数学期望
数学期望和均值的关系
数学期望和均值是相关的概念，但并不完全相同。
数学期望是指在统计意义下某个随机变量的期望值。它是指在大量重复试验中，每次随机变量的取值 所占的比重，乘以对应的取值，再加起来的总和。数学期望的计算公式为：E(X)=∑xP(x)，其中 E(X) 表 示数学期望，x 表示随机变量的取值，P(x) 表示取值 x 的概率。
赌资： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
输赢： -1 3 -1 3 -1 3 -1 3 -1 3
那么，在这 10 次游戏中，你的数学期望收益为 E(X)=∑xP(x)=10.5+30.5=2 元，也就是说，如果你 连续玩很多次，那么你的平均收益将会是 2 元。
然而，在这 10 次游戏中，你的实际收益为 ∑x÷n=8 元，也就是说，在这 10 次游戏中，你的均值 收益是 8 元。
均值是指一组数据的平均数。它的计算公式为：均值=∑x÷n，其中 x 表示数据的取值，n 表示数据 的个数。均值是一个定值，并不随机。
总的来说，数学期望是一个概率概念，表示的是随机变玩一种博弈游戏，每次赌资为 1 元，赢得 3 元，输掉 1 元。假设你连续玩了 10 次， 你的输赢情况如下：
第三章 数学期望
r ( x ) f ( x)(离散变量)
r
r ( x ) r f ( x)dx(连续变量)
X关于原点的r阶矩也称为r阶原点矩，定义为 ‘r = E(Xr)
矩母函数
X的矩母函数定义为： MX(t)=E(etX) 在假设收敛的条件下，它是
M X (t ) e tX f ( x)(离散的变量) M X (t )
数学期望
数学期望的定义
数学期望就是一个随机变量的期望值或简称期望。 离散随机变量的期望定义： E(X)=x1P(X=x1)+x2P(X=x2)+…+xnP(X=xn) =xjP(X=xj) = xjf(xj) 如果随机变量取值概率都是相等的，那么我们就可 以得到一个特殊的期望，算术平均： E(X)=(x1+x2+…+xn)/n
对联合分布的方差和协方差
若X和Y是有联合密度函数f(x,y)的两个连续随机变 量，则X和Y的均值或期望是
X E( X ) Y E (Y )
xf ( x, y)dxdy
yf ( x, y)dxdy
方差是
2 X E[( X X ) 2 ]
标准化随机变量
令X是带均值和标准差的随机变量，则我 们用下式定义标准化的随机变量 X*=(X-)/ X*的一个重要性质是均值为0且方差为1，标 准化的变量对比较不同分布是有好处的。
矩
随机变量X关于均值的r阶中心矩，定义为： r=E((X-)r) 这里r=0,1,2,…。由此得到0=1 1=0 2=2
相关系数
若X和Y是独立的，则Cov(X,Y)=0。另一方面，若X 和Y是完全相关的。例如，当X=Y，则 Cov(X,Y)=XY=XY。由此我们引入变量X和Y相互 依赖的测度： ＝ XY/XY 根据定理四，我们知道－1<=<=1。在＝0时，我 们称X和Y是不相关的。然而在这些情况下，变量可 以是独立的，也可以是不独立的。我们将在后面的 章节中会进一步讨论相关性。
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数学期望⽬录数学期望定义离散型随机变量ξ有分布列x1x2⋯x k⋯p1p2⋯p k⋯如果级数 ∑k x k p k绝对收敛，则记Eξ=∑k x k p k称为ξ的数学期望.定义连续型随机变量ξ有密度函数p(x) ，若∫+∞−∞|x|p(x)dx<∞ ，则称Eξ=∫+∞−∞xp(x)dx为ξ的数学期望.定义随机变量ξ有分布函数F(x) ，若∫+∞−∞|x|dF(x)<∞ ，则称Eξ=∫+∞−∞xdF(x)为ξ的数学期望.设ξ为随机变量，η=f(ξ) ，则Eη=∫+∞−∞f(y)dFξ(y)当ξ连续时有密度函数p(x) ，则Eη=∫+∞−∞f(y)p(y)dy随机变量ξ,η独⽴同分布当且仅当对任意有界连续函数f有Ef(ξ)=Ef(η) .条件期望定义设ξ=x时，η的条件分布函数为Fη|ξ(y|x) ，则条件期望为E(η|ξ=x)=∫+∞−∞ydFη|ξ(y|x)若有条件分布列pη|ξ(y j|x) ，则E(η|ξ=x)=∑j y j pη|ξ(y j|x)若有条件密度函数pη|ξ(y|x) ，则E(η|ξ=x)=∫+∞−∞ypη|ξ(y|x)dy显然，若ξ,η相互独⽴，则E(η|ξ=x)=Eη .定理条件期望E(η|ξ=x) 可看作是x的函数，记为m(x) ，则m(ξ) 是随机变量，称m(ξ) 为已知ξ时η的条件期望，记为E(η|ξ) ，从⽽条件期望的数学期望有E[E(η|ξ)]=EηProof.利⽤期望定义m(x)=E(η|ξ=x)=∫+∞−∞ypη|ξ(y|x)dy=∫+∞−∞y p(x,y) pξ(x)dy则有E[E(η|ξ)]=E(m(ξ))=∫+∞−∞m(x)pξ(x)dx代⼊即证；直观上，E(η|ξ) 为在给定的ξ下的η的期望，它是ξ的函数，再求期望时，实际上是对所有的ξ求η的期望.全期望公式当ξ为离散型随机变量，记p i=P(ξ=x i) ，则Eη=∑i p i E(η|ξ=x i)[] Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js它是上⾯等式的直接推导.性质加法性质：Eξ1,⋯,Eξn存在，则∀c1,⋯,c n及b，有En∑i=1c iξi+b=n∑i=1c i Eξi+b乘法性质：若ξ1,⋯,ξn相互独⽴，Eξ1,⋯,Eξn存在，则E(ξ1⋯ξn)=Eξ1⋯Eξn有界收敛定理：设∀ω∈Ω有lim，且\forall n\ge 1,\ |\xi_n|\le M，则\lim_{n\to\infty}E\xi_n = E\xiE(h(\xi)\eta|\xi) = h(\xi)E(\eta|\xi) .柯西-施⽡茨不等式：|E(XY|Z)|\le \sqrt{E(X^2|Z)}\cdot \sqrt{E(Y^2|Z)} .⽅差定义称\xi-E\xi为\xi关于均值E\xi的离差，若E(\xi-E\xi)^2存在有限，则称其为\xi的⽅差，记作Var\xi或D\xiVar\xi = E(\xi-E\xi)^2 = E\xi^2 - (E\xi)^2为了统⼀量纲，有时使⽤标准差\sqrt{Var\xi} .切⽐雪夫不等式若⽅差存在，则\forall \epsilon>0，有P(|\xi-E\xi|\ge\epsilon)\le\dfrac{Var\xi}{\epsilon^2}Proof.⾮常巧妙的放缩法\begin{aligned} P(|\xi-E\xi|\ge\epsilon) &= \int_{|x-E\xi|\ge\epsilon}dF(x)\\ &\le \int_{|x-E\xi|\ge\epsilon}\dfrac{(x-E\xi)^2}{\epsilon^2}dF(x)\\ &\le \int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{(x-E\xi)^2}{\epsilon^2}dF(x)\\ &= \dfrac{1}{\epsilon^2}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E\xi)^2dF(x)\\ &= \dfrac{Var\xi}{\epsilon^2} \end{aligned}切⽐雪夫不等式说明\xi离均值E\xi的距离，被⽅差所控制，即\xi落在(E\xi-\epsilon,E\xi+\epsilon)的概率⼤于1-\frac{Var\xi}{\epsilon^2} .性质Var\xi = 0 \Leftrightarrow P(\xi=c)=1；切⽐雪夫不等式的直接推论.Var(c\xi+b) = c^2Var\xi .Var\xi \le E(\xi-c)^2 .加法性质：Var\left(\sum_{i=1}^n\xi_i\right) = \sum_{i=1}^nVar\xi_i + 2 \sum_{1\le i<j\le n} Cov(\xi_i,\xi_j)若\xi_1,\cdots,\xi_n两两独⽴，则Var\left(\sum_{i=1}^n\xi_i\right) = \sum_{i=1}^nVar\xi_i此时Cov(\xi_i,\xi_j) = 0 .协⽅差定义设\xi_i,\xi_j有联合分布F_{ij}(x,y)，若E|(\xi_i-E\xi_i)(\xi_j-E\xi_j)|<\infty，称E(\xi_i-E\xi_i)(\xi_j-E\xi_j) = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E\xi_i)(y-E\xi_j)dF_{ij}(x,y)为\xi_i,\xi_j的协⽅差，记作Cov(\xi_i,\xi_j) .性质Cov(\xi,\eta) = Cov(\eta,\xi) = E\xi\eta-E\xi E\eta\begin{aligned} E(\xi-E\xi)(\eta-E\eta) &= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E\xi)(y-E\eta)dF(x,y)\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(xy-xE\eta-yE\xi+E\xi E\eta)dF(x,y)\\ &= E\xi\eta - 2E\xi E\eta + E\xi E\eta = E\xi\eta - E\xi E\eta \end{aligned}加法性质：Cov\left(\sum_{i=1}^n\xi_i,\eta\right) = \sum_{i=1}^nCov(\xi_i,\eta)Cov(a\xi+c,b\xi+d) = abCov(\xi,\eta) .Cov(\xi,\eta) \le \sqrt{Var\xi}\sqrt{Var\eta} .Cov(a\xi+b\eta,c\xi+d\eta) = acCov(\xi,\xi) + (ad+bc)Cov(\xi,\eta) + bdCov(\eta,\eta) .协⽅差矩阵协⽅差矩阵的元素是随机向量各分量两两之间的协⽅差B = E(\xi-E\xi)(\xi-E\xi)^T = \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}\\ \end{matrix} \right),\quad b_{ij} = Cov(\xi_i,\xi_j)容易看出B对称半正定.若有变换\eta = C\xi，则有EC(\xi-E\xi)(C(\xi-E\xi))^T = CBC^T为\eta的协⽅差矩阵.⼆维随机向量的协⽅差矩阵C = \left( \begin{matrix} Var\xi & E\xi\eta - E\xi E\eta\\ E\xi\eta - E\xi E\eta & Var\eta \end{matrix} \right)相关系数的计算r_{\xi,\eta} = \dfrac{Cov(\xi,\eta)}{\sqrt{Var\xi Var\eta}}相关系数为0则不相关.相关系数定义令\xi^* = (\xi-E\xi)/\sqrt{Var\xi},\ \eta^* = (\eta-E\eta)/\sqrt{Var\eta}，称r_{\xi\eta} = Cov(\xi^*,\eta^*) = E\xi^*E\eta^*为\xi,\eta的相关系数.柯西-施⽡茨不等式()任意随机变量\xi,\eta有|E\xi\eta|^2\le E\xi^2E\eta^2等式成⽴当且仅当\exists t_0,\ \mathrm{s.t.}\ P(\eta=t_0\xi) = 1 .Proof.考虑u(t) = E(\eta-t\xi)^2 = t^2E\xi^2-2tE\xi\eta+E\eta^2\ge 0，分析判别式即可.性质|r_{\xi\eta}| \le 1，并且当|r_{\xi\eta}| = 1，称\xi,\eta以概率1线性相关；若|r_{\xi\eta}| = 0，称\xi,\eta不相关.若⽅差有限，则有等价条件Cov(\xi,\eta) = 0\xi,\eta不相关E\xi\eta = E\xi E\etaVar(\xi+\eta) = Var\xi + Var\eta若\xi,\eta独⽴，且它们⽅差有限，则\xi,\eta不相关.对⼆元正态随机向量，两个分量不相关与独⽴等价.矩⽅差、协⽅差本质上都是对随机变量分布分离程度的度量，可以⽤矩的概念进⾏推⼴.原点矩：m_k=E\xi^k，称为k阶原点矩中⼼距：c_k = E(\xi-E\xi)^k，称为k阶中⼼矩绝对矩：M_{\alpha} = E|\xi|^{\alpha},\ \alpha\in\mathbb{R}，称为\alpha阶绝对矩。
《数学期望》课件
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
CATALOGUE
连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
《数学期望》PPT课件
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目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
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引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
《数学期望》课件
欢迎来到《数学期望》PPT课件。从定义到应用，本课程将为您全面介绍数学 期望的相关知识。
什么是数学期望
1 定义
数学期望是随机变量取值的加权平均数，是 一个平均性的数值特征。
2 意义
数学期望能够用来描述随机变量的中心位置， 是概率分布的重要特征之一。
离散型随机变量的期望
1
期望的运算规律
期望的运算规律
期望也具有线性性、单调性和保号性等运算规律， 但概率密度函数的图像更难以直观展示。
期望的性质
期望的线性性质
期望具有加法和数乘的线性运算规律，对于相互独 立的随机变量，期望还满足可加性。
期望的矩估计
期望的矩估计可以帮助我们了解随机变量的高阶特 征，如方差、偏度和峰度等。
应用实例
期望在概率分布中的应用
量的期望
离散型随机变量的期望等于随机变量取
每个值的概率乘以该值的加权和，连续
型随机变量的期望等于其概率密度函数
3
期望的运算规律和性质
的加权积分。
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律，还具有可加性和矩估计等特性。
应用实例
4
期望在概率分布中和随机变量期望在实 际问题中都有广泛应用。
参考资料
• 离散数学 • 概率论与数理统计 • 数理统计方法及其应用
2
期望具有线性性、单调性和保号性等运
算规律。
3
离散型随机变量的期望定义
离散型随机变量的期望等于随机变量取 每个值的概率乘以该值的加权和。
概率分布的图像
概率分布的图像能够直观地展示数学期 望的定义和特性。
连续型随机变量的期望
连续型随机变量的期望定义
连续型随机变量的期望等于其概率密度函数的加权 积分。
数学期望
第四章
随机变量的数字特征
§1 数学期望
例7 国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量 是随机变量 X（吨），X ~ U[2000,4000]，每售出这 种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但销售不出 而囤积在仓库，则每吨需浪费保养费1万元。问需要 组织多少货源，才能使国家收益最大。 解： y 为预备出口的该商品的数量，则 设 用 Z 表示国家的收益（万元）
§1 数学期望
一、数学期望定义
1） 离散型
设离散型随机变量X的, k 1,2,
若级数
x
i 1
k
p k 绝对收敛，则称随机变量 X 的数
学期望存在，记作 EX，
且
EX x k pk
i 1
数学期望也称为均值。
第四章
随机变量的数字特征
§1 数学期望
说 明
(1)X 的数学期望刻划了 X 变化的平均值．
(2)由于随机变量 X 的数学期望表示的是随机变 量 X 变化的平均值。
因此，只有当级数 保证级数
x
n 1
n
pn 绝对收敛时，才能
x
n 1
n
pn 的和与其级数
x
n 1
n
pn的求
和顺序无关．
3).几种常见的随机变量的期望 几种离散型随机变量的期望
（1） 两点分布
若 X B(1,p),则 E[X]=p
(2) 二项分布
若 X B(n,p),则 E[X]=np
(3) 超几何分布
nM 若 X H(n,M,N) 则 E[X]= N
第四章
随机变量的数字特征
§3 几种期望与方差
(4) poisson分布
数学期望
引例2 有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给 出
甲 射 手 击中环数 X甲 8 概 率 0.3 乙 射 手 击中环数 X 乙 8 概 率 0.2 9 0.1 9 0.5 10 0.6 10 0.3
问甲和乙谁的射击水平较高？
解 “射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以， 只要对他们的平均击中环数进行比较即可。 问题：已知随机变量的概率分布, 如何计算其平均值？
击中环数 X甲 概 率 击中环数 X 乙 概 率
8 0.3 8 0.2
9 0.1 9 0.5
10 0.6 10 0.3
分析：若甲射击N次, 设击中8环, 9环和10环的次数分 别为 N1、 2和N3 次，则甲在N次射击中，平均每次击中 N 的环数为
N3 N1 N2 8 N1 9 N 2 10 N3 8 f1 9 f2 10 f3 8 9 10 N N N N
p (x) = 0.2 e – 0.2 x ， x ＞ 0
问这个人的平均等车时间是几分钟？ 解. 平均等车时间即是数学期望 E X ，因此
EX
5 ye y dy 5
0
xp( x ) dx
0.2 xe 0.2 x dx
0
即平均需要等待 5 分钟。
□
例 5 设在某一规定的时间内，一电气设备用于最大负荷的 时间X（单位：min）是一个随机变量，概率密度函数为
定理1 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为
P{X xi , Y y j } pi j , i, j 1, 2,
则
E ( X ) xi pi j ,
i 1 j 1
数学期望
定义：设离散型随机变量X 的分布律为
xk pk
k 1
P{ X xk } pk , k 1,2, .
如果级数 xk pk 绝对收敛，则称 xk pk 的和为 X 的数学期
k 1
k1
望，记为 E( X ). 即 E( X ) xk pk .
i 1
n
E(X) E(Xi ) np i1
Xi（i 1,2, , n）相互独立.
n
D(X) D(Xi ) np(1 p)
i1
3. 设 X ~ ()
分布律为：P( X k) ke , k 0, 1, 2,
k!
E( X ) k ke k ke
4). 设 X,Y 相互独立，则有 E(XY ) E( X ) E(Y ),
推广：设 X1, X2, , Xn 相互独立，
证明则：仅E对( 连 X1续X2型 随X机 n ) 变E量( X加以 1 ) 证E(明X。2 ) E( Xn ),
1) E(C) Cf (x)dx C f (x)dx C.
1 (b2 ab a2 ) ( a b )2 1 (b a)2
3
2
12
即 E( X ) a b , D( X ) (b a)2 .
2
12
23
5. 指数分布
设 X 是服从参数为 的指数分布，
密度函数为
f
(
x
)
1
e
x
/
0
x0 其它
E(X)
E(X) 的偏离程度，又因为E[ X E(X) ] 的运算复杂。
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5.
(教材P124-(B)-第2题/习题课教程P98例8） 例8 设X ～ N(0,1),Y ～ N(0,1), X 与Y相互独立, 求 E ( X 2 Y 2 ). 解: E ( X 2 Y 2 )
E[ g( X )] g( x ) f ( x ) d x.
X ~ N（0， 1） ， 求 随 机 变 量 例6 已 知 随 机 变 量 Y X 2的 数 学 期 望 解 E(Y) E(X ) x
2 2
1 e 2
x2 2
dx 1
(教材P106例1.9，请记住结论!)
由于
p
0 .2
0 .1
0 .1
0 .1
0 .1 0 . 3
0 .1
( X ,Y ) (1,1) (1,0) (1,1) ( 2,1) ( 2,1) ( 3,0) ( 3,1) Y X 1 0 1 1 2 1 2 0 1 3 于是
1 1 1 Y E 1 0.2 0 0.1 1 0.1 0.1 0.1 0 0.3 0.1 2 2 3 X
附 ： 函 数 ( s )
0
x e dx , (s 0)
0
s 1 x
或 ( s ) 2
x
2 s 1 x 2
e
dx ,
递推公式： ( s 1) s( s ) 一 般 地 (n 1) n（ ! n为 正 整 数 ） 1 (2) 1, (1) 1, （ ) 2 另外
E ( X ) k q k 1 p p k q k 1 p (q k )
k 1 k 1
k 1
k 1
q 1 1 ) p p( q ) p( 2 1 q (1 q ) p k 1
k
2.连续型随机变量数学期望的定义 定义1.2 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ),
e
x2
dx 称为 概率积分。
2. 二维随机变量函数的数学期望
(1) 设 X , Y 为离散型随机变量, g( x , y ) 为二元函 数, 则 E [ g( X , Y )] g( x i , y j ) pij .
i 1 j 1
其中 ( X ,Y ) 的联合概率分布为 pij .
1 . 15
p
( X ,Y )
0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 . 3 0 .1 (1,1) (1,0 ) (1,1) ( 2,1) ( 2,1) ( 3,0) ( 3,1)
2
0 .2
4
(X Y )
1
0
9
1
9
4
得 E[( X Y )2 ] 4 0.3 1 0.2 0 0.1 9 0.4
Y X 1 1 2
3
0 1
0.2 0.1
0.1 0 0.1
0 0.3 0.1
2
0.1
求: E( X ), E(Y X ) , E[( X Y ) ].
解: X 的分布律为 X 1 p 0 .4
2
0 .2
3
0 .4
得
E ( X ) 1 0.4 2 0.2 3 0.4 2.
若积分
x f ( x ) d x绝 对 收 敛 ,则 称 积 分
x f ( x) d x 的 值 为 随 机 变 量 X 的数学期望 ,
记 为 E ( X ). 即E ( X ) x f ( x ) d x .
常见连续型分布的数学期望: （1） 指数分布
设 随 机 变 量X 服 从 指 数 分 布 ,其 概 率 密 度 为 e x , f ( x) 0, x 0, x 0. 其 中 0.
(2) 设 X , Y 为连续型随机变量 , g( x, y ) 为二元函 数, 则 E[ g( X , Y )]
g( x , y ) f ( x , y ) d x d y .
其中( X , Y ) 的联合概率密度为 f ( x, y).
(教材P123第9题)
例7 设 ( X , Y ) 的分布律为
k 1
例5 设随机变量 X的分布律为
X p
2 13 0 1 3 1 2 1 12 1 12
求: E( X ). 解:
1 1 3 1 1 3 3 E ( X ) ( 2 ) 0 1 3 5 3 2 12 12
3 3
3
（2） 连续型随机变量函数的数学期望 若 X 是连续型的,它的分布密度为 f(x) 则
但
它的数学期望不存在!
1.2 随机变量函数的数学期望
1. 一维随机变量函数的数学期望 （1） 离散型随机变量函数的数学期望 若X为离散型随机变量，分布律为
P{ X xk } pk , ( k 1,2,),
Y=g(X)为X的函数 则Y的期望为
E[ g( X )] g( xk ) pk .
第一节 数学期望
一、随机变量的数学期望 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质
四、小结
1.1
数学期望的概念
引例1 分赌本问题(产生背景)
A, B 两人赌技相同, 各出 赌金100元,并约定先胜三局者为 胜, 取得全部 200 元.由于出现意 外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
x μ σ t,
所以
1 E( X ) x e 2σ
( x μ )2 2σ 2
dx
1 ( μ σt )e 2
1 μ e 2
t2 2
t2 2
dt
t2 2
μ.
2
σ dt te 2
P{ X k }
k!
e , k 0,1,2,, 0.
k
则有
E( X ) k
k 0
k!
e e
k 1
k 1
( k 1)!
e
e .
(3) 几何分布 设随机变量 X的分布律为
P{ X k } q p, q 1 p; k 1,2,; 0 p 1
A, B 最终获胜的
1 3 即A 应获得赌金的 , 而 B 只能获得赌金的 4 . 4
因此, A 能“期望”得到的数目应为 3 1 200 0 150(元 ), 4 4
若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
则X 所取可能值为:
其概率分别为:
常见离散型分布的期望: （1）二项分布 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为 n k n k P{ X k } p (1 p) , (k 0,1,2,, n), k 0 p 1 . n 则有 E ( X ) k P{ X k }
则有
E ( X ) xf ( x ) d x
0
x e
x
dx
xe
x 0
e
0
x
d x 1/ .
（2） 均匀分布
设 X ~ U (a , b), 其概率密度为 1 , a x b, f ( x) b a 其 它. 0, b 1 则有 E ( X ) xf ( x ) d x xd x aba 1 (a b ). 2 结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.
200
3 4
0
1 4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值 , 3 1 200 0 150(元 ). 等于 4 4 即为 X 的可能值与其概率之积的累加.
引例2 射击问题
设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下 命中环数 k 命中次数 nk
（3） 正态分布
设 X ~ N ( μ, σ 2 ), 其概率密度为
1 f ( x) e 2 σ ( x μ )2 2σ 2
, σ 0, x .
则有
x μ 令 t σ
E ( X ) xf ( x ) d x ( x μ )2 1 2σ 2 x e dx 2σ
定义 设离散型随机变量 X 的分布律为 P { X xk } pk , k 1,2,.
若级数 xk pk 绝对收敛 , 则称级数 xk pk
k 1 k 1
为随机变量 X 的数学期望, 记为 E ( X ). 即 E ( X ) xk pk .
k 1
关于定义的几点说明: (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均, 与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数 各项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是因为数学
分析 假设继续赌两局,则结果有以下四种情况: AA AB BA BB 把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果
相结合, 即 A、B 赌完五局,
前三局 : 后二局: A胜 2 局 B 胜 1 局 AA AB A胜 BA BB B胜
故有, 在赌技相同的情况下, 可能性大小之比为 3 : 1,
期望是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不应随