
61 . 243
答案: 61
243
核心考点·精准研析
命题角度1 与统计中的频率分布直方图等有关的综合问题 【典例】一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球,分别标有不同的数字 2,3,4,x,现从袋中随机摸出2个球,并计算摸出的这2个球上的数字之和,记录后 将小球放回袋中搅匀,进行重复试验.记A事件为“数字之和为7”.试验数据如 表:
核心考点·精准研析
(1)若以“年龄55岁为分界点”,由统计数据完成2×2列联表,并判断是否有 99.9%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.
年龄不低于 55岁的人数 赞成 不赞成 总计
年龄低于 55岁的人数
总计
核心考点·精准研析
(2)若从年龄不低于55岁的被调查人中随机选取3人进行追踪调查,求3人中赞成 “使用微信交流”的人数的分布列和均值.参考数据:
核心考点·精准研析
考点二 与数列有关的综合问题 【典例】某情报站有A,B,C,D四种互不相同的密码,每周都是从上周未使用的三 种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用A种密码,则第7周也使用A种密 码的概率为________.(用最简分数表示)
核心考点·精准研析
【解析】用Pk表示第k周用A种密码的概率,则第k周未用A种密码的概率为1-Pk,
5
若X=300时,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=1 200-2n, P(Y=1 200-2n)=2 .
5
若X=500时,则Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n2)= .
5
所以Y的分布列为:
核心考点·精准研析
所以E(Y)= 1 ×(800-2n)+ 2×(1 200-2n)+ ×22n=- n+2640<- × 2
37 1310 40
所以有99.9%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.
核心考点·精准研析
(2)设3人中赞成“使用微信交流”的人数为X,
则X的取值为0,1,2,3,
由(1)中数据可得年龄不低于55岁的人数为10,其中赞成“使用微信交流”的
人数为3,不赞成“使用微信交流”的人数为7,
所以
K2=
n(ad－bc）2
，其中n=a+b+c+d.
(a b）(c d）(a c）(b d）
核心考点·精准研析
【解析】(1)2×2列联表如下:
赞成 不赞成 总计
年龄不低于 55岁的人数 3 7 10
年龄低于 55岁的人数 34 6 40
总计
37 13 50
核心考点·精准研析
K2的观测值k=50 (3 6 34≈172）2.578>10.828,
核心考点·精准研析
【解析】(1)由数据表可知,当试验次数增加时,频率稳定在0.33附近,
所以可以估计“出现数字之和为7”的概率为 1 ;
3
因为P(A)=
1 3
2 C24
，
所以A事件包含两种结果,
则有3+4=2+x=7,解得x=5.
核心考点·精准研析
(2)设ξ表示3次摸球中A事件发生的次数,
则ξ～A (3，1E)(，ξ)=3× =1,D1(ξ)=3× × = 1;
5
所以Y的分布列为:
核心考点·精准研析
所以E(Y)= 1×(800-2n)+ 2×2n+ ×22n
5
5
5
= 65n+160,所以当n=300时,E(Y)max=520(元).
核心考点·精准研析
②当300<n≤500时,若X=200,