重庆市巴蜀中学高2020届高三3月质量检测数学(理)试题(PDF版,无答案)
20.（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C :
x2 a2
y为
B. 3
C. 2 7
D. 6
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
13. 已知（1 2x）5 a0 a1x a2 x2 a5 x5 ，则 a0 a1 a2 a3 a4 a5 的值为__________.
14.已知 △ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ．若 cos Asin C cos C cos B, a 2, c 2 ，则角 C 大
2
3 cos(
)
，则
cos 2
C． a c b
D． c b a
A． 1
B． 7 9
C． 0 或 7 9
D．
1或
7 9
9．已知
AB
是圆 C
:x
12
y2
1的直径，点
P
为直线
x
y
1
0
上任意一点，则
PA
PB
的最小值
是（ ）
A．1
B．0
C． 2
D． 2 1
10. 射线测厚技术原理公式为 I I0et ，其中 I0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度， e 是自然对数的
优秀
非优秀
合计
男生
40
女生
50
合计
100
参考公式及数据： K 2
n(ad bc)2
,n a bc d .
(a b)(c d )(a c)(b d )
P K 2 k0
k0
0.05 3.841
0.01 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
19.（本小题满分 12 分） 在底面为菱形的四棱柱 ABCD A1B1C 1 D1 中，
A． 0.110
B． 0.112
C． 0.114
D． 0.116
11.
x2
已知双曲线
a2
y2 b2
1的右支与抛物线 x2
2 py 相交于 A, B 两点,记点 A 到抛物线焦点的距离为 d1 ,
抛物线的准线到抛物线焦点的距离为 d2 ,点 B 到抛物线焦点的距离为 d3 ,且 d1, d2 , d3 构成等差数列,则双
绝密★启用前
高 2020 届三月质量检测
理科数学试题
（完卷时间 120 分钟；满分 150 分）
第 Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复平面内，复数 z 对应的点与1 i 对应的点关于实轴对称，则 z i
A． 1 i
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计
分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22.（本小题满分 10 分）选修 4 4 ：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
x y
2 2
2 cos sin
,
（
为参数）．以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C2 的极坐标方程为 4 sin ．
（1）写出 C1 的极坐标方程；
（2）设点 M
的极坐标为 (4, 0) ，射线
0
4
分别交
C1
，
C2
于
A ， B 两点（异于极点），
当 AMB 时，求 tan ． 4
23.（本小题满分 10 分）选修 4 5 ：不等式选讲
小为___________．
15.高三年级有四个老师分别为 a,b, c, d , 这四位老师要去监考四个班级 A, B,C, D , 每个老师只能监考一
个班级, 一个班级只能有一个监考老师. 现要求 a 老师不能监考 A 班, b 老师不能监考 B 班, c 老师不能监
考 C 班，则不同的监考方式有_________种.（用数字作答）
6 ，以 C 的短轴为直径的圆与直线 l : 3x 4 y 5 0 3
相切．
（1）求 C 的方程；
（2）直线 y x m 交 C 于 M x1, y1 ， N x2, y2 两点，且 x1 x2 ．已知 l 上存在点 P ，使得 △PMN
是以 PMN 为顶角的等腰直角三角形，若 P 在直线 MN 的右下方，求 m 的值．
曲线的渐近线方程为
A.y 2 x 2
B. y 2x
C. y 3x
D. y 3 x 3
12．已知正三棱柱 ABC A1B1C1 的底面边长为 2，用一平面截此棱柱与侧棱 AA1, BB1, CC1 分别交于 M , N , Q ，若 MNQ 为直角三角形，则 MNQ 面积的最小值为
A. 7
A．
B．
C．
D． 2
D．
4．随机变量 N(, 2 ) ，若 P( 1) 0.3 ， P(1 5) 0.4 ，则
A．1
B． 2
C． 3
D． 4
5．已知函数
f (x) 2sin(2x ) 满足
f
(
x)
f
(
x) ，则
f (3
)
8
8
8
A. 2
B. 0
C. 2
17.（本小题满分 12 分）
已知数列 an 满足 a1
2 ， nan1
n 1 an
2nn 1 ，设 bn
an n
．
（1）求数列 bn 的通项公式；
（2）若 cn 2bn n ，求数列 cn 的前 n 项和．
理科数学试题（第 2页共 4页）
18.（本小题满分 12 分） 为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络
知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了 100 名学生，将他 们的比赛成绩（满分为 100 分）分为 6 组： [40, 50),[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90,100] ，得到如图所示的频率分布 直方图．
（1）求 a 的值，并估计这 100 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）在抽取的 100 名学生中，规定：比赛成绩不低于 80 分为“优秀”，比赛成绩低于 80 分为“非优秀”．请 将下面的 2×2 列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
理科数学试题（第 1页共 4页）
底数，t 为被测物厚度， 为被测物的密度， 是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅 241（ 241Am ）
低能 射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸收
系数为
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度， ln 2 0.6931，结果精确到 0.001）
已知 a ＞ 0,b ＞ 0, c ＞ 0 ，且 a b c 2 ． （1）求 a2 b c 的取值范围； （2）求证： 1 4 9 ≥18 ．
abc
理科数学试题（第 4页共 4页）
理科数学试题（第 3页共 4页）
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) x ln x ax2 (a R) ． （1）若函数 f (x) 有两个极值点，求 a 的取值范围； （2）若 g(x) f (x) x 有两个极值点 x1, x2 ，试判断 x1 x2 与 x1 x2 的大小关系并证明.
D. 2
6. 已知平面 ^ 平面 ，直线 m Ì , = l ，则“ m ^ l ”是“ m ^ ”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7. 若 a
2
2 3
,b
log3
e,
c
1 e
1 3
，则
A． a b c
B． c a b
8.若
tan
16．函数
f
(x)
ln
1 1
x x
a
|
x
|
有两个零点，则实数 a
的取值范围是______________．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
B． 1 i
C．1 i
D．1 i
2. 已知集合 A x, y | 2x y 0 ， B x, y | x my 1 0 ．若 A B ，则实数 m
A． 2
B． 1 2
C． 1 2
3. 已知两个单位向量 e1,e2 ，若 e1 2e2 e1 ，则 e1,e2 的夹角为
2020年重庆市巴蜀中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份) (含答案解析)
2020年重庆市巴蜀中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 在复平面内，复数i(i +2)对应的点的坐标为( )．A. (1,2)B. (−1,2)C. (2,1)D. (2,−1)2. 已知集合A ={1,2，3，4，5，6}，B ={x|2≤x <5,x ∈N}，则A ∩B =( )A. {3,4}B. {3,4，5}C. {2,3，4}D. {1,2，3，4，5，6}3. 已知非零向量m⃗⃗⃗ 、n ⃗ 满足|n ⃗ |=4|m ⃗⃗⃗ |，且，则m⃗⃗⃗ 、n ⃗ 的夹角为( ) A. π3B. π2C. 2π3D. 5π64. 已知某随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，且P(0<ξ<1)=0.3，则P(ξ<2)( )A. 0.8B. 0.75C. 0.7D. 0.65. 设函数f(x)=sin(2x +3π4)+cos(2x −π4)，则( ) A. y =f(x)在(−π4,0)上单调递增，其图象关于直线x =π4对称 B. y =f(x)在(−π4,0)上单调递增，其图象关于直线x =π2对称 C. y =f(x)在(−π4,0)上单调递减，其图象关于直线x =π4对称 D. y =f(x)在(−π4,0)上单调递减，其图象关于直线x =π2对称6. 若平面α⊥平面β，点A ∈α，则过点A 且垂直于平面β的直线( )A. 只有一条，不一定在平面α内B. 有无数条，不一定在平面α内C. 只有一条，一定在平面α内D. 有无数条，一定在平面α内7. 设a =log 3e ，b =e 1.5，c =log 1314，则( )A. b <a <cB. c <a <bC. c <b <aD. a <c <b8. 已知sinα−cosα=13,则cos 2(π4−α)= ( )A. 1718B. 19C. √29D. 1189. 已知AB 是圆O ：x 2+y 2=1的任意一条直径，点P 在直线x +2y −a =0(a >0)上运动，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为4，则实数a 的值为( )A. 2B. 4C. 5D. 610.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数.当I(t∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为()(ln19≈3)A. 60B. 63C. 66D. 6911.已知双曲线x2a2−y2b2=1的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线y2=2px的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为()A. y2=4xB. y2=4√2xC. y2=8√2xD. y2=8x12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在对角线CA1上运动．当△PMN的面积取得最小值时，点P的位置是()A. 线段CA1的三等分点，且靠近点A1B. 线段CA1的中点C. 线段CA1的三等分点，且靠近点CD. 线段CA1的四等分点，且靠近点C二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知(1+2x)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，则a0+a1+⋯+a6=______ ．14.在△ABC中，若a=bcosC+csinB.则B=______ ．15.有3个本校老师和3个外校老师被安排到高三地理选考考试的3个考场，要求一个试场有一个本校老师和一个外校老师负责监考，且本校老师甲不能监考1号试场，外校老师乙不监考2号试场，则共有______种不同安排方案．16.若函数y=ln x2−x−a(x−1)有3个零点，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.数列{a n}满足a1=1,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)设b n=2n⋅√a n，求数列{b n}的前n项和S n．18.为便于对某知识竞赛的答卷进行对比研究，组委会抽取了1000名男生和1000名女生的答卷，他们的考试成绩频率分布直方图如下：(注：试卷满分为100分，成绩≥80分的试卷为“优秀”等级)(Ⅰ)从现有1000名男生和1000名女生答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级的概率；(Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为优秀等级与性别有关”？(Ⅲ)根据男、女生成绩频率分布直方图，对他们成绩的优劣进行比较，并说明理由．P(K2≥K)0.0500.0250.0100.001 K 3.841 5.024 6.63510.828 (K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，其中AD//BC，且AD=2BC=2AB=4，AB⊥AD，侧面ABB1A1⊥平面ABCD，且四边形ABB1A1是菱形，∠B1BA=π3，M为A1D的中点．(1)证明：CM//平面AA1B1B；(2)求二面角A1−CD−A的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，其右顶点和上顶点分别为AB原点到直线的距离为2√55(1)求椭圆方程；(2)直线l：y=k(x+2)交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．21.已知函数f(x)=45x−ln(1+x2)，求函数f(x)在(0,+∞)上的极值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知a，b都是大于零的实数．(1)证明：a2b +b2a≥a+b；(2)若a>b，证明：a2+ab3+1a(a−b)>4．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵i(i+2)=−1+2i，∴复数i(i+2)对应的点的坐标为(−1,2)，故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：C解析：本题主要考察了集合概念和集合交集运算，基础题。
重庆市巴蜀中学高三(下)3月月考数学试卷(理.docx
2015-2016学年重庆市巴蜀中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果复数（a∈R）为纯虚数，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．22．若集合A={x|1≤2x≤8}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，3] B．[2，3] C．（﹣∞，0）∪（0，2] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，3]3．某流程如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=xtanx B．f（x）=xe x C．f（x）=x+2lnx D．f（x）=x﹣sinx4．已知等差数列数列{an }满足an+1+an=4n，则a1=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．35．已知实数x，y满足，则的最小值为（）A．1 B．3 C．4 D．66．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A ．2B ．C ．D ．37．若α∈（，π），且5cos2α=sin （﹣α），则tan α等于（ ） A ．﹣ B ．﹣ C ．﹣ D ．﹣38．过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线l 与其交于A ，B 两点，若|AF|=4，则|BF|=（ ）A ．2B ．C ．D ．19．已知圆C ：（x ﹣）2+（y ﹣1）2=1和两点A （﹣t ，0），B （t ，0）（t ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB=90°，则t 的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．32πC ．64πD ．128π11．已知A ，B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且∠AOB=120°，MN 是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足=λ+（1﹣λ）（λ∈R ），则•的最小值为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣112．已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f 2（x ）+f （x ）+t=0有三个不同的实根，则t 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2]B ．[1，+∞）C ．[﹣2，1]D ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．已知（x+2）（x ﹣1）4=a 0+a 1（x+1）+…+a 5（x+1）5，则a 1+a 3+a 5=______．14．函数f （x ）=2sinxcos （x ﹣），x ∈[0，]的最小值为______．15．把3个不同的球放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是______．16．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AD ⊥AB ，|BC|=|BD|，|AD|=1，则|AC|=______．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤运算过程17．已知数列{a n }中，a 1=，a n+1=（n ∈N *）（1）求证：数列{﹣1}是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；（2）设b n =，求证：＜2．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：是否近视1～50 951～1000合计年级名次近视41 32 73不近视9 18 27合计50 50 100根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879附：K2=．n=a+b+c+d．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD=AB=1，BC=．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）设H为CD上一点，满足=2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角H﹣PB﹣C的余弦值．20．若椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．（1）求椭圆的离心率；（2）过点C（﹣1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．21．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，（1）求证：BE=2AD；（2）求函数AC=1，BC=2时，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．2015-2016学年重庆市巴蜀中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果复数（a∈R）为纯虚数，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】复数的基本概念．【分析】对所给的复数分子和分母同乘以1﹣i，再进行化简并整理出实部和虚部，再令虚部为零求出a的值．【解答】解：由题意知， ==，∵（a∈R）为纯虚数，∴2﹣a=0，解得a=2．故选D．（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）2．若集合A={x|1≤2x≤8}，B={x|log2A．（2，3] B．[2，3] C．（﹣∞，0）∪（0，2] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，3]【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B，根据集合的交集定义进行计算．【解答】解：∵1≤2x≤8，∴0≤x≤3，∴A=[0，3]，（x2﹣x）＞1，∵log2∴，∴x＞2或x＜﹣1，∴B=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），∴A∩B=（2，3]，故选：A3．某流程如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是（）A ．f （x ）=xtanxB ．f （x ）=xe xC ．f （x ）=x+2lnxD ．f （x ）=x ﹣sinx【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f （x ）+f （﹣x ）=0，即函数f （x ）为奇函数；②f （x ）存在零点，即函数图象与x 轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，即可得到正确答案．【解答】解：对于A ，f （x ）=xtanx ，不是奇函数，故不满足条件①；对于B ，f （x ）=xe x ，不是奇函数，故不满足条件①；对于C ，f （x ）=x+lnx ，（x ＞0），不是奇函数，故不满足条件①；对于D ，f （x ）=x ﹣sinx 既是奇函数，且函数图象与x 有交点，故f （x ）符合输出的条件． 故选：D ．4．已知等差数列数列{a n }满足a n+1+a n =4n ，则a 1=（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．3【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据a n+1+a n =4n ，写出a 2+a 1，a 3+a 2的值，两式作差可求出公差，从而可求出首项．【解答】解：∵数列{a n }是等差数列，且a n+1+a n =4n ，∴a 2+a 1=4，a 3+a 2=8，两式相减得a 3﹣a 1=8﹣4=4，∵数列{a n }是等差数列∴2d=4，即d=2，则a 2+a 1=2a 1+d=4=2a 1+2即a 1=1．故选：B ．5．已知实数x ，y 满足，则的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，﹣2）连线的斜率加2求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），=2+，其几何意义为可行域内的动点与定点P（0，﹣2）连线的斜率加2．∵，∴的最小值为4．故选：C．6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．7．若α∈（，π），且5cos2α=sin（﹣α），则tanα等于（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣3【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简已知条件，然后利用同角三角函数基本关系式求解即可．【解答】解：α∈（，π），且5cos2α=sin（﹣α），可得5（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=（cosα﹣sinα），可得：cosα+sinα=．1+2sinαcosα=．，解得：tanα=．故选：A．8．过抛物线y2=4x的焦点F作直线l与其交于A，B两点，若|AF|=4，则|BF|=（）A．2 B．C．D．1【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义，结合|AF|=4，求出A的坐标，然后求出AF的方程求出B点的横坐标即可得到结论．【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1，设A（x，y），则|AF|=x+1=4，故x=3，此时y==2，即A（3，2），则AF的斜率k==，则直线AF的方程为y=（x﹣1），代入y2=4x得3x2﹣10x+3=0，解得x=3（舍）或x=，则|BF|=+1=，故选：B9．已知圆C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1和两点A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则t的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】可以设圆上一点P（x0，y），由∠APB=90°，可得AP⊥BP，kAP•k BP=﹣1，然后的到关于t的关系式，求解t的最小值．【解答】解：设P点坐标（x0，y），kAP•k BP=，整理得，即=由此可以将求t的最小值问题看做点P到原点的最短距离问题，如图所示，当P点在如图位置时，OP的距离最小，即t取得最小值，A点坐标（，1）易知OA所在直线方程为：y=，联立圆的方程：（x﹣）2+（y﹣1）2=1，可得P点坐标（，）从而|OP|==1，即t=1．故t的最小值为1．故选：D．10．已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16π B．32π C．64π D．128π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据已知求出△ABC外接圆的半径，从而求出该三棱锥外接球的半径和三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵底面△ABC中，AB=AC=2，BC=6，∴cos∠BAC==﹣∴sin∠BAC=，∴△ABC的外接圆半径r==2，所以三棱锥外接球的半径R2=r2+（）2=（2）2+22=16，所以三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=64π．故选：C．11．已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB=120°，MN是圆O的一条直径，点C 在圆内，且满足=λ+（1﹣λ）（λ∈R），则•的最小值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意可知C在线段AB上，从而得出||的范围，用，，表示出，代入数量积公式得出关于||的式子，根据||的范围得出答案．【解答】解：∵=λ+（1﹣λ），∴点C在线段AB上，即A，B，C三点共线．∵OA=OB=1，∠AOB=120°，∴O到直线AB的距离d=．∴||＜1．∴•=（）•（）=﹣（）+．∵MN是单位圆O的直径，∴=﹣1， =，∴•=﹣1+．∴﹣≤•＜0．则•的最小值为﹣，故选：C．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣2]B ．[1，+∞）C ．[﹣2，1]D ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】利用换元法设m=f （x ），将方程转化为关于m 的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可． 【解答】解：设m=f （x ）， 作出函数f （x ）的图象如图： 则m ≥1时，m=f （x ）有两个根， 当m ＜1时，m=f （x ）有1个根，若关于x 的方程f 2（x ）+f （x ）+t=0有三个不同的实根， 则等价为m 2+m+t=0有2个不同的实根，且m ≥1或m ＜1， 当m=1时，t=﹣2，此时由m 2+m ﹣2=0得m=1或m=﹣2，满足f （x ）=1有两个根，f （x ）=﹣2有1个根，满足条件当m ≠1时，设h （m ）=m 2+m+t ，则h （1）＜0即可，即1+1+t ＜0， 则t ＜﹣2， 综上t ≤﹣2， 故选：A ．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分） 13．已知（x+2）（x ﹣1）4=a 0+a 1（x+1）+…+a 5（x+1）5，则a 1+a 3+a 5= 1 ． 【考点】二项式定理的应用． 【分析】由（x+2）（x ﹣1）4=a 0+a 1（x+1）+…+a 5（x+1）5，令x=0可得：2=a 0+a 1+…+a 5；令x=﹣2可得：0=a 0﹣a 1+a 2+…﹣a 5．相减即可得出． 【解答】解：由（x+2）（x ﹣1）4=a 0+a 1（x+1）+…+a 5（x+1）5， 令x=0可得：2=a 0+a 1+…+a 5；令x=﹣2可得：0=a 0﹣a 1+a 2+…﹣a 5． 相减可得：2（a 1+a 3+a 5）=2， 则a 1+a 3+a 5=1． 故答案为：1．14．函数f（x）=2sinxcos（x﹣），x∈[0，]的最小值为0 ．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sin（2x﹣），由x∈[0，]，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．【解答】解：f（x）=2sinxcos（x﹣）=2sinx（cosx+sinx）=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，∵x∈[0，]，2x﹣∈[﹣，]，∴当x=0时，2x﹣=﹣，函数f（x）=sin（2x﹣）+最小值为0．故答案为：0．15．把3个不同的球放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出恰有一个空盒包含的基本事件个数，由此能求出恰有一个空盒的概率．【解答】解：把3个不同的球放入3个不同的盒子中，基本事件总数n=33=27，恰有一个空盒包含的基本事件个数m==18，∴恰有一个空盒的概率是p=．故答案为：．16．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥AB，|BC|=|BD|，|AD|=1，则|AC|= 2 ．【考点】解三角形的实际应用．【分析】过C作CE⊥AD交AD延长线于E，利用相似三角形得出DE，即可求出AE，从而得出AC．【解答】解：过C作CE⊥AD交AD延长线于E．则△ABD∽△ECD．∴=．∴DE=，∴AE=AD+DE=．∵∠CAE=∠BAC﹣∠BAD=30°，∴AC==2．故答案为：2．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤运算过程 17．已知数列{a n }中，a 1=，a n+1=（n ∈N *）（1）求证：数列{﹣1}是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；（2）设b n =，求证：＜2．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式． 【分析】（1）由题意可得﹣1=2（﹣1），即可证明{﹣1}是首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式即可，（2）利用错位相减法即可求出前n 项和，再利用放缩法即可证明． 【解答】证明：（1）∵a n+1=，∴2a n+1﹣a n+1a n =a n ， ∴﹣1=2（﹣1），∵a 1=， ∴﹣1=2，∴{﹣1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴﹣1=2n ，∴a n =，（2）b n ==n •（）n ，令S n =1•（）1+2•（）2+…+n •（）n ，∴S n =1•（）2+2•（）3+…+（n ﹣1）•（）n +n •（）n+1， ∴S n =+（）2+（）3+…+（）n ﹣n •（）n+1=1﹣，∴Sn=2﹣＜2，故：＜2．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：是否近视1～50 951～1000合计年级名次近视41 32 73不近视9 18 27合计50 50 100根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879附：K2=．n=a+b+c+d．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知：分布求得第一到第六组的频数，求得视力在5.0以的频率为1﹣0.08=0.82，全年级5.0以上的人数为1000×0.82=820；（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，K2≈4.110＞3.841．由此能求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由图可得：前三组的频率分别为：0.03，0.07，0.27，∴第一组有3人，第二组7人，第三组有27人，后四组频数成等差数列，∴后四组的频数27，24，21，18，∴所以视力在5.0以的频率为1﹣0.08=0.82，所以全年级5.0以上的人数为1000×0.82=820；（Ⅱ）K2==≈4.110＞3.841．因此，在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（Ⅲ）由题意可知9人中年级在1﹣50名给我951﹣1000名的人数分别为3人好6人，∴X的取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，X的分布列为：X 0 1 2 3P∴E（X）=0×+1×+2×+3×=1，E（X）=1．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD=AB=1，BC=．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）设H为CD上一点，满足=2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角H﹣PB﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通过勾股定理可得BC⊥BD，利用面面垂直的判定定理即得结论；（Ⅱ）通过题意以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，所求二面角的余弦值即为平面HPB的一个法向量与平面PBC的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD⊥CD，AB∥CD，AD=AB=1，∴BD=，∴∠BDC=45°，又BC=，∴CD=2，∴CD2=BC2+BD2，即BC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，∴平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）解：由（I）可知∠BPC为PC与平面PBD所成的角，∴，∴PB=，PD=1，由=2及CD=2，可得CH=，DH=，以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，则B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，2，0），H（0，，0），设平面HPB的法向量为=（x1，y1，z1），则，即，取y1=﹣3，则=（1，﹣3，﹣2），同理可得平面PBC的法向量为=（1，1，2），又，∴二面角H﹣PB﹣C的余弦值为．20．若椭圆（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx的焦点F 内分成了3：1的两段． （1）求椭圆的离心率；（2）过点C （﹣1，0）的直线l 交椭圆于不同两点A 、B ，且，当△AOB 的面积最大时，求直线l 和椭圆的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质． 【分析】（1）由c+=3（c ﹣），能够求出椭圆的离心率．（2）设直线l ：x=ky ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，知2y 2+y 1=0，由，得（k 2+2）y 2﹣2ky+1﹣2b 2=0，再利用韦达定理，结合题设条件，能够求出椭圆方程． 【解答】解：（1）由题意知，c+=3（c ﹣），… ∴b=c ，∴a 2=2b 2，… ∴e===．…（2）设直线l ：x=ky ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵，∴（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=2（x 2+1，y 2），即2y 2+y 1=0，①… 由（1）知，a 2=2b 2，∴椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2， 由，消去x ，得（k 2+2）y 2﹣2ky+1﹣2b 2=0，∴，…②，…③由①②知，，，…∵=，∴S=3•=3•≤3•=，…当且仅当|k|2=2，即k=时取等号，此时直线的方程为x=或x=．…又当|k|2=2时， =﹣=﹣1，∴由，得b2=，∴椭圆方程为．…21．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；（2）原式等价于＞，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，t∈（0，1），根据函数的单调性求出即可．【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图示：，可见，若令过原点且切于函数y=lnx 图象的直线斜率为k ，只须0＜a ＜k ． 令切点A （x 0，lnx 0）， 故k=y ′|x=x 0=，又k=，故 =，解得，x 0=e ，故k=，故0＜a ＜；（2）因为e1+λ＜x1•x2λ等价于1+λ＜lnx 1+λlnx 2． 由（1）可知x 1，x 2分别是方程lnx ﹣ax=0的两个根， 即lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2所以原式等价于1+λ＜ax 1+λax 2=a （x 1+λx 2），因为λ＞0，0＜x 1＜x 2， 所以原式等价于a ＞，又由lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2作差得，ln =a （x 1﹣x 2），所以原式等价于＞，因为0＜x 1＜x 2，原式恒成立，即ln＜恒成立．令t=，t ∈（0，1），则不等式lnt ＜在t ∈（0，1）上恒成立． 令h （t ）=lnt ﹣，t ∈（0，1），又h ′（t ）=，当λ2≥1时，可见t ∈（0，1）时，h ′（t ）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，（1）求证：BE=2AD；（2）求函数AC=1，BC=2时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接DE，因为ACED是圆的内接四边形，所以△BDE∽△BCA，由此能够证明BE=2AD．（2）由条件得AB=2AC=2，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB﹣AD）•BA=2AD•（2AD+CE），由此能求出AD．【解答】（1）证明：连接DE，∵ACED是圆的内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，∵∠DBE=∠CBA，∴△BDE∽△BCA，∴，∵AB=2AC，∴BE=2DE．∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，从而BE=2AD．（2）解：由条件得AB=2AC=2，设AD=t，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，∴（AB﹣AD）•BA=2AD•BC，∴（2﹣t）×2=2t•2，解得t=，即AD=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos （θ+），利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3，分类讨论，去掉绝对值，求得x的范围．（Ⅱ）化简f（x）的解析式，根据一次函数的单调性与一次项系数符号的关系，求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3．当时，f（x）≤5可化为3x﹣1+x+3≤5，解之得；当时，f（x）≤5可化为﹣3x+1+x+3≤5，解之得．综上可得，原不等式的解集为．（Ⅱ）函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3．2016年9月28日。
巴蜀中学2020届高考适应性月考卷(三)理数-答案_PDF压缩
2
3
4
4
4
32
2
1
P
21
9
105
35
315
E(
X
)
0
4 9
2
32 105
3
2 35
4
1 315
26 24
.
………………………………（12 分）
理科数学参考答案·第 5 页（共 9 页）
20．（本小题满分 12 分）
解：（1）∵ an1
2an
2n1， ∴
an1 2n1
巴蜀中学 2020 届高考适应性月考卷（三） 理科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 A C A B D D C C
9 10 11 12 BDBA
【解析】
1． M {x | 4 x 2} ， N {x | 2 x 3} ，所以 M N {x | 4 x 3} ，故选 A．
以点 A 为坐标原点， AB，AD，AP 分别为 x，y，z 轴的正向建立空间直角坐标系，各点坐
标如下： A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1).
设平面 ACE 的法向量为 n (x0，y0，z0 ) ，
则
n n
AC AE
2x0 2 y0 y0 z0 0
0，x0 1
x0 y0
z0
2020年重庆市巴蜀中学高考(理科)数学(3月份)模拟检测试卷 含解析
2020年高考（理科）数学（3月份）模拟试卷一、选择题1．在复平面内，复数z对应的点与1+i对应的点关于实轴对称，则＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i2．已知集合A＝{（x，y）|2x+y＝0}，B＝{（x，y）|x+my+1＝0}．若A∩B＝∅，则实数m ＝（）A．﹣2B．C．D．23．已知两个单位向量，若，则的夹角为（）A．B．C．D．4．随机变量ξ～N（μ，σ2），若P（ξ≤1）＝0.3，P（1＜ξ＜5）＝0.4，则μ＝（）A．1B．2C．3D．45．已知函数f（x）＝2sin（2x+φ）满足f（﹣x）＝f（+x），则f（）＝（）A．﹣2B．0C．D．26．已知平面α⊥平面β，直线m⊂α，α∩β＝l，则“m⊥l”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．若，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a8．若，则cos2α＝（）A．﹣1B．C．0或D．﹣1或9．已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2＝1的直径，点P为直线x﹣y+1＝0上任意一点，则的最小值为（）A．1B．C．2D．10．射线测厚技术原理公式为，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am）低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）A．0.110B．0.112C．0.114D．0.11611．已知双曲线﹣＝1的右支与抛物线x2＝2py相交于A，B两点，记点A到抛物线焦点的距离为d1，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为d2，点B到抛物线焦点的距离为d3，且d1，d2，d3构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝x D．y＝x 12．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最小值为（）A．B．3C．2D．6二、填空题13．已知（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5的值为．14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cos A（sin C﹣cos C）＝cos B，a＝2，c ＝，则角C大小为．15．高三年段有四个老师分别为a，b，c，d，这四位老师要去监考四个班级A，B，C，D，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师．现要求a老师不能监考A 班，b老师不能监考B班，c老师不能监考C班，d老师不能监考D班，则不同的监考方式有种．16．函数f（x）＝ln﹣a|x|有两个零点，则a的取值范围是．三、解答题17．已知数列{a n}满足a1＝2，na n+1﹣（n+1）a n＝2n（n+1），设．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若，求数列{c n}的前n项和．18．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生40女生50合计100参考公式及数据：．P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.82819．在底面为菱形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，A1B＝A1D，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O，AO⊥平面A1BD．（1）证明：B1C∥平面A1BD；（2）求二面角B﹣AA1﹣D的正弦值．20．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线l：3x+4y﹣5＝0相切．（1）求C的方程；（2）直线y＝x+m交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．已知l上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形．若P在直线MN右下方，求m的值．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2（a∈R）．（1）若函数f（x）有两个极值点，求a的取值范围；（2）若g（x）＝f（x）﹣x两个极值点x1，x2，试判断x1+x2与x1•x2的大小关系并证明．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线∁l的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（l）写出C1的极坐标方程：（2）设点M的极坐标为（4，0），射线分别交C1，C2于A，B 两点（异于极点），当∠AMB＝时，求tanα．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c＝2．（1）求a2+b+c的取值范围；（2）求证：++≥18．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数z对应的点与1+i对应的点关于实轴对称，则＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i【分析】由已知求得z，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由题意，z＝1﹣i，则＝，故选：C．2．已知集合A＝{（x，y）|2x+y＝0}，B＝{（x，y）|x+my+1＝0}．若A∩B＝∅，则实数m ＝（）A．﹣2B．C．D．2【分析】利用A∩B＝∅，所以直线2x+y＝0与直线x+my+1＝0平行，得出结论．解：因为A∩B＝∅，所以直线2x+y＝0与直线x+my+1＝0平行，所以，故选：C．3．已知两个单位向量，若，则的夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据条件可得出（﹣2）•＝0，所以＝2•＝1，从而得出cos〈，〉＝，这样根据向量夹角的范围即可求出夹角．解：由题意得，两个单位向量，因为（﹣2）⊥，所以（﹣2）•＝0，所以＝2•＝1，所以cos＜，＞＝＝，又因为＜，＞∈[0，π]，所以＜，＞＝，故选：B．4．随机变量ξ～N（μ，σ2），若P（ξ≤1）＝0.3，P（1＜ξ＜5）＝0.4，则μ＝（）A．1B．2C．3D．4【分析】由已知求得P（ξ≥5）＝0.3，由正态分布的对称性求解．解：∵随机变量ξ～N（μ，σ2），由P（ξ≤1）＝0.3，P（1＜ξ＜5）＝0.4，得P（ξ≥5）＝0.3，由正态分布的对称性得．故选：C．5．已知函数f（x）＝2sin（2x+φ）满足f（﹣x）＝f（+x），则f（）＝（）A．﹣2B．0C．D．2【分析】由f（﹣x）＝f（+x）可知函数关于x＝对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可求φ，然后代入即可求解．解：由f（﹣x）＝f（+x）可知函数关于x＝对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可知，φ＝，k∈Z，故φ＝，f（）＝2sin（）＝0．故选：B．6．已知平面α⊥平面β，直线m⊂α，α∩β＝l，则“m⊥l”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由判定定理可以判断充要性．解：∵平面α⊥平面β，直线m⊂α，α∩β＝l，m⊥l，∴两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线垂直与另外一个平面，则m⊥β，∵平面α⊥平面β，直线m⊂α，α∩β＝l，m⊥β，∴两个平面垂直，一个平面内的直线垂直于另外一个平面，则垂直与交线，则m⊥l，故选：C．7．若，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【分析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出．解：，，所以1＜a＜c，b＝log3e＜log33＝1，故c＞a＞b．故选：B．8．若，则cos2α＝（）A．﹣1B．C．0或D．﹣1或【分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得cosα＝0或，进而利用二倍角的余弦函数公式即可求解．解：由，得，所以，所以cosα＝0或，故cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣1，或．故选：D．9．已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2＝1的直径，点P为直线x﹣y+1＝0上任意一点，则的最小值为（）A．1B．C．2D．【分析】运用向量加减运算和数量积的性质，可得＝（+）•（+）＝||2﹣r2，即为d2﹣r2，运用点到直线的距离公式，可得d的最小值，进而得到结论．解：由＝（+）•（+）＝2+•（+）+•＝||2﹣r2，即为d2﹣r2，其中d为圆外点到圆心的距离，r为半径，因此当d取最小值时，的取值最小，可知d的最小值为＝，故的最小值为2﹣1＝1．故选：A．10．射线测厚技术原理公式为，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am）低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）A．0.110B．0.112C．0.114D．0.116【分析】由题意可得＝1×e﹣7.6×0.8μ，两边取自然对数，则答案可求．解：由题意可得，＝1×e﹣7.6×0.8μ，∴﹣ln2＝﹣7.6×0.8μ，即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114．∴这种射线的吸收系数为0.114．故选：C．11．已知双曲线﹣＝1的右支与抛物线x2＝2py相交于A，B两点，记点A到抛物线焦点的距离为d1，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为d2，点B到抛物线焦点的距离为d3，且d1，d2，d3构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝x D．y＝x【分析】设A，B的坐标，由题意可得由d1，d2，d3的值，再由d1，d2，d3构成等差数列可得A，B纵坐标的值，联立双曲线与抛物线的方程可得A，B的纵坐标之和，可得a，b的关系，进而求出双曲线的渐近线的方程．解：由题意抛物线的准线方程为：y＝﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的性质可得：d1＝y1+，d2＝p，d3＝y2，由d1，d2，d3构成等差数列可得2d2＝d1+d3，即2p＝y1++y2，所以可得y1+y2＝p联立双曲线与抛物线的方程可得：，整理可得a2y2﹣2pb2y+a2b2＝0，所以y1+y2＝，所以可得＝p，即a2＝2b2，所以渐近线的方程为y＝x＝±x，故选：A．12．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最小值为（）A．B．3C．2D．6【分析】由题意画出图形，以AC中点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，设M（0，﹣1，a），N（，0，b），Q（0，1，c），不妨设N为直角，可得，写出三角形面积，再由基本不等式求最值．解：如图，以AC中点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，设M（0，﹣1，a），N（，0，b），Q（0，1，c），不妨设N为直角，，，∴，S＝＝．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分.13．已知（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5的值为81．【分析】分析其特点，直接令x＝﹣1即可求解．解：因为（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x＝﹣1可得：a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝[1﹣2×（﹣1）]5＝81．故答案为：81．14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cos A（sin C﹣cos C）＝cos B，a＝2，c ＝，则角C大小为．【分析】利用正弦定理、和差公式、诱导公式即可得出．解：因为cos A（sin C﹣cos C）＝cos B，所以cos A（sin C﹣cos C）＝﹣cos（A+C），所以cos A sin C＝sin A sin C，所以sin C（cos A﹣sin A）＝0，因为C∈（0，π），∴sin C≠0，所以cos A＝sin A，则tan A＝1，所以，又，则，因为c＜a，所以，故．故答案为：．15．高三年段有四个老师分别为a，b，c，d，这四位老师要去监考四个班级A，B，C，D，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师．现要求a老师不能监考A 班，b老师不能监考B班，c老师不能监考C班，d老师不能监考D班，则不同的监考方式有9种．【分析】根据题意，a老师不能监考A班，则a老师可以监考B、C、D班，据此分3种情况讨论，求出每种情况下的监考方式数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分3种情况讨论：①、当a老师监考B班时，b老师有3种情况，剩下的两位老师有1种情况，此时有3种不同的监考方式，②，当a老师监考C班时，同理此时有3种不同的监考方式，③、当a老师监考D班时，同理此时有3种不同的监考方式，则有3+3+3＝9种不同的监考方式；故答案为：916．函数f（x）＝ln﹣a|x|有两个零点，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【分析】依题意，函数与函数h（x）＝a|x|在（﹣1，1）上有一个横坐标非零的交点，先研究a＞0的情况，作出函数图象，由图象观察可知，此时a＞2，由对称性可知，当a＜0时，a＜﹣2，由此即可得解．解：函数f（x）的定义域为（﹣1，1），显然x＝0是函数一个零点，依题意，函数与函数h（x）＝a|x|在（﹣1，1）上有一个横坐标非零的交点，易知函数g（x）为奇函数，函数h（x）＝a|x|为偶函数，故先研究a＞0的情况，又x→1时，g（x）→+∞，，g′（0）＝2，则a＞2时，函数g（x）与函数h（x）在（0，1）上必有一个交点，满足要求．由对称性可知，当a＜0时，a＜﹣2．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}满足a1＝2，na n+1﹣（n+1）a n＝2n（n+1），设．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若，求数列{c n}的前n项和．【分析】本题第（1）题根据，可得a n＝nb n，然后代入递推式，可发现数列{b n}是一个等差数列，即可得到数列{b n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{c n}的通项公式，然后运用分组求和法计算出前n项和．解：（1）依题意，由可得，a n＝nb n．∵na n+1﹣（n+1）a n＝2n（n+1），∴n（n+1）b n+1﹣（n+1）nb n＝2n（n+1），即b n+1﹣b n＝2，又∵b1＝a1＝2，∴数列{b n}是以2为首项，以2为公差的等差数列．∴b n＝2+2（n﹣1）＝2n．（2）由（1）知，，设数列{c n}的前n项和为S n，则＝（41+42+…+4n）﹣（1+2+…+n）＝＝．18．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生40女生50合计100参考公式及数据：．P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）利用频率和为1求解a值，再由矩形中点的横坐标乘以频率作和可得这100名学生的平均成绩；（2）由频率分布直方图填写2×2列联表，求出K2的观测值，结合临界值表得结论．解：（1）由题可得（0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010）×10＝1，解得a＝0.025．∵45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1＝74，∴估计这100名学生的平均成绩为74；（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有100×（0.25+0.1）＝100×0.35＝35人，由此可得完整的2×2列联表：优秀非优秀合计男生10 4050女生252550合计3565100∵K2的观测值，∴有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．19．在底面为菱形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，A1B＝A1D，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O，AO⊥平面A1BD．（1）证明：B1C∥平面A1BD；（2）求二面角B﹣AA1﹣D的正弦值．【分析】（1）根据题意，得到四边形A1B1CD是平行四边形，得到B1C∥A1D，再根据线面平行的判定定理证明即可；（2）根据题意，以O为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面A1AB的法向量和平面A1AD的法向量，利用夹角公式求出即可．解：（1）依题意，A1B1∥AB，A1B1C＝AB，AB∥CD，AB＝CD，∴A1B1＝CD，A1B1∥CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴B1C∥A1D，∵B1C⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；（2）∵AO⊥平面A1BD，∴AO⊥A1O，∵A1B＝A1D且O为BD的中点，∴A1O⊥BD，∵AO、BD⊂平面ABCD，且AO∩BD＝O，∴A1O⊥平面ABCD，以O为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则，B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），∴，设平面A1AB的法向量为，则，∴，取x＝1，则，设平面A1AD的法向量为，则，∴，取x＝1，则∴，设二面角B﹣AA1﹣D的平面角为α，则，∴二面角B﹣AA1﹣D的正弦值为．20．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线l：3x+4y﹣5＝0相切．（1）求C的方程；（2）直线y＝x+m交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．已知l上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形．若P在直线MN右下方，求m的值．【分析】（1）由点到直线的距离公式列式求b，再由离心率结合隐含条件求得a，则椭圆方程可求；（2）直线y＝x+m的倾斜角为45°，且△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，P在直线MN右下方，可得NP∥x轴．过M作NP的垂线，垂足为Q，则Q为线段NP的中点，求得P（2x1﹣x2，y2），代入直线l的方程，由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0．再由根与系数的关系联立求解m值．解：（1）依题意，，∵离心率，∴，解得，∴椭圆C的标准方程为；（2）∵直线y＝x+m的倾斜角为45°，且△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，P在直线MN右下方，∴NP∥x轴．过M作NP的垂线，垂足为Q，则Q为线段NP的中点，∴Q（x1，y2），故P（2x1﹣x2，y2），∴3（2x1﹣x2）+4y2﹣5＝0，即3（2x1﹣x2）+4（x2+m）﹣5＝0，整理得6x1+x2+4m﹣5＝0．①由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0．∴△＝36m2﹣48m2+48＞0，解得﹣2＜m＜2，∴，②，③由①﹣②得，，④将④代入②得x2＝﹣1﹣m，⑤将④⑤代入③得，解得m＝﹣1．综上，m的值为﹣1．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2（a∈R）．（1）若函数f（x）有两个极值点，求a的取值范围；（2）若g（x）＝f（x）﹣x两个极值点x1，x2，试判断x1+x2与x1•x2的大小关系并证明．【分析】（1）根据题意可得f′（x）＝0有两个根⇒＝2a有两个根，令h（x）＝与y＝2a有两个交点，求导，分析单调性，值域，进而得出答案．（2）g（x）＝f（x）﹣x＝xlnx﹣ax2﹣x，根据题意得g′（x）＝0，（x＞0）有两个根x1，x2⇒a＝有两个根⇒y＝a与p（x）＝有两个交点，求导，分析p（x）单调性，最值，值域，进而得出a的取值范围，设x1＜x2，则1＜x1＜e，x2＞e，所以x1+x2＞x2＞e，因为p（x）在（e，+∞）上单调递减，所以＜＝a，①又因为x1，x2是lnx﹣2ax＝0的两个根，所以＝a②，由①②可得＜＝，进而可得出结论．解：（1）f′（x）＝lnx+1﹣2ax＝0有两个根，即＝2a有两个根，令h（x）＝与y＝2a有两个交点，h′（x）＝，（x＞0）当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x＝1时，h（x）max＝h（1）＝1，x→0时，h（x）→﹣∞，x→+∞时，h（x）→0，所以0＜2a＜1，即0＜a＜．（2）g（x）＝f（x）﹣x＝xlnx﹣ax2﹣x，g′（x）＝lnx﹣2ax＝0，（x＞0）有两个根x1，x2，即a＝有两个根，y＝a与p（x）＝有两个交点，p′（x）＝，所以当x∈（0，e）时，p′（x）＞0，p（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，p′（x）＜0，p（x）单调递减，p（x）max＝p（e）＝，又因为当x∈（0，1）时，p（x）＜0；当x＝1时，p（1）＝0；当x∈（1，+∞）时，p （x）＞0．所以0＜a＜，不妨设x1＜x2，则1＜x1＜e，x2＞e，所以x1+x2＞x2＞e，因为p（x）在（e，+∞）上单调递减，所以＜＝a，①因为x1，x2是lnx﹣2ax＝0的两个根，所以lnx1﹣2ax1＝0，lnx2﹣2ax2＝0，所以＝a，②由①②可得＜＝，所以x1+x2＜x1x2．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线∁l的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（l）写出C1的极坐标方程：（2）设点M的极坐标为（4，0），射线分别交C1，C2于A，B 两点（异于极点），当∠AMB＝时，求tanα．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和圆的位置关系，建立方程组，进一步求出交点的坐标，最后利用两直线间的位置关系及夹角公式的应用，最后利用方程的解法的应用求出结果．解：（1）曲线∁l的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣2）2+y2＝4，转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ．（2）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4．设点M的极坐标为（4，0），射线分别交C1，C2于A，B两点（异于极点），如图所示：设射线OA的方程为y＝kx，则：，解得．同理B．由于∠A＝，∠AMB＝时，所以BM与AO的夹角为，由于，k AO＝k，利用两直线的夹角公式的应用，整理得，即：2k3﹣k2+2k﹣1＝0或k2﹣2k+1＝0．解得k＝或k＝1．由于，所以k＝1（舍去）．故k＝．所以tan．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c＝2．（1）求a2+b+c的取值范围；（2）求证：++≥18．【分析】（1）由条件等式将b+c用a表示，再从a＞0，b＞0，c＞0，进一步求出a的范围，将问题转化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解；（2）根据已知条件转化证明，利用基本不等式即可得证．解：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0且a+b+c＝2，∴2﹣a＝b+c＞0，∴0＜a＜2，∴，∴，∴a2+b+c的取值范围为．（2）∵a＞0，b＞0，c＞0，∴，＝，当且仅当时等号成立，又a+b+c＝2，∴．。
重庆市巴蜀中学高三3月月考理数试题01
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．如果复数)(12R a iai∈+-为纯虚数，则=a （ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D考点：复数的运算及复数的概念.2．若集合{}821≤≤=xx A ，{}1)(log 22>-=x x x B ，则=B A （ ）A ．]3,2(B ．]3,2[C ．]2,0()0,( -∞D ．]3,0[)1,( --∞ 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意得{}{}12803x A x x x =≤≤=≤≤，{}{}22log ()112B x x x x x x =->=<->或，所以{|23}A B x x x =<≤，故选A.考点：集合的运算.3．某流程图如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是（ ）A ．x x x f tan )(=B ．xxe x f =)( C ．x x x f ln 2)(+= D ．x x x f sin )(-=【答案】D考点：程序框图及函数的性质.4．已知等差数列{}n a 满足n a a n n 41=++，则=1a （ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，等差数列{}n a 满足n a a n n 41=++，令1n =，则214a a +=；令2n =，则328a a +=，两式相减，得3142a a d -=⇒=，即等差数列的公差2d =，又214a a +=，即11141a d a a ++=⇒=，故选B. 考点：等差数列的通项公式.5．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥>0620y x x y x ，则x y x 22++的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6 【答案】C考点：线性规划求最值.6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x 的值为（ ） A ．2 B ．25 C ．3 D ．23【答案】C 【解析】试题分析：根据给定的按时图可判断原几何体为一个四棱锥，其中底面是上底边长为1，下底边长为2，高为2的直角梯形；设四棱锥的高为x ，所以体积为11(12)2332V x =⨯+⨯⨯=，解得3x =，故选C.考点：空间几何体的三视图．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，可根据三视图得到原几何体为四棱锥，设四棱锥的高为x ，利用体积公式，列出方程求解高x ．7．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan α等于（ ）A ．43-B ．13-C ．34- D ．3-【答案】A考点：三角函数的化简求值.8．过抛物线x y 42=的焦点F 作直线l 与其交于B A ,两点，若4=AF ，则=BF （ ） A ．2 B ．34 C ．32D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设(,)A x y ，则14AF x =+=，解得3x =，此时y =，即(3,)A ，则直线AF 的直线方程1)y x =-，联立方程组21)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得13x =，所以423p BF x =+=，故选B.考点：抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系.9．已知圆1)1()3(:22=-+-y x C 和两点)0)(0,(),0,(>-t t B t A ，若圆C 上存在点P ，使得90=∠APB ，则t 的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】D考点：圆的性质；圆与圆的位置关系.10．已知三棱锥ABC P -中，4=PA ，32==AC AB ，6=BC ，ABC PA 面⊥，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π32C ．π64D ．π128 【答案】C 【解析】试题分析：在ABC ∆中，,6A B A B C ==，由余弦定理2221cos2A ==-，则s i n A =，所以ABC ∆的外接圆的半径为2sinar RA===⇒=，所以棱锥外接球的半径为222()42PAR r=+=，所以球的表面积为2464S Rππ==，故选C.考点：球的组合体及球的表面积的计算.11．已知BA,是单位圆上的两点，O为圆心，且120=∠AOB，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足)()1(R∈-+=λλλ，则⋅的最小值为（）A．21- B．41- C．43- D．1-【答案】C考点：平面向量的运算.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的三角形法则和平面向量的数量积、向量的共线定理，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想方法和数形结合思想的应用，本题的解答中由题意得可得点C在线段AB上，且1[,1)2OC∈，再根据向量的运算可得21CM CN OC⋅=-+，进而求得向量CM CN⋅的取值范围，得到最小值.12．已知实数⎩⎨⎧<-≥=,0),lg(,0,)(xxxexfx若关于x的方程0)()(2=++txfxf有三个不同的实根，则t的取值范围为（）A．]2,(--∞ B．),1[+∞ C．]1,2[- D．),1[]2,(+∞--∞【答案】A【解析】试题分析：设()m f x =，作出函数()f x 的图象如图，则1m ≥时，()m f x =有两个根；当1m <时，()m f x =有一个根，若关于x 的方程0)()(2=++t x f x f 有三个不同的实根，则等价为20m m t ++=有2个不同的实根，且1m ≥或1m <，当1m =时，2t =-，此时20m m t ++=得1m =或2m =-，满足()1f x =有两个根，()2f x =-有一个根，满足条件，当1m ≠时，设()2h m m m t =++，饿()10h <即可，即110t ++<，则2t ≤-，故选A.考点：函数的图象即根的存性与根的个数的判断.【方法点晴】本题主要考查了函数的图象、付出根的个数的问题，利用函数的零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解答本题的关键，同时着重考查了数形结合思想和换元思想的应用，属于中档试题，本题的解答中利用换元法，设()m f x =，将方程转化为关于m 的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求解即可.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知55104)1()1()1)(2(++⋅⋅⋅+++=-+x a x a a x x ，则=++531a a a ______.【答案】1考点：赋值法的应用.14．函数]43,0[),3cos(sin 2)(ππ∈-=x x x x f 的最小值为______. 【答案】0 【解析】 试题分析：由题意得21()2sin cos()2sin (cos )sin cos 32f x x x x x x x x x π=-=+=+11cos 2sin 2sin(2)2232x x x π-=+=-+，又3[0,]4x π∈，则112[,]336x πππ-∈-，当0x =时，此时函数取得最小值()sin(20)032f x π=⨯-+=. 考点：三角函数的图象与性质.15．把3个不同的球放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是_____. 【答案】23考点：古典概型及其概率的计算.【方法点晴】本题主要考查了古典概型及其概率的计算、相互独立事件的概率乘法公式的应用，解答时要注意题目中多个小球可以放在同一个盒子中，是解答此类问题的一个关键和易错点，本题的解答中，先计算出将3个大小形状完全相同但颜色不同的小球放入3个盒子中的情况总数，再算出恰有个盒子是空盒子的个数，代入古典概型概率公式计算即可.16．如图，在ABC ∆中，120=∠BAC ，AB AD ⊥，BD BC 3=，1=AD ，则=AC _____.【答案】2 【解析】试题分析：在ABC ∆中，又正弦定理可得sin sin AC BCB BAC=∠，可得sin sin AC BAC BC B ∠=，又因为2BAC DAC π∠=+∠，所以cos sin DAC BAC ∠=∠，所以cos AC AD AC AD DAC ⋅=⋅∠sin sin ADAC BAC BC B BC BD=⋅∠==⋅=9030DAC BAC ∠=∠-=， cos30AC AD AC AD ⋅=⋅3cos30AC AD AC =⋅=，即3AC =，解得2AC =.考点：平面向量的运算及向量在集合中应用.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及平面向量在几何中的应用，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想和数形结合思想的应用，解答此类问题应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形相关的向量的综合问题，本题的解答中根据平面向量的数量积的运算和利用解三角形的知识，表示AC AD ⋅，即可根据相等，求解AC 的值. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 中，311=a ，)(21*+∈-=N n a a a n n n . （1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是等比数列，并求{}n a 通项公式n a ； （2）设n nn a na b -=1，求证：21<∑=ni i b .【答案】（1）121+=nn a ；（2）证明见解析.(2) 12n n n n na nb a ==-， 令212222n n n S =++⋅⋅⋅+，∴2311122222n n nS +=++⋅⋅⋅+， 相减得231111121212222222n n n n n n S +++=+++⋅⋅⋅+-=-，∴2222<+-=nn n S . 考点：等比数列的定义域通项公式；数列的求和. 18．（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在0.5以下的人数； （2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否具有相关性，对年级名次在501-名和1000951-名的学生进行了调查，得到下表中的数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过05.0的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查队他们的良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1-50的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，d c b a n +++=【答案】（1）820；（2）在犯错误的概率不超过05.0的前提下认为视力与学习成绩有关系；（3）分布列见解析，1)(=X E .考点：独立性检验；频率直方图的应用；随机变量的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为梯形，⊥PD 底面ABCD ，CD AB ∥，CD AD ⊥，1==AB AD ，2=BC .（1）求证：面⊥PBD 面PBC ；（2）设H 为CD 上一点，满足HD CH 2=，若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为36，求二面 角C PB H --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）721.则⎩⎨⎧=+-=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00022222y x z y x BC m ，取)2,1,1(=m ，所以721,cos -=<，所以二面角C PB H --余弦值为721.考点：线面位置的关系的判定；二面角的计算.20.（本小题满分12分）若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点F 内分成了1:3的两段. （1）求椭圆的离心率；（2）过点)0,1(-C 的直线l 交椭圆于不同两点B A ,，且2=，当AOB ∆的面积最大时，求直线l 和 椭圆的方程.【答案】（1）2；（2）125522=+y x .考点：椭圆的标准方程及及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线位置关系的应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线位置关系的应用，属于中档试题，着重考查了学生的推理、运算能力，本题的解答中，设出直线方程1:-=ky x l ，把直线方程代入椭圆方程，利用根与系数的关系，表示三角形的面积，利用基本不等式求解最值，确定k 的值，从而得直线的方程和椭圆的标准方程，其中认真、准确计算是解答的关键.21．（本小题满分12分）已知函数)(2ln )(2R a a x x a x x x f ∈+--=在其定义域内有两个不同的 极值点.（1）求a 的取值范围；（2）记两个极值点为21,x x ，且21x x <，已知0>λ，若不等式λλ+>⋅121e x x 恒成立，求λ的取值范围.【答案】(1) ea 10<<；(2) 1≥λ. 【解析】试题分析：(1)把函数在定义域内有两个不同极值点，转化0)(='x f 在),0(+∞上有两个不同的解，即方程λλ+>⋅121e x x 等价于21ln ln 1x x λλ+<+，因为21,x x 为方程0ln =-ax x 的两根，11ln ax x =，22ln ax x =，所以)(ln ln 1212121x x a ax ax x x λλλλ+=+=+<+，因为210,0x x <<>λ， 所以原式等价于211x x a λλ++>.又11ln ax x =，22ln ax x =，作差得21212121ln)(ln x x x x a x x a x x -=⇒-=，所以原式等价于212121212121))(1(ln 1lnx x x x x x x x x x x x λλλλ+-+<⇔++>-恒成立， 令)1,0(,21∈=t x x t ，上式等价于λλ+-+<t t t )1)(1(ln 在)1,0(∈t 上恒成立， 令λλ+-+-=t t t t h )1)(1(ln )(，所以22)())(1()(λλ+--='t t t t t h ，所以①当1≥λ时，0)(>'t h ，所以)(t h 在)1,0(上单增，因此0)1()(=<h t h ，满足条件； ②当10<<λ时，)(t h 在),0(2λ上单增，在)1,(2λ上单减， 又0)1(=h ，所以)(t h 在)1,0(上不能恒小于零. 综上：1≥λ.考点：导数在函数中的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了利用研究函数的单调性及利用导数研究函数的极值（最值）的应用，着重考查了转化与化归思想、构造新函数和分类讨论数学思想的应用，试题难度较大，属于难题，本题的解答中，第（1）中，把函数在定义域内有两个不同极值点，转化0)(='x f 在),0(+∞上有两个不同的解，利用0ln =-ax x 在),0(+∞上有两个不同的解，构造新函数，利用函数的性质求解；第（2）中把λλ+>⋅121e x x 等价于21ln ln 1x x λλ+<+，转化为原式等价于112212(1)()lnx x x x x x λλ+-<+恒成立，充分体现了转化的思想方法. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，且AB=2AC. （1）求证：AD BE 2=；（2）当1=AC ，2=BC 时，求AD 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）32=AD .∴BCA BDE ∠=∠，又CBA BDE ∠=∠，∴BCA BDE ∆∆~,∴CADEBA BE =， ∵AC AB 2=，∴DE BE 2=，又CD 是ACB ∠的平分线， ∴DE AD =，∴AD BE 2=.（2）由已知得22==AC AB ，设t AD =，由割线定理得32222)2(=⇒⋅=⋅-⇒⋅=⋅t t t BC BE BA BD 即32=AD . 考点：圆的性质与判定. 23．（本小题满分10分）在极坐标系中，曲线)0(cos 2:>=a a C θρ，23)3cos(:=-πθρl ，C 与l 有且只有一个公共点. （1）求a ；（2）O 为极点，B A ,为C 上的两点，且3π=∠AOB ，求OB OA +的最大值.【答案】（1）1a =；（2）32.考点：简单的极坐标方程的应用. 24．（本小题满分10分） 设函数313)(++-=ax x x f . （1）若1=a ，解不等式5)(≤x f ；（2）若函数)(x f 有最小值，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4321≤≤-x ；（2）33≤≤-a .考点：绝对值不等式的解法；函数的值域.。
2020届高三数学下学期3月质量检测试题理(含解析)
2020届高三数学下学期3月质量检测试题理（含解析）本试卷共5页，23题（含选考题），全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，请用黑色签字笔填写在答题卡上对应的表格中．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．4．选考题的作答：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内．5．请学生自行打印答题卡．不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图．6．答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给学校，原则上一张A4拍成一张照片，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a ＝（）A. B. C. 2 D. ﹣2【答案】D【解析】【分析】化简z＝（1+2i）（1+ai）=，再根据z∈R求解.【详解】因为z＝（1+2i）（1+ai）=，又因为z∈R，所以，解得a＝-2.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则M∩N＝（）A. [﹣3，2）B. （﹣3，2）C. （﹣1，0]D. （﹣1，0）【答案】C【解析】【分析】先化简N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M＝{x|﹣1＜x＜2}，求两集合的交集.【详解】因为N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因为M＝{x|﹣1＜x＜2}，所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接计算概率得到答案.【详解】共有种情况，满足条件的有种情况，故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.4.在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（）A. 2B. 4C.D. 8【答案】B【解析】【分析】根据题意得到，，解得答案.【详解】，，解得或（舍去）.故.故选：.【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.5.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据循环结构依次进行，直至不符合，终止循环，输出【详解】第一次循环，，第二次循环，，第三次循环，，第四次循环，，第四次循环，，此时不满足，输出.故选：C【点睛】本题主要考查程序框图中循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.6.已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（）A. B. 1 C. D. 2【答案】D【解析】【分析】如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，则.当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.7.已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），则f（x）的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为，再求最值.【详解】已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），=，=，因为，所以f（x）的最小值为.故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.已知数列{an}满足a1=1，(an+an+1-1)2=4anan+1，且an+1>an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an=（）A. 2nB. n2C. n+2D. 3n -2【答案】B【解析】【分析】化简得到，故为首项是，公差为的等差数列，得到答案.【详解】，故，即，即，，故为首项是，公差为的等差数列.故，.故选：.【点睛】本题考查了数列的通项公式，化简得到是解题的关键.9.已知a=0.80.4，b=0. 40. 8，c= log84，则（）A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a【答案】D【解析】【分析】计算得到，得到答案.【详解】，故.即.故选：.【点睛】本题考查了数值的大小比较，计算其五次方是解题的关键.10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算所有情况共有种，满足条件的共有种，得到答案.【详解】所有情况共有种.满足条件的共有种，故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.已知点P在椭圆τ：=1(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，则，，，设，根据化简得到，得到答案.【详解】设，则，，，则，设，则，两式相减得到：，，，即，，，故，即，故，故.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.12.已知关于x的不等式-x- alnx≥1对于任意x∈(l，+∞)恒成立，则实数a的取值范围为（）A. （-∞，1-e]B. （-∞，-3]C. （-∞，-2]D. （-∞，2- e2]【答案】B【解析】【分析】化简得到，根据化简得到答案.【详解】根据题意：.设，则，则函数在上单调递减，在上单调递增，故，故.根据，，故.故选：.【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，利用不等式化简是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知以x±2y =0为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的标准方程为________.【答案】【解析】【分析】设双曲线方程为，代入点，计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为，则设双曲线方程为：，代入点，则.故双曲线方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为是解题的关键.14.若函数f（x）在（0，）上单调递减，则实数a取值范围为___．【答案】a≥﹣1．【解析】【分析】将函数f（x）在（0，）上单调递减，转化在（0，）上恒成立即在（0，）上恒成立再求最大值即可.【详解】因为函数f（x）在（0，）上单调递减，所以在（0，）上恒成立，即在（0，）上恒成立，因为，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15.根据气象部门预报，在距离某个码头A南偏东45°方向的600km处的热带风暴中心B正以30km/h的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起经过___小时后该码头A将受到热带风暴的影响（精确到0.01）．【答案】9.14h.【解析】【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B处，经th后到达C 处．自B向x轴作垂线，垂足为D．若在点C处受到热带风暴的影响，则AC＝450，则有450，即450；两边平方并化简、整理求解.【详解】建立如图所示直角坐标系：设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．若在点C处受到热带风暴的影响，则OC＝450，即450，即450；两边平方并化简、整理得t2﹣20t+175＝0∴t或，所以时后码头将受到热带风暴的影响．【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.在三棱锥S- ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形，SA=，SB=2，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S-AB-C的余弦值为____．【答案】【解析】【分析】证明，，得到为二面角的平面角，计算故，，得到，得到答案.【详解】球的表面积为，故，，故.的外接圆圆心为中点，；的外接圆圆心为三角形中心，.设球心为，则平面，平面，与交于点，易知为中点，连接，，易知，，故为二面角的平面角.故，，，.，故，，故.故，.故答案为：.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求△ABC面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理化简得到，故，得到答案.（2）计算，再利用面积公式计算得到答案.【详解】（1），则，即，故，，故.（2），故，故.当时等号成立.，故，，故△ABC面积的最大值为.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.18.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，L分别为棱A1D1，C1D1，BC的中点．（1）求证：AC⊥QL；（2）求点A到平面PQL的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）作于，证明平面得到答案.（2）取中点，连接，利用等体积法计算得到答案.【详解】（1）如图所示：作于，易知为中点，为中点，故.，故平面，平面，故.，故平面，平面，故.（2）取中点，连接，易知，，故为矩形.故到平面的距离等于到平面的距离.故.，，即，故.【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足（2，2）（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A（3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B（3，﹣6）和M的直线与抛物线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【答案】（1）y2＝4x；；（2）直线NL恒过定点（﹣3，0），理由见解析.【解析】【分析】（1）根据抛物线的方程，求得焦点F（，0），利用（2，2），表示点P的坐标，再代入抛物线方程求解.（2）设M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），表示出MN的方程y和ML的方程y，因为A（3，﹣2），B（3，﹣6）在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y1y2＝12，然后表示直线NL的方程为：y﹣y1（x ），代入化简求解.【详解】（1）由抛物线的方程可得焦点F（，0），满足（2，2）的P的坐标为（2，2），P在抛物线上，所以（2）2＝2p（2），即p2+4p﹣12＝0，p＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x；（2）设M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），则y12＝4x1，y22＝4x2，直线MN的斜率kMN，则直线MN的方程为：y﹣y0（x），即y①，同理可得直线ML的方程整理可得y②，将A（3，﹣2），B（3，﹣6）分别代入①，②的方程可得，消y0可得y1y2＝12，易知直线kNL，则直线NL的方程为：y﹣y1（x ），即y x，故y x，所以y（x+3），因此直线NL恒过定点（﹣3，0）．【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：且已知= 380.0（1）求第10年的年收入x10；（2）收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程.（i）10年的销售额y10；（ii）居民收入达到40.0亿元，估计这种商品销售额是多少？（精确到0.01）附加：（1）回归方程中，，.（2），，【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）直接根据计算得到答案.（2）利用公式计算得到，得到中心点，代入计算得到答案.【详解】（1），故.（2），即，解得，故，.将点代入回归方程得到：.故，当时，.【点睛】.本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.（1）证明函数在区间上单调递增；（2）证明函数在(-π，0)上有且仅有一个极大值点且【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.（2）根据（1）已有信息，对函数进行二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值范围，即可得证.【详解】（1）对函数求导，得，因为任意的,有，且在区间上，所以即，即函数在区间上单调递增.（2）对函数求导，得，令，则当时，由（1）知，，则故在上单调递减而由零点存在定理知：存在唯一的，使得，即当时，，即，为增函数；当时，，即，为减函数.又当时，所以在上恒为减函数，因此有唯一的极大值点由在上单调递减，故即又当时，故综上，函数在(-π，0)上有且仅有一个极大值点且【点睛】导数题是高考中的重难点，通常涉及根据导数分析函数单调性、极值点等，此类证明题多涉及二次求导步骤，根据定义域分析函数值范围等.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（1）求曲线C1的一般方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若点P在曲线C1上，点Q曲线C2上，求|PQ|的最小值．【答案】（1），（x﹣2）2+y2＝1；（2）2.【解析】【分析】（1）由C1的参数方程为为参数），消去参数即可转换为直角坐标方程，根据曲线C2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用转换为直角坐标方程.（2）设点P（5cosθ，4sinθ），根据点Q在圆上，先求点P 到圆心的距离，然后减去半径即为最小值.【详解】（1）曲线C1的参数方程为为参数），两式平方相加整理得．将代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．得x2+y2﹣4x+3＝0，整理得（x﹣2）2+y2＝1．（2）设点P（5cosθ，4sinθ）在曲线C1上，圆心O（2，0），所以：，当cosθ＝1时，|PO|min＝3，所以|PQ|的最小值3﹣1＝2．【点睛】本题主要考查了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣a+1|．（1）当a＝4时，求解不等式f（x）≥8；（2）已知关于x的不等式f（x）在R上恒成立，求参数a 的取值范围．【答案】（1）[5，+∞）∪（∞，]；（2）[﹣2，1].【解析】【分析】（1）根据a＝4时，有f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，然后利用绝对值几何意义，去绝对值求解.（2）根据绝对值的零点有a﹣1和，分a﹣1，a﹣1和a﹣1时三种情况分类讨论求解.【详解】（1）当a＝4时，f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，（i）当x≥3时，原不等式可化为3x﹣7≥8，解可得x≥5，此时不等式的解集[5，+∞）；（ii）当2＜x＜3时，原不等式可化为2x﹣4+3﹣x≥8，解可得x≥9此时不等式的解集∅；（iii）当x≤2时，原不等式可化为﹣3x+7≥8，解可得x，此时不等式的解集（∞，]，综上可得，不等式的解集[5，+∞）∪（∞，]，（2）（i）当a﹣1即a＝2时，f（x）＝3|x﹣1|2显然不恒成立，（ii）当a﹣1即a＞2时，，结合函数的单调性可知，当x时，函数取得最小值f（），若f（x）在R上恒成立，则，此时a不存在，（iii）当a﹣1即a＜2时，f（x）若f（x）在R上恒成立，则1，解得﹣2≤a≤1，此时a的范围[﹣2，1]，综上可得，a的范围围[﹣2，1]．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及含有绝对值的不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.2020届高三数学下学期3月质量检测试题理（含解析）本试卷共5页，23题（含选考题），全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，请用黑色签字笔填写在答题卡上对应的表格中．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．4．选考题的作答：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内．5．请学生自行打印答题卡．不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图．6．答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给学校，原则上一张A4拍成一张照片，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（）A. B. C. 2 D. ﹣2【答案】D【解析】【分析】化简z＝（1+2i）（1+ai）=，再根据z∈R求解.【详解】因为z＝（1+2i）（1+ai）=，又因为z∈R，所以，解得a＝-2.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则M∩N＝（）A. [﹣3，2）B. （﹣3，2）C. （﹣1，0]D. （﹣1，0）【答案】C【解析】【分析】先化简N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M＝{x|﹣1＜x＜2}，求两集合的交集.【详解】因为N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因为M＝{x|﹣1＜x＜2}，所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接计算概率得到答案.【详解】共有种情况，满足条件的有种情况，故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.4.在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（）A. 2B. 4C.D. 8【答案】B【解析】【分析】根据题意得到，，解得答案.【详解】，，解得或（舍去）.故.故选：.【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.5.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据循环结构依次进行，直至不符合，终止循环，输出【详解】第一次循环，，第二次循环，，第三次循环，，第四次循环，，第四次循环，，此时不满足，输出.故选：C【点睛】本题主要考查程序框图中循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.6.已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（）A. B. 1 C. D. 2【答案】D【解析】【分析】如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，则.当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.7.已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），则f（x）的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为，再求最值.【详解】已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），=，=，因为，所以f（x）的最小值为.故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.已知数列{an}满足a1=1，(an+an+1-1)2=4anan+1，且an+1>an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an=（）A. 2nB. n2C. n+2D. 3n -2【答案】B【解析】【分析】化简得到，故为首项是，公差为的等差数列，得到答案.【详解】，故，即，即，，故为首项是，公差为的等差数列.故，.故选：.【点睛】本题考查了数列的通项公式，化简得到是解题的关键.9.已知a=0.80.4，b=0. 40. 8，c= log84，则（）A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a【答案】D【解析】【分析】计算得到，得到答案.【详解】，故.即.故选：.【点睛】本题考查了数值的大小比较，计算其五次方是解题的关键.10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算所有情况共有种，满足条件的共有种，得到答案.【详解】所有情况共有种.满足条件的共有种，故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.已知点P在椭圆τ：=1(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，则，，，设，根据化简得到，得到答案.【详解】设，则，，，则，设，则，两式相减得到：，，，即，，，故，即，故，故.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.12.已知关于x的不等式-x- alnx≥1对于任意x∈(l，+∞)恒成立，则实数a的取值范围为（）A. （-∞，1-e]B. （-∞，-3]C. （-∞，-2]D. （-∞，2- e2]【答案】B【解析】【分析】化简得到，根据化简得到答案.【详解】根据题意：.设，则，则函数在上单调递减，在上单调递增，故，故.根据，，故.故选：.【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，利用不等式化简是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知以x±2y =0为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的标准方程为________.【答案】【解析】【分析】设双曲线方程为，代入点，计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为，则设双曲线方程为：，代入点，则.故双曲线方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为是解题的关键.14.若函数f（x）在（0，）上单调递减，则实数a取值范围为___．【答案】a≥﹣1．【解析】【分析】将函数f（x）在（0，）上单调递减，转化在（0，）上恒成立即在（0，）上恒成立再求最大值即可.【详解】因为函数f（x）在（0，）上单调递减，所以在（0，）上恒成立，即在（0，）上恒成立，因为，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15.根据气象部门预报，在距离某个码头A南偏东45°方向的600km处的热带风暴中心B正以30km/h的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起经过___小时后该码头A将受到热带风暴的影响（精确到0.01）．【答案】9.14h.【解析】【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．若在点C处受到热带风暴的影响，则AC＝450，则有450，即450；两边平方并化简、整理求解.【详解】建立如图所示直角坐标系：设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．若在点C处受到热带风暴的影响，则OC＝450，即450，即450；两边平方并化简、整理得t2﹣20t+175＝0∴t或，所以时后码头将受到热带风暴的影响．【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.在三棱锥S- ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形，SA=，SB=2，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S-AB-C的余弦值为____．【答案】【解析】【分析】证明，，得到为二面角的平面角，计算故，，得到，得到答案.【详解】球的表面积为，故，，故.的外接圆圆心为中点，；的外接圆圆心为三角形中心，.设球心为，则平面，平面，与交于点，易知为中点，连接，，易知，，故为二面角的平面角.故，，，.，故，，故.故，.故答案为：.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求△ABC面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理化简得到，故，得到答案.（2）计算，再利用面积公式计算得到答案.【详解】（1），则，即，故，，故.（2），故，故.当时等号成立.，故，，故△ABC面积的最大值为.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.18.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，L分别为棱A1D1，C1D1，BC 的中点．（1）求证：AC⊥QL；（2）求点A到平面PQL的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）作于，证明平面得到答案.（2）取中点，连接，利用等体积法计算得到答案.【详解】（1）如图所示：作于，易知为中点，为中点，故.，故平面，平面，故.，故平面，平面，故.（2）取中点，连接，易知，，故为矩形.故到平面的距离等于到平面的距离.故.，，即，故.【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足（2，2）（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A（3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B（3，﹣6）和M的直线与抛物线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【答案】（1）y2＝4x；；（2）直线NL恒过定点（﹣3，0），理由见解析.【解析】【分析】（1）根据抛物线的方程，求得焦点F（，0），利用（2，2），表示点P的坐标，再代入抛物线方程求解.（2）设M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），表示出MN的方程y和ML 的方程y，因为A（3，﹣2），B（3，﹣6）在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y1y2＝12，然后表示直线NL的方程为：y﹣y1（x），代入化简求解.【详解】（1）由抛物线的方程可得焦点F（，0），满足（2，2）的P的坐标为（2，2），P在抛物线上，所以（2）2＝2p（2），即p2+4p﹣12＝0，p＞0，解得p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x；（2）设M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），则y12＝4x1，y22＝4x2，直线MN的斜率kMN，则直线MN的方程为：y﹣y0（x），即y①，同理可得直线ML的方程整理可得y②，将A（3，﹣2），B（3，﹣6）分别代入①，②的方程可得，消y0可得y1y2＝12，易知直线kNL，则直线NL的方程为：y﹣y1（x），即y x，故y x，所以y（x+3），因此直线NL恒过定点（﹣3，0）．【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：且已知= 380.0（1）求第10年的年收入x10；（2）收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程.（i）10年的销售额y10；（ii）居民收入达到40.0亿元，估计这种商品销售额是多少？（精确到0.01）附加：（1）回归方程中，，.（2），，【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）直接根据计算得到答案.（2）利用公式计算得到，得到中心点，代入计算得到答案.【详解】（1），故.（2），即，解得，故，.将点代入回归方程得到：.故，当时，.【点睛】.本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.（1）证明函数在区间上单调递增；（2）证明函数在(-π，0)上有且仅有一个极大值点且【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.（2）根据（1）已有信息，对函数进行二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值范围，即可得证.【详解】（1）对函数求导，得，因为任意的,有，且在区间上，所以即，即函数在区间上单调递增.。
重庆八中2020级高三下第三次月考理科数学试卷
重庆八中高2020级高三（下）第3次月考理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合{}1,0,1,2A =-，集合{}2,xB y y x R ==∈，则=B A （）A.{}1,2B.{}0,1 C.{}0,1,2 D.(0,)+∞2.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e i x ＝cos x +isin x ，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A.B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.,21==且()()b a b a -⊥+25，则a 与b 的夹角为（）A.6π B.3π C.23πD.56π4.若7sin 225α=-，且324ππα<<，则cos()4πα-=（）A.45- B.35- C.45D.355.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵。
他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人分别来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位。
现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是硕士．则丙是来自哪个院校的，学历是什么（）A ．国防大学，硕士B ．国防大学，博士C ．军事科学院，学士D ．国防科技大学，硕士6.函数4()41x x f x =-的图象大致是（）A. B. C. D.7.现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为（）A ．36B ．24C ．22D ．20xyOxyO xyO xyO8.已知数列{}n a 满足n n n n n n n S a a a a a a ,211112+-+-++⋅=+为其前n 项和，若3,121==a a ，则=5S （）A ．57B ．64C ．124D ．1209.抛物线x y C 8:2=的焦点为N F ,为准线上一点，M 为y 轴上一点，且0=⋅NF NM ，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则MNF ∆的面积为（）A.36 B.62C.32D.32210.我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设ABC ∆三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，面积为S ，则“三斜求积公式”为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=222222241b c a c a S ，若()()()A C a A a b cBC a sin 24sin ,sin 24sin sin 22=-=+-，则用“三斜求积公式”求得的=S （）A.7415 B.66C.36 D.31211.如图，AD 为ABC ∆的外接圆的直径，若2=BC ，且23-=⋅BC AB ，则=⋅BC AD （）A.2B.34C.1D.3212.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，())1(+=x e x f x ，给出下列命题：①函数()x f 有2个零点；②()0>x f 的解集为()()+∞-,10,1 ；③R x x ∈∀21,，都有()()221<-x f x f ；④当12-<≤-x 时，()12212++≥x x x kf ，则2e k ≤.其中真命题的个数是（）A.1 B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在4(1+)x 的二项展开式中，二项式系数最大的项为_________.14．已知{}n a 是等比数列，其中41,252==a a ，则()*+∈+⋅⋅⋅++N n a a a a a a n n 13221的取值范围是_________.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且斜率为22的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限交于点A ，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为_________.16．如图，棱长为2的正方体ABCD —A1B 1C 1D 1中，点M 、N 、E 分别为棱AA 1、AB 、AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在面ABB 1A 1和面ABCD 内作弧 뜠和뜠 ，并将两弧各五等分，分点依次为M 、P 1、P 2、P 3、P 4、N 以及N 、Q 1、Q 2、Q 3、Q 4、E ．一只蚂蚁欲从点P 1出发，沿正方体的表面爬行至Q 4，则其爬行的最短距离为_________（参考数据：cos90.9877︒=；cos180.9511︒=；cos270.8910︒=）三、解答题：（共70分）17.（12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，,,CD PD BC PB ⊥⊥且AB PA =，E 为PD 中点.（1）求证：⊥PA 平面ABCD ；（2）求二面角C BE A --的正弦值．18.（12分）在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .（1）若()B B A sin 32sin =+，求tan tan AC 的值；（2）若B C A sin cos sin 2=，求ac的值．19.（12分）设直线AC ：y =与直线BD ：y =分别与椭圆E ：2214x y m m+=0m >（）交于点A ，B ，C ，D ，且四边形ABCD 的面积为．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点P （0，2）的动直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点，是否存在经过原点，且以MN 为直径的圆？若存在，请求出圆的方程；若不存在，请说明理由．20.（12分）2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施“3+1+2”高考模式。
2020届重庆市巴蜀中学高三上学期月考(三)数学(理)试题(解析版)
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
19．为庆祝新中国成立七十周年，巴蜀中学将举行“歌唱祖国，喜迎国庆”歌咏比赛活动，《歌唱祖国》，《精忠报国》，《我和我的祖国》等一系列歌曲深受同学们的青睐，高二某班级就该班是否选择《精忠报国》作为本班参赛曲目进行投票表决，投票情况如下表.
【详解】
解：由 ，得 ， ，即曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于基础题．
14．若 ，则 ______.
【答案】
【解析】利用微积分定理及奇函数的性质可得 ，结合诱导公式可得结果.
【详解】
，
∴ ，
【解析】（1）求出导函数 ，解不等式得到单调区间；
（2）令 ，则 恒成立，研究函数的最值即可.
【详解】
解：（1） ，
由 ，得 的单调增区间为 ， ；
由 ，得 的单调减区间为 .
（2）令 ，则 恒成立，
，
∵ ，∴ .
令 ，则 在 上单调递增，且 ，
∴当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增；
，
∴二面角 的余弦值为 .
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系及空间向量法的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
18．已知函数 ， ， .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） 的单调增区间为 ， ；单调减区间为 （2）
【详解】
2020年3月重庆市巴蜀中学2020届高三毕业班阶段性质量检测数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前重庆市巴蜀中学2020届高三毕业班下学期3月阶段性质量检测数学(理)试题(解析版)2020年3月（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则z i=（ ）A. 1i +B. 1i -+C. 1i --D. 1i - 【答案】C【解析】【分析】 先求出复数z,再求z i得解. 【详解】由题得z=1-i , 所以1i i i 11i 1i z +==---=-. 故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2. 已知集合(){},|20A x y x y =+=,(){},|10B x y x my =++=.若A B =∅,则实数m =（ ）A. 2-B. 12- C. 12 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据集合,A B 元素所表示的意义,以及集合,A B 关系,即可求解.【详解】因为A B =∅,所以直线20x y +=与直线10x my ++=平行,所以12m =. 故选:C .【点睛】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识,属于基础题.3. 已知两个单位向量12,e e ,若()1212-⊥e e e ,则12,e e 的夹角为（ ） A. 23π B. 3π C. 4π D. 6π【答案】B【解析】【分析】由已知可求出12e e ⋅,再由向量夹角公式,即可求解.【详解】因为()1212-⊥e e e ,所以()12102=-⋅e e e ,所以11222=⋅e e e , 所以12,cos e e <>=12,又因为[]12,0,e e π<∈>,所以12,e e π3<>=. 故选:B . 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与夹角,意在考查逻辑推理,数学运算,属于基础题.4. 随机变量()2~,N ξμσ,若(1)0.3P ξ≤=,(15)0.4P ξ<<=,则μ=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】 根据正态分布的对称性列方程,解方程求得μ的值.。
2020届重庆市巴蜀中学高三毕业班上学期高考适应性月考卷(四)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前重庆市巴蜀中学2020届高三毕业班上学期高考适应性月考卷(四)数学(理)试题(解析版)一、选择题1.已知集合1lg 1x A x y x ⎧⎫-==⎨⎬+⎩⎭，{}11B x x =->，则A B =（ ） A. (,1)(2,)-∞-+∞B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (,0)(2,)-∞+∞D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】A【解析】【分析】解不等式确定集合,A B ，再求交集． 【详解】由101x x ->+,得1x <-或1x >,即(,1)(1,)A =-∞-+∞, 由11x ->,得2x >或0x <,即(,0)(2,)B =-∞+∞,∴(,1)(2,)A B =-∞-+∞．故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算,考查对数函数的定义域,掌握集合运算的概念是解题基础． 2.2(2dx =⎰（ ）A . 4π+B. 42π+C. 44π+D. 2π+【答案】A【解析】 【分析】 由定积分公式,22222000(24)24x dx dx x dx +-=+-⎰⎰⎰,其中2204x dx -⎰由定积分的几何意义求解． 【详解】22222000(24)24x dx dx x dx +-=+-⎰⎰⎰222240dx x ⎰==, 以原点为圆心,2 为半径作圆,如图,2204x dx -⎰表示圆在第一象限部分的面积,∴2204x dx -⎰2124ππ=⨯⨯=, ∴22222000(24)24x dx dx x dx +-=+-⎰⎰⎰4π=+．故选：A.【点睛】本题考查定积分,考查定积分的几何意义．属于基础题．3.直线220x y ++=与圆224x y +=交于,A B 两点,O 为坐标原点,则AOB ∆的面积为（ ）5 B. 45 C. 85 D. 165。