最小二乘法原理及算例PPT演示课件
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第3章4节最小二乘法(课堂PPT)
§4 曲线拟合的最小二乘法
1 最小二乘法及其计算
在函数的最佳平方逼近中 f (x) C如[a果, b],
f (x)
只在一组离散点集 {xi , i 0,1,上给, m定}，这就是科 学实验中经常见到的实验数据 {(xi , yi ),i 0的,1, , m} 曲线拟合.
1
问题为利用 yi f (xi ),i 求0出,1一,个, m函,数 y S * (x) 与所给数据{(xi , yi ),i 0,拟1,合. , m}
7
Ga d ,
其中 a (a0 , a1, , an )T , d (d0 , d1, , dn )T ,
(0 ,0 ) (0 ,1)
G
(1
,
0
)
(1 , 1 )
(0 ,n )
(1
,
n
)
.
n (n ,0 ) (n ,1) (n ,n )
(k , j )a j dk (k 0,1, , n).
6
若记
m
( j ,k ) ( xi ) j ( xi )k ( xi ), i0 m
( f ,k ) (xi ) f (xi )k (xi ) dk i0 (k 0,1, , n).
上式可改写为
n
(k , j )a j dk
j 0
(k 0,1, , n).
这个方程称为法方程，可写成矩阵形式
要使j法0 方程有唯一解， 就要求矩阵 非奇G异，
而 0 (x),1(x),在 ,n上(x线) 性[无a,关b]不能推出
矩阵 G非奇异，必须加上另外的条件.
8
例如
（0 x) sin x,（1 x) sin 2x,显然（0 x)，（1 x)线性无关。 取X {x0,...,x4} {0, ,2 ,3 ,4}, （0 x j ) （1 x j ) 0; j 0,...,4
1 最小二乘法及其计算
在函数的最佳平方逼近中 f (x) C如[a果, b],
f (x)
只在一组离散点集 {xi , i 0,1,上给, m定}，这就是科 学实验中经常见到的实验数据 {(xi , yi ),i 0的,1, , m} 曲线拟合.
1
问题为利用 yi f (xi ),i 求0出,1一,个, m函,数 y S * (x) 与所给数据{(xi , yi ),i 0,拟1,合. , m}
7
Ga d ,
其中 a (a0 , a1, , an )T , d (d0 , d1, , dn )T ,
(0 ,0 ) (0 ,1)
G
(1
,
0
)
(1 , 1 )
(0 ,n )
(1
,
n
)
.
n (n ,0 ) (n ,1) (n ,n )
(k , j )a j dk (k 0,1, , n).
6
若记
m
( j ,k ) ( xi ) j ( xi )k ( xi ), i0 m
( f ,k ) (xi ) f (xi )k (xi ) dk i0 (k 0,1, , n).
上式可改写为
n
(k , j )a j dk
j 0
(k 0,1, , n).
这个方程称为法方程，可写成矩阵形式
要使j法0 方程有唯一解， 就要求矩阵 非奇G异，
而 0 (x),1(x),在 ,n上(x线) 性[无a,关b]不能推出
矩阵 G非奇异，必须加上另外的条件.
8
例如
（0 x) sin x,（1 x) sin 2x,显然（0 x)，（1 x)线性无关。 取X {x0,...,x4} {0, ,2 ,3 ,4}, （0 x j ) （1 x j ) 0; j 0,...,4
最小二乘法简介PPT课件
为消除异方差的影响，使各项的地位相 同，观测值的权数取观测值误差项方差 的倒数，即 ωi=1/σi2
在实际问题中，σi2通常是未知的，当自 变量水平以系统的形式变化时，取 ωi=1/xi2
-
15
5.3 WLS模型
加权后的最小二乘估计模型为:
n
s （i yi a bxi）2 i 1
令 s 0, s 0 a b
n
n
n
xi
y
－
i
xi
yi
i1
i1
i1
n
n
i1
x
2 i
－
n
i1
xi
2
-
a
＝
1 n
n
y
－
i
i1
b n
n
xi
i1
8
2、多元性拟合
设变量y与n个变量x1,x2,…,xn(n≥1)内在联系是
线性的，即有y=a0+∑ajxj(j=1,...,n)。
m
n
s （yi a0 a j xij）2
i 1
j 1
令 s 0, s 0 a0 a j
s
a
0
m
2
yi
i1
a0
n
a
j xij
j 1
0
s a1
2
m
i1
yi
a0
n
j 1
a
j
x ij
x
i1
0
s
a
n
m
2
yi
a0
n
a
j xij
x
i
n
i1
j 1
0
- a0,a1,,am的值9
在实际问题中，σi2通常是未知的，当自 变量水平以系统的形式变化时，取 ωi=1/xi2
-
15
5.3 WLS模型
加权后的最小二乘估计模型为:
n
s （i yi a bxi）2 i 1
令 s 0, s 0 a b
n
n
n
xi
y
－
i
xi
yi
i1
i1
i1
n
n
i1
x
2 i
－
n
i1
xi
2
-
a
＝
1 n
n
y
－
i
i1
b n
n
xi
i1
8
2、多元性拟合
设变量y与n个变量x1,x2,…,xn(n≥1)内在联系是
线性的，即有y=a0+∑ajxj(j=1,...,n)。
m
n
s （yi a0 a j xij）2
i 1
j 1
令 s 0, s 0 a0 a j
s
a
0
m
2
yi
i1
a0
n
a
j xij
j 1
0
s a1
2
m
i1
yi
a0
n
j 1
a
j
x ij
x
i1
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s
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n
m
2
yi
a0
n
a
j xij
x
i
n
i1
j 1
0
- a0,a1,,am的值9
最小二乘估计课件(43张)
栏目导航
30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
栏目导航
[解] (1)散点图如下图所示．
31
栏目导航
(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
栏目导航
25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
栏目导航
26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
32
栏目导航
a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
33
栏目导航
34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
栏目导航
8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
31
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
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26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
32
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
33
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34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
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8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
高等数学课件最小二乘法标准版资料
wéi)均对方本误题差(bě, ntí)均方误差
1 7
M
0.124
它在一定程度上反映了经验函数的好坏. O
t
2021/10/3
同济(tónɡ jì)版高等数学课件
第六页，共10页。
例2. 在研究某单分子(fēnzǐ)化学反应速度时, 得到下列数据:
i 1 2 3 4 5 6 78 i 3 6 9 12 15 18 21 24 yi 57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5
2021/10/3
Y a X b (线性函数)
同济(tónɡ jì)版高等数学课件
第七页，共10页。
因此(yīncǐ) a , b 应满足法
方程组:8
8
8
2 k
a
k
b
k
ln
yk
k 1
k 1
k 1
8
8
k a
k 1
8b
ln yk
k 1
y
经计算(jìsuà1n)8得36 a 108b 280.994 108a 8b 23.714
经计算(jìs令(据ugàn)u得:ānxicè)数xi1 xi , yi yi1 yi (i 1, 2,, n)
同济(tónɡ jì)版高等数学课件
yi 其中 表示从实验(shíyàn)开始算起的时间, (1) 若 定值 其中 表示从实验(shíyàn)开始算起的时间,
, 则考虑 y a x b 同济(tónɡ jì)版高等数学课件
特别, 当数据点分布近似一条(yī 线时,
使 y ax b 满足:
n
tiáo)直
问题(wèntí)为确 定 a, b
大学经典课件之高等数学——8-10最小二乘法
机动
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结束
特别, 当数据点分布近似一条直线时, 问题为确定 a, b 使 y = a x + b 满足:
M (a , b ) =∑ ( yk − a xk − b )2 = min
k =0 n
y
令
∂M = − 2∑ ( yk − a x k − b ) x k = 0 ∂a k =0 n ∂M = − 2∑ ( yk − a x k − b ) = 0 ∂b k =0
i 0 1 2 3 4 5 6 7 t i (h) 0 1 2 3 4 5 6 7 yi (mm) 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8
找出一个能使上述数据大体适合的经验公式. 解: 通过在坐标纸上描点可看出它们 y 大致在一条直线上, 故可设经验公式为
y = at + b
n 2 ( ∑ x k ) a + ( ∑ x k ) b = ∑ x k yk n n n k =0 n k =0 k =0 n
o
称为法方程组
x
得
( ∑ xk ) a + ( n + 1) b = ∑ yk
k =0 k =0
解此线性方程组 即得 a, b
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例1. 为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀 具的厚度, 得实验数据如下:
列表计算:
机动 目录
o
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t
i
ti
t i2
yi
yi t i
0 M 7 Σ
得法方程组
0 M 7 28
0 M 49 140
最小二乘法-PPT课件
请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程.
解 根据上表数据，可以计算出：x 4.5, y 25.5 其他数据如下表
-
19
i 1 2 3 4 5 6 7 8 合计
，
xi
yi
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
36
204
x2 i
xi yi
1
1
4
8
9
27
16
64
25
125
36
216
49
343
d bxi yi a b2 1
方法二:
xi,abix
yi a bxi 2 0 -
yabx
x
4
显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离， 而且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示二者 之间的接近程度.
-
5
思考2.怎样刻画多个点与直线的接近程度？ 提示：
例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2， y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），与直 线y=a+bx的接近程度：
使上式达到最小值的直线y=a+bx就是所要求的直线， 这种方法称为最小二乘法.
-
7
思考3：怎样使 [y1 (a bx1)]2 [yn (a bxn )]2 达到最小值？
先来讨论3个样本点的情况
…………………①
-
8
3 a 2 - 2 （ a y - b x ) ( y 1 - b x 1 ) 2 ( y 2 - b x 2 ) 2 ( y 3 - b x 3 ) 2
解 根据上表数据，可以计算出：x 4.5, y 25.5 其他数据如下表
-
19
i 1 2 3 4 5 6 7 8 合计
，
xi
yi
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
36
204
x2 i
xi yi
1
1
4
8
9
27
16
64
25
125
36
216
49
343
d bxi yi a b2 1
方法二:
xi,abix
yi a bxi 2 0 -
yabx
x
4
显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离， 而且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示二者 之间的接近程度.
-
5
思考2.怎样刻画多个点与直线的接近程度？ 提示：
例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2， y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），与直 线y=a+bx的接近程度：
使上式达到最小值的直线y=a+bx就是所要求的直线， 这种方法称为最小二乘法.
-
7
思考3：怎样使 [y1 (a bx1)]2 [yn (a bxn )]2 达到最小值？
先来讨论3个样本点的情况
…………………①
-
8
3 a 2 - 2 （ a y - b x ) ( y 1 - b x 1 ) 2 ( y 2 - b x 2 ) 2 ( y 3 - b x 3 ) 2
最小二乘参数辨识方法及原理PPT学习课件
Gauss（1777-1855）
m
使 w(k ) | z(k ) y最(k小) |2 k 1
1、问题的提出
1795年，高斯提出的最小二乘的基本原理是
未知量的最可能值是使各项实际观测值和计 算值之间差的平方乘以其精确度的数值以后的和 为最小。
z(k) y(k) v(k)
Gauss（1777-1855）
Z m H m Vm
2.2 一般最小二乘法原理及算法
最小二乘的思想就是寻找一个 的估计值ˆ ，使得各次测量 的 Z i (i 1, m) 与由估计ˆ 确定的量测估计 Zˆi Hiˆ 之差的平方
和最小，即
J (ˆ) (Zm Hmˆ)T (Zm Hmˆ) min
J
ˆ
2H
T m
(Z
m
H mˆ)
i1
2.2 一般最小二乘法原理及算法
u(k )
y(k )
G(k )
v(k ) z(k )
图 3.4 SISO 系统的“灰箱”结构
G(z)
y(z) u(z)
b1z 1 b2 z 2 1 a1z 1 a2 z 2
bn z n an z
n
n
n
y(k ) ai y(k i) biu(k i)
i 1
0 0
J a J b
a b bˆ
aˆ
N
2 (Ri a bti )
i 1 N
2 (Ri a bti )ti
i 1
0 0
Naˆ
N
bˆ
N i 1
ti
N
N i 1
Ri
N
aˆ
i 1
ti
bˆ
t
2 i
i 1
最小二乘法PPT课件
教学内容 最小二乘法
教学目的:1.通过实例使学生体会变量间的相关 性 2.根据散点图对线性相关关系进行直 线拟合，从而对整体进行估计 教学重点:1、相关关系的判断
2、画散点图
3、用最小二乘法求回归直线方程
教学器材：多媒体电脑
复习：
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相关关系的判断
2、线性相关：寻找一条直线。
y
O
X
求最小值－－－－最小二乘法
（1）列表
2 3 4
5
2.2 3.8 5.5
6.5
4 9
4.4
11.4 22
32.5
16
25
6
合计
20
7.0
25
36
90
42
112.3
（2）x = 10
, y = 12.38
自学： P65
探究： P67
例1
例2
作业：P79
复习题一
4、 7
步骤：1、列表求出 2、代入公式求 a 、b 3、写出线性回归方程
例1、假设关于某设备的使用年限x和所支出
的维修费用y（万元）有如下统计资料：
x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0
(1) 求回归直线方程；（2）估计使用10年 时，维修费用约是多少？ 解：根据散点图知 x 与 y 成线性相关关系
教学目的:1.通过实例使学生体会变量间的相关 性 2.根据散点图对线性相关关系进行直 线拟合，从而对整体进行估计 教学重点:1、相关关系的判断
2、画散点图
3、用最小二乘法求回归直线方程
教学器材：多媒体电脑
复习：
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相关关系的判断
2、线性相关：寻找一条直线。
y
O
X
求最小值－－－－最小二乘法
（1）列表
2 3 4
5
2.2 3.8 5.5
6.5
4 9
4.4
11.4 22
32.5
16
25
6
合计
20
7.0
25
36
90
42
112.3
（2）x = 10
, y = 12.38
自学： P65
探究： P67
例1
例2
作业：P79
复习题一
4、 7
步骤：1、列表求出 2、代入公式求 a 、b 3、写出线性回归方程
例1、假设关于某设备的使用年限x和所支出
的维修费用y（万元）有如下统计资料：
x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0
(1) 求回归直线方程；（2）估计使用10年 时，维修费用约是多少？ 解：根据散点图知 x 与 y 成线性相关关系
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i
i0
10
•最小二乘法的几种特例
1. 作为曲线拟合的一种常见情况,拟合函数常为代数多项式: ,
即拟合函数 :
( x) a0 a1 x a2 x2 ... an xn
则以同样原理,的相应法方程组(共有m组数据且m n)
m
xi
xi
x2 i
... ...
xn i
))2
min
i 0
它们都可用最小二乘法求解。
7
主页
•曲线拟合的最小二乘法
• 最小二乘原理
当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数 (x)
在数据点(
xi
,
y i
)
处的偏差,即
x ( )
i
i
y i
(i=1,2,…,m)
严格为零,但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋
势 ,需对偏差有所要求.通常要求偏差平方和
小二乘原理，即使误差的平方和达到最小，也就是令
•
Q=∑nδi2
•
i=1
为最小 ，即求使
•
y x ) •
• •
24
(a,b)=
i 1
24
2 ( ab
2
i
i
i
i 1
•
有最小值的a和b的值。
5
• 计算出它的正规方程得
24a 127.5b 113.1 127.5a 829.61b 731.60
2
数据表格
编号 拉伸倍数 强度
编号 拉伸倍数
强度
kg/mm2
kg/mm2
1
1.9
1.4
13
5.0
5.5
2
2.0
1.3
14
5.2
5.0
3
2.1
1.8
15
6.0
5.5
4
2.5
2.5
16
6.3
6.4
5
2.7
2.8
17
6.5
6.0
6
2.7
2.5
18
7.1
5.3
7
3.5
3.0
19
8.0
6.5
8
3.5
2.7
20
问题的提出
线性最小二线乘问题的存在与唯一
线性模型的正规方程
线性模型举例
线性模型引深及推广
线性最小二乘方法评注
正交多项式
1
实例讲解
• 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直 接关系，下表是实际测定的24个纤维样 品的强度与相应拉伸倍数的记录。
• 提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y,在座 标纸上标出各点，可以发现什么?
0
1
n
i
i
i 1
对函数求偏导数并令其为零, 可得 : 0
aj
m
n
2( ak
x y ( ) )
k
i
i
x ( ) 0
j
i
i 1
k0
a x x y x 得 : 2 m n i1 k 0
k
()
k
i
m
( )
j
i
i 1
i
(
j
i
a0
x n1
i
a1
y ixi来自y i ... ... ... ... ... ...
xn i
xn1 i
...
x2 i
n
an
xn i
y i
由此可得到相应的系数ai (i 0,1,..., n)
max f ( x) p( x) min (*)
a xb
但由于绝对值函数不宜进行分析运算,常将上式化为
b
a
(x)(
f
(x)
p( x))2 dx
min
来讨论 ，于是最佳逼近问题变为最佳平方逼近问题 ,而离散的最佳平方逼
进问题就是常说的曲线拟合
m
( i
f
( xi
)
p( xi
a 1
...
n
1 ...
a , n
n n
,f
0
,f
1
...
,
n
f
可知
a 当
( x),
0
( x),...
1
( x) 线性无关时存, 在唯一解
n
i (i 0,1,..,. n)
n
ai
( x)就是所求的拟合函数
例 电流通过 2Ω 电阻，用伏安法侧得的电压电流如
表
I(A) 1 2 4 6 8 10 V(V) 1.8 3.7 8.2 12.0 15.8 20.2 用最小二乘法处理数据。
)
0
m
x x 若引入记号: ,
j
k
i 1
() ()
j
i
k
i
m
x y , f
j
i 1
()
j
i
i
9
n
a 则有 :
, , f
k
j
k0
k j
可得矩阵
( j 0,1,...,n)
8.0
7.0
9
4.0
4.0
21
8.9
8.5
10
4.0
3.5
22
9.0
8.0
11
4.5
4.2
23
9.5
8.1
12
4.6
3.5
24
10.0
8.1
3
9 8 7 6 5
4 3 2 1 0
0
2
4
6
8
10
12
4
• 从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系， 可用一条直线来表示两者之间的关系。
• 解：设 y*=a+bxi ，令δ=yi-y*i=yi-a-bxi，根据最
即可求得拟合函数 (x)
11
2. 特别的当n 1时, 这就是用途最广的线性拟合.
对于拟合函数 y a0 b0 x
即 m
xi
x a 2i
0
x b i 0
y
i
xi
y i
解得a0 , b0即可
12
例题
下面举个例子以说明用最小二乘法解题的步骤。
,
0 0
,
1
0
...
,
n
0
,
0
1
,
1
1
...
,
n
1
... ... ... ...
,
a 0 n 0
,
• 解得： a=0.15 , b=0.859 直线方程为：y*=0.15+0.859x
6
一 问题的提出
插值法是使用插值多项式来逼近未知或复杂函数的，它 要求插值函 数与被插函数在插值节点上函数值相同 ，而在其他点上没有要求。在非 插值节点上有时函数值会相差很大 。若要求在被插函数的定义区间上， 所选近似函数都能与被插函数有较好的近似，就是最佳逼近问题。 最佳逼近是在函数空间 M中选 P(x) 满足
m
|
2 i
|
m
(
(
x
i
)
yi)2
i1
i1
最小,此即称为最小二乘原理
8
•最小二乘法的求法
设近似方程为: (共有m组数据且m n)
a a a y*
(x)
( x) ...
( x)
0
0
11
n
n
a a a y y (
,
m
*
,..., ) (
)2 min
i0
10
•最小二乘法的几种特例
1. 作为曲线拟合的一种常见情况,拟合函数常为代数多项式: ,
即拟合函数 :
( x) a0 a1 x a2 x2 ... an xn
则以同样原理,的相应法方程组(共有m组数据且m n)
m
xi
xi
x2 i
... ...
xn i
))2
min
i 0
它们都可用最小二乘法求解。
7
主页
•曲线拟合的最小二乘法
• 最小二乘原理
当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数 (x)
在数据点(
xi
,
y i
)
处的偏差,即
x ( )
i
i
y i
(i=1,2,…,m)
严格为零,但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋
势 ,需对偏差有所要求.通常要求偏差平方和
小二乘原理，即使误差的平方和达到最小，也就是令
•
Q=∑nδi2
•
i=1
为最小 ，即求使
•
y x ) •
• •
24
(a,b)=
i 1
24
2 ( ab
2
i
i
i
i 1
•
有最小值的a和b的值。
5
• 计算出它的正规方程得
24a 127.5b 113.1 127.5a 829.61b 731.60
2
数据表格
编号 拉伸倍数 强度
编号 拉伸倍数
强度
kg/mm2
kg/mm2
1
1.9
1.4
13
5.0
5.5
2
2.0
1.3
14
5.2
5.0
3
2.1
1.8
15
6.0
5.5
4
2.5
2.5
16
6.3
6.4
5
2.7
2.8
17
6.5
6.0
6
2.7
2.5
18
7.1
5.3
7
3.5
3.0
19
8.0
6.5
8
3.5
2.7
20
问题的提出
线性最小二线乘问题的存在与唯一
线性模型的正规方程
线性模型举例
线性模型引深及推广
线性最小二乘方法评注
正交多项式
1
实例讲解
• 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直 接关系，下表是实际测定的24个纤维样 品的强度与相应拉伸倍数的记录。
• 提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y,在座 标纸上标出各点，可以发现什么?
0
1
n
i
i
i 1
对函数求偏导数并令其为零, 可得 : 0
aj
m
n
2( ak
x y ( ) )
k
i
i
x ( ) 0
j
i
i 1
k0
a x x y x 得 : 2 m n i1 k 0
k
()
k
i
m
( )
j
i
i 1
i
(
j
i
a0
x n1
i
a1
y ixi来自y i ... ... ... ... ... ...
xn i
xn1 i
...
x2 i
n
an
xn i
y i
由此可得到相应的系数ai (i 0,1,..., n)
max f ( x) p( x) min (*)
a xb
但由于绝对值函数不宜进行分析运算,常将上式化为
b
a
(x)(
f
(x)
p( x))2 dx
min
来讨论 ，于是最佳逼近问题变为最佳平方逼近问题 ,而离散的最佳平方逼
进问题就是常说的曲线拟合
m
( i
f
( xi
)
p( xi
a 1
...
n
1 ...
a , n
n n
,f
0
,f
1
...
,
n
f
可知
a 当
( x),
0
( x),...
1
( x) 线性无关时存, 在唯一解
n
i (i 0,1,..,. n)
n
ai
( x)就是所求的拟合函数
例 电流通过 2Ω 电阻，用伏安法侧得的电压电流如
表
I(A) 1 2 4 6 8 10 V(V) 1.8 3.7 8.2 12.0 15.8 20.2 用最小二乘法处理数据。
)
0
m
x x 若引入记号: ,
j
k
i 1
() ()
j
i
k
i
m
x y , f
j
i 1
()
j
i
i
9
n
a 则有 :
, , f
k
j
k0
k j
可得矩阵
( j 0,1,...,n)
8.0
7.0
9
4.0
4.0
21
8.9
8.5
10
4.0
3.5
22
9.0
8.0
11
4.5
4.2
23
9.5
8.1
12
4.6
3.5
24
10.0
8.1
3
9 8 7 6 5
4 3 2 1 0
0
2
4
6
8
10
12
4
• 从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系， 可用一条直线来表示两者之间的关系。
• 解：设 y*=a+bxi ，令δ=yi-y*i=yi-a-bxi，根据最
即可求得拟合函数 (x)
11
2. 特别的当n 1时, 这就是用途最广的线性拟合.
对于拟合函数 y a0 b0 x
即 m
xi
x a 2i
0
x b i 0
y
i
xi
y i
解得a0 , b0即可
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例题
下面举个例子以说明用最小二乘法解题的步骤。
,
0 0
,
1
0
...
,
n
0
,
0
1
,
1
1
...
,
n
1
... ... ... ...
,
a 0 n 0
,
• 解得： a=0.15 , b=0.859 直线方程为：y*=0.15+0.859x
6
一 问题的提出
插值法是使用插值多项式来逼近未知或复杂函数的，它 要求插值函 数与被插函数在插值节点上函数值相同 ，而在其他点上没有要求。在非 插值节点上有时函数值会相差很大 。若要求在被插函数的定义区间上， 所选近似函数都能与被插函数有较好的近似，就是最佳逼近问题。 最佳逼近是在函数空间 M中选 P(x) 满足
m
|
2 i
|
m
(
(
x
i
)
yi)2
i1
i1
最小,此即称为最小二乘原理
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•最小二乘法的求法
设近似方程为: (共有m组数据且m n)
a a a y*
(x)
( x) ...
( x)
0
0
11
n
n
a a a y y (
,
m
*
,..., ) (
)2 min