2019届高考大一轮复习备考资料之数学人教B版全国用课件：第二章+函数概念与基本初等函数Ⅰ2.4
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
解析
答案
题型分类
深度剖析
题型一
幂函数的图象和性质
自主演练
1.幂函数y＝f(x)经过点(3， 3 )，则f(x)是 A.偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B.偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C.奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D.非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 √
解析 设幂函数的解析式为 y＝xα，将(3， 3)代入解析式得 3α＝ 3，解得
在x∈ － b ，＋∞上单调递减 2a
对称性
b 函数的图象关于x＝ －2a 对称
【知识拓展】 1.幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，
至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性.
(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点
1 2 3 4 5 6
1 x2
题组二 教材改编
2.已知幂函数 f(x)＝k· x 1 A.2
解析
α 1 的图象过点 ， 2
2 ，则 k＋α 等于 2
B.1
√
3 C.2
D.2
1 ∴k＝1，α＝2. 3 ∴k＋α＝2.
k＝1， 1 由幂函数的定义，知 2 α ＝k· . 2 2
接近x轴，由题图知a＞b＞c＞d，故选B.
解析
答案
3.若(2m 1) (m2＋m－ 1) ，则实数m的取值范围是
－ 5 －1 A.－∞， 2 5－1 B. ，＋ ∞ 2
1 2
1 2
4ac－b2 ，＋ ∞ 4a _______________________
4ac－b2 －∞， 4a ____________________
单调性
b － ∞ ，－ b 上单调递减； 在x∈ 2 a 在x∈ 上单调递增； － ∞ ，－ 2a b － ，＋ ∞ 2 a 上单调递增 在x∈
一定是原点.
(3)当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；
当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.
a>0， a<0， 2.若 f(x)＝ax ＋bx＋c(a≠0)，则当 时恒有 f(x)>0，当 时， Δ<0 Δ<0
2
恒有 f(x)<0.
基础自测 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝2 是幂函数.( × ) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.( √ ) (3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数.( × ) 2 4 ac － b (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是 .( × ) 4a (5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数.( × ) (6) 在 y＝ ax2 ＋ bx＋ c(a≠0) 中， a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐 标系中的开口大小.( √ )
1 2 ，故选
1 α＝2，∴y＝ x
D.
解析
答案
2.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图
所示，则a，b，c，d的大小关系是
A.d＞c＞b＞a
B.a＞b＞c＞d √
C.d＞c＞a＞b
D.a＞b＞d＞c
解析
由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越
1
2
3
4
5
6
解析
答案
3.已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是 A.a≥3 C.a＜－3 B.a≤3 D.a≤－3 √
解析
－2a，
函数f(x) ＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是 x＝
由函数在区间 ( － ∞ ， 6) 内单调递减可知，区间 ( － ∞ ， 6) 应在直线 x ＝
( a－5)2 －2
(a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6， 又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
1 2 3 4 5 6
解析
答案
5.已知函数 y＝ ax2 ＋ bx＋ c，如果 a>b>c且 a ＋b ＋ c＝ 0，则它的图象可
－2a的左侧，
∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.
1 2 3 4 5 6
几何画板展示
解析
答案
题组三 易错自纠
4.幂函数f(x)＝x
a 2－10 a＋23
(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减
函数，则a等于
A.3 B.4 C.5 √ D.6
解析 因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2， f(x)＝x
能是
√
解析 由a＋b＋c＝0和a>b>c知，a>0，c<0，
由c<0，排除A，B，又a>0，排除C.
1
2
3
4
5
6
解析
答案
6.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的 [1,2] 取值范围为_____. 解析 如图，由图象可知m的取值范围是[1,2].
1
2
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几何画板展示
函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ x
1 2
y＝x－1 {x|x∈R，且 x≠0} {y|y∈R，且 y≠0} 奇
定义域 值域
奇偶性
R
R [0，＋∞)
偶
R
[0，＋∞) [0，＋∞)
非奇非偶
R
奇
R
奇
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) .
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.4 幂函数与二次函数
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时作业
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义
α y ＝ x 一般地，形如 (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
几何画板展示
(3)常见的5种幂函数的性质
2019高三数学(人教B文)一轮课件：第二章 函数 2.1
第二章
知识梳理 双基自测 自测点评
2.1
函数及其表示
知识梳理 核心考点 学科素养
知识体系
-6-
1
2
3
2.映射与函数 (1)映射的概念:设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f, 有一个且仅有一个 对A中的任意一个元素x,在B中 元素y与 x对应,则称f是集合A到集合B的映射.这时,称y是x在映射f作用下的 象,记作f(x),x称作y的 原象 . (2)映射与函数的关系:由映射的定义可以看出,映射是函数概念 的推广,函数是一种特殊的映射,构成函数的两个集合A,B必须 非空数集 是 .
关闭
1-������ 2 ≥ 0, 由 解得-1≤x≤1,且 x≠0,故选 D. ������ ≠ 0,
关闭
D
解析 答案
第二章
知识梳理 双基自测 自测点评
2.1
函数及其表示
知识梳理 核心考点 学科素养
知识体系
-10-
1
2
3
4
3.设f,g都是从A到A的映射(其中A={1,2,3}),其对应关系如下表:
第二章 函数
第二章
2.1
函数及其表示
知识梳理 核心考点 学科素养
知识体系
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2.1
函数及其表示
第二章
知识梳理 双基自测 自测点评
2.1
函数及其表示
知识梳理 核心考点 学科素养
知识体系
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1.函数的基本概念 (1)函数的定义:设集合A是一个 非空 的数集,对A中的任意数x, 按照确定的法则f,都有 唯一 确定的数y与它对应,则这种对应关 系叫做集合A上的一个函数.记作y=f(x),x∈A,其中 x 叫做自变 量. (2)函数的定义域:函数y=f(x) 自变量 取值的范围(数集A)叫做 这个函数的定义域. 函数值 构成的集合{y|y=f(x),x∈A} 叫 (3)函数的值域:所有 做这个函数的值域. (4)函数的两个要素: 定义域 和 对应法则 .
2019版高考数学一轮复习第二章函数第一节函
数a的取值范围是 ( D ) A.(0,e) C.(0,e] B.(e,+∞) D.[e,+∞)
答案 D 当x≤0时, f(x)=xex,则f '(x)=ex(x+1),
当x<-1时, f '(x)<0,当-1<x≤0时, f '(x)>0, ∵x=-1是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,
A.y= C.y=log2x
2 x
B.y=x2 D.y=2x
2 x
答案 A A项,函数y= 的定义域与值域相同,B,C,D项中的函数定义 域与值域均不相同.故选A.
3.(2016北京临川学校期末)函数y= A.(-∞,2) B.(2,+∞)
1 的定义域是 ( log 2 ( x 2)
C )
∴f(x)min=- ,若函数f(x)的值域为 , ,
1 e
1 e
则当x>0时, f(x)min≥- . 当a=0时,显然不符合题意,
1 e
当a≠0时,要满足f(x)min≥- ,
a 0, 只需 4 1 解得a≥e,故选D. , e 4a
定义域 相同,且
全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.
(4)函数的表示法 表示函数的常用方法: 解析法 、 图象法 、 列表法 .
3.分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 对应关系 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分 组成,但它表示的是.
1 2
7 4
C.
4 3
D.-
4 3
答案 B 令t= x-1,则x=2t+2, ∴f(t)=2(2t+2)-5=4t-1,
2019版高考文科数学大一轮复习人教B版讲义：第二章2-1
§2.1函数及其表示1．函数的基本概念(1)函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域函数y＝f(x)，x∈A中，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．(3)确定一个函数的两个要素：定义域和对应法则．2．设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．映射f也可记为：f：A→B，x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f (A )． 3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．函数的表示法(1)函数的常用表示方法：列表法、图象法、解析法．(2)分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数． 知识拓展简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( √ )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) 题组二 教材改编 2．函数f (x )＝4－xx －1的定义域是________． 答案 (－∞，1)∪(1,4]3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠4．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为______． 答案 2解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4， 即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2.5．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝________.答案 12解析 因为－2＜0，所以f (－2)＝2－2＝14＞0，所以f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12. 6．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 答案 －2解析 由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2.题型一 函数的概念1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数的定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B. 2．有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；③若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应法则均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故②正确； 对于③，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1，故③不正确． 综上可知，正确的判断是②.思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同．题型二 函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域 典例 (1)函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[1,2]答案 B解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －x 2>0，解得1<x <2. ∴函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为(1,2)． (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[－1,2 017]B ．[－1,1)∪(1,2 017]C ．[0,2 018]D ．[－1,1)∪(1,2 018]答案 B解析 使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 017]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017，x －1≠0， 解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]． 引申探究本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 018]”，改为“函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]，”则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________．答案 [－2,1)∪(1,2 016]解析 由函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]． 得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 017]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 017，x ≠1， 则－2≤x ≤2 016且x ≠1.所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]． 命题点2 已知函数的定义域求参数范围 典例 (1)(2018·衡水联考)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，34 B.⎝⎛⎭⎫0，34 C.⎣⎡⎦⎤0，34 D.⎣⎡⎭⎫0，34 (2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 (1)D (2)－92解析 (1)要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立， ①当m ＝0时，显然满足条件；②当m ≠0时，由Δ＝(4m )2－4m ×3＜0， 得0＜m ＜34，由①②得0≤m ＜34.(2)函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． 跟踪训练 (1)(2017·江西九江七校联考)函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－1,0)∪(0,3]答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ≤3且x ≠0，∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．(2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 答案 [－1,2]解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．(3)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,4]解析 当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，得0<m ≤4， 综上，m 的取值范围是[0,4]． 题型三 求函数解析式1．若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 答案 B解析 f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1， 即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. 答案23x ＋13(x ＞0) 解析 在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中， 将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1， 由⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．题型四 分段函数命题点1 求分段函数的函数值典例 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.命题点2 分段函数与方程、不等式问题典例 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 答案 －34解析 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ， 解得a ＝－32，不合题意．当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得 －(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ， 解得a ＝－34，符合题意．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是________________．答案 {x |－4≤x ≤2}解析 当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1，解之得－4≤x ≤0.当x ＞0时，由题意得－(x －1)2≥－1， 解之得0＜x ≤2，综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}． 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x＝2－12.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D ．[1, ＋∞)(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．解析 (1)令f (a )＝t ，则f (t )＝2t ， 当t <1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，得g ′(t )>0， ∴g (t )<g (1)＝0，∴3t －1＝2t 无解． 当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1可知， 当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1；当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.(2)当x ＞12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋2x －12＞2x ＞2＞1； 当0＜x ≤12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1＝2x ＋x ＋12＞2x ＞1； 当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1 ＝2x ＋32，∴由f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1，得2x ＋32＞1， 即x ＞－14，即－14＜x ≤0.综上，x ∈⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－14，＋∞1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )答案 C解析 A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确．2．(2018·郑州调研)函数f (x )＝ln x x －1＋12x 的定义域为( ) A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞) 答案 B解析 要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1＞0，x ≥0，解得x ＞1，故函数f (x )＝ln x x －1＋12x 的定义域为(1，＋∞)．3．(2016·全国Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x 答案 D解析 函数y ＝10lg x 的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y ＝1x ，故选D. 4．(2017·湖南衡阳八中一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19等于( ) A ．－2B ．－3C ．9D ．－9 答案 C解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9. 5．已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )等于( )A ．(x ＋1)2(x ≠1)B ．(x －1)2(x ≠1)C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1)答案 C解析 f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1， 即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．6.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图象，只有选项A 符合条件，故选A.7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋t )，x <0，3(t －1)x ，x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫12＝6，则f (f (－2))的值为( ) A ．27B ．243 C.127D.1243答案 B 解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫12＝3×(t －1)12＝6，∴t ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋5)，x <0，3×4x ，x ≥0， ∴f (－2)＝log 2[(－2)2＋5]＝log 29>0，f (f (－2))＝f (log 29)＝3×2log 94＝3×22log 92＝3×22log 92＝3×81＝243.故选B.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B.⎝⎛⎭⎫－1，12C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 C解析 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12. 即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 9．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.答案 x 2－1(x ≥1)解析 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．10．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是__________．答案 (2,8]解析 要使函数有意义，需f (x )>0，由f (x )的图象可知，当x ∈(2,8]时，f (x )>0.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是____________．答案 (－1，2－1)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0， 解得－1<x <0或0≤x <2－1，∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)．12．(2018届全国名校第一次联考)定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________． 答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈2，4]， 当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]；当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤3，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．[－3，3]D ．(－∞，3] 答案 D解析 令f (a )＝t ，则f (t )≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ t <0，t 2＋2t ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0，－t 2≤3， 解得t ≥－3，则f (a )≥－3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋2a ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－3， 解得a ≤3，则实数a 的取值范围是(－∞，3]，故选D.14．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎫78＝________.答案 7解析 由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2， 得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2， F ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2， 又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1， ∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7.15．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )＋y (y －2x ＋1)，且f (－1)＝3，则函数f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝x 2－x ＋1解析 令x ＝0，y ＝－x ，得f (x )＝f (0)＋x 2－x .把x ＝－1代入上式，得f (0)＝f (－1)－2＝1，从而有f (x )＝x 2－x ＋1.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，此时f (x )min ＝22－3<0； 当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.。
2019届高考大一轮复习备考资料之数学人教B版全国用讲义：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2-1 含答案 精品
§2.1函数及其表示1．函数的基本概念(1)函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域函数y＝f(x)，x∈A中，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．(3)确定一个函数的两个要素：定义域和对应法则．2．设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．映射f也可记为：f：A→B，x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f (A )． 3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．函数的表示法(1)函数的常用表示方法：列表法、图象法、解析法．(2)分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数． 知识拓展简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( √ )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) 题组二 教材改编2．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________． 答案 [－3,6)3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠4．(2017·湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥0，－x 2＋3，x <0，若f (a )＝2，则a的值为( ) A ．2 B ．－1或2 C ．±1或2 D ．1或2答案 B解析 当a ≥0时，2a －2＝2，解得a ＝2； 当a <0时，－a 2＋3＝2，解得a ＝－1. 综上，a 的值为－1或2.故选B.5．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为______． 答案 2解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4， 即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2.6．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 答案 －2解析 由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2.题型一 函数的概念1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数的定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B. 2．有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；③若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应法则均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故②正确； 对于③，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1，故③不正确． 综上可知，正确的判断是②.思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同．题型二 函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域典例 (1)函数f (x )＝1x ln x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)B ．(－4,0)∪(0,1)C ．[－4,0)∪(0,1)D ．[－4,0)∪(0,1]答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2＞0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x ＜0或0＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)，故选C.(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[－1,2 017]B ．[－1,1)∪(1,2 017]C ．[0,2 018]D ．[－1,1)∪(1,2 018]答案 B解析 使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 017]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017，x －1≠0， 解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]． 引申探究本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 018]”，改为“函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]，”则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________．答案 [－2,1)∪(1,2 016]解析 由函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]． 得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 017]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 017，x ≠1， 则－2≤x ≤2 016且x ≠1.所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]． 命题点2 已知函数的定义域求参数范围 典例 (1)(2018·衡水联考)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，34 B.⎝⎛⎭⎫0，34 C.⎣⎡⎦⎤0，34 D.⎣⎡⎭⎫0，34 (2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 (1)D (2)－92解析 (1)要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立， ①当m ＝0时，显然满足条件；②当m ≠0时，由Δ＝(4m )2－4m ×3＜0，得0＜m ＜34，由①②得0≤m ＜34.(2)函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． 跟踪训练 (1)(2017·江西九江七校联考)函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－1,0)∪(0,3]答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ≤3且x ≠0，∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．(2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 答案 [－1,2]解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]． (3)若函数y ＝ax ＋1ax 2－4ax ＋2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12C.⎣⎡⎦⎤0，12D.⎣⎡⎭⎫0，12 答案 D解析 由ax 2－4ax ＋2>0恒成立，得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(－4a )2－4×a ×2<0， 解得0≤a <12.题型三 求函数解析式1．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋x －2，则f (x )＝________. 答案 x 2－2(x ≥2或x ≤－2) 解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 又| x ＋1x| ≥2，∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1， 即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. 答案23x ＋13(x ＞0) 解析 在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，由⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．题型四 分段函数命题点1 求分段函数的函数值典例 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤1，f (x －1)＋1，x >1，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值为( ) A.12 B ．－12 C ．－1 D ．1 答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫－43＋1 ＝cos π3＋cos ⎝⎛⎭⎫－4π3＋1＝1. 命题点2 分段函数与方程、不等式问题典例 (1)(2018届东莞外国语学校月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )等于( ) A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14答案 A解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1且f (a )＝－3，若a ≤1，则2a －1－2＝－3，即有2a －1＝－1<0，方程无解；若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＝7， 则f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.(2)(2017·广东汕头、河北石家庄二中联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝x 2－2x －5，若f (g (a ))≤2，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]∪[0,22－1] B ．[－1,22－1] C ．(－∞，－1]∪(0,3] D ．[－1,3] 答案 A解析 ∵g (x )是定义在R 上的奇函数，∴g (0)＝0，若x >0，则－x <0，g (－x )＝x 2＋2x －5， ∵g (－x )＝－g (x )，∴g (x )＝－x 2－2x ＋5，x >0， 由题意，知f (－2)＝2，∴f (g (a ))≤2即为f (g (a ))≤f (－2)．又f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，∴g (a )≥－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2－2a －5≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a 2－2a ＋5≥－2或a ＝0， ∴a ≤－1或0≤a ≤22－1.故选A.思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x＝2－12.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D ．[1, ＋∞)(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．解析 (1)令f (a )＝t ，则f (t )＝2t ， 当t <1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，得g ′(t )>0， ∴g (t )<g (1)＝0，∴3t －1＝2t 无解． 当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1可知， 当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1；当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.(2)当x ＞12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋2x －12＞2x ＞2＞1； 当0＜x ≤12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1 ＝2x ＋x ＋12＞2x ＞1；当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1 ＝2x ＋32，∴由f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1，得2x ＋32＞1，即x ＞－14，即－14＜x ≤0.综上，x ∈⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－14，＋∞1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )答案 C解析 A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确．2．(2018·郑州调研)函数f (x )＝ln x x －1＋x 12的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1) D ．(0,1)∪(1，＋∞)答案 B解析 要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1＞0，x ≥0，解得x ＞1，故函数f (x )＝ln x x －1＋x 12的定义域为(1，＋∞)．3．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝x B ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin 2x2cos x ，g (x )＝sin xD ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 答案 D解析 A ，B ，C 的定义域不同，所以答案为D.4．(2017·湖南衡阳八中一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0， 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19等于( ) A ．－2 B ．－3 C ．9 D ．－9 答案 C解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9. 5．已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )等于( ) A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1) D ．x 2＋x ＋1(x ≠1)答案 C解析 f ⎝⎛⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．6. 如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图象，只有选项A 符合条件，故选A.7．(2017·山东)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a 等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 C解析 由当x ≥1时f (x )＝2(x －1)是增函数可知，若a ≥1，则f (a )≠f (a ＋1)，所以0＜a ＜1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，解得a ＝14，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6. 8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎫－1，12 D.⎝⎛⎫0，12 答案 C解析 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 9．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－1(x ≥1)解析 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．10．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x)的定义域是__________．答案 (2,8]解析 要使函数有意义，需f (x )>0，由f (x )的图象可知，当x ∈(2,8]时，f (x )>0.11．设函数f (x )＝113e ,1,,1,x x x x -⎧<⎪⎨⎪≥⎩则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________________．答案 (－∞，8]解析 当x <1时，由e x －1≤2，得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由13x ≤2，得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8. 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．[－3，3]D ．(－∞，3]答案 D解析 令f (a )＝t ，则f (t )≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ t <0，t 2＋2t ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0，－t 2≤3，解得t ≥－3，则f (a )≥－3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋2a ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－3，解得a ≤3，则实数a 的取值范围是(－∞，3]，故选D.14．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________. 答案 7解析 由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2， 又f ⎝⎛⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎫48＋f ⎝⎛⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7.15．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )＋y (y －2x ＋1)，且f (－1)＝3，则函数f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－x ＋1解析 令x ＝0，y ＝－x ，得f (x )＝f (0)＋x 2－x .把x ＝－1代入上式，得f (0)＝f (－1)－2＝1，从而有f (x )＝x 2－x ＋1.16．(2018届全国名校第一次联考)定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________． 答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]； 当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．。
2019版高考数学一轮复习第二章函数第一节函数及其表示课件理
|x| x
f(x)定义域内的值,则直线x=1与y=f(x)的图象没有交点,若x=1是y=f(x)定 义域内的值,由函数的定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有一个交点, 即y=f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点;对于③, f(x)与g(t)的定义
的元素y与之对
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的⑦ 定义 域 ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函 数的⑧ 值域 . (2)函数的三要素:⑨ 定义域 、⑩ 值域 和 (3)相等函数:如果两个函数的 对应关系 . 对应关系 完
1 x 2 的值最大,为1,当x=1或-1时,y= 1 x 2 的值最小, D选项,当x=0时,y=
1 x 1
为0,所以值域为[0,1].故选D.
2 x 2 ,0 x 1, x 2, 则f(3)= 3 5.若函数f(x)= 2,1 3, x 2,
A.[0,+∞)
B.[1,+∞)
C.(-∞,0]
D.(-∞,1]
答案 A 由2x-1≥0得2x≥1,所以x≥0.
3.与函数y=x有相同图象的一个函数是 (D )
A.y= x
x2 C.y= x
a log x (a>0且a≠1) B.y=
a
D.y=logaax(a>0且a≠1)
答案 D 因为函数y=x的定义域是R,而函数y= x 中的x的取值范围是x
=x0中x不能取0;C中两函数的对应关系不同,故选D.
2019届高考大一轮复习备考资料之数学人教B版全国用讲
§2.3函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个x 值时，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．知识拓展1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ )(3)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( √ ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ ) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( √ ) 题组二 教材改编2．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________. 答案 －2解析 f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2.3．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝______. 答案 1解析 f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 4．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜0的解集为______________．答案 (－2,0)∪(2,5]解析 由图象可知，当0＜x ＜2时，f (x )＞0；当2＜x ≤5时，f (x )＜0，又f (x )是奇函数，∴当－2＜x ＜0时，f (x )＜0，当－5≤x <－2时，f (x )>0. 综上，f (x )＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]． 题组三 易错自纠5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C ．－12 D.12答案 B解析 依题意得f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，又a －1＝－2a ， ∴a ＝13，∴a ＋b ＝13，故选B.6．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 答案 3解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)． 又f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (1)＝f (3)．∴f (－1)＝3.题型一 判断函数的奇偶性典例 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， ∴f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. ∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg (1－x 2)－x .又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝lg (1－x 2)x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x 2＋sin x答案 D解析 对于A ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x ) ＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数； 对于C ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数；对于D ，y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数， 故选D.(2)函数f (x )＝log a (2＋x )，g (x )＝log a (2－x )(a >0且a ≠1)，则函数F (x )＝f (x )＋g (x )，G (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性是( ) A ．F (x )是奇函数，G (x )是奇函数 B ．F (x )是偶函数，G (x )是奇函数 C ．F (x )是偶函数，G (x )是偶函数 D ．F (x )是奇函数，G (x )是偶函数 答案 B解析 F (x )，G (x )定义域均为(－2,2)，由已知F (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝log a (2－x )＋log a (2＋x )＝F (x )， G (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x )＝－G (x )， ∴F (x )是偶函数，G (x )是奇函数．题型二 函数的周期性及其应用1．(2017·西安一模)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2 答案 A解析 ∵f (x ＋1)为偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则f (－x )＝f (x ＋2)，又y ＝f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )＝f (x ＋2)，且f (0)＝0. 从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，y ＝f (x )的周期为4. ∴f (4)＋f (5)＝f (0)＋f (1)＝0＋2＝2.2．(2017·山东)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.答案 6解析 ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________. 答案 339解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴周期T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1， f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＋f (2 016) ＝1×2 0166＝336.又f (2 017)＝f (1)＝1，f (2 018)＝f (2)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝339.思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．题型三 函数性质的综合应用命题点1 求函数值或函数解析式典例 (1)(2017·全国Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________. 答案 12解析 方法一 令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12.方法二 f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. (2)(2016·全国Ⅲ改编)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则f (x )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x ＞0 解析 ∵当x ＞0时，－x ＜0， ∴f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x ＞0. 命题点2 求参数问题典例 (1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________. 答案 1解析 ∵f (－x )＝f (x )，∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)， ∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0. ∴ln a ＝0，∴a ＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 命题点3 利用函数的性质解不等式典例 (1)(2017·安阳模拟)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x ＜0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)答案 D解析 ∵g (x )是奇函数，∴x ＞0时，g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )， 易知f (x )在R 上是增函数， 由f (2－x 2)＞f (x )，可得2－x 2＞x ， 即x 2＋x －2＜0，∴－2＜x ＜1.(2)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,4) B ．(－2,0) C ．(－1,0) D ．(－1,2)答案 A解析 ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0， 解得－1<a <4，故选A.思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.跟踪训练 (1)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23答案 A解析 因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称， 又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13， 所以|2x －1|<13，所以13<x <23.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 D解析 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． 因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数， 所以f (－1)<f (0)<f (1)． 所以f (－25)<f (80)<f (11)．函数的性质考点分析 函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 一、函数性质的判断典例1 (1)(2017·北京)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在R 上是增函数 B ．是奇函数，且在R 上是增函数 C ．是偶函数，且在R 上是减函数 D ．是奇函数，且在R 上是减函数 (2)(2017·荆州模拟)下列函数： ①y ＝sin 3x ＋3sin x ； ②y ＝1e x ＋1－12；③y ＝lg1－x1＋x； ④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x －1，x >0，其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(3)定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )．现有以下三个命题： ①8是函数f (x )的一个周期；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )是偶函数． 其中正确命题的序号是________． 解析 (1)∵函数f (x )的定义域为R ， f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x＝－f (x )， ∴函数f (x )是奇函数．∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数， ∴函数y ＝－⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数． 又∵y ＝3x 在R 上是增函数，∴函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数．故选B.(2)易知①中函数在(0,1)上为增函数；④中函数不是奇函数；满足条件的函数为②③. (3)由f (x )＋f (x ＋2)＝0可得 f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是4，①对；由f (4－x )＝f (x )，可得f (2＋x )＝f (2－x )，f (x )的图象关于直线x ＝2对称，②对；f (4－x )＝f (－x )且f (4－x )＝f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数，③对． 答案 (1)B (2)B (3)①②③ 二、函数性质的综合应用典例2 (1)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋3)＝－1f (x )，当1＜x ≤3时，f (x )＝cos πx 3，则f (2 017)＝________.(2)函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋2 018－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． (3)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析 (1)由已知可得f (x ＋6)＝f ((x ＋3)＋3)＝－1f (x ＋3)＝－1－1f (x )＝f (x )，故函数f (x )的周期为6.∴f (2 017)＝f (6×336＋1)＝f (1)． ∵f (x )为偶函数，∴f (1)＝f (－1)， 而f (－1＋3)＝－1f (－1)，∴f (1)＝f (－1)＝－1f (2)＝－1cos2π3＝2. ∴f (2 017)＝2.(2)由已知函数y ＝x ＋2 018－ax 在[1，＋∞)上是增函数，且y ＞0恒成立．∵y ′＝1＋ax 2，令y ′≥0得a ≥－x 2(x ≥1)，∴a ≥－1.又由当x ＝1时，y ＝1＋2 018－a ＞0，得a ＜2 019. ∴a 的取值范围是[－1,2 019) . (3)∵f (2|a －1|)＞f (－2)＝f (2)，又由已知可得f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴2|a －1|＜2＝122，∴|a －1|＜12，∴12＜a ＜32. 答案 (1)2 (2)[－1,2 019) (3)⎝⎛⎭⎫12，321．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos x D ．y ＝e x －e －x答案 D解析 函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，所以该函数不具有奇偶性，排除选项A ，函数y ＝|sin x |，y ＝cos x 的图象关于y 轴对称，所以均为偶函数，排除选项B ，C ， 故选D.2．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案 A解析 易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－1＋21－x ，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数，故选A.3．(2017·江西南城一中模拟)已知R 上的奇函数f (x )满足：当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x －1，则f (f (－1))等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2 答案 A解析 ∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f ()f (－1)＝f (－1)＝－1.4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 021)等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．log 27 答案 C解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，∴f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝－f (－1)．∵－1∈⎝⎛⎭⎫－32，0，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，0时， f (x )＝log 2(－3x ＋1)，∴f (－1)＝log 2[－3×(－1)＋1]＝2， ∴f (2 021)＝－f (－1)＝－2.5．对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝x 2 C ．f (x )＝tan x D ．f (x )＝cos(x ＋1)答案 D解析 由f (x )＝f (2a －x )，∴y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称(a ≠0)，题中四个函数中，存在对称轴的有B ，D ，而B 中f (x )＝x 2的对称轴为x ＝0，不满足题意，故选D.6．已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是( ) A ．f (0)＜f (－6.5)＜f (－1) B ．f (－6.5)＜f (0)＜f (－1) C ．f (－1)＜f (－6.5)＜f (0) D ．f (－1)＜f (0)＜f (－6.5) 答案 A解析 由f (x ＋1)＝－f (x )， 得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期是2. ∵函数f (x )为偶函数，∴f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，∴f (0)＜f (0.5)＜f (1)，即f (0)＜f (－6.5)＜f (－1)． 7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 答案 －32解析 函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax，即1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax＋3x(e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.8．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________. 答案 －2解析 ∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2， ∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝124-＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 9．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案2解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0) ＝122－1＋21－1＋20－1 ＝ 2.10．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤1e ，e解析 由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ，由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)， 得f (ln t )≤f (1)．又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增函数， 所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e ≤t ≤e.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )． 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判断f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式． 解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )． 又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )． 又f (x )的定义域为R ， ∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]， 则f (x )＝f (－x )＝x ；从而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0， f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈(0，1)，－x ＋2，x ∈[1，2].13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，对任意x ∈R 恒成立，则f (2 019)＝________. 答案 1解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )， 所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )， 即函数f (x )的周期是4，所以f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)． 因为函数f (x )为偶函数， 所以f (2 019)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2 019)＝f (1)＝1.14．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________． 答案 ①②解析 在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ， 则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确； 当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知，f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1且f (x )是周期为2的周期函数，∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误．15．(2017·东北四市联考)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________． 答案 7解析 因为当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0， 则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点有7个．16．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2等价于f (|x －1|)<f (16)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1， ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第2章 函数 2.1 函数的概念及其表示
2.1 函数的概念及其表示
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.函数的概念
前提
对应关系
结论
记法
A,B 是非空的实数集
如果对于集合 A 中的任意一个数 x,按照某种对应关
系 f,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应
就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数
C.[0,4 020]
D.[-1,1)∪(1,4 020]
使函数f(x+1)有意义,则0≤x+1≤4 020,解得-1≤x≤4 019,
故函数f(x+1)的定义域为[-1,4 019].
-1 ≤ ≤ 4 019,
所以函数 g(x)有意义的条件是
-1 ≠ 0,
解得-1≤x<1或1<x≤4 019.
1-2
1
+
的定义域为( A )
+3
A.(-3,0]
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]
D.(-∞,-3)∪(-3,1]
1-2 ≥ 0,
由题意知
解得-3<x≤0,
+ 3 > 0,
故函数 f(x)的定义域为(-3,0],故选 A.
(2)函数 y=√ln(2-x) 的定义域为( B )
又 f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1,
=
2 = 1,
即 2ax+a+b=x-1,得
2019届一轮复习人教B版 函数及其表示 课件
时,y有两个值和x对应,不符合函数的概念.选项D,值域不为[0,2],不正确,
选项B正确.
3. 导学号 94626012 (2016· 山东临沂期中 ) 若 f(x(
1 1 )=x2+ 2 , 则 f(x) 等于 x x
A
)
2
(A)f(x)=x +2
2
(B)f(x)=x -2
2
2
(C)f(x)=(x+1) (D)f(x)=(x-1)
单调区间、由函数的极值点或知曲线的切线方程求参数,属于基
础问题.第二问利用导数证明不等式、不等式恒成立、求参数的 取值范围、求函数的零点问题.考查函数的思想、转化的思想及 分类讨论的思想.
第 1节
函数及其表示
考纲展示 1.了解构成函数的要素,会求一些
2.在实际情境中,会根据不同的需 要选择恰当的方法(如图象法、列 表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单 应用(函数分段不超过三段).
解析:由函数定义知,函数f:A→B的值域是B的子集,可能不是B,①假;函数
与映射是两个概念 ,函数是特殊的映射 ,但映射不一定是函数 ,②假;函数
的定义中要求,集合A中的任意一个数在集合B中都有唯一的数与之对应才 是函数 ,③假 ;f(x) 与 g(t) 的定义域和对应关系相同 ,④真 ; 函数 y=x 与
双基自测
1.给出下列命题: ①对于函数f:A→B,其值域是B; ②函数与映射是相同的概念,函数是映射,映射也是函数; ③只要集合A中的任意元素在集合B中有元素对应,那么这个对应关系就是 函数; ④函数f(x)=|x|与g(t)= t 2 是同一函数; ⑤若两个函数的定义域与值域都相同,则这两个函数是相等函数; ⑥分段函数不是一个函数而是多个函数. 其中是真命题的个数是( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 A )
人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第2章一元二次函数、方程和不等式 第1节等式性质与不等式性质
=1(b≠0)
<1(a,b>0)或 >1(a,b<0)
3.不等式的性质与推论
性质与推论
别名
性质1
可加性
性质2
可乘性
性质3
性质4
传递性
性质5
对称性
推论1
移项法则
推论2
同向可加性
推论3
同向同正可乘性
推论4
可乘方性
推论5
可开方性
性质内容
如果a>b,那么a+c ＞ b+c
如果a>b,c>0,那么ac ＞ bc
=(+),
(+)
∵b>a>0,m>0,∴a-b<0,∴
(-)
<0,∴
(+)
<
+
.
+
题组三连线高考
7.(2019·全国Ⅱ,理6)已知a>b,则有( C )
A.ln(a-b)>0
B.3a<3b
C.a3-b3>0
D.|a|>|b|
解析 令
1
a=1,b= ,则
2
a>b,但
[对点训练2](2024·浙江宁波模拟)已知b<a<-3b,则 的取值范围为( B )
A.(0,3)
B.[0,3)
C.(3,+∞)
D.(1,3)
解析 因为 b<a<-3b,所以
可得-3< <1,所以
0≤
1
b<0,则有 <0,将不等式
2019届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数2-1函数及其表示课件文
2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是( ) A．f(x)＝ x＋1· x－1，g(x)＝ x2－1 B．f(x)＝ x2，g(x)＝( x)2 C．f(x)＝xx2－－11，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝|x|，g(t)＝ t2
[解析] 在 A 中，由xx－＋11≥≥00，， 可知 f(x)的定义域为[1，＋ ∞)；由 x2－1≥0，可知 g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
第
二 函数的概念与基本初等函数
章
第一节
函数及其表示
高考概览 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域， 了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段 函数，并能简单地应用．(函数分段不超过三段)
吃透教材 夯双基
(2)y＝10lgx＝x(x>0)，其定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)、 y＝x 与 y＝2x 这两个函数的定义域为 R，显然与已知函数不同， 排除 A、C 选项．y＝lgx 的值域为 R，排除 B 选项．经验证 D 选 项符合，故选 D.
[答案] (1)C (2)D
(1)函数的图象特征：与 x 轴垂直的直线与其最多有一个公共 点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．
因为它们的定义域不同，所以 A 不成立． 在 B 中，f(x)＝ x2＝|x|，其定义域为 R；g(x)＝( x)2＝x，其 定义域为[0，＋∞)．它们的解析式和定义域都不同，所以 B 不成 立．
在 C 中，f(x)＝xx2－－11＝x＋1，其定义域为{x|x≠1}；g(x)＝x ＋1 的定义域为 R.因为它们的定义域不同，所以 C 不成立．