八年级数学上册勾股定理的教学设计

3.1 勾股定理（1）

教材分析：

这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书（苏科版），八年级上册第三

章第一节“勾股定理”的第一课时．勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的

有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的重要性质，它把三角形有一个

直角“形”的特点转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典范，它可

以解决许多直角三角形中的计算问题．学生通过对勾股定理的学习，可以在原有

的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解．

教学目标：

1．让学生经历从数到形再由形到数的转化过程，从探求三个正方形面积间

的关系转化为三边数量关系的过程．培养学生主动探究意识，发展合理推理能力，

体会数形结合思想．

2．能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题．

3．在经历数学知识的形成与应用过程中培养学生学习数学的兴趣；感受勾

股定理的文化价值．

教学重点：

探索勾股定理的过程，会利用两边长求直角三角形的另一边长．

教学难点：

用割、补法求面积探索勾股定理．

教学方法与教学手段：

采用探究发现式教学，提供适当的问题情境．给学生自主探究交流的空间，

引导学生有方向地探索．

教学过程：

（一）创设情境提出问题

1．同学们，我们已经学过三角形的一些基本知识，如果

６8

x

一个三角形的两条边分别长6和8，你能确定第三边的长吗？你能确定第三边的长的范围吗？

2．如果这两边所夹的角确定了，那么第三边的长确定吗？第三边的长是多少？

3．直角三角形两边长确定了，第三边的长确定吗？如何求第三边的长呢？这节课就让我们一起来探讨这个问题．板书：直角三角形三边数量关系．

（这是对三角形三边的不等关系和三角形全等的判定的回顾，从学生的原有认知出发，揭示这节课产生的根源，符合学生的认知心理，也自然地引出本节课的目标．当一般性的问题不好解决时，可以先将一般问题转化为特殊问题来研究．）

（二）实践探索 猜想归纳

我们曾经利用图形面积探索过数学公式，大家还记得在哪用过吗？ （学生讨论）

课件展示：平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式、多项式乘多项式．

（a ＋b ）(a －b )＝a 2－b 2 （a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2

a （

b ＋

c ＋

d ）＝ab ＋ac ＋ad （a ＋b ）（c ＋d ）＝ac ＋ad ＋bc ＋bd

今天，让我们试一试通过计算图形的面积能不能得到直角三角形三边数量关

B C

A E D ⑤②①

③

④

①

②④

③⑤

M

N

8

64

2

2

4

6

（每一个小正方形的边长记作“1”

R

Q

P

4

3

结论

12B

C

A

系．

（从学生已有认知出发，将探求边长之间的关系转化为探求面积之间的关系，让学生有探索问题的信心．）

1．（几何画板出示），观察图形，我们以直角三角形ABC 三边为边向形外作三个正方形．若将图形①②③④⑤剪下，用它们可以拼一个与正方形ABDE 大小一样的正方形吗？

（同桌同学合作拼图）通过拼图，你有什么发现？

（以BC 为边的正方形面积与以AC 为边的正方形面积的和等于以AB 为边的正方形面积．）

（拼图活动，引发了学生的猜想，增加了研究的趣味性，锻炼了学生的空间思维能力和动手能力，体现了活动——数学．）

2．拼图活动引发我们的灵感，运算推演证实我们的猜想．为了计算面积方 便，我们可将这幅图形放在方格纸中．如果每一个小方格的边长记作“1”，请你求出此时三个正方形的面积（S P ＝9，S Q ＝16）．

你是如何得到的？（可以数，也可以通过正方形面积公式计算得到．） 如何求S R ？（S R 的求法是这节课的难点，这时可让学生先在学案上独立分析，再通过小组交流，最后由小组代表到台前展示．）

学生可能提出割、补、平移、旋转四种方法．

8

6

4

2

2

4

6

R

Q

P

B

C A

8

6

4

2

2

4

6

R

Q

P

B

C A

8

6

4

2

2

4

6

R

Q

P

B

C A

（旋转这种方法只适用于斜边为整数的情况，没有一般性，而且此时斜边的长还不能求出来.若有学生提出，应提醒学生．）

肯定学生的研究成果，进而让学生打开书回顾课本上的提示．从小明、小丽的方法中你能得到什么启发？

（把图形进行“割”和“补“，即把不能利用网格线直接计算面积的图形转化成可以利用网格线直接计算面积的图形．这种思想方法，称为化归思想．）3．变化直角三角形，仿照以上方法计算直角边为5和3的直角三角形中以斜边为边的正方形面积．

（这是“割”和“补”思想的再一次应用．让学生感受所学即所用，体验成功的乐趣．）

8

6

4

2

2

4

6

R

Q

P

B

C A

4．通过计算，你发现这三个正方形面积间有什么关系吗？

（S P＋S Q＝S R，要给学生留有思考时间．）

5．利用方格纸，我们方便计算直角边为整数的情况，若直角边为小数时，所得到的正方形面积间也有如上关系吗？

将网格线去掉，利用几何画板中的度量工具可以看到S P＋S Q＝S R．

（利用几何画板的高效性、动态性反映这一过程，让学生体会到更多一般的情形，从而为归纳提供基础，这样归纳的结论更具有一般性，学生的印象也更深刻．）

6．我们这节课是探索直角三角形三边数量关系．至此，你对直角三角形三边的数量关系有什么发现？

（面积是边长的平方，面积间的等量关系转化为边长间的等量关系，即直角三角形三边的等量关系：两直角边的平方和等于斜边的平方．）

（这一问题的结论是本节课的点睛之笔，应充分让学生总结、交流、表达．）7．用弯曲的手臂形象地表示勾、股、弦的概念，再给出勾股定理，进而给出字母表达式．一段紧张的探索过程之后，播放一段有关勾股历史的录音．（这样既活跃了课堂气氛，又展现了勾股历史，激发学生热爱祖国悠久历史文化，激励学生发奋学习的情感．）

8．自主阅读课本．

（教师进行巡视，对有困难的同学给予帮助，促进全班同学共同进步，体现面向全体的教学原则．）

（三）学以致用体验成功

1．完成课本第79-80页练习1、2．

（1）求下列直角三角形中未知边的长：

8

（2）求下列图中未知数x、y、z的值：

在学生回答的基础上，老师规范板书一题．

（在对勾股定理基本应用的基础上，让学生体会知道直角三角形三边中的任意两边，可以求第三边．）

2．算一算：如图，一块长约80米、宽约60米的长方形草坪，被不自觉的学生沿对角线踏出了一条斜“路”，类似的现象也时有发生．请问同学们：（1）走斜“路”的客观原因是什么？为什么？

（2）斜“路”比正路近多少？

（这是一道贴近学生生活的实例，使学生进一步了解勾股

定理的广泛应用．题目中渗透了德育教育．）

（四）课堂小结

学生可以谈本节课的收获，也可以提出本节课的疑问．教师引导学生思考特殊的三角形直角三角形三边有特殊的等量关系，一般三角形三边是否也存在一种等量关系呢？这是我们今后将要探讨的内容．

（学生总结本堂课的收获，从内容、应用，到数学思想方法，获取知识的途径等方面，给学生自由的空间，鼓励学生多说．这样引导学生从多角度对本节课

归纳总结，感悟点滴，使学生将知识系统化，提高学生素质，锻炼学生的综合及表达能力．最后提及的问题与引入首尾呼应，激发了学生深入研究的兴趣．）

（五）布置作业

P82习题3.1第1、2题．