学案18 山西大学附中几何概型学案18
山西大学附中高中数学（必修3）学案18
几何概型
【学习目标】：对比古典概型，通过实例，理解几何概型；会用几种常见几何概型模型的概率计算公式，求解与之相关的概率问题．
【学习重点】理解几何概型及其概率计算公式．
【学习难点】理解几何概型及其概率计算公式．
【学习过程】
一、导读
1．阅读教材135P 及136P 的有关内容，思考并回答下列问题：
（1）什么是几何概型？它有什么特点？与古典概型的区别是什么？如何判断一个概率模型是否为几何概型？
（2）对比古典概型的概率计算公式，理解几何概型的概率计算公式.
2．阅读教材136P 的例1，思考并回答下列问题：
（1）该问题是几何概型吗？如何将其抽象成几何概型？
（2）请总结求几何概型的概率的步骤，并与求古典概型的概率步骤进行对比，进一步理解并掌握这两种概型．
3．几种常见的几何概型
（1）与长度有关的几何概型
例．取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率是多少？
（2）与面积有关的几何概型
例．甲、乙二人相约于7点至8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，超时就离去，若甲、乙两人都在7点到8点之间的任意时刻到达该地，试求这两个人能会面的概率
（3）与体积有关的几何概型
例．用橡皮泥做成一个棱长为6cm 的正方体，假设橡皮泥中混入了一颗很小的砂粒（其大小忽略不计），从这块橡皮泥的一角切下一个棱长为2cm 的小正方体，求这个砂粒正好在这个小正方体中的概率.
（4）与角度有关的几何概型
例.在等腰ABC Rt ?中， 90=∠C ．
① 在直角边BC 上任取一点M ，求 30<∠CAM 的概率；
② 过点A 在CAB ∠内作射线交线段BC 于点M ，求 30<∠CAM 的概率.
二、导练
1．计算下列两题的概率：
（1）在区间]10,0[上任取一个整数x ，这x 不大于3的概率为 ；
（2）在区间]10,0[上任取一个实数x ，这x 不大于3的概率为 ．
2．在等腰ABC Rt ?中，在斜边AB 上取一点M ，求AC AM <的概率．
3．在半径为R 的圆周上取C B A ，，三点，求ABC ?为锐角三角形的概率．
2021学年高中数学第三章概率3.3.1几何概型学案含解析人教A版必修3.doc
3．3 几何概型 3．3.1几何概型 [目标] 1.了解几何概型与古典概型的区别；2.理解几何概型的定义及其特点；3.会用几何概型的概率计算公式求简单的几何概型的概率． [重点] 几何概型的特点及概念的理解． [难点] 应用几何概型的概率公式求概率． 知识点一几何概型的概念 [填一填] 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 几何概型的特点如下： (1)无限性，即在一次试验中，基本事件的个数是无限的； (2)等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的． [答一答] 1．古典概型和几何概型有何异同点？ 提示：相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的． 不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关．2．下面两个事件是几何概型吗？ (1)一个人骑车到路口，恰好红灯； (2)一个人种一颗花生，发芽． 提示：(1)满足无限性和等可能性，是几何概型；(2)种一颗花生所有可能出现的结果只有两种，发芽和不发芽，不满足无限性，发芽与不发芽的概率不相等，不满足等可能性，故不是几何概型．
知识点二几何概型的概率公式 [填一填] 在几何概型中，事件A的概率计算公式为P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积) . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) [答一答] 3．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关系吗？ 提示：几何概型的概率只与构成事件的区域的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关． 4．概率为0的事件是否一定是不可能事件？ 概率为1的事件是否一定会发生？ 提示：在几何概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A不一定是不可能事件，如：事件A对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不可能事件；同样地，若事件A的概率P(A)＝1，则A也不一定是必然事件． 类型一几何概型的判断 [例1]判断下列概率模型，为几何概型的是________． ①在区间[－10,10]内任取一个数，求取到1的概率； ②在区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③在区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率； ④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率． [解析]①中概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]有无限多个点，且区间内每个数被取到的机会相等；②中概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③中概率模型不是几何概型，因为在区间[－10,10]内的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征； ④中概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数个点，且这两个区域内的任何一个点被投到的可能性相等，故满足无限性和等可能性．[答案]①②④
2019届高考数学大一轮复习第十二章概率、随机变量及其分布12.3几何概型学案理北师大版
§12.3 几何概型 1．几何概型 向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1 G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝ G 1的面积 G 的面积 ，则称这种模型为几何概型． 2．几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比． 3．借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ ) (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ ) (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝1 9.( × ) 题组二 教材改编 2．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )
A.12 B.13 C.1 4 D ．1 答案 B 解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13. 3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( ) 答案 A 解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝1 3， ∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )． 4．设不等式组? ?? ?? 0≤x ≤2， 0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐 标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π－22 C.π6 D.4－π 4 答案 D 解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是 4－π 4 ，故选D. 题组三 易错自纠 5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为5 6，则m ＝________. 答案 3 解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m . 当0 2019-2020学年高中数学 3.3几何概型学案 新人教A 版必修5 【学习目标】 1．了解几何概型与古典概型的区别，知道均匀分布的含义． 2．理解几何概型的特点和计算公式． 3．会求几何概型的概率． 【重点难点】 重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率 难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别. 【学习内容】 一．导入新课 1、复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事 件发生都是等可能的. 2、提出问题：不是所有的试验结果都有有限个，比如： 一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子, 石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要 学习的几何概型. 二．研探新知 （一）：几何概型的概念 提出问题：如下图所示,图中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时, 甲获胜,否则乙获胜,在两种情况下分别求甲获胜的概率. 显然，以转盘（1）为游戏工具时，甲获胜的概率为 21；以转盘（2）为游戏工具时，甲获胜的概率为5 3。事实上，甲获胜的概率与字母B 所在扇形区域的圆弧的长度有关，而与字母B 所在区域的位置无关，只要字母B 所在扇形区域的圆弧的长度不变，不管这些区域 是相邻，还是不相邻，甲获胜的概率是不变的。 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样 的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability ）,简称几何概型. 注： 几何概型的基本特点： a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； b.每个基本事件出现的可能性相等. （二）几何概型的概率公式： P(A)=) ()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A 例1、有一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于 1m 的概率是多少？ 概率论与数理统计 第二章习题 1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010； 2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法： 3554 1021 C ?= =?，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法， 其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法 其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6， 最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11 {1} 36 P X==； 最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 9 {2} 36 P X==； 最小点数为3的共有7种， 7 {3} 36 P X==； 最小点数为4的共有5种， 5 {4} 36 P X==； 最小点数为5的共有3种， 3 {5} 36 P X==； 最小点数为6的共有1种， 1 {6} 36 P X== 于是其分布律为 3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数， （1）求X的分布律； （2）画出分布律的图形。 解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下， 从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3 15151413 P=??，其概率为 若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ?? 课 题：3.3.1 几何概型 教学目标： 1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式： P （A ）=) ()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A ,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力. 2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识. 教学重点： 理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率. 教学难点： 等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别. 教学方法： 讲授法 课时安排： 1课时 教学过程： 一、导入新课： 1、复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢? 2、在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型. 二、新课讲授： 提出问题 (1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？ (2)试验1.取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？ 试验 2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？ (3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么? (4)什么是几何概型?它有什么特点? (5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式? (6)古典概型和几何概型有什么区别和联系? 活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括. 讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,P （正,正）=P （正,反）=P （反,正）=P （反,反）=1/4.两次 第59讲 几何概型 1．几何概型 如果事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度(面积或体积)__成比例，而与A 的形状和位置无关则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个特点 一是__无限性__，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是__ 等可能性__，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的__图形面积(体积、长度)__”与“试验的基本事件所占的__总面积(总体积、总长度)__”之比来表示． 3．在几何概型中，事件A 的概率的计算公式 P (A )＝__构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)__. 4．几种常见的几何概型 (1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关． (2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题； (3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题． 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的．( × ) (3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ ) (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) 几何概型教学设计 教学内容： 人教版《数学必修3》第三章第3.3.1节几何概型。 学情分析： 这部分是新增加的内容，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义，所以教科书中选的例题都是比较简单的，随机模拟部分是本节的重点内容。几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个。 本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等，教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性。几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个；它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关。 教材的地位与作用： 概率的初步知识在初中已经介绍，在选修模块的系列2中还将继续学习概率的其他内容，因此，本章在高中阶段概率的学习中，起了承前启后的作用。 本章的核心是运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成用科学的态度、辩证的思想、随机的观念去观察、分析研究客观世界的态度，并获取认识世界的初步知识和科学方法；这对全面系统地掌握概率知识，对于学生辩证思想的进一步形成具有促进的作用。 教学目标： 知识与技能 了解几何概型的意义，会运用几何概型的概率计算公式，会求简单的几何概型事件的概率。 过程与方法 通过游戏、案例分析，学习运用几何概型的过程，初步体会几何概型的含义，体验几何概型与古典概型的联系与区别。 情感、态度与价值观 通过对几何概型的研究，感知生活中的数学，体会数学文化，培养学生的数学素养。 教学重点： 几何概型的特点，几何概型的识别，几何概型的概率公式。 教学难点： 将现实问题转化为几何概型问题，从实际背景中找几何度量。 教学过程： 一、复习引入 1、古典概型的两个基本特征是什么？ 2、如何计算古典概型的概率？ §3.3 几何概型 §3.3.1 几何概型 一、教材分析 这部分是新增加的内容.介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义,所以教科书中选的例题都是比较简单的.随机模拟部分是本节的重点内容.几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子,概率为1的事件不是必然事件的例子. 利用古典概型产生的随机数是取整数值的随机数,是离散型随机变量的一个样本;利用几何概型产生的随机数是取值在一个区间的随机数,是连续型随机变量的一个样本.比如［0,1］区间上的均匀随机数,是服从［0,1］区间上均匀分布的随机变量的一个样本.随机模拟中的统计思想是用频率估计概率. 本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型、例3中的随机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.在这个过程中,要让学生体会结果的随机性与规律性,体会随着试验次数的增加,结果的精度会越来越高. 随机数的产生与随机模拟的教学中要充分使用信息技术,让学生亲自动手产生随机数,进行模拟活动. 几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为0,则它出现的概率为0,但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为1,但它不是必然事件. 均匀分布是一种常用的连续型分布,它来源于几何概型.由于没有讲随机变量的定义,教科书中均匀分布的定义仅是描述性的,不是严格的数学定义,要求学生体会如果X落到［0,1］区间内任何一点是等可能 几何概型 一、教学目标： 1、知识与技能： （1）正确理解几何概型的概念； （2）掌握几何概型的概率公式： （3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型； 2、过程与方法： （1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力； ' （2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、情感态度与价值观： 本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。 二、重点与难点： 1、几何概型的概念、公式及应用； 2、几何概率模型中基本事件的确定，几何“度量”的选择；将实际问题转化为几何概型. 三、教学过程 复习回顾 、 同学们，咱们前面学习了古典概型，现在回顾一下古典概型的特点及求概率的公式 特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性)； (2)每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）. （一）问题引入 （1)若x的取值是区间[1,4]中的整数，任取一个x的值，求“取得值不小于2”的概率。 （古典概型） ~ (2)若x的取值是区间[1,4]中的实数，任取一个x的值，求“取得值不小于2”的概率。 （几何概型） 自主探究 试验1、取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1米的概率有多大 试验2、取一个长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，那么豆子落入圆内的概率有多大 试验3、一只蜜蜂在一个棱长为60cm的正方体笼子里飞，那么蜜蜂距笼边大 于10cm的概率有多大 . 试验1试验2试验3提炼概括 一个基本 事件… 取到线段AB上 某一点 豆子落在正方形（2a ×2a）内某一点 取正方体笼子内某 一点 在对应的整个图形上取一点 （随机地） 所有基本 事件形成的集合线段AB（除两端 外） 正方形（2 4a）面 正方体笼子（棱长 60）体积 《 对应的所有点形成一个可度 量的区域D 随机事件 A对应的集合线段CD内切圆（2a π）面 正方体笼子内小正 方体（棱长40）体 积 区域D内的某个指定区域d 随机事件A发生的 概率？() P A= 圆的面积 正方形的面积 2 2 44 a a ππ == 3 3 408 () 6027 P A()A P A 构成事件的区域 全部结果构成的区域 1、几何概型的概念： ] 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型． 古典概型几何概型 所有的试验结果有限个(n个)无限个 ` 每个试验结果的发生 等可能等可能 概率的计算P(A)=m/n 3、几何概型的概率计算公式： 2019-2020学年高中数学 3.3.1几何概型学案 新人教A 版必修3 一、自学要求： ①正确理解几何概型的定义，掌握几何概型的概率公式： ; ②会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型，会进行简单的几何概型的计算 二、自学过程： 1、 几何概型的定义： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 ,则称这样的概率模型为 ,简称为 。 2、几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件有 (2)每个基本事件出现的 3、几何概型求事件A 的概率公式：P(A)= 4、古典概型与几何概型的区别： 基本事件的个数 基本事件的可能性 概率公式 古典概型 几何概型 三．课堂展示 例1、下列概率问题中哪些属于几何概型？ ⑴从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，求正品的概率。⑵箭靶的直径为1m ，其中，靶心的直径只有12cm ，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？⑶随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率。⑷甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时才可离去，求两人能会面的概率。（5）抛掷一颗骰子，求出现一个“4点”的概率；（6）如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。 例2：某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车 站后候车时间大于10 分钟的概率？ 例3：.在地球上海洋占70.9%的面积,陆地占29.1%的面积,现在太空有一颗陨石正朝着地球的方向飞来,将落在地球的某一角.求陨石落在陆地的概率和落在我国国土内的概率(地球的面积约为5.1亿平方千米) 例4：（取水问题）：有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率. 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A A P )( 预习书本内容 135P -----138P 页 1、 几何概型的概念 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会_________；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型． 几何概率模型：_________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 2、几何概型的基本特点及其计算公式 二、导练 3、取一个边长为2a 的正方形及其内切圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率． 4、在1L 高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出10mL ，含有麦锈病种子的概率是多少？ 5、某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）。 三、导议 6、（P137页例2） 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少． 四、评价 1、取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长 都不小于1 m 的概率是. A.21 B.31 C.4 1 D.不确定 2、已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上 车的概率是 A.101 B.91 C.111 D.8 1 3、两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2 m 的概率是________. 4、在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ， AM 的长小于AC 的长的概率_____ 5、一海豚在水池中游玩，水池长30米，宽为20米的长方形，求此海豚嘴离岸边不超过2米的概率。 6＊、（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．求两人会面的概率. （ 提示答案： 59 ） 2021年高考数学一轮复习几何概型1教学案 总课题概率总课时第6课时 分课题 几何概型（一） 分课时第 1 课时 学习目标1、了解几何概型的概念及基本特点； 2、熟练掌握几何概型的概率公式； 3、正确判别古典概型与几何概型,会进行简单的几何概率计算． 重点难点 几何概型概率的求法． 3．几何概型概率的计算： 一般地，在中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域内＂为事件，则事件发生的概率． 说明：（１）的测度不为；（２）其中＂测度＂的意义依确定，当分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是 （３）区域为＂开区域＂；（４）区域内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．4．几何概型与古典概型的联系与区别： 例题剖析 例1 取一个边长为的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率． 2a 例2 在1高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10，含有麦锈病种子的概率是多少？ 例3 甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时立即离去，求两人能会面的概率． 巩固练习 1．在区间上随机取实数，则实数在区间的概率是_________． 2．向面积为的内任投一点，则随机事件“的面积小于”的 概率为____________． 3．某袋黄豆种子共100kg，现加入20kg黑豆种子并拌匀，从中随机取一粒，则这粒种子是黄豆的概率是多少？是黑豆的概率是多少？ 4．如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为。 5.在区间中任意取一个数，则它与之和大于的概率是_______________。 课堂小结 几何概型及其概率的求法． 课后训练 班级：高二（）班姓名：____________一基础题 1．在区间上任意取实数，则实数不大于20的概率是____________． 2．在面积为的场地上有一个面积为的水池，现在向此场地投入个气 球，估计落在水池上方的气球个数为____________． 3．有一杯升的水，其中含有个细菌，用一个小杯从这杯水中取出升水，则水杯水中含有这个细菌的概率为____________． 教学目标： 1．了解随机数的概念和意义； 2．了解用模拟方法估计概率的思想； 3．了解几何概型的基本概念、特点和意义； 4．了解测度的简单含义； 5．了解几何概型的概率计算公式． 教学方法： 谈话、启发式． 教学过程： 一、问题情境 问题1：取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？ 问题2：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”． 奥运会的比赛靶面直径为122cm ， 靶心直径为12．2cm ，运动员在70m 外射．假3m 设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？ 能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？ （1）能用古典概型描述事件的概率吗？为什么？ （2）试验中的基本事件是什么？ （3）每个基本事件的发生是等可能的吗？ （4）符合古典概型的特点吗？ 二、学生活动 问题1：射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm 的大圆内的任意一点． 问题2：射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm 的大圆内的任意一点． 三、建构数学 几何概型的特点： (1)基本事件有无限多个； (2)基本事件发生是等可能的． 一般地,在几何区域D 中随机地取一点，记“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率： .D的测度 d的测度P(A) 四、数学运用 1．例题． 例1 两根相距8m 的木杆上系一根拉直绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于3m 的概率． 解：记“灯与两端距离都大于3m ”为事件A ， 第6节 几何概型 1.两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 16 2.1升水中有1只微生物,任取0.1升水化验,则有微生物的概率为( ) A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3.在半径为1的半圆内,放置一个边长为 12的正方形ABCD,向半圆内任投一点,落在正方形内的概率为( ) A. 12 B. 14 C. 14π D. 12π 4.一个游戏盘上有四种颜色:红、黄、蓝、黑,并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4,则指针停在红色或蓝色的区域的概率为( ) A. 613 B. 713 C. 413 D. 1013 5.某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意的,则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为( ) A. 15 B. 25 C. 35 D. 45 6.函数f(x)=x 2-x-2,x ∈[-5,5],那么任取一点x 0,使f(x 0)>0的概率为( ) A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 7. (2009·辽宁)ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( ) A. 4π B. 1-4π C. 8π D. 1-8 π 8. (2009·福建)点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为___________. 9.如图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA.求射线OA 落在∠xOT 内的概率. 几何概型 教学双向细目表 教案设计 一、教学目的： 1、了解几何概型的基本特征，掌握几何概型的计算方法； 2、培养学生把实际问题转化为数学模型的能力； 3、体验类比学习法在数学学习中的作用； 4、体会实际生活与数学的联系，学着用科学的态度评价身边的随机现象。 二、教学重难点 1、 教学重点：掌握几何概型的基本特征及如何求解几何概型的概率---几何测度法； 2、 教学难点：如何判断一个概型是否是几何概型，实际背景如何转化为几何度量。 三、教学方法 引导为主的问题教学法,对比教学法。 四、过程设计 1、 复习：复习古典概型的基本特征、定义和计算公式。 设计目的：回顾已学知识，为后面的对比学习做准备。 2、 引入：通过以下3个问题，判断是否为古典概型，并思考其概率的计算方法。 问题1、某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位，问此人在7：00-7：10到达单位的概率？ 问题2、下面是运动会射箭比赛的靶面，靶面半径为10cm,黄心半径为1cm.现一人随机射箭 ，假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的, 请问某一次射击射中黄心的概率是多少? 问题3、500ml 水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml 水样放在显微镜下观察，问发现草履虫的概率？ 设计目的：通过3个实例引入几何概型，过程中和古典概型做比较，初步体会实际问题和数学模型的转化。 3、 新知讲解 通过以上三个事例，类比古典概型，总结几何概型的定义和基本特征，并得出计算公式。 （1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积和体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。 （2）几何概型的特点:(1)基本事件有无限多个;(2)基本事件发生是等可能的. （3）计算公式：构成事件的区域长度（面积或体积） （A ）=全部结果所构成的区域长度（面积或体积） A P 设计目的:通过实例的展示，总结提炼本节重点内容，板书出以上内容，一是突出重点，二是让学生有时间记忆消化。 4、例题分析 例1：（1）x 的取值是区间[1,4]中的整数，任取一个x 的值，求 “取得值大于2”的概率； （2）x 的取值是区间[1,4]中的实数，任取一个x 的值，求 “取得值大于2”的概率。 例2．（1）x 和y 取值都是区间[1,4]中的整数，任取一个x 的值和一个y 的值，求1x y -≥的概率。 （2）x 和y 取值都是区间[1,4]中的实数，任取一个x 的值和一个y 的值，求1x y -≥的概率。 设计目的：两个例题中，一个古典概型，一个几何概型，对比学习，进一步理解几何概型，掌握与长度和面积有关的几何概型的概率计算方法。 例3、 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. []2004()2,5,5,()0例、函数那么任取一点使的概率是多少？ f x x x x x f x =--∈-≤ 设计目的：用几何概型解决实际问题，从不同的几何角度来解决概率问题，培养学生多 几何概型 【学习目标】 1.了解几何概型的概念及基本特点; 2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式; 3.会进行简单的几何概率计算; 4.能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想 【要点梳理】 要点一：几何概型 1.几何概型的概念: 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则 理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平 面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型 2.几何概型的基本特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.几何概型的概率: 般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件"该点落在其内部一个区域 d内"为事件A，贝y事件A发生的概率P(A) = D的测度. 说明: (1)D的测度不为0 ； ⑵ 其中"测度"的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的"测度"分别是长度，面积和体积 (3)区域为＂开区域＂； (4)区域 D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在 任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关 要点诠释： 几种常见的几何概型 (1)设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，若落在线段l上的点 数与线段l的长度成正比，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点落在线段l上的概率为: P=的长度/L的长度 (2)设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区 域g上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关, 则点落在区域g上概率为: P=g的面积/G的面积 (3)设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点，若落在 区域v上的点数与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无 关，则点落在区域v上的概率为: P=v的体积N的体积 要点二:均匀随机数的产生 1.随机数的概念 随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的作用 2.随机数的产生方法 (1) 实例法. 包括掷骰子、掷硬币、抽签、转盘等. 几何概型 一、教材分析 教材的地位和作用 “几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，是为更广泛的满足随机模拟的需要而新增加的内容，这充分体现了数学与实际生活的紧密关系。《几何概型》共安排2课时,本节课是第1课时，注重概念的建构和公式的应用，为第二课时的几何概型的应用以及体会随机模拟中的统计思想打下基础。 教学重点与难点 重点：掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式。 难点：在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。通过数学建模解决实际问题。 [理论依据]本课是一节概念新授课，因此把掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式作为教学重点。教学难点是在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。此外，学生通过数学建模解决实际问题也较为困难，因此也是本节课的难点。 二、教学目标 [知识与技能目标] （1）体会几何概型的意义。 （2）了解几何概型的概率计算公式 [过程与方法目标] 通过古典概型的例子，稍加变化后成为几何概型，从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，让学生经历概念的建构这一过程，感受数学的拓广过程。 通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力，感知用图形解决概率问题的方法。[情感与态度目标] 体会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发提出问题和解决问题的勇气，培养其积极探索的精神。 三、教学方法，教学模式，教学手段 本节课采用以引导发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式，结合多媒体辅助教学。 四、学法指导 通过合作交流，类比联想，归纳化归，总结提升，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。 《几何概型》学案设计 郑州四中刘继勋 学习目标课标描述：初步体会几何概型的意义. 学习目标分解：1、学生通过试验、交流，结合对实例的分析，体会学习 几何概型的必要性； 2、学生通过讨论、类比，能说出古典概型和几何概型的 区别和联系； 3、学生通过体验，能总结几何概型的意义，并会利用几 何概型概率公式求简单问题的概率. 学习重点：几何概型的意义. 学习难点：几何概型中随机试验结果个数的无限性理解. 学习方法：试验、交流、归纳等方法的综合应用. 学习过程： Ⅰ、体验与思考 情境一、甲、乙二人玩转盘游戏.如图，规定当指针指向阴影区域时，甲获胜，否则乙获胜. 分析：1、所有可能的试验结果与甲获胜包含的试验结果；2、 能否用古典概型公式求甲获胜的概率，为什么？情境二、长为3米的绳子，从中间随机剪开，则得到的每段绳长都不小于1米的概率是多少? 归纳：以上两个问题的共同特点是什么？如何求以上两个随机事件发生的概率？ Ⅱ总结 阅读课本P135～P136， 回答：什么是几何概型？其概率公式是什么？ 举例说明：举一个几何概型的实例. 比较并探究：古典概型与几何概型的区别与联系是什么？ Ⅲ应用 阅读课本P136例1. 思考：若等待时间不超过20分钟，则概率是多少？ 例2 如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm、4cm、6cm.某人站在3m外向此板投镖，设镖击中线上或没有击中都不算，可重投.问： (Ⅰ)投中大圆的概率是多少？ (Ⅱ)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ (Ⅲ)投中大圆之外的概率是多少？ （图2）（图3） （图1） 1 3.3 几何概型 学习目标 1.了解几何概型与古典概型的区别；2.了解几何概型的定义及其特点；3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率． 知识点一 几何概型的概念 思考 往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？ 梳理 (1)几何概型的定义： 设D 是一个可度量的区域(例如________、__________、____________等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会________；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的________________________．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(________、________、________等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． (2)几何概型的特点： ①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有__________________． ②每个基本事件出现的可能性________． 知识点二 几何概型的概率公式 思考 既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A 所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？ 梳理 几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝ d 的测度D 的测度. 知识点三 用模拟方法估计概率 1．随机数的产生 (1)计算器上产生(0,1)的随机数的函数是______函数． (2)Excel 软件产生[0,1]区间上的随机数的函数为“____________”． (3)[a ，b ]上随机数的产生 利用计算器或计算机产生[0,1]上的随机数x ＝RAND ，然后利用伸缩和平移交换，x ＝______________就可以得到[a ，b ]内的随机数，试验的结果是[a ，b ]上的任何一个实数，并2019-2020学年高中数学 3.3几何概型学案 新人教A版必修5.doc
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