运筹学(第5章割平面)_
第五章第3节 割平面解法
k k
(3)
(3) 现在提出变量(包括松弛变量)为整数的 条件(当然还有非负的条件). • 这时，上式由左边看必须是整数，但由右边 看，因为0＜fi＜1，所以不能为正，即
f i − ∑ f ik x k ≤ 0
k
(4)
由于 x1、x2 的值已都是整数，解题已完成。
做为换入变量，再按原单纯形法进行迭代，得表5 将x3做为换入变量，再按原单纯形法进行迭代，得表5-3。 表5-3
cj CB XB 1 x1 1 x2 0 x3 cj-zj b 1 1 1 2
1 x1 1 0 0 0
1 x2 0 1 0 0
0 x3 0 0 1 0
这就是一个切割方程。
• 由(5-4)式，(5-6)式，(5-7)式可知： • ① 切割方程(5-7)式真正进行了切割，至 少把非整数最优解这一点割掉了。 • ② 没有割掉整数解，这是因为相应的线性 规划的任意整数可行解都满足(5-7)式的缘 故。
例
求解下面整数规划
• max z=x1+x2 -x1+x2≤1 3x1+x2≤4 x1，x2≥0 x1，x2 整数
求一个切割方程的步骤： 1 求一个切割方程的步骤： (1) 令xi是相应线性规划最优解中为分数值的一个基 变量，由单纯形表的最终表得到
x i + ∑ a ik x k = b i
k
(1)
(2) 将bi和αik都分解成整数部分N与非负真 分数f之和，即 • bi=Ni+fi，其中0＜fi＜1 • αik=Nik+fik，其中0≤fik＜1 (2) • 而N表示不超过b的最大整数。代入(1)式得
项目管理运筹学第5章资料
X2 ≤ 1
B21 X1＝5.44，X2＝1.00 Z＝308
340 ≤ z ≤ 341
X2 ≥2
B22 无可行解
第三节 割平面法
割平面法的基本思想 这里仅介绍求解纯整数规划的割平面法 基本步骤：
设整数规划问题（IP），对应的松弛问题为（P） ①用单纯形法求解问题（P），设得到（P）的最优解。 ②若（P）的最优解符合取整约束，则停止；否则，必有一个基 变量Xi取值为分数。 ③任取一个基变量取值为分数的约束，构造切割平面（新约束）。 ④将新约束加入到原约束中，求解新的松弛问题（P）。用灵敏 度分析的方法求解问题（P），转② 。
？
Ma x化
？
？
第五节 指派问题
问题的扩展
人员数＝任务数
Min
化
基本问题
人员数≠任务数
人员数>任务数：虚设任务 人员数<任务数：虚设人员 系数矩阵中对应元素为0。 使人员数＝任务数 。
Ma 找出系数矩阵中的最大元
x化
素，记做W，用W减去系 数矩阵中的每个元素，得
到新矩阵。转化为Min化问
题。
第五节 指派问题
第三节 割平面法
例：求解 Max z＝x1＋x2 －x1+x2≤1 3x1+x2≤4 x1、x2≥0，且取整
注意：要求每个bi，以及aij必须取整。否则，可以对相应的约束乘上 一个数，使其变为整数。 Max z＝x1＋x2 －x1+x2 ＋x3 ＝1 3x1+x2 ＋ x4 ＝ 4 x1，x2，···， x4≥0，且取整
第四节 0-1规划及隐枚举法
求解纯0－1规划问题的隐枚举法 基本思想： 穷举法的不足； 隐枚举法： “最优解＝目标值最优的可行解” 只要目标值不是最优，不用检查是 否为可行解，必定不是最优解。 一个例子
割平面法
31/7=4+3/7 于是，（1）式变为
4 1 3 x4 ( 1 ) x3 (3 ) x5 4 7 7 7
⑵
将所有整数项放在等式的左边，非整数值项放 在右边，得
3 4 1 x4 x3 3x5 4 x3 x5 7 7 7
⑶
⑶式左边是一个整数值，右边是一个小于１的 数。由于是等式，所以，右边应该是一个小于 或等于０的整数值，即
二、构造割平面约束的方法
在松弛问题的最优表中，设 b的分量bko不是 整数，将其分成整数与非负分数之和，即
bko Nko fko, 其中N ko为不超过bko的最大整数， fko为非负真分数; bko 所在行中的每一个非基 变量xj的系数分成整数与非负分数两部分：
ako , j Nko , j fko , j
１、求出松弛问题的最优解，若全部变量为整数解， 停止计算；否则转２。
２、构造割平面方程 •构造方法 割平面约束具备两个性质： ⑴ 已获得的非整数最优解不满足该线性约束， 从而保证在以后的解中不可能再出现。
⑵ 所有的整数解皆满足该线性约束，从而保 证整数规划问题的最优解始终都保留在每次所 形成的、新的线性规划问题的可行域中。 我们通过下面的例子来说明构造这种线性约束 的思路。
第二节 解纯整数规划的割平面法
一、 割平面方法的基本思想和步骤
二、构造割平面约束的方法
三、示例
一、 割平面方法的基本思想和步骤
•基本思想： 在IP问题的松弛问题中依次引进线性约束（称 Gomory约束或割平面），使问题的可行域逐步缩 小，所割去的区域仅包含问题的部分非整数解；当 规划问题的最优解恰好位于缩小的可行域的一个顶 点时，算法结束。 •求解步骤
运筹学第5章：整数规划
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应 求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这 种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各 地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求 解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应 的基最优解为X*。 步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分 量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年 的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)： 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整 数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。
《运筹学》第5章 整数规划(割平面法)
第５章整数规划（割平面法）求解整数规划问题：Max Z=3x1+2x22x1+3x2≤144x1+2x2≤18x1,x2≥0，且为整数解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。
从而有：Max Z=3x1+2x22x1+3x2+x3=142x1+x2+x4=9x1,x2≥0，且为整数利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1：表1最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1)将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即：(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得：x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2)由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。
又因为x3,x4 0，所以必有：1/2-(1/2x3+1/2x4)<1由于(2)式右端必为整数，于是有：1/2-(1/2x3+1/2x4)≤0 (3)或x3+x4≥1 (4)这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有：2x1+2x2≤11 (5)从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E(3.5，2)成为可行域的一个极点。
图1在(3)式中加入松弛变量x5，得：-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6)将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题：Max Z=3x1+2x22x1+3x2+x3=142x1+x2+x4=9-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2x i≥0，且为整数，i=1,2,…,5该问题的求解可以在表1中加入(6)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。
5-2割平面法
1 x2 1 0 1 0 0 1/4
0 x3 1 0 0 1 -1 -1/3
-2 0 0 0 -1/3 -1/6
3 割平面法小结
1）令xi是线性规划最优解中为分数值的一个基变量
xi aik xk bi
k
2）将bi和a ik都分解成整数部分N和非负真分数f之和
bi Ni fi , 其中0<fi 1 aik Nik fik , 其中0 fik 1
筹
学
0
x1
图2 1
2 割平面法算例
例1 求解
m a x z x1 x 2
x1 x 2 1
3
x1 x1
,x
x
2
2
0
4
x 1 , x 2 整 数
最优解为：x1
3 4
,
x2
7 4
, max
z
10 4
表1
CB
初始计算 0
表
0
最终计算 1
表
Cj
1
XB b x1
x3 1 -1
x4 4 3
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第五章 割平面法
主讲教师 武小平
主要内容
1 割平面法及其原理
2 割平面法算例
运
筹
3 割平面法小结
学
1 割平面法及其原理
割平面法添加能割去非整数解的线性约束条件，使
01
x1 3/4 1 x2 7/4 0
-5/2 0
100 x2 x3 x4 110 101 100 0 -1/4 1/4 1 3/4 1/4 1 -1/2 -1/2
割平面法 运筹学整数规划
整数规划（Integer Programming)
分类：1. 纯整数线性规划（Pure Integer Linear Programming） 2. 混合整数线性规划（Mixed Integer Linear Programming） 3. 0-1型整数线性规划（Zero-One Integer Linear Programming）
割平面解法(Cutting Plane Approach) 第三节 割平面解法
割平面法是1958年美国学者R. E. Gomory提出的。 基本思想是：先不考虑变量的取整数约束，求解相应的线性规 划，然后不断增加线性约束条件（即割平面），将原可行域割掉不 含整数可行解的一部分，最终得到一个具有整数坐标顶点的可行域， 而该顶点恰好是原整数规划问题的最优解。 例：求解
Z=40x1+90x2 LP-1 9x1+7x2=56 7x1+20x2=70 LP-2
第二步：分枝与定界过程。 • 将其中一个非整数变量的解，比如x1, 进行分枝，即 x1≤ 4.81 =4, x1≥ 4.81 =5 并分别加入LP问题的约束条件中, 得两个子LP规划问题LP-1, LP-2, 分 别求解此两个子线性规划问题, 其最优解分别是 LP-1: x1=4, x2=2.1, Z1=349 LP-2: x1=5, x2=1.57, Z2=341
二、具体步骤（以例子说明）
max Z = 40 x 1 + 90 x 2 9 x 1 + 7 x 2 ≤ 56 7 x + 20 x ≤ 70 1 2 x1 , x 2 ≥ 0 x 1 , x 2取整数
s .t
解：
第一步：先不考虑整数约束条件，求解相应的线性规划问题，得最 优解和最优值如下 x1=4.81, x2=1.82, Z=356 此解不满足整数解条件。定出整数规划问题目标函数的上下界。上 界为 Z=356；用观察法可知x1=0，x2=0是可行解，从而其整数规划问题目 标函数的下界应为0，即 0≤ Z* ≤356
割平面法的基本思想
割平面法的基本思想割平面法主要用于求解整数规划问题的方法。
1958年由美国格莫理提出。
基本思路是：先不考虑整数性约束，求解相应的线性规划问题。
若线性规划问题的最优解恰好是整数解，则此解即为整数规划问题的最优解。
否则，就增加一个新的约束条件,称为割平面。
割平面必须具有两条性质：（1)从线性规划问题的可行域中至少割掉目前的非整数最优解；（2)不割掉任何整数可行域，然后在缩小的可行域上继续解线性规划问题。
重复以上做法，经有限次切割后，必可在缩小的可行域的一个整数极点上达到整数规划问题的最优解。
混合整数线性规划（MILP）的割平面法通过将整数问题线性松弛为非整数线性问题，并对其进行求解，来求解MILP 问题。
线性规划理论说明，在温和的假定下（如果线性规划存在最优解，并且可行域不包含一条线），总存在一个极值点或顶点是最优的。
检验所获的最优解是否为整数解。
如否，则必然存在一线性不等式将最优点和真可行集的凸包分离。
找到这样的不等式是分离问题，而这样的不等式就是切割。
切割可以被加入到被松弛的线性规划中，使得当前的非整数解对松弛不再可行。
该过程不断重复，直到找到最优整数解。
用于普遍的凸连续优化和变体的割平面法有不同的名称：Kelley 法，Kelley-Cheney-Goldstein 法和捆绑法。
它们常用于不可微的凸最小化问题。
对于这类问题，通常的可微优化的梯度法无法使用，而使用这些方法可以高效地得到凸目标函数及其次梯度。
这种情况最常出现在双拉格朗日函数的凹优化中。
另一种常见情形是Dantzig-Wolfe分解应用于结构优化问题中，这类问题通常有含有指数级变量的表达式。
通过延迟列生成法按需生成这些变量等同于在对应的对偶问题上切割平面。
图1.割平面法例，如上图1，单位立方体与切割平面。
在三节点的旅行推销员问题中，该（弱）不等式表明每次旅行必须连接至少两个点。
2Gomory 切割切割平面法由Ralph Gomory 在19 世纪50 年代提出，用于解决整数规划和混合整数规划问题。
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整数规划最优解和线性规划 松弛问题最优解的关系
对于最大化问题
松弛问题最优解≥整数规划最优解
对于最小化问题
松弛问题最优解≤整数规划最优解
§5.1整数规划模型
1、固定费用问题 2、选择性约束条件
１．固定费用问题
例5-2 某工厂生产1#、2#和3#三种产 品，每种产品需经过三道工序，有关 信息如下表所示。若j#产品投产，无论 产量大或小，都需要一笔固定的费用dj， 问每种产品各生产多少，可使这一周 内生产的产品所获利润最大?试建立整 数规划模型．
问 题
1、去掉整数约束的规划问题 的最优解与整数规划的最优 解有何关系？ 2、如何建立整数规划模型？ 如何求解整数规划问题？
例5-1 求解整数规划
(1.5, 3.33) 最优值是-4.83
放松整数约束得到的线性规划问题
为该整数规划松弛问题 任何一个整数规划都可以看成是一 个线性规划松弛问题再加上整数约 束构成 整数规划的可行域是线性规划松弛 问题可行域的一个子集.
例5-13 求解下列（AIP）： min f= -7x1-9x2 s.t. -x1 +3x2 ≤6 7x1 + x2 ≤35 xj≥0, 整数， j=1,2。
介绍一些相关概念
5．2．2 柯莫利割
行解．由KAIP KLP，所以x也是(LP)的一个
可行解，因此，x应满足单纯形表T(B)所表示 的方程组：
1,当x j 0， 又设0-1变量 y j 0，否则，
j 1， 2， 3
本问题的数学模型（ 考虑固定费用 ） max f= 10x1+15x2+12x3-100y1-200y2-150y3 s.t . 1.2x1+1.0x2 +1.1x3 ≤5400 0.7x1+0.9x2 +1.0x3≤ 2800 0.9x1 +0.8x2+ 1.0x3≤3600 x j My j，j 1 ， 2， 3
第五章 整数规划
§5· 1整数规划模型 §5· 2纯整数规划的割平面法 §5· 4分支定界法 §5· 7最优分配问题
本章基本要求
掌握整数规划的数学模型的建摸技巧； 掌握0-1规划模型 了解割平面公式； 掌握分支定界法； 掌握匈牙利法解决最优分配问题。
整数规划
整数规划：决策变量全体或部分约
例5-15 求解下列（AIP）： min f= -2x1-5x2 s.t. 2x1 -x2 + x3 = 9 2x1 + 8 x2 + x4 = 31 xj≥0, 整数， j=1,…，4。
1/6 5/6 1/2
1/2 1/4 1/4
束为整数的数学规划问题. 整数规划又分线性整数规划和非线 性整数规划. 线性整数规划也叫整数线性规划 (ILP),简称整数规划,简记(IP).
整数线性规划的分类
纯整数规划:所有的决策变量均取整
数. 简记（ＡＩＰ） 混合整数规划:只有部分决策变量取 整数值. 简记（ＭＩＰ） 0-1整数规划:整数变量只能取0或1. 简记（ＢＩＰ）
xj≥0, j=1,2,3.
其中M为充分大的正数
２．选择性约束条件
例5-3 某工厂生产第j种产品的数量为 xj,j=1,2,3.其使用的材料在材料甲及材料乙中 选择一种。材料消耗的约束条件分别为 2x1+5x2 +6x3 ≤180或 4x1+3x2 +7x3≤ 240， （其他资源未列出），试问这类选择性约束条 件如何体现在模型中？
工厂生产信息表
定额 （工时/件）
j# 1# 2# 3#
C
1.2
0.7 0.9 10
1.0
0.9 0.8 15
1.1
0.6 1.0 12
5400
2800 3600
利润（元/件）Cj
若固定费用dj: 100 ， 200 ， 150
解 设一周内j产品的生产件数为xj
若不考虑固定费用 max f= 10x1+15x2+12x3 s.t . 1.2x1+1.0x2 +1.1x3 ≤5400 0.7x1+0.9x2 +1.0x3≤ 2800 0.9x1 +0.8x2+ 1.0x3≤3600 xj≥0, j=1,2,3.
（5-24）
应用对偶单纯形法
于是，X*=（x1，x2）T=（4，3）T 最优值f*=-55。
5.2.3 柯莫利割平面法
割平面法的基本思路：先用单纯形法解松弛问题， 得最优解Ｘ0，如果Ｘ0是整数，则问题已经解决， 如果不全是整数，给松弛问题一个线性约束条件－ －割平面方程，它将松弛问题的可行域割去一块， 且这个Ｘ0恰被割去,原问题的可行解都不会被割去. 把松弛问题的最优表添加割约束,得改进的松弛问 题,用对偶单纯形法求解,直至最优解为整数为止. 柯莫利割平面法算法步骤（P153）
解
引进0-1变量
0, 选择材料甲， y 1，否则。
约束条件
2x1+5x2 +6x3 ≤180+My 4x1+3x2 +7x3≤ 240+M(1-y)
其中M为充分大的正数
例5-10 旅行售货员问题
P151
§5· 2 纯整数规划的割平面法
5．2．1割平面法的几何特征 记（AIP）的可行域为KAIP。若将（AIP）中 要求变量为整数这个约束去掉，则得到相应的 线性规划（LP），记（LP）的可行域为KLP。
(1)
设B为(LP)的一个基，X为(AIP)的一个可
(2)
(1)-(2)得：
该条件是(AIP)任何一个可行解x必须满足的 条件，我们称它为柯莫利割．
例5-14用割平面法求解例5－13
min f= -7x1-9x2 s.t. -x1 +3x2 ≤6 7x1 + x2 ≤35 xj≥0, 整数， j=1,2。
解 引进松弛变量x3和x4，将问题化成标准型： min f= -7x1-9x2 s.t. -x1 +3x2 + x3 = 6 7x1 + x2 + x4 = 35 xj≥0, 整数， j=1,…，4。
（5-23）
因为松弛变量 x3=6+ x1-3x2，x4=35-7xl-x2， 所以当x1和x2为整数时，x3和x4也一定是整数． 应用单纯形法求解相应的线性规划(LP)，得最优表．