线性参数的最小二乘法处理

3、待求量与的相关系数
ij
dij diid jj
直接测量量的标准差
AT A 1 元素
5-10 主菜单 结束
误差理论与数据处理 【例5-１】
为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量x1, x2, x3 ，进行 了等权、独立、无系统误差的测量。测得1号电容值y1 0.，3 2 号电容值 y2 0.4 ，1号和3号并联电容值y3 0.5 ，2号和3号 并联电容值 y4 0.3 。试用最小二乘法求 x1, x2, x3 及其标准 偏差。
误差理论与数据处理
正规方程组
AT Ax = AT y
0.3
1 AT y 0
0 1
1 0
0 1
0.4 0.5
0.8 0.7
0 0 1 1 0.3 0.2
1 0 0
1 C AT A 0
0 1
1 0
0 1
0 1
1 0
0 1
2 0
0 2
1 1
0 0 1 1 0 1 1 1 1 2
2 0 1 x1 0.8
AT wAx = AT wy
正规方程组解 xˆ C 1AT y
AT A C
xˆ ( AT wA)1 AT wy
5-9 主菜单 结束
误差理论与数据处理
三、标准差的估计
1、直接测量结果的标准差估计
残差
vi2
s i nt
wivi2
s i nt
（加权）
未知量个数
2、待求量的标准差估计
方程个数
xj d jj 误差传播系数 AT A 1 对角元素
1
i ( 2 )n 2
i
vi
i
2
(dx)n
i
最可信赖值满足
i
vi2
2 i
Min
权因子
wi
1
ห้องสมุดไป่ตู้
2 i
wivi2 Min
wi
1
2 0
vi2 (xi x)2 Min
▪虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，
按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成
一种准则。
5-4 主菜单 结束
yi
yi yi i ( x(0) )
矩阵形式
t
yi ai1x1 ai2 x2 L ait xt aij x j j 1
Ax = y
含有随机误差
测量残差方程组
a11 a12 L a1t
A
a21 a22 L L L
L L
a2t L
an1 an2 L ant
y1
y
y2
M
yn
x1
x
x2
M
xt
v1
系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分 布,其标准差为 1, 2,L , n
测得值 xi 落入xi, xi dx的概率
pi
i
1
2
exp( vi2 )dx
2
2 i
5-3 主菜单 结束
误差理论与数据处理
最小二乘法原理
测得值 x1, x2,L , xn 同时出现的概率为
P pi i
1
exp
误差理论与数据处理
第二节 线性参数的最小二乘法
5-5 主菜单 结束
误差理论与数据处理
组合测量基本概念
组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，
从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被
测量的最佳估计值。
如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量
x1
x2
x3
待求量
y1 y3 y2
待解的数学模型 x1
0.250
0.750 -0.500 0.7 -0.425
-0.500 -0.500 1.000 0.2 0.150
即 x1 0.325, x2 0.425, x3 0.150
主菜单
5-13 结束
误差理论与数据处理
标准差的计算
代入残差方程组，计算
v1 v2 v3 v4 0.025 v12 v22 v32 v42 0.0025
误差理论与数据处理
教学目标
最小二乘法是一种在数据处理和误差估计等多学 科领域得到广泛应用的数学工具。随着现代数学和 计算机技术的发展，最小二乘法成为参数估计、数 据处理、回归分析和经验公式拟合中必不可少的手 段，并已形成统计推断的一种准则。通过本章的学 习，用户可以掌握最小二乘法的基本原理，以及在 组合测量问题的数据处理中的应用 。
5-1 主菜单 结束
误差理论与数据处理
教学重点和难点
❖最小二乘法原理 ❖线性参数的最小二乘法 ❖非线性参数的最小二乘法 ❖组合测量
5-2 主菜单 结束
误差理论与数据处理
第一节 最小二乘法原理
最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻 找最可信赖值的问题。
对某量 x 进行测量，得到一组数据 x1, x2,L,不, xn存在
【解】 列出测量残差方程组
1 0.3 x1 2 0.4 x2 3 0.5 (x1 x3 ) 4 0.3 (x2 x3 )
0.3
y 0.4 0.5 0.3
矩阵形式
1 0 0
A 0 1 0
1 0 1
0
1
1
v1
v
v2
vv34
y - Ax = v
5-11 主菜单 结束
s 0.0025 43
x1 s d11 0.0433 x2 s d22 0.0433 x3 s d33 0.050
主菜单
5-14 结束
误差理论与数据处理
第三节 非线性参数的最小二乘法
测量残差方程组
yi i ( x) vi
取 x 的初始似值 x(0)
泰勒展开
非线性函数
x (x1, x2 ,L , xt )
v
v2
M
vn
t
yi aij x j vi j 1
i 1, 2,L , n
y - Ax = v
5-8 主菜单 结束
误差理论与数据处理
正规方程组
最小二乘法原理式
不等权
( y - Ax )T ( y - Ax ) Min ( y - Ax )T w( y - Ax ) Min
求导
正规方程组 AT Ax = AT y
0
2
1
x2
0.7
1 1 2 x3 0.2
5-12 主菜单 结束
误差理论与数据处理
正规方程组解
0.750 0.250 -0.500
C
1
0.250
0.750 -0.500
-0.500 -0.500 1.000
xˆ C 1AT y
0.750 0.250 -0.500 0.8 0.325
0.3 ( y1)
x2 0.4 ( y2 )
x1 x3 0.5 ( y3 )
x2 x3 0.3 ( y4 )
y4
测得值
为了获得更可靠 的结果，测量次 数总要多于未知 参数的数目
5-6 主菜单 结束
误差理论与数据处理
一、正规方程组
5-7 主菜单 结束
误差理论与数据处理
线性测量方程组
线性测量方程组的一般形式为