绵阳市九年级上册期中试卷检测题

绵阳市九年级上册期中试卷检测题

一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）

1．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？

【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠． 【解析】 【分析】

（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可； （2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可. 【详解】

（1）设平均每次下调x%，则

7000（1﹣x ）2=5670，解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%．

（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x ）2=（1﹣10%）2=81%． ∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．

2．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？

（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？

【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售． 【解析】 【分析】

（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【详解】

（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得： （400﹣x ﹣240）（200+

10

x

×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．

解得：x 1=30，x 2=80．

答：每千克茶叶应降价30元或80元．

（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．

此时，售价为：400﹣80=320（元），320

100%80%400

?=． 答：该店应按原售价的8折出售． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．

3．已知关于x 的二次函数22

(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.

（1）求k 的取值范围；

（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是3

2

-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-3

4

；（2）k=﹣1 【解析】

试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；

（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.

试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点， ∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根． ∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0． 解得k ＜-

34

； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0． 则x 1+x 2=2k-1，x 1?x 2=k 2+1， ∵

=

=

= 32

-

， 解得：k=-1或k= 13

-（舍去）， ∴k=﹣1

4．有n 个方程：x 2+2x ﹣8=0；x 2+2×2x ﹣8×22=0；…x 2+2nx ﹣8n 2=0． 小静同学解第一个方程x 2+2x ﹣8=0的步骤为：

“①x 2+2x=8；②x 2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x 1=4，x 2=﹣2．”

（1）小静的解法是从步骤开始出现错误的．

（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）

【答案】（1）⑤；（2）x1=2n，x2=﹣4n．

【解析】

【分析】

（1）根据移项要变号，可判断；

（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.

【详解】

解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，

故答案为⑤；

（2）x2+2nx﹣8n2=0，

x2+2nx=8n2，

x2+2nx+n2=8n2+n2，

（x+n）2=9n2，

x+n=±3n，

x1=2n，x2=﹣4n．

5．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．

（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；

（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：

①∠FCD的最大度数为；

②当FC∥AB时，AD= ；

③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;

④△FCD的面积s的取值范围是 .

【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.

（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.

②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.

③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.

④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.

∵CD=10，∴AD=2.

（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.

∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."

② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，

∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.

∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.

∵AC=12，∴AD=.

③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，

由②知DH=3，FH=，则HC=.

在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.

∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，

∴，即，解得.

④设AD=x，易知，即.

而，

当时，；当时，.

∴△FCD的面积s的取值范围是.

考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.

二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）

6．在平面直角坐标系中，二次函数2

2y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -，

(1,0)B ，与y 轴交于点C ．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P 是抛物线2

2y ax bx =+-上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线PD ，直线PD

交直线AC 于点D ．

①是否存在点P ，使得PAC ?的面积是ABC ?面积的4

5

？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

②点Q 是坐标平面内的任意一点，若以O ，C ，Q ，D 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q 的坐标． 【答案】(1)213

222

y x x =

+- (2)①存在，点P 的坐标为(22,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)-- ②18

16,5

5Q ?

?-- ???，2(2,1)Q -，34525Q ??，44525Q ? ??

【解析】 【分析】

(1)将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中求解即可； (2)①先求出△PAC 的面积为4，再求出直线AC 的解析式为1

22

y x =-

-．设点P 的横坐

标为(t ,

21322

2t t +-)，利用21

442

???=-=?=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解； ②先设出D 点坐标，然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解． 【详解】

解：(1)由题意得,将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中：

1642020a b a b --=??

+-=?，解得：12

32a b ?=????=??

． ∴此抛物线的解析式为213

222

y x x =+-， 故答案为213

222

y x x =

+-． (2)①存在点P ，使得PAC ?的面积是ABC ?面积的4

5

．理由如下： 作出如下所示示意图：

∵点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴4OA =，5AB =， 令0x =，则2y =-， ∴(0,2)C -，∴2OC =， ∴11

52522

ABC S AB OC ?=?=??=， ∴4455

4

5PAC ABC S S ??=

=?=， 设直线AC 的解析式为y mx n =+，

则有402m n n -+=??=-?，解得：122

m n ?=-?

??=-?，

∴直线AC 的解析式为1

22

y x =-

-． 设点P 的横坐标为t ，则其纵坐标为213

222

t t +-， 即2

1

3,22

2P t t t ??+

- ???

． ∵PD x ⊥轴，则点D 的坐标为1,22t t ??

-- ??

?

． ∴22131

12222222

PD t t t t t ??=

+----=+ ???． ∵22111

424222

PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ???=-=

?=??+=+． ∴2

44t t +=，即2440t t +-=或2440t t ++=，

解得：12t =-+

22t =--32t =-．

∴点P

的坐标为(2-+-

，(2--+，(2,3)--，

故答案为：(2-+-

或(2--+或(2,3)--． ②分类讨论：

情况一：当OC 为菱形的对角线时，此时DO=DC ，即D 点在线段OC 的垂直平分线， ∴D 点坐标(-2,-1)，将△OCD 沿y 轴翻折，此时四边形ODCQ 为菱形，故此时Q 点坐标为(2,-1)，如下图一所示，

情况二：当OQ 为对角线时，DO=DQ ，如下图二所示，

DQ=OC=OD=2，设D 点坐标1,22??-

- ???

x x ，则EO=-x ，DE=1

22x +，

在Rt △EDO 中，由勾股定理可知：EO2+ED2=DO2， 故2

2

1

(2)42

++=x x ，解得80(),5舍==-

x x ，此时Q 点坐标为816,5

5??-- ???，

情况三：当OD 为对角线时，OC=OQ=2，如下图三所示：

设D 点坐标1,22??

-

- ???

m m ，则EO=|m|，DE=122m +，QE=2-(122m +)=12m ， 在Rt △QDO 中，由勾股定理可知：QE2+EO2=QO2，

故22

1()()42+=m m ，解得124545==m m ，此时Q 点坐标为4525??或4525? ??

， 综上所述，Q 点的坐标为18

16,5

5Q ?

?--

???，2

(2,1)Q -，3452555Q ?- ??

，4452555Q ?- ??

．

故答案为18

16,5

5Q ?

?-- ???，2(2,1)Q -，34525Q ??，44525Q ? ?

?． 【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积问题，菱形的存在性问题等，属于综合题，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．

7．已知点P(2，﹣3)在抛物线L ：y ＝ax 2﹣2ax+a+k （a ，k 均为常数，且a≠0）上，L 交y 轴于点C ，连接CP ．

（1）用a 表示k ，并求L 的对称轴及L 与y 轴的交点坐标；

（2）当L 经过(3，3)时，求此时L 的表达式及其顶点坐标；

（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a ＜0时，若L 在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a 的取值范围；

（4）点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是L 上的两点，若t≤x 1≤t+1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，直接写出t 的取值范围．

【答案】（1）k=-3-a ；对称轴x ＝1；y 轴交点(0，-3)；（2）2

y=2x -4x-3，顶点坐标(1，-

5)；（3）-5≤a ＜-4；（4）-1≤t ≤2． 【解析】 【分析】

（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k 用a 表示的关系式；抛物线L 的对称轴为直线

2a

x==12a

--

，并求得抛物线与y 轴交点； （2）将点(3，3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a ，解得a=2，k=-5，即可求得抛物线解析式与顶点坐标；

（3）抛物线L 顶点坐标(1，-a-3)，点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a 的取值范围；

（4）分类讨论取a ＞0与a ＜0的情况进行讨论，找出1x 的取值范围，即可求出t 的取值范围． 【详解】

解：（1）∵将点P(2，-3)代入抛物线L ：2

y=ax -2ax+a+k ，

∴-3=4a 4a a+k=a+k -+ ∴k=-3-a ；

抛物线L 的对称轴为直线-2a

x=-=12a

，即x ＝1； 将x=0代入抛物线可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3，故与y 轴交点坐标为(0，-3)；

（2）∵L 经过点(3，3)，将该点代入解析式中， ∴9a-6a+a+k=3，且由（1）可得k=-3-a ，

∴4a+k=3a-3=3，解得a=2，k=-5，

∴L 的表达式为2

y=2x -4x-3；

将其表示为顶点式：2

y=2(x-1)-5， ∴顶点坐标为(1，-5)；

（3）解析式L 的顶点坐标(1，-a-3)，

∵在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1， ∴1＜-a-3≤2， ∴-5≤a ＜-4；

（4）①当a ＜0时，∵2x 3≥，为保证12y y ≥，且抛物线L 的对称轴为x=1， ∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上， 即t ≥-1且t+1≤3，解得-1≤t ≤2；

②当a ＞0时，抛物线开口向上，t ≥3或t+1≤-1，解得：t ≥3或t ≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去， 综上所述：-1≤t ≤2． 【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．

8．如图，若抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，直线y ＝x ﹣3经过点B ，C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交BC 于点M ，连接PC ．

①线段PM 是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；

②在点P 运动的过程中，是否存在点M ，恰好使△PCM 是以PM 为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）①有，9

4

；②存在，(2，﹣3)或(32，2﹣2) 【解析】 【分析】

（1）由直线表达式求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）①根据PM ＝（x ﹣3）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣（x ﹣32）2+9

4

即可求解； ②分PM ＝PC 、PM ＝MC 两种情况，分别求解即可． 【详解】

解：（1）对于y ＝x ﹣3，令x ＝0，y ＝﹣3，y ＝0，x ＝3， 故点B 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3）， 将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式得：9303b c c ++=??

=-?

，

解得：3

2c b =-??=-?

，

故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；

（2）设：点M （x ，x ﹣3），则点P （x ，x 2﹣2x ﹣3）， ①有，理由：PM ＝（x ﹣3）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣（x ﹣32）2+9

4

， ∵﹣1＜0，故PM 有最大值，当x ＝32时，PM 最大值为：9

4

； ②存在，理由：

PM 2＝（x ﹣3﹣x 2+2x+3）2＝（﹣x 2+3x ）2； PC 2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2； MC 2＝（x ﹣3+3）2+x 2；

（Ⅰ）当PM ＝PC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2， 解得：x ＝0或2（舍去0）， 故x ＝2，故点P （2，﹣3）；

（Ⅱ）当PM ＝MC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝（x ﹣3+3）2+x 2，

解得：x ＝0或（舍去0和），

故x ＝3，则x 2﹣2x ﹣3＝2﹣，

故点P （3，2﹣）．

综上，点P 的坐标为：(2，﹣3)或(3，2﹣)． 【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．

9．如图，抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠与坐标轴的交点为()30A -,

，()10B ,，()0,3C -，抛物线的顶点为D ．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若E 为第二象限内一点，且四边形ACBE 为平行四边形，求直线CE 的解析式． （3）P 为抛物线上一动点，当PAB ?的面积是ABD ?的面积的3倍时，求点P 的坐标．

【答案】（1）2

23y x x =+-；（2）33y x =--；（3）点P 的坐标为()5,12-或

()3,12．

【解析】 【分析】

（1）本题考查二次函数解析式的求法，可利用待定系数法，将点带入求解；

（2）本题考查二次函数平行四边形存在性问题，可根据题干信息结合平行四边形性质确定动点位置，进一步利用待定系数法求解一次函数解析式；

（3）本题考查二次函数与三角形面积问题，可先根据题干面积关系假设动点坐标，继而带入二次函数，列方程求解． 【详解】

（1）∵抛物线2

y ax bx c =++与坐标轴的交点为()30A -,

，()10B ,，()0,3C -，

∴93003

a b c a b c c -+=??++=??=-?

，解得1

23a b c =??

=??=-?

∴抛物线的解析式为2

23y x x =+-． （2）如图，过点E 作EH x ⊥轴于点H

，

则由平行四边形的对称性可知1AH OB ==，3EH OC ==． ∵3OA =，∴2OH =，∴点E 的坐标为()2,3-． ∵点C 的坐标为()0,3-，

∴设直线CE 的解析式为()30y kx k =-< 将点()2,3E -代入，得233k --=，解得3k =-，

∴直线CE 的解析式为33y x =--．

（3）∵22

23(1)4y x x x =+-=+-，

∴抛物线的顶点为()1,4D --．

∵PAB ?的面积是ABD ?的面积的3倍， ∴设点P 为(),12t ．

将点(),12P t 代入抛物线的解析式2

23y x x =+-中，

得22312t t +-=，解得3t =或5t =-， 故点P 的坐标为()5,12-或()3,12． 【点睛】

本题考查二次函数与几何的综合，利用待定系数法求解解析式时还可以假设交点式，几何图形存在性问题求解往往需要利用其性质，假设动点坐标，列方程求解．

10．在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k 与直线y=kx+1交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．

（1）如图1，当k=1时，直接写出A ，B 两点的坐标；

（2）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；

（3）如图2，抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k （k ＞0）与x 轴交于点C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3) （2）△ABP 最大面积s=1927322288?=; P （1

2，﹣34

） （3）存在；25

【解析】 【分析】

（1） 当k=1时，抛物线解析式为y=x 2﹣1，直线解析式为y=x+1，然后解方程组

21

1

y x

y x

?=

?

=+

?

﹣

即可；

（2）设P（x，x2﹣1）．过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1），所以利用S△ABP=S△PFA+S△PFB，

，用含x的代数式表示为S△ABP=﹣x2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，用k分别表示点E的坐标，点F的坐标，以及点C的坐标，然后在Rt△EOF中，由勾股定理表示出EF的长，假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，设点N为OC中点，连接NQ，根据条件证明△EQN∽△EOF，然后根据性质对应边成比例，可得关于k的方程，解方程即可.

【详解】

解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．

联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，

解得：x=﹣1或x=2，

当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，

∴A（﹣1，0），B（2，3）．

（2）设P（x，x2﹣1）．

如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．

∴PF=y F﹣y P=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．

S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF

∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣

1

2

）2+

27

8

当x=

1

2

时，yP=x2﹣1=﹣

3

4

．

∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（

1

2

，﹣

3

4

）．

（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，

则E（﹣

1

k

，0），F（0，1），OE=

1

k

，OF=1．

在Rt△EOF中，由勾股定理得：

22

11

1=

k

k

+

??

+

?

??

．

令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．

∴C（﹣k，0），OC=k．

假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，

则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．

设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=

2

k

．

∴EN=OE﹣ON=

1

k

﹣

2

k

．

∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，

∴△EQN∽△EOF，

∴

NQ EN

OF EF

=，即：

1

2

2

1

k

k

k

k

-

=，

解得：

25

，

∵k＞0，

∴

25

．

∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时

25

．

考点：1.二次函数的性质及其应用；2.圆的性质；3.相似三角形的判定与性质.

三、初三数学旋转易错题压轴题（难）

11．已知抛物线y=ax2+bx-3a-5经过点A(2，5)

（1）求出a和b之间的数量关系．

（2）已知抛物线的顶点为D点，直线AD与y轴交于(0，-7)

①求出此时抛物线的解析式；

②点B为y轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间，连接BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，连接AB、AC，将AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BH．截取BC的中点F和DH的中点G．当点D、点H、点C三点共线时，分别求出点F和点G的坐标．

【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x 2+4x-11，②G 1(478，91-8

+)，

F 1(，，

G 2，F 2，) 【解析】 【分析】

（1）把点A 坐标代入抛物线y=ax 2+bx-3a-5即可得到a 和b 之间的数量关系；

（2）①求出直线AD 的解析式，与抛物线y=ax 2+bx-3a-5联立方程组，根据直线与抛物线有两个交点，结合韦达定理求出a ，b ，即可求出解析式；

②作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ），根据旋转性质表示粗H 、D 、C 坐标，应含t 式子表示直线AD 的解析式，根据D 、H 、C 三点共线，把点C 坐标代入求出

131t -

4+=，2t -4

=，分两类讨论，分别求出G 、F 坐标。

【详解】

解：（1）把A （2,5）代入y=ax 2+bx-3a-5得4a+2b-3a-5=5 ∴a+2b=10

∴a 和b 之间的数量关系是a+2b=10 （2）①设直线AD 的解析式为y=kx+c ∵直线AD 与y 轴交于（0，-7），A （2,5） ∴2k c 5{

c -7+==解得k 6{c -7

==即直线AD 的解析式为y=6x-7

联立抛物线y=ax 2+bx-3a-5与直线AD ：y=6x-7 得2

y ax +bx-3a-5

{y 6x-7

==

消去y 得ax 2+（b-6）x-3a+2=0 ∵抛物线与直线AD 有两个交点 ∴由韦达定理可得：x A +x D =b-6-a =2a 2a +，x A x D =-3a 2

a

+ ∵A （2,5）∴x A =2即x D =2a -22a +∵x D =b -2a =a-104a

∴

2a -22a +=a-104a 解得a=2∴b=10-a

2= 4 ∴此时抛物线的解析式为y= 2x 2+4x-11

②如图所示：作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ） ∵A （2，5），∴AI=2，BJ=5-t

∵AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH ∴AB=BH ，∠ABH=90°，∠AIB=∠BJH=90° ∵∠IAB+∠IBA=90°，∠ABH+∠IBA+∠JBH=180° ∴∠IBA+∠JBH=90°即∠IAB=∠JBH ∴△AJB ≌△BJH 即AI=BJ=2，BI=IH=5-t ∴H （5-t ，t-2）

∵D （-1，-13）∴y B -y D =t+13 同理可得：C （t+13，t-1） 设DH 的解析式为y=k 1x+b 1

∴1111-k b -13{5-t k b t-2

+=+=（）解得11t 11k 6-t {t 11b -13-t-6

+=

+=

即直线AD 的解析式为t 1111

y x-13-66

t t t ++=--

∵D 、H 、C 三点共线 ∴把C （t+13，t-1）代入AD t 1111y x-13-66t t t ++=--得：t 1111

t-1t 13-13-66t t t ++=+--（）

整理得2t 2+31t+82=0解得131305t +=，231-305

t =

由图可知：①当131305

t +=如图1所示： 此时H （

513054，39305-4） ，C （305-21-4，35305

-4

+）

∵点G为DH中点，点F为BC中点

∴G1（47305

+

，

91305

-

+

），F1（

305-21

-，

33305

-

+

）

由图可知：当

231-305

t-

=如图2所示：

此时H（51-305

4

，

39-305

-

4

），C（

30521

4

+

，

35-305

-

4

）

∵点G为DH中点，点F为BC中点

∴G2（47-305

，

91-305

-），F2（

30521

+

，

33-305

-）（14分）

∴综上所述：G1（47305

8

+

，

91305

-

8

+

），F1（

305-21

-

8

，

33305

-

4

+

）

G2（47-305

8

，

91-305

-

8

），F2（

30521

8

+

，

33-305

-

4

）。

【点睛】

本题为含参数的二次函数问题，综合性强，难度较大，解题关键在于根据旋转性质，用含参数式子分别表示点的坐标，函数关系式，结合韦达定理，分类讨论求解。

12．我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．

①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC；

②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．

猜想论证：

（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

拓展应用

（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=23，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．