【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 6.1数列的概念及简单表示法课件 理 新人教A版
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋„＋(a2－a1)＋a1
n3n＋1 ＝ (n≥2)． 2
1 当 n＝1 时，a1＝2×(3×1＋1)＝2 符合公式， 3 2 n ∴an＝2n ＋2.
题型分类·深度剖析
题型三 由数列的前n项和求通项公式
思维启迪
【例 3】 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b.
先观察各项的特点， 然后归纳出其 通项公式， 要注意项与项数之间的 关系，项与前后项之间的关系．
题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 探究提高 解析 【例 1】 写出下面各数列的一个通 解 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝2n＋1.1 2 3 4 项公式： (2) 每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 2 ，2 ，2 ，2 ，„，所以 2n－1 an(1)3,5,7,9 ＝ n . ，„； 2 n 1 3 7 15 31 (3) 奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子 ( － 1) ；各项绝对值的 (2) ， ， ， ， ，„； 2 4 8 1,2,3,4 16 32 分母组成数列 ，„；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 3 1 3 1 3 n 2 ＋ － 1 (3)－1， ， － ，， － ，， „； 2 3， 3 4 5 62－1， 1， 偶数项为 即奇数项为 偶数项为 2＋1， 所以 an＝(－1)n· n . 1 －n，„ ，n为正奇数， (4)3,33,333,3333 . 也可写为 an＝ 3，n为正偶数. n 9 99 999 9 999 (4)将数列各项改写为 ， ， ， ，„，分母都是 3，而分子分别 3 3 3 3
题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 写出下面各数列的一个通 项公式： (1)3,5,7,9，„； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，„； 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)－1， ， － ，， － ，， „； 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333，„.
题型分类·深度剖析
变式训练 2 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式： n－ 1 (1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝ n an－1 (n≥2)； (3)已知数列{an}满足 an＋1＝an＋3n＋2，且 a1＝2，求 an.
解 (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， an＋1＋1 ∴ ＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比 q＝3， an＋1
又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2· 3n－1，
∴an＝2· 3n－1－1.
n－1 (2)∵an＝ n an－1 (n≥2)，
n－2 1 ∴an－1＝ a － ，„，a2＝2a1. n－1 n 2
1 2 n－1 a1 1 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1· „· n ＝ n ＝n. 2· 3·
题型分类·深度剖析
题型分类·深度剖析
题型二 由数列的递推关系求通项公式
思维启迪 解析 探究提高
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an ＋1，求 an； (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求 an.
(1)可构造等比数列求解； (2)可使用累加法．
题型分类·深度剖析
题型二
解
由数列的递推关系求通项公式
解析
探究提高
题型分类·深度剖析
题型三 由数列的前n项和求通项公式
思维启迪
【例 3】 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b.
解析
探究提高
当 n＝1 时，由 a1＝S1，求 a1； 当 n≥2 时，由 an＝Sn－Sn－1 消去 Sn， 得 an＋1 与 an 的关系． 转化成由 递推关系求通项．
题型分类·深度剖析
题型三 由数列的前n项和求通项公式
思维启迪 解析 探究提高 解 (1)a1＝S1＝2－3＝－1，
【例 3】 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b.
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)] ＝4n－5，
难点正本 疑点清源
> an an＋1___
an＋1___ < an an＋1＝an
2.数列的函数特征
其中 n∈ N*
数列是一个定义域为正 整数集 N*( 或它的有限 子集 {1,2,3 ， „ ， n}) 的 特殊函数，数列的通项 公式也就是相应的函数 解 析 式 ， 即 f(n) ＝ an (n∈N*)．
2．数列的分类
分类 原则 按项数 分类 类型 满足条件
(2)数列的项与项数：数列 的项与项数是两个不同的 概念，数列的项是指数列中 某一确定的数，而项数是指 数列的项对应的位置序号．
有穷数列 项数 有限 无穷数列 项数 无限
基础知识·自主学习
要点梳理
按项与 递增数列 项间的 递减数列 大小关 系分类 常数列 有界数列 按其他 标准分 类 摆动数列
当 b＝－1 时，a1 适合此等式．
解析
探究提高
当 b≠－1 时，a1 不适合此等式．
∴当 b＝－1 时，an＝2· 3n 1；
－
当 b≠－1 时，
3＋b， an＝ n－1 3 ， 2·
n＝1， n≥2.
题型分类·深度剖析
题型三 由数列的前n项和求通项公式
思维启迪
【例 3】 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n －3n； (2)Sn＝3n＋b.
列表法 、 图象法 和 解析法 ．
4．数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与 序号n 之 间的关系可以用一个公式 an ＝ f(n) 来表示，那么这个公式叫做这个数 列的通项公式． 5． 已知 Sn， 则
an＝
S1 n＝1 Sn－Sn－1 n≥2 .
基础知识·自主学习
由于 a1 也适合此等式，∴an＝4n－5.
(2)a1＝S1＝3＋b，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1
＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2· 3n－1.
题型分类·深度剖析
题型三 由数列的前n项和求通项公式
思维启迪
【例 3】 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b.
－
(2)当 n 取 1,2,3，„，n－1 时，可得 n－1 个等式．
即 an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，„，a2－a1＝1，将其两边分别相 加，得 an－a1＝1＋2＋3＋„＋(n－1)，
1＋n－1n－1 nn－1 ∴an＝a1＋ ＝2＋ . 2 2
题型分类·深度剖析
1 是 10－1,102－1,103－1,104－1，„，所以 an＝ (10n－1)． 3
题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 探究提高
(1) 据所给数列的前几项求其通项 公式时，需仔细观察分析，抓住以 下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等，并对此进行归 纳、联想． (2)根据数列的前几项写出数列的一个 通项公式是不完全归纳法，它蕴含着 “从特殊到一般”的思想，由不完全归 纳得出的结果是不可靠的，要注意代 值检验，对于正负符号变化，可用 ＋ (－1)n 或(－1)n 1 来调整．
(1)各项的分母分别为 21，22，23，24，„，易看出第 2,3,4 项 2－3 的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为－ 2 ，原数列可化为 n 21－3 22－3 23－3 24－3 2 －3 n － 1 ， 2 ，－ 3 ， 4 ，„，因此 an＝(－1) · n . 2 2 2 2 2 3 5 7 9 (2)将数列统一为 ， ， ， ，„，对于分子 3,5,7,9，„，是序 2 5 10 17 号的 2 倍加 1 ，可得分子的通项公式为 bn ＝ 2n ＋ 1 ，对于分母 2,5,10,17，„，联想到数列 1,4,9,16，„，即数列{n2}，可得分母 的通项公式为 cn＝n2＋1， 解
【例 1】 写出下面各数列的一个通 项公式： (1)3,5,7,9，„； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，„； 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)－1， ， － ，， － ，， „； 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333，„.
题型分类·深度剖析
变式训练 1 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式： 1 1 5 13 29 61 3 7 9 (1) ， ，－ ， ，－ ， ，„；(2) ，1， ， ，„；(3)0,1,0,1，„. 2 4 8 16 32 64 2 10 17
0 (3)an＝ 1
n为奇数 1＋－1n 1＋cos nπ 或 an＝ 或 an＝ . 2 2 n为偶数
题型分类·深度剖析
题型二 由数列的递推关系求通项公式
思维启迪 解析 探究提高
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an ＋1，求 an； (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求 an.
基础自测
题号
1 2 3 4 5
答案
an＝2n－1 (n∈N*)
解析
n(n－1)
2n－11 3
A
A
题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 写出下面各数列的一个通 项公式： (1)3,5,7,9，„； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，„； 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)－1， ， － ，， － ，， „； 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333，„.
2014届高考一轮复习数学基础知识数列(新人教A版)Word版
高中数学第三章数列考试内容：数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．§03. 数列知识要点1. ⑴等差、等比数列：⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)①注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分.iv. 且→为a、b、c等比数列的充要.注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.⑷数列{}的前项和与通项的关系：[注]：①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{}前n项和→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件.③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍；②若等差数列的项数为2，则；③若等差数列的项数为，则，且，.3. 常用公式：①1+2+3 …+n =②③[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…；5，55，555，….4. 等比数列的前项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款： =.⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；为年利率. ()()()()()()()()1111111 (1112)1-++=⇒-+=+⇒++++++=+--m mm mm m mr r ar x r r x r a x r x r x r x r a 5. 数列常见的几种形式：⑴（p 、q 为二阶常数）用特证根方法求解.具体步骤：①写出特征方程（对应，x 对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定. ⑵（P 、r 为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定. ①转化等差，等比：. ②选代法： .③用特征方程求解：. ④由选代法推导结果：. 6. 几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法： 一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证为同一常数。
高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)
b、已知关系式 a n 1 a n f (n ) ，可利用迭乘法 . an
an an 1
an 1 an 2
an 2 an 3
a3 a2
a2 a1
a1
例、已知数列
an 满足： an an 1
c、构造新数列
n1 ( n 2), a1
n1
2 ，求求数列 a n 的通项公式；
1°递推关系形如“ a n 1 pan q ”，利用待定系数法求解
4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为
两数之和为 36 ，求这四个数 .
37 ，中间
2）根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知 Sn 为等差数列 a n 的前 n 项和， a6 100 ，则 S11
；
2、设 Sn 、 Tn 分别是等差数列
an
、
an
的前 n 项和，
.
6、在正项等比数列 an 中， a1a5 7、已知数列 an 是等差数列，若 a4 a7 a10 17 , a4 a5 a6
2a3a5 a3a7 a12 a13
25 ，则 a3 a5 _____ __。 a14 77 且 ak 13 , 则 k _________。
8、已知 Sn 为等比数列 a n 前 n 项和， Sn 54 ， S2n 60 ，则 S3n
11 (
1)；
n( n k ) k n n k
1 n n1
n 1 n；
例 1、求和： S=1+ 1
1
12 12 3
1
12 3
n
例 2、求和： 1 21
1 32
1 43
1
.
n1 n
3）倒序相加法，
高三数学一轮复习 6.1 数列的概念与表示
第六章 数 列
6.1 数列的概念与表示
-4-
-5-
知识梳理 双基自测 自测点评
1234
1.数列的概念 (1)数列的有关概念:
概念
含义
数列
按照 一定顺序
排列的一列数
数列的通项 an 是数列的 第n项 ,叫做数列的通项
数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个函 通项公式 数式 an=f(n)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通
3.数列不仅有递增数列、递减数列,还有常数列、摆动数列.
合4a.n已的知情S况n求,要an分,要开对写n,=即1和an=n≥������������21������两,-������������种���=���-1情,1������,况≥进2.行讨论.当n=1时,a1不适
-15-
考点1
考点2
考点3
∴an=3×2n-1-2.
考点1
考点2
考点3
-23-
解题心得已知数列的前n项和Sn,则通项公式
an=
������1,������ = 1, ������������ -������������-1,������ ≥ 2.
当n=1时,若a1适合Sn-Sn-1,则当n=1时数列的项a1可并入n≥2时的 通项公式an;当n=1时,若a1不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.
=������+������ 1
×
������-1 ������
×
������������--21×…×34
×
23×1=������+2 1.
又 a1 也满足上式,∴an=������+21.
答案
【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习课件第六章6.1数列的概念与简单表示法
分类 原则
类型
满足条件
(2)数列的项与项数：数列 的项与项数是两个不同的
按项数 有穷数列 项数 有限
概念，数列的项是指数列中 某一确定的数，而项数是指
分类 无穷数列 项数 无限
数列的项对应的位置序号．
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
按项与 递增数列 项间的 递减数列 大小关
常数列 系分类
(4)3,33,333,3 333，….
题型分类·深度剖析
题型一
由数列的前几项求数列的通项
【例 1】写出下面各数列的一个通
思维启迪 解析 探究提高
(解2项)每公(一1式)项各：的项分减子去比1 分后母为少正偶1，数而，分所母以组成an＝数2列n＋21,12.2,23,24，…，所以 an＝2n2－n 1. (3()1奇)3数,5项,7,为9，负…，；偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的
解析
故{an＋1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
∴an＋1＝2·2n－1＝2n，故 an＝2n－1.
(2)当 n 取 1,2,3，…，n－1 时，可得 n－1 个等式．
探究提高
即 an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1，将其两边分别相 加，得 an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)， ∴an＝a1＋1＋n－21n－1＝2＋nn2－1.
题型分类·深度剖析
变式训练 2 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式： (1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝n－n 1an－1 (n≥2)； (3)已知数列{an}满足 an＋1＝an＋3n＋2，且 a1＝2，求 an.
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1 (n≥2)，
2014届高考一轮复习数学6.1数列的概念及简单的表示法
(5)0,1,0,1,…. 先观察各项的特点,然后归纳出通项公式.
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【解】 (1)符号用(-1)n 或(-1)n+1 表示,题中数列各项的绝对值的排列规律 为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6.故该数列的通项公式为 an=(-1)n(6n-5). (2)将数列变形为 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001),…,从而可知其通项公式 为 a n=
1+(-1) a n= 2
������
2������+1 . ������2 +1 1+cos������π . 2
或 an=
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(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下 几方面的特征: ①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征等,并对此进行归纳、联想. (2)根据数列的前几项写出该数列的一个通项公式是不完全归纳法,它 蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注 意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n 或(-1)n+1 来调整.
1.了解数列的概念和 几种简单的表示方法 (列表、图象、通项公 式). 2.了解数列是自变量 为正整数的一类特殊 函数.
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1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个 数列的项.
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2.数列的分类
分类原则 类型 有穷 数列 无穷 数列 按项与项间 的大小关系 分类 项数有限 项数无限 an+1>an an+1<an an+1=an 存在正数 M,使|an|≤M 从第 2 项起,有些项大于它的前一项, 有些项小于它的前一项的数列,如 1,-1,1,-1,…
【步步高】高三数学大一轮复习 6.1数列的概念及简单表示法教案 理 新人教A版
§6.1数列的概念及简单表示法2014高考会这样考 1.以数列前几项为背景写数列的通项；2.考查由数列的通项公式或递推关系，求数列的某一项；3.考查已知数列的递推关系或前n项和S n求通项a n.复习备考要这样做 1.在通项公式的求解中，要注意归纳、推理思想的应用，寻求数列的项的规律；2.通过S n求a n，要对n＝1和n≥2两种情况进行讨论；3.灵活掌握由递推关系求通项公式的基本方法．1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类3.数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5． 已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2.[难点正本 疑点清源] 1． 对数列概念的理解(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．(2)数列的项与项数：数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 2． 数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f (n )＝a n (n ∈N *)．1． 已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为__________．答案 a n ＝2n －1 (n ∈N *)解析 ∵1,3,7,15分别加上1，则为2,4,8,16，易知a n ＝2n－1. 2． 数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则{a n }的通项公式a n ＝________.答案 n (n －1)解析 由已知，得a n ＋1－a n ＝2n ，故a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝0＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n (n －1)．3． 若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝__________；数列{na n }中数值最小的项是第________项． 答案 2n －11 3解析 当n ≥2时，S n －S n －1＝2n －11，n ＝1时也符合，则a n ＝2n －11，∴na n ＝2n 2－11n＝2⎝⎛⎭⎪⎫n －1142－1218，且n ∈N *，故n ＝3时，na n 最小．4． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64答案 A解析 ∵S n ＝n 2，∴a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15.5． (2011·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于( )A ．1B ．9C ．10D ．55答案 A解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1.题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….思维启迪：先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以a n ＝13(10n－1)．探究提高 (1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：(1)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (2)32，1，710，917，…； (3)0,1,0,1，….解 (1)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，因此a n ＝(－1)n·2n－32n .(2)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1， 因此可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.(3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 n 为奇数1 n 为偶数或a n ＝1＋－1n2或a n ＝1＋cos n π2.题型二 由数列的递推关系求通项公式 例2 (1)已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，求a n ；(2)已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ，求a n .思维启迪：(1)可构造等比数列求解；(2)可使用累加法． 解 (1)∵a n ＋1＝2a n ＋1，令a n ＋1＋a ＝2(a n ＋a )， 与a n ＋1＝2a n ＋1比较可知a ＝1， 又a 1＝1，∴a 1＋a ＝2.故{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，故a n ＝2n－1.(2)当n 取1,2,3，…，n －1时，可得n －1个等式．即a n －a n －1＝n －1，a n －1－a n －2＝n －2，…，a 2－a 1＝1，将其两边分别相加，得a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)， ∴a n ＝a 1＋1＋n －1n －12＝2＋n n －12.探究提高 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解． 当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式：(1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)； (3)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n . 解 (1)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.(2)∵a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n.(3)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1 (n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝n 3n ＋12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2.题型三 由数列的前n 项和求通项公式例3 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：(1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n＋b .思维启迪：当n ＝1时，由a 1＝S 1，求a 1；当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1消去S n ，得a n ＋1与a n 的关系．转化成由递推关系求通项． 解 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1， n ≥2.探究提高 数列的通项a n 与前n项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n－S n －1，则用分段函数的形式表示．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.用函数的观点解决数列问题典例：(12分)已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2－5n ＋4， ①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n .求实数k 的取值范围．审题视角 (1)求使a n <0的n 值；从二次函数看a n 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在N *上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性． 规范解答解 (1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.[4分]②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94的对称轴方程为n ＝52.又n ∈N *，∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.[8分](2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.[12分]温馨提醒 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N *上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k 的取值范围，使问题得到解决．(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取． (3)易错分析：本题易错答案为k >－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数．方法与技巧1． 求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法． 2． 强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2.3． 已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n ＋1＝pa n ＋q ”这种形式通常转化为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；(3)利用累加或累乘法可求数列的通项公式． 失误与防范1． 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )的单调性是不同的． 2． 数列的通项公式不一定唯一．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 已知数列1，3，5，7，…，2n －1，则35是它的( )A ．第22项B ．第23项C ．第24项D ．第28项答案 B解析 观察知已知数列的通项公式是a n ＝2n －1， 令a n ＝2n －1＝35＝45，得n ＝23.2． (2011·四川)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( ) A ．3×44B ．3×44＋1 C ．45D ．45＋1答案 A解析 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ＝1，3×4n －2n ≥2.∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.3． 对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n | (n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当a n ＋1>|a n | (n ＝1,2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2，0,1，，则a 2>|a 1|不成立，即知：a n ＋1>|a n | (n ＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1>|a n | (n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．4． 如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是( )A ．a n ＝2(n 2＋n ＋1) B ．a n ＝3·2nC ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝2·3n答案 D解析 由已知可得：a 1＝6，a 2＝18，由此可排除A 、B 、C. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，a 36＝________.答案 4解析 ∵a p ＋q ＝a p ＋a q ，∴a 36＝a 32＋a 4＝2a 16＋a 4＝4a 8＋a 4 ＝8a 4＋a 4＝18a 2＝36a 1＝4.6． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，且1<S k <9 (k ∈N *)，则a 1的值为________，k 的值为________． 答案 －1 4解析 当n ＝1时，a 1＝23a 1－13，∴a 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1－13＝23a n －23a n －1，∴a na n －1＝－2， ∴数列{a n }是首项为－1，公比为－2的等比数列， ∴a n ＝－(－2)n －1，S n ＝－23×(－2)n －1－13.由1<－23×(－2)k －1－13<9，得－14<(－2)k －1<－2，又k ∈N *，∴k ＝4.7． 已知a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ＋1 (n ∈N *)，则a n ＝________.答案 n 2＋1解析 由a n ＋1－a n ＝2n ＋1 (n ∈N *)，得a n －a n －1＝2n －1，a n －1－a n －2＝2n －3，…，a 3－a 2＝5，a 2－a 1＝3，将以上各式相加，得a n －a 1＝3＋5＋…＋(2n －3)＋(2n －1)，即a n ＝1＋1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝1＋1＋2n －1n 2＝n 2＋1.三、解答题(共22分)8． (10分)数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)． 故数列从第7项起各项都是正数．9． (12分)已知函数f (x )＝2x －2－x，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列．(1)解 ∵f (x )＝2x－2－x，f (log 2a n )＝－2n ， ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，∴a n －1a n＝－2n ，∴a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n .(2)证明 a n ＋1a n ＝n ＋12＋1－n ＋1n 2＋1－n＝n 2＋1＋nn ＋12＋1＋n ＋1<1.∵a n >0，∴a n ＋1<a n ， ∴数列{a n }是递减数列．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，则a 1·a 2·…·a 2 013的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．3答案 C 解析 a 1＝2，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1－31＋3＝－12， a 4＝1－121＋12＝13，a 5＝1＋131－13＝2，…， 故4是数列{a n }的周期，a 1·a 2·a 3·…·a 2 013 ＝(a 1a 2a 3a 4)503·a 2 013＝(a 1a 2a 3a 4)·a 1＝2.2． 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( ) A ．5B ．72C ．92D ．132 答案 B解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)， ∴a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…， 故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2. ∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72. 3． 在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )A ．103B.8658C.8258 D ．108 答案 D解析 ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n －2942＋2×29216＋3， ∴n ＝7时，a n 最大．a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n(n ≥2)，则a 16＝________. 答案 12解析 由题意知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，a 16＝a 3×5＋1＝a 1＝12.5． 数列53，108，17a ＋b ，a －b24，…中，有序数对(a ，b )是______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫412，－112解析 根号里的数比分母大2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝15a －b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝412b ＝－112.6． (2011·浙江)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 4解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ k k ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ≥k －1k ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k －1，k k ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k≥k ＋1k ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ＋1，解得10≤k ≤1＋10.∵k ∈N *，∴k ＝4.三、解答题7． (13分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *.(1)设b n ＝S n －3n，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n)，∴{S n －3n}是等比数列，因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *①(2)由①知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2 ＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9，又a2＝a1＋3>a1.综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．。
2014《步步高》高考数学第一轮复习06 数列求和
§6.4 数列求和2014高考会这样考 1.考查等差、等比数列的求和；2.以数列求和为载体，考查数列求和的各种方法和技巧；3.综合考查数列和集合、函数、不等式、解析几何、概率等知识的综合问题．复习备考要这样做 1.灵活掌握数列由递推式求通项公式的几种方法；2.掌握必要的化归方法与求和技巧，根据数列通项的结构特点，巧妙解决数列求和的问题．1． 等差数列前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ，推导方法：倒序相加法；等比数列前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1， q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ， q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． 2． 数列求和的常用方法(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (4)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导．(5)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 3． 常见的拆项公式(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .[难点正本 疑点清源]1． 解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．2． 等价转化思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决．1． 在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 2＋a 8＝18－a 5，则S 9＝________.答案 54解析 由等差数列的性质，a 2＋a 8＝18－a 5， 即2a 5＝18－a 5，∴a 5＝6， ∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9a 5＝54.2． 等比数列{a n }的公比q ＝12，a 8＝1，则S 8＝________.答案 255解析 由a 8＝1，q ＝12得a 1＝27，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q＝27[1－(12)8]1－12＝28－1＝255.3． 若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝________.答案 －25解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25.4． (2011·天津)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为 ( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110答案 D解析 ∵a 3＝a 1＋2d ＝a 1－4，a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12，a 9＝a 1＋8d ＝a 1－16，又∵a 7是a 3与a 9的等比中项，∴(a 1－12)2＝(a 1－4)·(a 1－16)，解得a 1＝20. ∴S 10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.5． (2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为 ( )A.100101B.99101C.99100D.101100答案 A解析 利用裂项相消法求和． 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.题型一 分组转化求和例1 已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求： (1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．思维启迪：第(1)问由已知条件列出关于p 、q 的方程组求解；第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解．解 (1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又因为x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ， 解得p ＝1，q ＝1. (2)由(1)，知x n ＝2n ＋n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n ) ＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2.探究提高 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．求和S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1. 解 和式中第k 项为a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝⎛⎭⎫12k1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12k . ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2[(1＋1＋…＋1)n 个－(12＋122＋…＋12n )] ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12⎝⎛⎭⎫1－12n1－12＝12n －1＋2n －2.题型二 错位相减法求和例2 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .思维启迪：(1)由已知写出前n －1项之和，两式相减．(2)b n ＝n ·3n 的特点是数列{n }与{3n }之积，可用错位相减法．解 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，①∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，② ①－②得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝13n ，∴a n ＝13n .(2)∵b n ＝na n，∴b n ＝n ·3n .∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1.④④－③得2S n ＝n ·3n ＋1－(3＋32＋33＋…＋3n )，即2S n ＝n ·3n ＋1－3(1－3n )1－3，∴S n ＝(2n －1)3n ＋14＋34.探究提高 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n －1a n }的前n 项和，从而利用a n 与S n 的关系求出通项3n －1a n ，进而求得a n ；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养．(2011·辽宁)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.题型三 裂项相消法求和例3 在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .思维启迪：第(1)问利用a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)后，再同除S n －1·S n 转化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的等差数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消求和． 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12， a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)又b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 探究提高 使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .(1)证明 ∵S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1(a 1＋1)2(a n >0)，∴a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1 得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1.即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)解 由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2，b n ＝12S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.四审结构定方案典例：(12分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .审题路线图等差数列{a n }中，特定项的值 ↓(a 3，a 5，a 7即为特定项) a 3＝7，a 5＋a 7＝26↓(从特定项，考虑基本量a 1，d )列方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝72a 1＋10d ＝26↓(根据条件的结构特征，确定了方程的方法) 用公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d .↓(将a n 代入化简求b n ) b n ＝14n (n ＋1)↓(根据b n 的结构特征，确定裂项相消) b n ＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1↓T n ＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n4(n ＋1). 规范解答解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.[4分]所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .[6分](2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1) ＝14·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，[8分] 所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)[10分]＝14·(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).[12分]温馨提醒 本题审题的关键有两个环节．一是根据a 3＝7，a 5＋a 7＝26的特征，确定列方程组求解．二是根据数列{b n }的通项b n ＝14n (n ＋1)的特征，确定用裂项相消法求和．所以，在审题时，要根据数式的结构特征确定解题方案.方法与技巧 数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 失误与防范1．通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为基本数列求和，或转化为基本数列求和．求和过程中同时要对项数作出准确判断．2．含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )A ．120B ．70C ．75D ．100答案 C解析 ∵S n n ＝n ＋2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75.2． 已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于 ( )A ．20B ．17C ．19D ．21 答案 C解析 由a 9＋3a 11<0，得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号，因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是一个递减数列，则a 10>0，a 11<0，所以S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0，S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0.3． 若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n －2答案 C解析 S n ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.4． 数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________.答案 2 600解析 由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n 知a 2k ＋2－a 2k ＝2，a 2k ＋1－a 2k －1＝0，∴a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2n －1＝1，数列{a 2k }是等差数列，a 2k ＝2k . ∴S 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100) ＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋(100＋2)×502＝2 600.6． 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________.答案 66解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 (n ＝1)2n －5 (n ≥2).令2n －5≤0，得n ≤52，∴当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a 10)＝S 10－2S 2＝66.7． (2012·课标全国)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．答案 1 830解析 利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解． ∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×(10＋234)2＝1 830.三、解答题(共22分)8． (10分)求和：(1)S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋n ·2n ＋12n；(2)S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2. 解 (1)由于a n ＝n ·2n ＋12n＝n ＋12n ， ∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1＋121＋⎝⎛⎭⎫2＋122＋⎝⎛⎭⎫3＋123＋…＋⎝⎛⎭⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12n＝n (n ＋1)2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n (n ＋1)2－12n ＋1.(2)当x ＝±1时，S n ＝4n .当x ≠±1时， S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2 ＝⎝⎛⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝⎛⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝⎛⎫x 2n ＋2＋1x 2n ＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋⎝⎛⎭⎫1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n ＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n ＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n .∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n (x ＝±1)，(x 2n－1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n (x ≠±1).9． (12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12S n (n ＝1,2,3，…)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当b n ＝log 32(3a n ＋1)时，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n ＝n1＋n .(1)解 由已知得⎩⎨⎧a n ＋1＝12S n ，a n＝12Sn －1(n ≥2)，得到a n ＋1＝32a n (n ≥2)．∴数列{a n }是以a 2为首项，以32为公比的等比数列．又a 2＝12S 1＝12a 1＝12，∴a n ＝a 2×⎝⎛⎭⎫32n －2 ＝12⎝⎛⎭⎫32n －2(n ≥2)． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，12⎝⎛⎭⎫32n －2， n ≥2.(2)证明 b n ＝log 32(3a n ＋1)＝log 32⎣⎡⎦⎤32·⎝⎛⎭⎫32n －1＝n .∴1b n b n ＋1＝1n (1＋n )＝1n －11＋n. ∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －11＋n ＝1－11＋n ＝n 1＋n.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134答案 C解析 b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n ＝lga n ＋1a n＝lg q (常数)， ∴{b n }为等差数列．∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝18，b 1＋5d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，b 1＝22.由b n ＝－2n ＋24≥0，得n ≤12，∴{b n }的前11项为正，第12项为零，从第13项起为负，∴S 11、S 12最大且S 11＝S 12＝132.2． 数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9答案 B解析 数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910， ∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0. 令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9.3． 已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 013项之和S 2 013等于( )A ．1B ．2 010C ．4 018D ．0答案 C解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1，2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 013＝6×335＋3，∴S 2 013＝S 3＝4 018. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.答案 13(4n －1)解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，又∵a 1＝1适合上式．∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1. ∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1·(1－4n )1－4＝13(4n －1)．5． 若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝__________. 答案 2n 2＋6n解析 令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n )－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也适合上式，所以a n ＝4(n ＋1)2 (n ∈N *)．于是a nn ＋1＝4(n ＋1)，故a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝2n 2＋6n .6． 已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则这个数列前30项的绝对值的和是________．答案 765解析 由题意知{a n }是等差数列，a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63，令a n ≥0，解得n ≥21. ∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋…＋a 30)＝S 30－2S 20＝(－60＋90－63)×302－(－60＋60－63)×20＝765.三、解答题7． (13分)(2012·四川)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立．(1)求a 1，a 2的值；(2)设a 1>0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 的前n 项和为T n ，当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．解 (1)取n ＝1，得a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，① 取n ＝2，得a 22＝2a 1＋2a 2.② 由②－①，得a 2(a 2－a 1)＝a 2.③若a 2＝0，由①知a 1＝0； 若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1.④由①④解得a 1＝2＋1，a 2＝2＋2或a 1＝1－2， a 2＝2－ 2.综上可得，a 1＝0，a 2＝0或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2. (2)当a 1>0时，由(1)知a 1＝2＋1，a 2＝2＋2. 当n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ， (2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1.所以(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)． 所以a n ＝a 1(2)n －1＝(2＋1)·(2)n －1.令b n ＝lg10a 1a n， 则b n ＝1－lg(2)n －1＝1－12(n －1)lg 2＝12lg 1002n －1.所以数列{b n }是单调递减的等差数列⎝⎛⎭⎫公差为－12lg 2. 从而b 1>b 2>…>b 7＝lg108>lg 1＝0. 当n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128<12lg 1＝0.故当n ＝7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为 T 7＝7(b 1＋b 7)2＝7(1＋1－3lg 2)2＝7－212lg 2.。
【步步高】高考数学总复习 6.1数列的概念及简单表示法课件 理 新人教B版
【例 1】
写出下面各数列的
一个通项公式：
(1)3,5,7,9，…； 分别是 10 － 1,102 － 1,103 － 1,104 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，…； 2 4 8 16 32 － 1， … ， 3 1 3 1 3 (3)－1， ， － ，， － ，， …； 2 3 4 5 6 1 (4)3,33,333,3 333，….
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
3．数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 列表法 、 图象法 和
解析法
4．数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个函 数式 an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项 公式． 5．已知 Sn，则
an＝
数学
R B（理）
§6.1 数列的概念及简单表示法
第六章 数 列
基础知识·自主学习
要点梳理
1．数列的定义 按照 一定次序 排列起来的一列数叫做数列， 数列中的每一个 数叫做这个数列的 项 ． 2．数列的分类
分类原则 按项数分类 无穷数列
基础知识 题型分类
知识回顾 理清教材
类型 有穷数列
满足条件 项数 有限 项数 无限
所以 an＝ (10n－1)． 3
9 99 999 (4)将数列各项改写为 ， ， ， 3 3 3 9 999 ，…，分母都是 3，而分子 3
题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】
写出下面各数列的
根据所给数列的前几项求其通项 时，需仔细观察分析，抓住其几
写出下面各数列的
《步步高》2014届高考数学大一轮复习课件(人教A版)常考题型强化练——数列(共42张PPT)
解析
解 (1)设等差数列{an}的公差为 d，
a1＋2d＝5， 由题意，得10a1＋10× 2 9d＝100，
解得ad1＝＝21，，
所以 an＝2n－1.
A组 专项基础训练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8．(10 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，n∈N*，a3＝5， S10＝100. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝2an ＋2n，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
解析
(2)因为 bn＝2an ＋2n＝12×4n＋2n，
所以 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝12(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n) ＝4n＋61－4＋n2＋n＝23×4n＋n2＋n－23.
A组 专项基础训练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9．(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足：an＋2SnSn－1＝0(n≥2， n∈N)，a1＝12，判断S1n与{an}是否为等差数列，并说明你的理由．
等于
(A )
A．3×44
B．3×44＋1
C．43
D．43＋1
解析
由 an＋1＝3Sn⇒Sn＋1－Sn＝3Sn⇒Sn＋1＝4Sn，
∴数列{Sn}是首项为 1，公比为 4 的等比数列，
∴Sn＝4n－1，∴a6＝S6－S5＝45－44＝3×44.
A组 专项基础训练
1
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5
6
7
8
9
4．已知等差数列{an}的公差 d＝－2，a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么
2014高考总复习 数列
第二讲：数列知识要点： 一、等差数列1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
3、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2a bA +=a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=。
4、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+。
5、等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（5）若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。
（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则① S 偶-S 奇nd =； ② 1n n S aS a +=奇偶；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则① S 偶-S 奇n a a ==中；②1S nS n =-奇偶。