(经典)高中数学最全数列总结及题型精选
2024高考数学数列知识点总结与题型分析
2024高考数学数列知识点总结与题型分析数列是高中数学中的重要内容，作为数学的一个分支，数列的掌握对于高考数学的考试非常关键。
在本文中，我们将对2024年高考数学数列的知识点进行总结，并分析可能出现的相关题型。
一、等差数列与等差数列的通项公式等差数列是数学中最常见的数列类型之一。
对于等差数列，首先要了解等差数列的概念：如果一个数列中任意两个相邻的项之差都相等，则称该数列为等差数列。
1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式是等差数列中非常重要的一个公式，它可以用来求解等差数列中任意一项。
设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，第$n$项为$a_n$，则等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$1.2 等差数列的性质与常用公式等差数列有一些重要的性质与常用的公式，掌握这些性质与公式可以帮助我们更好地解决与等差数列相关的题目。
（1）等差数列中，任意三项可以构成一个等差数列。
（2）等差数列的前$n$项和公式为：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$（3）等差数列的前$n$项和的差为：$S_n - S_m = (n-m+1)\frac{a_1 + a_{n+m}}{2}$二、等比数列与等比数列的通项公式等比数列也是数学中常见的数列类型之一。
与等差数列不同的是，等比数列中的任意两项的比值都相等。
2.1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以用来求解等比数列中的任意一项。
设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，第$n$项为$a_n$，则等比数列的通项公式为：$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$2.2 等比数列的性质与常用公式等比数列也有一些重要的性质与常用的公式，下面我们来了解一下：（1）等比数列中，任意三项可以构成一个等比数列。
（2）等比数列的前$n$项和公式为（$q\neq1$）：$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（3）当公比$q \neq 1$时，等比数列的前$n$项和与第$n$项的关系为：$S_n = \frac{a_nq - a_1}{q - 1}$三、数列题型分析与解题技巧在高考数学中，对于数列的考察主要包括以下几个方面：3.1 数列的递推关系与通项公式的应用常见的数列题目往往要求我们根据已知的递推关系或者通项公式来求解数列中的某一项或者求解前$n$项的和。
数列常见题型总结经典
高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122-=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 练习：1234.n S 52.（1（2例1.例2.例3.3.（11-n q .（2例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。
答案：12+=n a n 练习：1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。
答案：)1(2+=n n a n2、求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。
4.形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例1.已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,131+=+n n n a a a ,求通项公式n a .答案：231-=n a n2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .答案：121-=n a n5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设,利用待定系数法求出A例126.(1)若例题.所以{=∴n b (2)若①若②若令n b 例1.在数列{}n a 中，521-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--．求通项公式n a1、已知数列{}n a 中，211=a ，n n n a a 21(21+=-，求通项公式n a 。
数列知识点总结及题型归纳---含答案
一、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
用递推公式表示为a n a n 1 d(n 2)或a n 1 a n d(n 1)。
例：等差数列a n 2n 1，a n a n 1__________题型二、等差数列的通项公式：a n & (n 1)d ；说明：等差数列(通常可称为 A P数列)的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0为递减数列。
例：1.已知等差数列a n中，a7 a9 16，a4 1,则等于( )A. 15 B . 30 C . 31 D . 642. ｛a n｝是首项a1 1，公差d 3的等差数列，如果务2005，则序号n等于(A) 667 ( B) 668 (C) 669 (D) 6703. 等差数列a n 2n 1,b n 2n 1，则a.为______________________________ g为________________ (填“递增数列”或数列“递减数列”)题型三、等差中项的概念：定义：如果a , A, b成等差数列，那么A叫做aa , A, b成等差数列A -_b即：2a n 12例：1•设a n是公差为正数的等差数列，若a1 a2A. 120 B . 105 C.2.设数列｛a n｝是单调递增的等差数列，前三项的和为A. 1B.2C.4D.8a b与b的等差中项。
其中A2a n a n 2(2a n a n m a n m)a315, qa2a3 80，贝U a11 a12 a13() 90 D . 7512,前三项的积为48,则它的首项是( )题型四、等差数列的性质: (1 ) 在等差数列a n中,在等差数列a n中,在等差数列a n中,在等差数列a n中,每一项是它相邻二项的等差中项;m)d , d n);题型五、等差数列的前n和的求和公式：S n(a1 a n)na1q，则a m a n a p a q ；(S n An2 Bn (A,B为常数) an是等差数列递推公式：S n @1 a n)n2(a m a n (m 1) )n3d2 从第2项起,(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列;(3)(4) 对任意m , n N , a n a m (n 若m , n , p , q例：1.如果等差数列a n中，a3 a4 a5 12，那么a1 a2 a763a n 的前n 项和为S n ，若S 9 72 ,则a 2 a 4比=9.设等差数列 a n 的前n 项和为S n ,若a 6 S 3 12 ,则a n _____________________________10. 已知数列｛ b n ｝是等差数列，b 1=1, b+b 2+…+b °=100.,则b n = ____________________S n11. 设｛ a n ｝为等差数列，$为数列｛ a n ｝的前n 项和，已知 S ?= 7, S 5= 75, T n 为数列｛ ——｝的前n 项n和，求T n 。
高考数列题型总结（优秀范文五篇）
高考数列题型总结（优秀范文五篇）第一篇：高考数列题型总结数列1.2.3.4.5.6.坐标系与参数方程 1.2.34..5.6.(1)(2)第二篇：数列综合题型总结数列求和1.（分组求和）(x-2)+(x2-2)+…+（xn-2）2.(裂相求和)++Λ+1⨯44⨯7(3n-2)(3n+1)3.（错位相减）135+2+3+222+2n-12n1⨯2+2⨯22+3⨯23+Λ+n⨯2n4.（倒写相加）1219984x)+f()+Λ+f()=x 求值设f(x），求f(1999199919994+25.（放缩法）求证：1+数列求通项6.（Sn与an的关系求通项）正数数列{an}，2Sn=an+1，求数列{an}的通项公式。
7．（递推公式变形求通项）已知数列{an }，满足，a1=1,8.累乘法an+1=5an求{an }的通项公式 5+an11++2232+1<2n2数列{an}中，a1=122，前n项的和Sn=nan，求an+1.2222a=S-S=na-(n-1)a⇒(n-1)a=(n-1)an-1 nnn-1nn-1n解：⇒∴∴an=ann-1=an-1n+1，anan-1a2n-1n-2111⋅Λ⋅a1=⋅Λ⨯=an-1an-2a1n+1n32n(n+1)an+1=1 (n+1)(n+2)9累加法第三篇：数列题型及解题方法归纳总结文德教育知识框架⎧列⎧数列的分类⎪数⎪⎪⎨数列的通项公式←函数⎪的概念角度理解⎪⎪⎩数列的递推关系⎪⎪⎧⎧等差数列的定义an-an-1=d(n≥2)⎪⎪⎪⎪⎪等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d⎪⎪⎪等差数列⎪⎨n⎪⎪⎪等差数列的求和公式Sn=2(a1+an)=na1+n(n-1)d⎪⎪⎪⎪⎪2⎪⎩等差数列的性质an+am=ap+aq(m+n=⎪⎪p+q)⎪两个基⎪⎧等比数列的定义an=q(n≥⎪本数列⎨⎪⎪a2)n-1⎪⎪⎪⎪⎪⎪等比数列的通项公式an-1⎪n=a1q数列⎪⎪等比数列⎨⎨⎧a1-anq=aqn1(1-)⎪⎪⎪等比数列的求和公式S(q≠1)n=⎪⎨1-q1-q⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩na1(q=1)⎪⎪⎪⎩等比数列的性质anam=apaq(m+n=p+q)⎪⎩⎪⎧公式法⎪⎪分组求和⎪⎪⎪⎪错位相减求和⎪数列⎪⎪求和⎨裂项求和⎪⎪倒序相加求和⎪⎪⎪⎪累加累积⎪⎪⎩归纳猜想证明⎪⎪⎪数列的应用⎧分期付款⎨⎩⎩其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
高中数学最全数列总结及题型精选
高中数学最全数列总结及题型精选-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII高中数学：数列及最全总结和题型精选一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…②：514131211，，，，… 说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n-=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩；③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，……（3）数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。
（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…（5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥二、等差数列(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
高中数列知识点归纳总结及例题
高中数列知识点归纳总结及例题数列是高中数学中的一个重要概念，它在许多数学问题中都起着至关重要的作用。
通过学习数列的定义、性质和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将对高中数列知识点进行归纳总结，并附上相关例题供读者练习。
1. 数列的定义与性质数列是按照一定顺序排列的一组数。
其中，每一个数称为数列的项，位置称为项数，用字母a表示数列的通项。
数列的性质包括等差数列和等比数列两种常见情况：1.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设数列为{an}，公差为d，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2（3）项数公式：n = (an - a1) / d + 1例题1：已知等差数列{an}的首项是3，公差是4，求第10项的值。
解析：根据等差数列的通项公式，代入a1 = 3，d = 4，n = 10，求得a10 = 3 + (10-1) * 4 = 39。
1.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设数列为{an}，公比为q，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 * q^(n-1)（2）前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)（3）项数公式：n = logq(an / a1) + 1例题2：已知等比数列{an}的首项是2，公比是3，求第5项的值。
解析：根据等比数列的通项公式，代入a1 = 2，q = 3，n = 5，求得a5 = 2 * 3^(5-1) = 162。
2. 数列的求和数列的求和是数学中常见的问题之一，通过找到数列的规律和应用对应的公式，可以快速求解数列的和。
下面分别介绍等差数列和等比数列的求和公式。
2.1 等差数列的求和对于等差数列{an}，前n项和的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
其中，a1为首项，an为末项，n为项数。
高中数学数列经典题型及解析
高中数学数列经典题型及解析1. 求数列的通项公式：题目描述：已知数列的前几项为1，4，9，16，...，求该数列的通项公式。
解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项的平方加1，所以可以得到通项公式为an =n^2 + 1。
2. 求数列的和：题目描述：已知数列的前几项为2，5，8，11，...，求前100项的和。
解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项加3，所以可以得到通项公式为an = 3n - 1。
根据等差数列的求和公式，前n项的和可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，所以前100项的和为S100 = (100/2)(2 + a100)，代入通项公式，得到S100 = (100/2)(2 + (3*100 - 1)) = 10100。
3. 求等差数列的前n项和：题目描述：已知数列的前几项为3，7，11，15，...，求前20项的和。
解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项加4，所以可以得到通项公式为an = 4n - 1。
根据等差数列的求和公式，前n项的和可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，所以前20项的和为S20 = (20/2)(3 + (4*20 - 1)) = 820。
4. 求数列的极限：题目描述：已知数列的前几项为1，1/2，1/3，1/4，...，求该数列的极限值。
解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项的倒数，即an = 1/n。
当n趋向于无穷大时，an趋向于0，所以该数列的极限值为0。
5. 求数列的递推关系：题目描述：已知数列的前几项为1，2，4，7，11，...，求该数列的递推关系。
解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项加一个递增的数，递增的数可以依次为1，2，3，4，...，所以可以得到递推关系为an = an-1 + (n-1)。
以上是高中数学中数列的经典题型及解析，希望对你有帮助！。
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高一数学期末复习专题解三角形3. 正、余玄定理的解题类型: (1) 两类正弦定理解三角形的问题： ① 已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 ② 已知两角和其中一边的对角，求其他边角 (2) 两类余弦定理解三角形的问题： ①已知三边求三角.②已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形 式或角的形式.5. 解题中利用 ABC 中：ABC，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如:sin(A B) si nC,cos(A B) cosC, tan (A B) tanC,.A B C AB .CAB C sincos —,cos sin ,ta ncot .2 2 2 2 2 26、 三角公式： (1) 倍角公式： (2) 两角和、差公式：1正弦定理：a b c2Rsin AsinB sin Ca:b:c sin A:sin B:sin C .cos A2a b 2c 2bc cos A2.余弦定理： b22a c 2 2ac cos B 或 cos B2cb 2a 2ba cos Ccos Cb 22c 2a2bc2 22ac b2ac222ba c2ab数列基础知识点和方法归纳1.等差数列的定义与性质(1)定义：a n 1 and （ d 为常数），通项公式： a n ai n 1 d(2)等差中项： x , A y 成等差数列 2A x y (3) 前n 项和： S na 1 a n nnnn n 1d 122(4)性质： a n 是等差数列① 任意两项间的关系式； a n = a m + （n — m ）d （m 、n € N ） ② 若 m n p q ，贝U a m a . a p a q ;③ S n , S 2n S n , S 3n S 2n ……仍为等差数列，公差为n 'd ; ④ 若三个成等差数列，可设为a d , a, a d⑤ 若a n , b n 是等差数列，且前n 项和分别为S n , T n ，则空 乩b m T 2m 1⑥a n 为等差数列 S n an 2 bn （ a,b 为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）S n 的最值可求二次函数S n an 2 bn 的最值；或者求出a .中的正、负分界项,a o即：当a ,, d 0，解不等式组时o 可得§达到最大值时的n值.a o当a ,0, d 0,由“ 可得S n 达到最小值时的n 值.a n 1 0⑦项数为偶数2n 的等差数列a n 有n(a n a n 1)6, a . 1为中间两项)⑧ 项数为奇数2n 1的等差数列a n 有:S偶S奇nd ,a n 1S2n 1 (2n 1)a n(a n为中间项),a n ,32.等比数列的定义与性质(1) 定义：也a nq （ q 为常数，q 0),(2) (3) (4) 通项公式: 等比中项: 前n 项和: 性质： a n a nX 、S nG 、y 成等比数列na(q 1) a 11 q n 1 q(q 1)是等比数列 ①任意两项间的关系: —m - na m = a n . q②若 m n p q ，贝U a . a p- a qG 2 xy ,或 G 、、xy（要注意！）(m 、n € N ).③S n , S 2nS n , S sn S ?n ……仍为等比数列，公比为ql注意：由S n 求a n 时应注意什么?n 1 时，a 1 S i ； n 2 时，a nS n S n 13.求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法 如：数列a n , 1 12a 1 尹2 夬n 2n 5, 求 an解：n 1时, n 2时，為 2 1 / 1尹214 2n①-②得：寺a n2，…a n 14(n 1) 2n1( n 2)5& 1a n 1, 3注意到a n 1 Sn 1 S n ，代入得S n［练习］数列a n 满足S n a 1 n 2 时，a nS n S n 14，求 a n又S 4 , • S n 是等比数列，S n 4(2)叠乘法如：数列a n 中, 3,3a nn求a n n 1解: a2a1 a3a2 a n 1又a1 3, —a n(3)等差型递推公式由a n a n 1 f(n).a o，求a n，用迭加法a2 a i a3 a2 f(2)f⑶两边相加得an a i f (2) f (3) f (n)--a n a0f(2)f(3)……［练习］数列a n中，a11 (4)等比型递推公式a n ca n 1d( c、d为常数，可转化为等比数列 ,设a n x令(c 1)x d , x d5・■ i c 1d d n 1…a n a1cc 1 c 1(5)倒数法如：a11,an 12a n求a n 2由已知得：1a n 21a n 12a n2••• 1为等差数列，11 ,a n a1 a n a n…a n a n a n 1 f (n)f(n)a n 3n1a n 2，求a n a n(3n1),a n丄a n公差为1,a n是首项为a ia n—,c为公比的等比数列c 11a n(附：公式法、利用a n S(nS n S n1)1 (n2)、累加法、累乘法•构造等差或等比3换元法)4.求数列前n 项和的常用方法(1) 公式法 (2)裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项da 1a n 1(3)错位相减法由 S n qS n ，求 S n , 其中q 为b n 的公比.(4)分组求和法所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列， 也不是等比数列的数列，若将这类 数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
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高中数学：数列及最全总结和题型精选一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…②：514131211，，，，… 说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n-=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩；③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，……（3）数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。
（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…（5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n n n Sn a S S n -=⎧=⎨-⎩≥二、等差数列(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a (二)、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．642.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）6703.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”）(三)、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2a bA += a ，A ，b 成等差数列⇒2a bA +=即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．（06全国I ）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （ ）A ．120B ．105C ．90D ．75(四)、等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； (五)、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+n da ）（2n 2112-+=。
(),(2为常数B A BnAn S n +=⇒{}n a 是等差数列 )递推公式：2)(2)()1(1na a n a a S m n m n n --+=+= 例：1.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）352.（2009湖南卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 633.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A.13项B.12项C.11项D.10项 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 6.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = 7.已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( )3132--．．B A C.31 D.328.（2009陕西卷文）设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则n a =9．（00全国）设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛nS n｝的前n 项和，求T n 。
(六).对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 偶-S 奇nd =； ②1n n S aS a +=奇偶； （2）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 奇-S 偶n a a ==中；②1S nS n =-奇偶。
1.一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比__________2.一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比1：2，求公差d3.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是225，则它的首项与公差分别是_______(七).对与一个等差数列，n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。
例：1.等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）A.130B.170C.210D.2602.一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 。
3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== 5．（06全国II ）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若36S S ＝13，则612SS ＝ A ．310 B ．13 C ．18D ．19(八)．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法：)221*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列③通项公式法：),(为常数b k bkn a n +=⇒{}n a 是等差数列④前n 项和公式法：),(2为常数B A BnAn S n +=⇒{}n a 是等差数列例：1.已知数列}{n a 满足21=--n n a a ，则数列}{n a 为 （ ）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断 2.已知数列}{n a 的通项为52+=n a n ，则数列}{n a 为 （ ）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列}{n a 的前n 项和422+=n s n ，则数列}{n a 为（ ）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.已知一个数列}{n a 的前n 项和22n s n =，则数列}{n a 为（ ）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断 5.已知一个数列}{n a 满足0212=+-++n n n a a a ，则数列}{n a 为（ ）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断6.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且 （*∈N n ） ①求数列{}n a 的通项公式；7．（01天津理，2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 (九).数列最值（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或100n n a a +≤⎧⎨≥⎩。
例：1．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大。
2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 001213123<>=S S a ，， ①求出公差d 的范围，②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由。
3．（02上海）设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．的是（ ）A.d ＜0B.a 7＝0C.S 9＞S 5D.S 6与S 7均为S n 的最大值4．已知数列{}n a 的通项9998--n n （*∈N n ），则数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是5.已知}{n a 是等差数列，其中131a =，公差8d =-。