2019版九年级数学下册 第二章 二次函数 2.5 二次函数与一元二次方程一课一练 基础闯关 (新版

二次函数与一元二次方程
一课一练·基础闯关
题组一二次函数与一元二次方程的关系
1.(xx·苏州中考)若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为( )
A.x1=0,x2=4
B.x1=-2,x2=6
C.x1=,x2=
D.x1=-4,x2=0
【解析】选A.∵二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),
∴4a+1=0,∴a=-,
∴方程a(x-2)2+1=0为方程-(x-2)2+1=0,
解得:x1=0,x2=4.
2.若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为
( )
世纪金榜导学号18574077 A.x1=-3,x2=-1 B.x1=1,x2=3
C.x1=-1,x2=3
D.x1=-3,x2=1
【解析】选C.∵二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),
∴方程ax2-2ax+c=0一定有一个解为:x=-1,
∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴的另一个交点为(3,0),∴方程ax2-2ax+c=0的解为:x1=-1,x2=3.
3.(xx·徐州中考)若函数y=x2-2x+6的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是( )
A.b<1且b≠0
B.b>1
C.0<b<1
D.b<1
【解析】选A.当抛物线与x轴有两个交点时,Δ>0. y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,说明该抛物线与x轴有两个交点且b≠0,∴Δ=4-4b>0,解得b<1,∴b的取值范围是b<1且b≠0.
4.(xx·镇江中考)若二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点,则实数n=________.
世纪金榜导学号18574078
【解析】二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点,说明“Δ=b2-4ac=0”,
即(-4)2-4×1·n=0,所以n=4.
答案:4
5.(xx·东台市月考)如图,是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,它与x轴的一个交点为A(3,0),根据图象,可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是____________.
【解析】设抛物线与x轴的另一个交点坐标为(x,0),
∵抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等,
∴=1,
解得:x=-1.
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0),
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x=3或x=-1.
答案:x=3或x=-1
6.(xx·杭州一模)设抛物线y=mx2-2mx+3(m≠0)与x轴交于点A(a,0)和B(b,0).
世纪金榜导学号18574079
(1)若a=-1,求m,b的值.
(2)若2m+n=3,求证:抛物线的顶点在直线y=mx+n上.
【解析】(1)当a=-1时,
把(-1,0)代入y=mx2-2mx+3,
解得m=-1,
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3,
令y=0代入y=-x2+2x+3,
∴x=-1或x=3,∴b=3.
(2)抛物线的对称轴为x=1,
把x=1代入y=mx2-2mx+3,
得y=3-m,
∴抛物线的顶点坐标为(1,3-m),
把x=1代入y=mx+n,
得y=m+n=m+3-2m=3-m,
∴抛物线的顶点在直线y=mx+n上.
题组二利用二次函数求一元二次方程的近似根
1.(xx·兰州中考)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:
x1 1.1 1.2 1.3 1.4
y-1-0.490.040.59 1.16
那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是( )
A.1
B.1.1
C.1.2
D.1.3
【解析】选C.观察表格得:方程x2+3x-5=0的一个近似根为1.2.
2.(xx·泰安中考)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:
x-1013
y-3131
下列结论:①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=1;③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;
④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4.其中正确的结论有世纪金榜导学号18574080( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选B.由表格所给出的自变量与函数值变化趋势,随x值的增大,y值先增大后变小可知抛物线的开
口向下;由对称性知其图象的对称轴为直线x=,所以当x<1时,函数值y随x的增大而增大,正确;由表可知,方程ax2+bx+c=0的根在-1与0和3与4之间,所以正确的有2个.
3.二次函数y=x2-x-2的图象如图所示,那么关于x的方程x2-x-2=0的近似解为______(精确到0.1).
【解析】由图象可知抛物线y=x2-x-2与x轴的两个交点约是(-1.4,0),(4.3,0),
又∵抛物线y=x2-x-2与x轴的两个交点,就是方程x2-x-2=0的两个根,
∴方程x2-x-2=0的两个近似解是4.3或-1.4.
答案:x1=-1.4,x2=4.3
4.利用二次函数y=-x2+x+2的图象和性质,求方程-x2+x+2=0在3和4之间的根的近似值.(结果精确到0.1) 世纪金榜导学号18574081
【解析】方程-x2+x+2=0根是函数y=-x2+x+2与x轴交点的横坐标.
如图所示,二次函数y=-x2+x+2的图象.
由图象可知方程有两个根,一个在-2和-1之间,另一个在3和4之间.
当x=3.2时,y=0.08;
当x=3.3时,y=-0.145;
因此,x=3.2是方程的一个近似根.
故方程-x2+x+2=0在3和4之间的根的近似值为x≈3.2.
(xx·濮阳一模)阅读下面材料:
如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线y1=ax+b与双曲线y2=交于A(1,3)和B(-3,-1)两点.
观察图象可知: 世纪金榜导学号18574082
①当x=-3或1时,y1=y2;
②当-3<x<0或x>1时,y1>y2,即通过观察函数的图象,可以得到不等式ax+b>的解集.
有这样一个问题:求不等式x3+4x2-x-4>0的解集.
某同学根据学习以上知识的经验,对求不等式x3+4x2-x-4>0的解集进行了探究.
下面是他的探究过程,请将(2)、(3)、(4)补充完整;
(1)将不等式按条件进行转化:
当x=0时,原不等式不成立;
当x>0时,原不等式可以转化为x2+4x-1>;
当x<0时,原不等式可以转化为x2+4x-1<.
(2)构造函数,画出图象:
设y3=x2+4x-1,y4=,在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象.
双曲线y4=如图2所示,请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x-1.(不用列表)
(3)确定两个函数图象公共点的横坐标:
观察所画两个函数的图象,猜想并通过代入函数解析式验证可知:满足y3=y4的所有x的值为__________.
(4)借助图象,写出解集:
结合(1)的讨论结果,观察两个函数的图象可知:不等式x3+4x2-x-4>0的解集为______.
【解析】(2)
(3)两个函数图象公共点的横坐标是±1和-4.
则满足y3=y4的所有x的值为±1和-4.
答案:±1和-4
(4)不等式x3+4x2-x-4>0即当x>0时,x2+4x-1>,此时x的范围是x>1;当x<0时,x2+4x-1<,则-4<x<-1.答案:x>1或-4<x<-1
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