48高考数学专题复习——二次函数48
高考数学中的二次函数问题解析
高考数学中的二次函数问题解析高考数学是很多学生最为担心的科目之一，其中涉及到的二次函数问题更是令学生头疼不已。
二次函数在高中数学中的重要性不言而喻，其解题方法多种多样，需要学生有一定的数学基础和逻辑思维能力。
在本文中，将着重解析高考数学中的二次函数问题，让学生能够更好地应对考试。
一、二次函数的基本形式二次函数是高中数学的一个重要概念，也是高考的重点内容之一。
二次函数的一般式为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c 分别为实数，二次函数的图像为开口朝上或开口朝下的抛物线。
a 的取值决定了二次函数的开口方向和大小，当a > 0 时，抛物线开口朝上，当 a < 0 时，抛物线开口朝下；而 b 和c 的取值则分别影响抛物线的位置和与坐标轴的交点。
二、二次函数的求根公式在解决二次函数的问题时，一个常见的问题是求解方程ax² + bx + c = 0其中，a、b、c 分别为实数。
由于一般的二次方程不易直接求解，因此需要使用二次函数的求根公式：x1,2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a其中，+/- 代表正负号取两种情况，√ 表示开方，a、b、c 分别代表一般式中的系数。
需要注意的是，在运用此公式求解时，首先应该对给定方程进行分类讨论，判断它的解的数量与情况。
三、二次函数的最值问题另一个常见的二次函数问题是求取最值。
通过对一般式 y = ax²+ bx + c 的求导，我们可以得到其导函数为：y' = 2ax + b当 y' = 0 时，可以求得此时的 x 值，即为二次函数的极值点。
根据抛物线的开口方向，可以推断出该点是函数的最大值或最小值。
此外，需要注意的是，当 a > 0 时，抛物线开口朝上，其最小值为 y = c - b² / 4a；而当 a < 0 时，抛物线开口朝下，其最大值为y = c - b² / 4a。
高考高三数学总复习教案：二次函数
第二章函数与导数第6课时二次函数（对应学生用书（文）、（理）１8～１9页）考情分析考点新知１由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导函数是二次函数，因此对二次函数的考查一直是高考的热点问题.２以二次函数为背景的应用题也是高考的常考题型，同时借助二次函数模型考查代数推理问题是一个难点．①掌握二次函数的概念、图象特征.②掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值.３掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式这“三个二次”之间的关系，提高解综合问题的能力.,１．（必修１P５４测试7）函数f（x）＝x２＋２x—３，x∈[0，２]的值域为________．答案：[—３，５]解析：由f（x）＝（x＋１）２—４，知f（x）在[0，２]上单调递增，所以f（x）的值域是[—３，５]．２．二次函数y＝—x２＋２mx—m２＋３的图象的对称轴为x＋２＝0，则m＝________，顶点坐标为________，递增区间为________，递减区间为________．答案：—２（—２，３）（—∞，—２] [—２，＋∞）３．（必修１P４５习题8改编）函数f（x）＝（x＋１）（x—a）是偶函数，则f（２）＝________．答案：３解析：由f（—x）＝f（x），得a＝１，∴f（２）＝３．４．（必修１P４４习题３）函数f（x）＝错误!的单调增区间是________．答案：R解析：画出函数f（x）的图象可知．５．设abc>0，二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c的图象可能是________．（填序号）答案：４解析：若a>0，则b、c同号，３４两图中c<0，则b<0，所以—错误!>0，４正确；若a<0，则b、c异号，１中c<0，则b>0，—错误!>0，不符合，２中c>0，则b<0，—错误!<0，不符合．１．二次函数的解析式的三种形式（１）一般式：f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0）．（２）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h，k），则其解析式f（x）＝a（x—h）２＋k（a≠0）．（３）零点式（两根式）：若二次函数的图象与x轴的交点为（x１，0），（x２，0），则其解析式f（x）＝a（x—x１）（x—x２）（a≠0）．２．二次函数的图象及性质二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0）的图象是一条抛物线，对称轴方程为x＝—错误!，顶点坐标是错误!．（１）当a>0，函数图象开口向上，函数在区间（—∞，—错误!]上是单调减函数，在[—错误!，＋∞）上是单调增函数，当x＝—错误!时，y有最小值，y min＝错误!．（２）当a<0，函数图象开口向下，函数在区间[—错误!，＋∞）上是单调减函数，在（—∞，—错误!]上是单调增函数，当x＝—错误!时，y有最大值，y max＝错误!．３．二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），当Δ＝b２—４ac>0时，图象与x轴有两个交点M１（x，0），M２（x２，0），则M１M２＝错误!．１题型１求二次函数解析式例１已知二次函数f（x）满足f（２）＝—１, f（—１）＝—１，且f（x）的最大值为8，求二次函数f（x）的解析式．解：（解法１：利用一般式）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），错误!解得错误!∴所求二次函数为f（x）＝—４x２＋４x＋7．（解法２：利用顶点式）设f（x）＝a（x—m）２＋n，∵f（２）＝f（—１），∴抛物线对称轴为x ＝错误!＝错误!，即m＝错误!；又根据题意，函数最大值y max＝8，∴n＝8，∴f（x）＝a错误!２＋8．∵ f（２）＝—１，∴a错误!错误!＋8＝—１，解得a＝—４．∴f（x）＝—４错误!２＋8＝—４x２＋４x＋7．（解法３：利用两根式）由题意知f（x）＋１＝0的两根为x１＝２，x２＝—１，故可设f（x）＋１＝a（x—２）（x＋１），即f（x）＝ax２—ax—２a—１．又函数有最大值y max＝8，即错误!＝8，解得a ＝—４或a＝0（舍），∴所求函数的解析式为f（x）＝—４x２—（—４）x—２×（—４）—１＝—４x ２＋４x＋7．错误!已知二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c图象的顶点为（—１，１0），且方程ax２＋bx＋c＝0的两根的平方和为１２，求二次函数f（x）的表达式．解：由题意可设f（x）＝a（x＋１）２＋１0，即f（x）＝ax２＋２ax＋a＋１0；∴ b＝２a，c＝a＋１0，设方程ax２＋bx＋c＝0的两根为x１、x２，则x错误!＋x错误!＝１２，即（x１＋x２）２—２x１x２＝１２，∴错误!错误!—２×错误!＝１２．又b＝２a，c＝a＋１0，∴错误!错误!—２×错误!＝１２，解得a＝—２，∴f（x）＝—２x２—４x＋8．题型２含参变量二次函数的最值例２函数f（x）＝２x２—２ax＋３在区间[—１，１]上最小值记为g（a）．（１）求g（a）的函数表达式；（２）求g（a）的最大值．解：（１）１当a<—２时，函数f（x）的对称轴x＝错误!<—１，则g（a）＝f（—１）＝２a＋５；２当—２≤a≤２时，函数f（x）的对称轴x＝错误!∈[—１，１]，则g（a）＝f错误!＝３—错误!；３当a>２时，函数f（x）的对称轴x＝错误!>１，则g（a）＝f（１）＝５—２a.综上所述，g（a）＝错误!（２）１当a<—２时，g（a）<１；２当—２≤a≤２时，g（a）∈[１，３]；３当a>２时，g（a）<１．由１２３可得g（a）max＝３．错误!求二次函数f（x）＝x２—４x—１在区间[t，t＋２]上的最小值g（t），其中t∈R.解：函数f（x）＝（x—２）２—５的图象的对称轴方程为x＝２，开口向上．当２∈[t，t＋２]，即t≤２≤t＋２，也就是0≤t≤２时，g（t）＝f（２）＝—５；当２[t，t＋２]时，１当t＞２时，f（x）在[t，t＋２]上为增函数，故g（t）＝f（t）＝t２—４t—１．２当t＋２＜２，即t＜0时，f（x）在[t，t＋２]上为减函数，故g（t）＝f（t＋２）＝（t＋２）２—４（t＋２）—１＝t２—５．故g（t）的解析式为g（t）＝错误!题型３二次函数的综合应用例３已知函数g（x）＝ax２—２ax＋１＋b（a≠0，b<１），在区间[２，３]上有最大值４，最小值１，设函数f（x）＝错误!.（１）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（２）若不等式f（２x）—k·２x≥0在x∈[—１，１]时有解，求实数k的取值范围．解：（１）g（x）＝ax２—２ax＋１＋b，由题意得１错误!得错误!２错误!得错误!（舍）．∴a＝１，b＝0，g（x）＝x２—２x＋１，f（x）＝x＋错误!—２．（２）不等式f（２x）—k·２x≥0，即２x＋错误!—２≥k·２x，∴k≤错误!错误!—２·错误!＋１．设t＝错误!，则k≤t２—２t＋１，∵x∈[—１，１]，故t∈错误!.记h（t）＝t２—２t＋１，∵t∈错误!，∴h（t）max＝１，故所求k的取值范围是（—∞，１]．错误!已知函数f（x）＝x２＋mx＋n的图象过点（１，３），且f（—１＋x）＝f（—１—x）对任意实数都成立，函数y＝g（x）与y＝f（x）的图象关于原点对称．（１）求f（x）与g（x）的解析式；（２）若F（x）＝g（x）—λf（x）在（—１，１]上是增函数，求实数λ的取值范围．解：（１）因为函数f（x）满足f（—１＋x）＝f（—１—x）对任意实数都成立，所以图象关于x＝—１对称，即—错误!＝—１，即m＝２．又f（１）＝１＋m＋n＝３，所以n＝0，所以f（x）＝x２＋２x.又y＝g（x）与y＝f（x）的图象关于原点对称，所以—g（x）＝（—x）２＋２（—x），所以g（x）＝—x２＋２x.（２）由（１）知，F（x）＝（—x２＋２x）—λ（x２＋２x）＝—（λ＋１）x２＋（２—２λ）x.当λ＋１≠0时，F（x）的对称轴为x＝错误!＝错误!，因为F（x）在（—１，１]上是增函数，所以错误!或错误!所以λ<—１或—１<λ≤0．当λ＋１＝0，即λ＝—１时，F（x）＝４x显然成立．综上所述，实数λ的取值范围是（—∞，0]．１．若函数f（x）＝ax２—３x＋４在区间（—∞，6）上单调递减，则实数a的取值范围是________．答案：0≤a≤错误!解析：当a＝0时，f（x）＝—３x＋４，符合；当a≠0时，则错误!解得0<a≤错误!.综上，实数a 的取值范围是0≤a≤错误!.２．已知函数f（x）＝x２—３x＋m，g（x）＝２x２—４x，若f（x）≥g（x）恰在x∈[—１，２]上成立，则实数m的值为________．答案：２解析：由题意，x２—３x＋m≥２x２—４x，即x２—x—m≤0的解集是[—１，２]，所以m＝２．３．（２0１３·南通三模）已知函数f（x）＝错误!是偶函数，直线y＝t与函数y＝f（x）的图象自左向右依次交于四个不同点A、B、C、Ｄ．若AB＝BC，则实数t的值为________．答案：—错误!解析：根据偶函数的定义得a＝１，b＝２，c＝—１，f（x）＝错误!错误!所以x C＝错误!，则t＝错误!错误!—２×错误!—１＝—错误!.４．（２0１３·新课标）若函数f（x）＝（１—x２）（x２＋ax＋b）的图象关于直线x＝—２对称，则f（x）的最大值为________．答案：１6解析：因为点（１，0），（—１，0）在f（x）的图象上，且图象关于直线x＝—２对称，所以点（—５，0），（—３，0）必在f（x）的图象上，所以f（—５）＝（１—２５）（２５—５a＋b）＝0，f（—３）＝（１—9）（9—３a＋b）＝0，联立，解得a＝8，b＝１５，所以f（x）＝（１—x２）（x２＋8x＋１５），即f（x）＝—（x＋１）（x—１）（x＋３）（x＋５）＝—（x２＋４x＋３）（x２＋４x—５）．令t ＝x２＋４x＝（x＋２）２—４≥—４，则f（x）＝—（t＋３）（t—５）＝—（t—１）２＋１6，当t＝１时，f（x）max＝１6．１．已知函数f（x）＝e x—１，g（x）＝—x２＋４x—３，若有f（a）＝g（b），则b的取值范围为________．答案：（２—错误!，２＋错误!）解析：易知，f（a）＝e a—１>—１，由f（a）＝g（b），得g（b）＝—b２＋４b—３>—１，解得２—错误!<b<２＋错误!.２．已知函数f（x）＝x２＋ax＋b（a、b∈R）的值域为[0，＋∞），若关于x的不等式f（x）<c的解集为（m，m＋6），则实数c的值为________．答案：9解析：根据函数f（x）＝x２＋ax＋b的值域为[0，＋∞），得到a２—４b＝0．又关于x的不等式f（x）<c，可化为x２＋ax＋b—c<0，它的解集为（m，m＋6），设函数f（x）＝x２＋ax＋b—c的图象与x轴的交点的横坐标分别为x１、x２，则|x２—x１|＝m＋6—m＝6，从而（x２—x１）２＝３6，即（x１＋x２）２—４x１x２＝３6．又x１x２＝b—c，x１＋x２＝—a，代入得到c＝9．３．设函数f（x）＝x２—１，对任意x∈错误!，f错误!—４m２f（x）≤f（x—１）＋４f（m）恒成立，则实数m的取值范围是________．答案：错误!∪错误!解析：由题意知错误!—１—４m２（x２—１）≤（x—１）２—１＋４（m２—１）在x∈错误!上恒成立，错误!—４m２≤—错误!—错误!＋１在x∈错误!上恒成立，当x＝错误!时，函数y＝—错误!—错误!＋１取得最小值—错误!，所以错误!—４m２≤—错误!，即（３m２＋１）（４m２—３）≥0，解得m≤—错误!或m≥错误!.４．已知函数f（x）＝mx＋３，g（x）＝x２＋２x＋m.（１）求证：函数f（x）—g（x）必有零点；（２）设函数G（x）＝f（x）—g（x）—１，若|G（x）|在[—１，0]上是减函数，求实数m的取值范围．（１）证明：f（x）—g（x）＝（mx＋３）—（x２＋２x＋m）＝—x２＋（m—２）x＋（３—m）．由Δ１＝（m—２）２＋４（３—m）＝m２—8m＋１6＝（m—４）２≥0，知函数f（x）—g（x）必有零点．（２）解：|G（x）|＝|—x２＋（m—２）x＋（２—m）|＝|x２—（m—２）x＋（m—２）|，Δ２＝（m—２）２—４（m—２）＝（m—２）（m—6），１当Δ２≤0，即２≤m≤6时，|G（x）|＝x２—（m—２）x＋（m—２），若|G（x）|在[—１，0]上是减函数，则错误!≥0，即m≥２，所以２≤m≤6时，符合条件．２当Δ２＞0，即m＜２或m＞6时，若m＜２，则错误!＜0，要使|G（x）|在[—１，0]上是减函数，则错误!≤—１且G（0）≤0，所以m≤0；若m＞6，则错误!＞２，要使|G（x）|在[—１，0]上是减函数，则G（0）≥0，所以m＞6．综上，m≤0或m≥２．１．二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称轴、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．２．二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，需要按照“三点一轴”来分类讨论（三点即区间的端点和中点，一轴即对称轴），此类问题是考查的重点．３．二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．错误![备课札记]。
高考数学复习初等函数知识点：二次函数
高考数学复习初等函数知识点：二次函数二次函数的差不多表示形式为y=ax2+bx+c(a≠0)。
，下面是高考数学复习初等函数知识点：二次函数，期望对考生有关心。
1、二次函数的定义一样地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2,y=3x2-2,y=2x2+x-1等差不多上二次函数.注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式,二次项系数a必须是非零实数,即a≠0,而b,c是任意实数,二次函数的表达式是一个整式;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),自变量x的取值范畴是全体实数;(3)当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数;(4)一个函数是否是二次函数,要化简整理后,对比定义才能下结论,例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x,故它不是二次函数.2、二次函数y=ax2的图象和性质(1)函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫抛物线.实际上所有二次函数的图象差不多上抛物线.单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。
二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,它关于y轴对称,它的顶点坐标是(0,0).①当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,在对称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升,顶点是抛物线上位置最低的点,也确实是说,当a>0时,函数y=ax2具有如此的性质：当x0时,函数y随x的增大而增大;当x=0时,函数y=ax2取最小值,最小值y=0;高考数学复习初等函数知识点：二次函数就为大伙儿分享到那个地点，更多杰出内容请关注高考数学知识点栏目。
高考数学总复习第五节 二次函数与幂函数
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考点三 二次函数的图象与性质
[锁定考向]
题点多变型考点——多角探明
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较
低．常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是
高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函
数的图象与性质的应用．
常见的命题角度有：
(1)二次函数的单调性问题；
(2)二次函数的最值问题；
∴f(2)＝2 －12
＝
2 2.
答案：C
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)
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2．函数 f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数，且在 x∈(0，＋∞) 上为增函数，则实数 m 的值为________． 解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得 m＝－1 或 m＝2. 又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴m＝2. 答案：2
y＝x3
1
y＝x 2
y＝x－1
_奇__ 非 __奇__非___偶_ _奇__
单调性
(－∞，0)
_增__ 减，(0， _增___ ＋∞)增
(－∞，0)
_增__ 和(0,＋∞)
减
公共点
__(_1_,_1_)__
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2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ； (2)顶点式：f(x)＝ a(x－m)2＋n(a≠0) ； (3)零点式：f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ．
(2)若幂函数 y＝xα(α∈R )是偶函数，则 α 必为偶数． 当 α 是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上单调递增，则 α＞0， 若在(0，＋∞)上单调递减，则 α＜0.
二次函数-高考数学复习
PART3Fra bibliotek微专题 3
一元二次方程根的分布
目录
解决由一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围
问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解：
（1）判别式Δ的符号；
（2）对称轴 x ＝－ 与所给区间的位置关系；
2
（3）区间端点处函数值的符号.
一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况较复杂，但
＋2） x ＋ c ，
因为 g （ x ）为偶函数，所以 g （－ x ）＝ g （ x ），
即 x 2－（ b ＋2） x ＋ c ＝ x 2＋（ b ＋2） x ＋ c ，可得 b ＝－2，
所以 f （ x ）＝ x 2－2 x ＋ c ，图象开口向上，对称轴为直线 x ＝1.
若选条件①，因为函数 f （ x ）在区间[－2，2]上的最大值为5，所以 f
A. [－6，2]
B. [—6，1]
C. [0，2]
D. [0，1]
）
解析： 函数 f （ x ）＝－2 x 2＋4 x 的对称轴为直线 x ＝1，则 f
（ x ）在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴ f （ x ）max
＝ f （1）＝2， f （ x ）min＝ f （－1）＝－2－4＝－6，即 f （ x ）的
∴ f （ x ）＝－4 −
1 2
＋8＝－1，解得 a ＝－4，
2
1 2
＋8＝－4 x 2＋4 x ＋7.
2
法三（利用二次函数的零点式）
由已知 f （ x ）＋1＝0的两根为 x 1＝
2， x 2＝－1，
故可设 f （ x ）＋1＝ a （ x －2）（ x ＋1）（ a ≠0），
2024版高考数学总复习：二次函数与幂函数教师用书
第四节二次函数与幂函数考试要求：1．通过具体实例，结合y＝x，y＝x-1，y＝x2，y＝�12，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.2．理解简单二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．一、教材概念·结论·性质重现1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数3．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1)．(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在(0，＋∞)上是增函数．(3)如果α<0，则幂函数在(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限逼近x轴．4．二次函数的图象与性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．5．常用结论(1)“ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a ＞0且Δ＜0”．(2)“ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a ＜0且Δ＜0”．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)函数y ＝2�12是幂函数．(×)(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(√)(3)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．(×)(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．(×)2．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点4f (2)＝()A．14B．4C．22D ．2C 解析：设f (x )＝x α，因为图象过点4所以f (4)＝4α＝12，解得α＝－12，所以f (2)＝2−12＝22.3．二次函数f (x )的图象经过(0，3)，(2，3)两点，且f (x )的最大值是5，则该函数的解析式是()A．f (x )＝2x 2－8x ＋11B．f (x )＝－2x 2＋8x －1C．f (x )＝2x 2－4x ＋3D．f(x)＝－2x2＋4x＋3D解析：二次函数f(x)的图象经过(0，3)，(2，3)两点，则图象的对称轴为x＝1.又由函数的最大值是5，可设f(x)＝a(x－1)2＋5(a≠0)．于是3＝a＋5，解得a＝－2.故f(x)＝－2(x－1)2＋5＝−2�2＋4x＋3.故选D.4．(多选题)(2022·海南中学月考)若幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，27)，则幂函数f(x)是() A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数AC解析：设幂函数为f(x)＝xα(α为常数)，因为其图象经过点(3，27)，所以27＝3α，解得α＝3，所以幂函数f(x)＝x3.因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又α＝3＞0，所以f(x)在R上是增函数．5．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，则y的最小值是_________．－1解析：因为函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝32>1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上单调递减．当x＝1时，y取得最小值，所以y min＝2－6＋3＝－1.考点1幂函数的图象和性质——基础性1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)是()A．偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数D解析：设幂函数f(x)＝x a，则f(3)＝3a＝3，解得a＝12，所以f(x)＝�12＝�，是非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数．2．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·��2−�−2的图象不过原点，则() A．－1≤m≤2B．m＝1或m＝2C．m＝2D．m＝1B解析：因为幂函数y＝(m2－3m＋3)��2−�−2的图象不过原点，所以�2−�−2≤0，�2−3�+3=1，解得m＝1或2，符合题意．故选B.3．与函数y＝�12－1的图象关于x轴对称的图象大致是()B解析：y＝�12的图象位于第一象限且函数图象是上升的，函数y＝�12－1的图象可看作由y＝�12的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图象所示)．将y＝�12－1的图象关于x轴对称后即为选项B.4．若(a＋1)-2＞(3－2a)-2，则a的取值范围是_________．(－∞，－1)∪−1解析：因为(a＋1)-2＞(3－2a)-2，又f(x)＝x-2为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，所以푎+1＜3−2푎，푎+1≠0，3−2푎≠0，解得a＜23且a≠－1或a＞4.1．解决这类问题要优先考虑幂函数的定义以及解析式，然后结合幂函数的图象与性质来求解．2．有些题目，如第考点2二次函数的解析式——综合性已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式．解：(方法一：利用二次函数的一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4푎+2�+ =−1，푎−�+ =−1，4푎 −�24푎=8，解得푎=−4，�=4，=7.故f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.(方法二：利用二次函数的顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝a �＋8.因为f (2)＝－1，所以a 2−＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4×�−＋8＝－4x 2＋4x ＋7.(方法三：利用二次函数的零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x＋1)，a ≠0，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y maxa ＝－4.故f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.1．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ()A．与a 有关，且与b 有关B．与a 有关，但与b 无关C．与a 无关，且与b 无关D．与a 无关，但与b 有关B 解析：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m ＝�12＋ax 1＋b ，M ＝�22＋ax 2＋b .所以M －m ＝�22−�12＋a (x 2－x 1)，显然与a 有关，与b 无关．2．(2022·青岛模拟)设a ，b 为不相等的实数，若二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 满足f (a )＝f (b )，则f (2)＝()A．7B．5C．4D．2C解析：由f (x )＝x 2＋ax ＋b 可得函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝－푎2.又由a ≠b ，f (a )＝f (b )得f (x )图象的对称轴为直线x ＝푎+�2，所以－푎2＝푎+�2，得2a ＋b ＝0，所以f (2)＝4＋2a ＋b ＝4.故选C.考点3二次函数的图象和性质——应用性考向1二次函数的图象应用(1)已知函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2，1)，则函数y ＝f (－x )的图象为()D 解析：因为函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2，1)，所以－2，1是方程ax 2－x－c ＝0的两根．把x ＝－2，1分别代入方程得4푎+2− =0，푎−1− =0，联立解得a ＝－1，c ＝－2.所以f (x )＝－x 2－x ＋2.所以函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，可知其图象开口向下，与x 轴的交点坐标分别为(－1，0)和(2，0)．故选D.(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是()A解析：若0<a<1，则y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减；y＝(a－1)x2－x的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，排除C，D.若a>1，则y＝log a x在(0，＋∞)上单调递增，y＝(a－1)x2－x的图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B不正确，只有A满足．1．解决二次函数图象问题的基本方法(1)排除法．抓住函数的特殊性质或特殊点．(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．2．分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息.若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．[－3，0)B．(－∞，－3]C．[－2，0]D．[－3，0]D解析：当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a≠0时，f(x)的图象对称轴为x＝3−푎2푎.由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减知푎<0，3−푎2푎≤−1，解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3，0].若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a＝_________．－3解析：由题意知f(x)必为二次函数且a<0.(1)对于二次函数的单调性，的位置不确定，则需要分类讨论．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值．解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去．②当a＞0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝3.8③当a＜0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，a的值为3或－3.8将本例改为：求函数解：f(x)＝(x＋f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线1二次函数的最值问题主要有以下几类：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系．已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．解：由题意可知，f(x)＞2x＋m等价于x2－x＋1＞2x＋m，即x2－3x＋1－m＞0.令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＞0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)在[－1，1]上的最小值大于0即可．因为g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1＞0得m＜－1.因此，满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．将问题归结为求函数的最值，依据是1．(2021·洛阳一中检测)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若a>b>c且a＋b＋c＝0，则f(x)的图象可能是()D解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c＜0，所以函数图象开口向上，排除选项A，C.又f(0)＝c＜0，排除选项B.故选D.2．(多选题)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是()A．f(－1)B．f(1)C．f(2)D．f(5)ACD解析：因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴是x＝2.当a＞0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a＜0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．3．函数f(x)＝ax2－(a－1)x－3在区间[－1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是() A．−∞B．(－∞，0)C．0D ．0D解析：若a ＝0，则f (x )＝x －3，f (x )在区间[－1，＋∞)上是增函数，符合题意．若a ≠0，因为f (x )在区间[－1，＋∞)上是增函数，故푎>0，푎−12푎≤−1，解得0<a ≤13.综上，0≤a ≤13.故选D.4．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为_________．−∞解析：2ax 2＋2x －3＜0在[－1，1]上恒成立．当x ＝0时，－3＜0，成立；当x ≠0时，a ＜32－16，易知1�∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值12，所以a＜12.综上，实数a 的取值范围是−∞课时质量评价(九)A 组全考点巩固练1．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)��2－6�＋8在(0，＋∞)上单调递增，则m 的值为()A．1或3B．1C．3D．2B 解析：由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8＞0，解得m ＝1.2．函数y ＝3�2的图象大致是()C 解析：y ＝3�2＝�23，其定义域为x ∈R ，排除A，B.又0<23<1，图象在第一象限为上凸的，排除D.故选C.3．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为()A．f (x )＝－x B．f (x C．f (x )＝x 2D．f (x )＝3�D解析：对于A，f (x )＝－x 为R 上的减函数，不合题意．对于B，f (x为R 上的减函数，不合题意．对于C，f (x )＝x 2在(－∞，0)上单调递减，不合题意．对于D，f (x )＝3�为R 上的增函数，符合题意．4．设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，已知f (m )<0，则()A．f (m ＋1)≥0B．f (m ＋1)≤0C．f (m ＋1)>0D．f (m ＋1)<0C 解析：因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝－12，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示．由f (m )<0，得－1<m <0.所以m ＋1>0.所以f (m ＋1)>f (0)>0.5．(2023·潍坊模拟)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则()A．a >0，4a ＋b ＝0B．a <0，4a ＋b ＝0C．a >0，2a ＋b ＝0D．a <0，2a ＋b ＝0A解析：由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－�2푎＝2，所以4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，所以f (x )先减后增，于是a >0.6．已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )＝_________．x 2－2x ＋3解析：由f (0)＝3，得c ＝3.又f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以�2＝1，所以b ＝2，所以f (x )＝x 2－2x ＋3.7．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围28．若푎+1−13<3−2푎−13，则实数a的取值范围是___________．(－∞，－1)∪解析：不等式푎+1−13<3−2푎−13等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.9．(2023·福州模拟)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1，1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的范围.解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1.因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以2푎=2，푎+�=0，所以푎=1，�=−1，所以f(x)＝x2－x＋1.(2)由题意得x2－x＋1＞2x＋m在[－1，1]上恒成立．即x2－3x＋1－m＞0在[－1，1]上恒成立．设g(x)＝x2－3x＋1－m，其图象的对称轴为直线x＝32，所以g(x)在[－1，1]上单调递减．故只需最小值g(1)＞0，即12－3×1＋1－m＞0，解得m＜－1.10．已知幂函数f(x)＝(m－1)2��2－4�＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.(1)求m的值；(2)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q 成立的必要条件，求实数k的取值范围．解：(1)依题意得：(m－1)2＝1⇒m＝0或m＝2，当m＝2时，f(x)＝x-2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m＝0.(2)由(1)得，f(x)＝x2，当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)，即B＝[2－k，4－k)．因为p是q成立的必要条件，所以B⊆A，则2−�≥1，4−�≤4，即�≤1，�≥0，得0≤k≤1.故实数k的取值范围是[0，1].B组新高考培优练11．设函数f(x)＝1�，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()A．当a＜0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＞0B．当a＜0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＜0C．当a＞0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＜0D．当a＞0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＞0B解析：当a＜0时，作出两个函数的图象，如图所示，由题意不妨记函数f(x)与g(x)的图象在第三象限交于点A(x1，y1)，在第一象限相切于点B(x2，y2)．因为函数f(x)＝1�是奇函数，所以设A关于原点对称的点为�'(−�1，−�1)，显然x2＞－x1＞0，即x1＋x2＞0，－y1＞y2，即y1＋y2＜0.当a＞0时，由对称性知x1＋x2＜0，y1＋y2＞0.12．(多选题)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是()A．b 2>4ac B．2a －b ＝1C．a －b ＋c ＝0D．5a <bAD 解析：因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，A 正确；二次函数的图象的对称轴为直线x ＝－1，即－�2푎＝－1，得2a －b ＝0，B 错误；结合图象知，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，C 错误；因为函数的图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，D 正确．故选AD.13．(多选题)若函数f (x )＝(x －1)(x ＋a )在区间(1，2)上单调递增，则满足条件的实数a 的值可能是(AB )A．0B．2C．－2D．－314．(2022·潍坊质检)已知函数f (x )＝�2+�，−2≤�≤ ，1�， <�≤3.若c ＝0，则f (x )的值域是________；若f (x )的值域是−14，2，则实数c 的取值范围是_________．−14，+∞1解析：当c ＝0时，即x ∈[－2，0]时，f (x)∈−14，2，当x ∈(0，3]时，f (x +∞，所以f (x )的值域为−14，+∞.作出y ＝x 2＋x 和y ＝1�的图象如图所示，当f (x )＝－14时，x ＝－12；当x 2＋x ＝2时，x ＝1或x ＝－2；当1�＝2时，x ＝12，由图象可知当f (x )的值域为−14，2时，需满足12≤c ≤1.15．已知函数f (x )＝x 2＋2x .(1)若f (x )>a 在区间[1，3]上恒有解，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )>a 在区间[1，3]上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )>a 在区间[1，3]上恒有解，等价于푎<��max .又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x＝3时，f(x)max＝15，故a的取值范围为{a|a<15}．(2)f(x)>a在区间[1，3]上恒成立，等价于푎<��min，又f(x)＝x2＋2x且x∈[1，3]，当x＝1时，f(x)min＝3，故a的取值范围为{a|a<3}．16．(2022·郑州模拟)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋b＋1(a≠0，b＜1)在区间[2，3]上有最大值4，最小值1.(1)求a，b的值；(2)设f(x f(2x)－k·2x≥0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)g(x)＝ax2－2ax＋b＋1＝a(x－1)2－a＋b＋1.若a＞0，则g(x)在[2，3]上单调递增，所以g(2)＝b＋1＝1，g(3)＝3a＋b＋1＝4，解得a＝1，b＝0；若a＜0，则g(x)在[2，3]上单调递减，所以g(2)＝b＋1＝4，解得b＝3.因为b＜1，所以b＝3(舍去)．综上，a＝1，b＝0.(2)因为f(x f(x)＝�2−2�+1�＝x＋1�－2.因为不等式f(2x)－k·2x≥0对x∈[－1，1]恒成立，所以2x＋12�－2－k·2x≥0对x∈[－1，1]恒成立，即k 12对x∈[－1，1]恒成立．因为x∈[－1，1]，所以12�∈2，−12∈[0，1]，所以k≤0，故实数k的取值范围是(－∞，0].。
高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ）A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项.【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0，故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确.令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()(24g t t t t =-=--，1x >时，函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系.【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件.故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得((02b f f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02b f >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <，则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以((02bf f >，所以必要性成立；反之，设(02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<，此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件.故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1<a ≤2.【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果.【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21a a >⎧⎨⎩…，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞-【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R恒成立，∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴20440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-，故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可.【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+.故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________．【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值.【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++当232x =时，12max134x x -=．故答案为：134.10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k=，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0ff x …恒成立，则实数m 的范围是（ ）A．3,3⎡--+⎣B．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1-D．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+，（2）1m =-恒成立，符合题意；（3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--.综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取练提升()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =-- ，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解,取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=，其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4.故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________.【答案】2a <或3a >.【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->V 且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限， 综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a <【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点，因为函数()g x 的对称轴为122a x =<，所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <.故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________.【答案】12-【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解.【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为()1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-；当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤，所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=，因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1-【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值.【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-，当sin a x <时，211()(sin 4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-；当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-；当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭，∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增；11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1.故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2．【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值.【详解】解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()minM h x h x - (2)(),2xh x x R x =∈+当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+，令2()g x x x=+，当0,()x g x >…，当x =取等号，当0,()x g x <≤-当x =取等号，()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞()(0)h x x ⎡⎫⎛∈⋃≠⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝综上，()h x ⎡∈⎢⎣M ⎛∴= ⎝…min M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈．（1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围；（2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值．【答案】（1）[)1,+∞；（2）45.【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+--⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求.【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =.①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+；②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，()0f b = ，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b +=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭，设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =.所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45.9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出，（Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2．当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9；当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1；故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54．令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得m ≤﹣52或m ≥52．10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=．（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞．【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在()0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式；（2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可.【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在()0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==，∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈，∴222221814(44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值练真题（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=x ―4,x ≥λx 2―4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得x ≥2x ―4<0 或x <2x 2―4x +3<0，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f (x )=x ―4>0，此时f (x )=x 2―4x +3=0,x =1,3，即在(―∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f (x )=x ―4=0,x =4，由f (x )=x 2―4x +3在(―∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x = 时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++--原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；【答案】（1）()2h x x =；【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立.令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =.故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；（2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】（1）当214a b =+时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++.当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+，所以293b -≤≤-.当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于22202tt--≤<+和2302t tt--≤<+，所以30b-≤<.综上可知，b的取值范围是[3,9--.。
2024年新高考版数学专题1_3.2 二次函数与幂函数
b 2a
,
4ac 4a
b2
图象关于直线x=- b 对称
2a
考点二 幂函数 1.定义:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 2.几个常用幂函数的图象
3.几个常用幂函数的性质
y=x
y=x2
y=x3
定义域
R
R
R
值域
R
[0,+∞)
R
奇偶性 单调性 定点
奇
偶
奇
y=x
y=x2
y=x3
3
故m的取值范围为
2 3
,1
.
例4 已知f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t. (1)求证:对于任意t∈R,关于x的方程f(x)=1必有实数根;
(2)若方程f(x)=0在区间(-1,0)和
0,
1 2
内各有一个实数根,求实数t的取值范
围.
解析 (1)证明:方程f(x)=1⇒x2+(2t-1)x-2t=0,因为Δ=(2t-1)2+8t=4t2+4t+1=(2 t+1)2≥0,所以方程f(x)=1必有实数根.
例1 (2022广东深圳六校联考二,2)若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2<x <1},则二次函数y=2bx2+4x+a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为
()
A.-1,-7 B.0,-8
C.1,-1 D.1,-7
解析 ∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2<x<1},∴-2,1是关于x的方程ax2 +bx+2=0的两个实数根,且a<0,
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二次函数复习(附参考答案)
1．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)在给定区间[]n m ,上的值域 ()1 若a >0，
①当m a b
<-
2时. ()()[]n f m f y ,∈. ②当n a
b
>-2时. ()()[]m f n f y ,∈ ③当n a b m <-
<2时.()()()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈n f m f a b f y ,max ,2在比较()()n f m f ,的大小时亦可以n m ,与对称轴的距离而比较。
()2若a
(
⎫
⎛b n f ,
2．二次函数与一元二次方2
++c bx ax 的根、与一元二次不等式的关系
例1、（1）函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是 （ ）
()A 0b ≥ ()B 0b ≤ ()C 0b > ()D 0b <
（2若函数2(2)3([,]y x a x x a b =+++∈）的图象关于1x =对称则b = ． (3)m 取何值时，方程227(13)20x m x m m -++--=的一根大于1，一根小于1． (4) 方程0422
=+-ax x 的两根均大于1，则实数a 的取值范围是＿＿＿。
(5)设y x ,是关于m 的方程0622
=++-a am m 的两个实根，则22)1()1(-+-y x 的最小
值是（ ） (A)449-
(B)18 (C)8 (D)4
3
(6)若函数)3(log )(2
+-=ax x x f a 在区间]2
,(a -∞上为减函数，则a 的取值范围为（ ）
(A) (0,1) (B)(),1+∞ (C))32,1( (D))32,1()1,0(⋃
(7)方程1
11042x x a -⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
有正数解，则a 的取值范围为 。
例2、已知函数2244)(22+-+-=a a ax x x f 在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值。
例3、若函数()()1log 6log 132
3++--==a x a x a x f y 在[]1,0∈a 上恒为正值，求实数x
的取值范围。
例4、已知二次函数b a bx ax x f ,()(2+=为常数，且a ≠0)，满足条件:0)2(=f 且方程x x f =)(有等根．⑴求)(x f 的解析式; ⑵问是否存在实数m ，n (m <n )，使)(x f
的定义域和值域分别是[m ，n ]和[2m ，2n ]．如果存在求出m ，n 的值;如果不存在，说明理由．
例5、已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为（1，3）. （1）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围.
例6、设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x
-=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．
（1）求实数a 的取值范围； （2）试比较(0)(1)(0)f f f -与1
16
的大小，并说明理由．
例7、已知函数0)1(),1(2)(2=<<++=f a b b ax x x f ，且方程01)(=+x f 有实根. （1）求证：13-≤<-b 且0≥a ；
（2）若m 是方程01)(=+x f 的一个实根，判断)4(-m f 的正负，并说明理由.
例8、设)()(2
c b a c bx ax x f >>++=，0)1(=f ，b ax x g +=)(．
（Ⅰ）求证：函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象有两个交点；
（Ⅱ）设)(x f 与)(x g 的图象的交点A 、B 在x 轴上的射影为1A 、1B ，求||11B A 的取值
范围；
（Ⅲ）求证：x ≤3-时，恒有)()(x g x f >．
例9．设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。
（Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )
（Ⅱ）求g (a )
（Ⅲ）试求满足)1
()(a
g a g =的所有实数a
例10、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠， （1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；
（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是()f x 的不动点，且,A B 两点关于直线2121
y kx a =+
+对称，求b 的最小值．。