高考第一轮复习数学：3.1 数列的概念

第三章数列●网络体系总览●考点目标定位1.知识要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出一种数列的表示方法，并能写出数列的前n项.（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.2.能力要求：培养观察能力、化归能力和解决实际应用问题的能力.●复习方略指南本章在历年高考中占有较大的比重，约占10%～12%，特别是2002年共计26分，占17%，2003年共计21分，占14%，2004年26分，占17%.考题类型既有选择题，也有填空题和解答题，既有容易题，也有中档题，更有难题.由于等差数列和等比数列在内容上是平行的，所以在复习时要应用对比去认识、理解、掌握数列知识.纵观近几年的高考试题，可发现如下规律：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势.因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a n 与S n 的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.3.1 数列的概念●知识梳理1.数列：按一定次序排列的一列数叫做数列.（1）数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }，其中a n 是数列的第n 项.（2）可视数列为特殊函数，它的定义域是正自然数集的子集（必须连续），因此研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）.应注意用函数的观点分析问题.2.通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式来表达，那么这个公式就叫做数列的通项公式，可以记为a n =f （n ）.并非每一个数列都可以写出通项公式，有些数列的通项公式也并非是唯一的.3.数列的前n 项和数列{a n }的前n 项之和，叫做数列的前n 项和，常用S n 表示.S n 与通项a n 的基本关系是：a n =⎩⎨⎧--11n nS S S ).2(),1(≥=n n S n =a 1+a 2+…+a n .4.数列的分类（1）按项分类有穷数列:项数有限；无穷数列:项数无限.（2）按a n 的增减性分类递增数列：对于任何n ∈N *，均有a n +1＞a n ；递减数列：对于任何n ∈N *，均有a n +1＜a n ；摆动数列：例如:－1，1，－1，1，…；常数数列：例如：6，6，6，6，…；有界数列：存在正数M 使|a n |≤M ，n ∈N *；无界数列：对于任何正数M ，总有项a n 使得|a n |＞M .5.递推是认识数列的重要手段，递推公式是确定数列的一种方式，根据数列的递推关系写出数列.●点击双基1.数列{a n }中，a 1=1，对于所有的n ≥2，n ∈N 都有a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2，则a 3+a 5等于 A.1661 B.925 C.1625 D.1531解析一：令n =2、3、4、5，分别求出a 3=49，a 5=1625，∴a 3+a 5=1661. 解析二：当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2.当n ≥3时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1=（n －1）2.两式相除a n =（1-n n ）2， ∴a 3=49，a 5=1625.∴a 3+a 5=1661. 答案：A2.已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=3，a n =a n －1+21-n a （n ≥3），则a 5等于 A.1255 B.313 C.4 D.5解析：令n =3，4，5，求a 5即可.答案：A3.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n（万件）近似地满足关系式S n =90n （21n －n 2－5）（n =1，2，…，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 A.5、6月 B.6、7月C.7、8月D.8、9月 解法一：由S n 解出a n =301（－n 2+15n －9），再解不等式301（－n 2+15n －9）＞1.5，得6＜n ＜9.解法二：将选项中的月份代入计算验证.答案：C4.已知a n =20012000--n n ，且数列{a n }共有100项，则此数列中最大项为第____________项，最小项为第___________________项.解析：a n =20012000--n n =1+200120002001--n ，又44＜2001＜45，2001－2000＞0，故第45项最大，第44项最小.答案：45 44●典例剖析【例1】 在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=nn na a +1，求a n . 剖析：将递推关系式变形，观察其规律. 解：原式可化为11+n a －na 1=n ，∴21a －11a =1，31a －21a =2，41a －31a =3，…， na 1－11-n a =n －1. 相加得n a 1－11a =1+2+…+（n －1）， ∴a n =222+-n n . 评析：求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘外还应注意变形式是否是等差（等比）数列.对于数列递推公式不要升温，只要能根据递推公式写出数列的前几项，由此来猜测归纳其构成规律. 【例2】 有一数列｛a n ｝，a 1＝a ，由递推公式a n ＋1＝nn a a +12，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式.剖析：可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出a n 与n 之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.解：∵a 1＝a ，a n ＋1＝n n a a +12，∴a 2＝aa +12， a 3＝2212a a +＝aa a a+++12114＝a a 314+， a 4＝3312a a +＝aa a a3141318+++＝a a 718+. 观察规律：a n ＝yaxa +1形式，其中x 与n 的关系可由n ＝1，2，3，4得出x ＝2n －1.而y 比x 小1， ∴a n ＝aa n n )12(1211-+--. 评述：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.思考讨论请同学总结解探索性问题的一般思路.【例3】 已知数列{a n }的通项公式a n =cn +nd ，且a 2=23，a 4=23，求a 10. 剖析：要求a 10，只需求出c 、d 即可. 解：由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,2344,2322d c d c 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.2,41d c ∴a n =41n +n 2.∴a 10=41×10+102=1027. 评述：在解题过程中渗透了函数与方程的思想.●闯关训练夯实基础1.若数列{a n }前8项的值各异，且a n +8=a n 对任意的n ∈N *都成立，则下列数列中，能取遍数列{a n }前8项值的数列是A.{a 2k +1}B.{a 3k +1}C.{a 4k +1}D.{a 6k +1}解析：由已知得数列以8为周期，当k 分别取1，2，3，4，5，6，7，8时，a 3k +1分别与数列中的第4项，第7项，第2项，第5项，第8项，第3项，第6项，第1项相等，故{a 3k +1}能取遍前8项.答案：B2.设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列｛a n ｝从首项到第______________项的和最大.A.10B.11C.10或11D.12解析：a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二项函数，它是抛物线f （x ）＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，从图象可看出前10项都是正数，第11项是0，所以前10项或前11项的和最大.另解： 由－n 2＋10n ＋11≥0得－1≤n ≤11，又n ∈N *，∴0＜n ≤11.∴前10项为正，第11项为0.答案：C3.设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对所有自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，写出此数列的前三项：______________，______________，______________. 解析：由题意得22+n a =n S 2，由此公式分别令n =1，n =2，n =3可依次解出前三项. 答案：2 6 104.（2004年春季上海，8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有___________________个点.(1) (2) (3) (4) (5)解析：观察图中五个图形点的个数分别为1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，故第n 个图中个数为（n －1）×n +1=n 2－n +1.答案：n 2－n +15.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.解：由已知S n +1=2n －1，得S n =2n +1－1，故当n =1时，a 1=S 1=3；当n ≥2时，a n =S n －S n －1=2n ，故a n =⎩⎨⎧n 23).2(),1(≥=n n 6.已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2n S =a n +1，求a n .解：由已知2n S =a n +1，得当n =1时，a 1=1；当n ≥2时，a n =S n －S n －1，代入已知有2n S =S n －S n －1+1，即S n －1=（n S －1）2.又a n＞0，故1-n S =n S －1或1-n S = 1－n S （舍），即n S －1-n S =1（n ≥2），由定义得{n S }是以1为首项，1为公差的等差数列，∴n S =n .故a n =2n －1.培养能力7.（理）已知函数f （x ）=－2x +2（21≤x ≤1）的反函数为y =g （x ），a 1=1，a 2=g （a 1），a 3=g （a 2），…，a n =g （a n －1），…，求数列{a n }的通项公式.解：由已知得g （x ）=－2x +1（0≤x ≤1），则a 1=1，a n +1=－21a n +1. 令a n +1－P =－21（a n －P ），则a n +1=－21a n +23P ，比较系数得P =32. 由定义知，数列{a n －32}是公比q =－21的等比数列，则a n －32=（a 1－32）·（－21）n －1= 32［1－（－21）n ］.于是a n =34－32（－21）n . （文）根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：（1）3，5，9，17，33，…；（2）32，154，356，638，9910，…； （3）2，－6，12，－20，30，－42，….解：（1）联想数列2，4，8，16，32，…，可知所求通项公式为a n =2n +1.（2）分别观察各项分子与分母的规律，分子为偶数列{2n }；分母为1×3，3×5，5×7，7×9，…，故所求通项公式为a n =)12)(12(2+-n n n . （3）将数列变形为1×2，－2×3，3×4，－4×5，…，于是可得已知数列的通项公式为a n =（－1）n +1·n （n +1）.8.已知数列{a n }的通项a n =（n +1）（1110）n （n ∈N ）.试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.解：∵a n +1－a n=（n +2）（1110）n +1－（n +1）（1110）n=（1110）n ·119n -， ∴当n ＜9时，a n +1－a n ＞0，即a n +1＞a n ；当n =9时，a n +1－a n =0，即a n +1=a n ；当n ＞9时，a n +1－a n ＜0，即a n +1＜a n ；故a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9=a 10＞a 11＞a 12＞….∴数列{a n }有最大项a 9或a 10，其值为10·（1110）9，其项数为9或10. 探究创新9.有一个细胞集合，在一小时里死亡两个，剩下的细胞每一个都分裂成两个，假设开始有10个细胞，问经过几个小时后，细胞的个数为1540个？解：设n 小时后的细胞个数为a n ，依题意得a n +1=2（a n －2），所以a n +1－4=2（a n －4）.又∵a 1=10，∴a n －4=（a 1－4）·2n －1=3·2n .∴a n =3·2n +4，使3·2n +4=1540.∴n =9.●思悟小结1.用归纳法依据前几项写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维方法，需要我们有一定的数学观察能力和分析能力，并熟知一些常见的数列的通项公式，如：数列{n 2}，{2n }，{（－1）n}，{2n }，{2n －1}，并了解a n =⎩⎨⎧b a 为偶数为奇数n n , 的合一形式a n =2)1(11+-+n a + 2)1(1n-+b . 2.对于符号（数字、字母、运算符号、关系符号）、图形、文字所表示的数学问题，要有目的地从局部到整体多角度进行观察，从而得出结论.3.求数列的通项公式是本节的重点，主要掌握两种求法.（1）由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察.（2）数列{a n }的前n 项和S n 与数列{a n }的通项公式a n 的关系，要注意验证能否统一到一个式子中.●教师下载中心教学点睛1.要注意强调数列、数列的项、数列的通项三个概念的区别.2.给出数列的方法中，递推关系包含两种：一种是项和项之间的关系；另一种是项和前n 项和S n 之间的关系.要用转化的数学思想方法.转化是数学中最基本、最常用的解题策略，S n 和a n 的转化，可给出数列，问题总是在一步步的转化过程中得到解决，在运用转化的方法时，一定要围绕转化目标转化.3.重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用.拓展题例【例1】 已知f （x ）=（x +2）2（x ≥0），又数列{a n }（a n ＞0）中，a 1=2，这个数列的前n 项和的公式S n （n ∈N *）对所有大于1的自然数n 都有S n =f （S n －1）.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =n n n n a a a a 12212+++（n ∈N *），求证∞→n lim （b 1+b 2+…+b n －n ）=1.分析：由于已知条件给出的是S n 与S n －1的函数关系，而要求的是a n 的通项公式，故关键是确定S n .解：（1）∵f （x ）=（x +2）2， ∴S n =（1-n S +2）2. ∴n S －1-n S =2.又1a =2， 故有n S =2+（n －1）2=n 2， 即S n =2n 2（n ∈N *）.当n ≥2时，a n =S n －S n －1=2n 2－2（n －1）2=4n －2； 当n =1时，a 1=2，适合a n =4n －2. 因此，a n =4n －2（n ∈N *）.（2）∵b n =n n n n a a a a 12212+++=1+121-n －121+n ， ∴b 1+b 2+b 3+…+b n －n =1－121+n . 从而∞→n lim （b 1+b 2+…+b n －n ）=∞→n lim （1－121+n ）=1. 【例2】 已知数列｛a n ｝中，a n ∈（0，21），a n ＝83＋21·a n －12，其中n ≥2，n ∈Ｎ*，求证：对一切自然数n 都有a n ＜a n ＋1成立.证明：a n ＋1－a n ＝83＋21a n 2－a n ＝21（a n －1）2－81. ∵0＜a n ＜21，∴－1＜a n －1＜－21. ∴81＜21（a n －1）2＜21. ∴21（a n －1）2－81＞0. ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＜a n ＋1对一切自然数n 都成立.。