高考复习数学期望试题及详解.docx
高考数学期望练习题
高考数学期望练习题
1. 某商场进行抽奖活动，设中奖概率为0.1，未中奖概率为0.9。
若中奖可获得100元奖金，未中奖无奖金。
求该抽奖活动的期望奖金。
2. 一袋中有10个球，其中5个红球，3个蓝球，2个绿球。
随机抽取一个球，求抽到红球的期望次数。
3. 抛一枚均匀硬币5次，求正面朝上次数的期望值。
4. 某工厂生产零件，合格率为90%，不合格率为10%。
若生产100个零件，求合格零件的期望数量。
5. 某彩票每张售价2元，中奖概率为0.01，中奖金额为100元。
若购买10张彩票，求中奖金额的期望值。
6. 某射击运动员射击10次，每次击中目标的概率为0.5，未击中的概率为0.5。
求该运动员击中目标次数的期望值。
7. 某保险公司承保100辆汽车，每辆汽车发生事故的概率为0.05，若发生事故，保险公司需赔偿1000元。
求保险公司赔偿金额的期望值。
8. 某工厂生产一批零件，每个零件合格的概率为0.95，不合格的概率为0.05。
若生产1000个零件，求不合格零件的期望数量。
9. 某商场进行购物满100元抽奖活动，设中奖概率为0.2，未中奖概率为0.8。
若中奖可获得50元代金券，未中奖无奖励。
求该抽奖活动的期望奖励金额。
10. 某彩票每张售价5元，中奖概率为0.001，中奖金额为50000元。
若购买100张彩票，求中奖金额的期望值。
山东省2023届高考考前押题卷数学试题(含解析)
山东省2023届高考考前押题卷数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．290mB ．420.25mC ．490m 5．定义两个向量u 与v 的向量积u v ⨯是一个向量，它的模方向与u 和v同时垂直，且以,,u v n 的顺序符合右手法则（如图）体ABCD 中，则()AB AD AC ⨯⋅=（ ）A ．42B ．46．已知5458<，设4log 5,a =A ．a c b >>C ．c b a>>A ．8081-B ．1698．已知非零数列{}123,n n n a b a a a a =⋅⋅ ()12n n n a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⋅⎪⎪⎩⎭的前2023项的和为（ ）A ．12-二、多选题9．甲、乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的统计折线图如下图所示，下列说A．若甲、乙两组成绩的平均数分别为B．若甲、乙两组成绩的方差分别为C．甲成绩的中位数大于乙成绩的第三四分位数D．甲成绩的极差大于乙成绩的极差三、填空题15．设20a b >>，则()2212a ab a a b ++-的最小值为16．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,x y a b a b -=>>直线与双曲线的右支交于,A B 两点，记AF F △的内切圆半径为(1)证明：GC //平面EDB ；(2)若ACG 为等边三角形，点求sin α的最小值．21．已知圆22:4,O x y O +=为坐标原点，点以L 为准线的拋物线恒过点F 为S ．参考答案：【详解】，sin,=⋅⋅AB AD AB ADABD的中心为O，连接COAB，AD⊂平面ABD，故223⨯⨯=，OC=AB【详解】选项，取1CD BB 、的中点分别为对于B 选项，取11B C 中点T ,把直线BET △中，213,BE BT TE ==5252425cos 25226TBE +-∠==⨯，故选项对于C 选项，当球与直四棱柱的上底面和当球与直四棱柱的下底面和4对于D 选项，设四边形1111D C B A 内切圆半径为1111314416,22A B C D S r r =⨯⨯=⨯⨯=由题可知在直四棱柱11ABCD A B C -心P ,如图建系，()(10,0,33,0,2,0P A 此时两球心的距离为31，【详解】由图可知：AB DE FG IJ JK=====AQC，∴30ACB∠=︒，∴BC十三边形的面积为316832⨯=．:83由122AF AF a -=，即1AM F +得122F M F N a -=，即1F E F -记C 点的横坐标为0x ，则(0,0E x 则()002x c c x a +--=，得0x a =（2）设底面圆的圆心为O ，过以O 为坐标原点，,,OA ON OG ()()(0,0,0,1,3,0,1,O B D --因为34AE AG =，所以由34AE =设()2π2cos ,2sin ,003F θθθ⎛≤≤ ⎝设平面BDE 的一个法向量为n ()30,23,0,,3,2DB BE ⎛==- ⎝ ∴2303333022y x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，所以可取23cos -4（2）设点()00,P x y ，过点P 的直线的斜率为联立方程组()002244y y k x x x y ⎧-=-⎨+=⎩，消y【点睛】关键点点睛：第二问，设切线方程，联立椭圆方程并整理，根据切线与椭圆的位置关系有Δ0=得到关于切线斜率的一元二次方程，求出直线的方程，利用根与系数的关系得到AB 12,d d ，则()1212PAOB S AB d d =+四边形，结合22．(1)1a <1x ∴>时，()()('0,h x p x h =<在1x =处取得极大值也是最大值存在两条切线重合等价于y =（2）因为12a =，由（1）知，取令()()'22ln 1,e x x x x ϕϕ=--当()0,e x ∈ 时，()'0,x ϕϕ<。
高等教育数学：数学期望例题解析
数学期望一射手进行打靶练习，规定射入区域2e （图4-1）得2分，射人区域1e 得1分，脱靶，即射人区域0e ，得O 分，射手一次射击得分数X 是一个随机变量．设X 的分布律为 P{X=k}=k p ，k=0，1，2．现在射击N 次，其中得0分的有0a 次，得1分的有1a 次，得2分的有2a 次，0a +1a +2a =N ．他射击N 次得分的总和为0a ×0+1a ×1+2a ×2．于是平均一次射击的得分数为=⨯+⨯+⨯Na a a 210210Na kkk ∑=2. 这里，N a k /是事件{X=k}的频率．在第五章将会讲到，当N 很大时，N a k /在一 定意义下接近于事件{X=k}的概率k p 量，就是说，在试验次数很大时，随机变量 X 的观察值的算术平均∑=2k k N ak/在一定意义下接近于∑=20k k k p ，我们称∑=2k k k p 为随机变量X 的数学期望或均值．一般，有以下的定义，定义 设离散型随机变量X 的分布律为P{X=k x }=k p ，k=0，1，2，…．若级数∑∞=1k k kp x绝对收敛，则称级数∑∞=1k k kp x的和为随机变量X 的数学期望，记为E(X)．即E(X)=∑∞=1k k kp x. (1.1)设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ，若积分dx x f x )(-⎰∞∞绝对收敛，则称积分dx x f x )(-⎰∞∞的值为随机变量X 的数学期望，记为E(X)．即E(X)=dx x f x )(-⎰∞∞． (1.2)数学期望简称期望，又称为均值．数学期望E(X)完全由随机变量X 的概率分布所确定，若X 服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望．例l 某医院当新生儿诞生时，医生要根据婴儿的皮肤颜色、肌肉弹性、反应的敏感性、心脏的搏动等方面的情况进行评分，新生儿的得分X 是一个随机变量．据以往的资料表明X试求X 的数学期望E(X)．解 E(X)=0×0. 002+1×0.001+2×0.002+3×0.005+4×0.02+5×0.04+6×0.18+7×0. 37+8×0.25+9×0.12+10×0.01=7.15（分） 这意味着，若考察医院出生的很多新生儿，例如1000个，那么一个新生儿的平均得分约7. 15分，1 000个新生儿共得分约7 1 50分．例2 有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命（以小时计）k X ((k=l ，2)服从同一指数分布，其概率密度为)(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-,0,0,0,1x x e x θθ.0>θ若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命（以小时计）N 的数学期望．解 k X ((k=l ，2)的分布函数为)(x F =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,00,-1x x e x ，θ由第三章§5的(5.12)式N= min{1X ，2X }的分布函数为[]=--=2min )(11)(x F x F ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-,0,0,0,-12x x e x θ因而N 的概率密度为=)(min x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,22x x ex θθ于是N 的数学期望为E(X)==⎰∞∞dx x f x )(min -dx e xx θθ202-∞⎰=2θ. 例3 按规定，某车站每天8：00～9：00，9：00～10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立．其规律为 一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望．在上表中，例如P{X=70}=P(AB)=P(A)P(B)=6361⨯， 其中A 为事件“第一班车在8：10到站’’，B 为“第二班车在9：30到站”．候车时间的数学期望为E(X) =10×63+30×62+50×361+70×363+90×362 =27. 22（分）．例4 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式．记使用寿命为X （以年计），规定：X ≤1，一台付款1 500元； 1<X ≤2，一台付款2 000元； 2<X ≤3，一台付款2 500元； X>3，一台付款3 000元． 设寿命X 服从指数分布，概率密度为)(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,10110x x ex试求该商店一台这种家用电器收费Y 的数学期望．解 先求出寿命X 落在各个时间区间的概率．即有P{x ≤1} =dx e x 1010101-⎰=1.0-e -1=0.095 2， P{1 <X ≤2} =dx e x 1021101-⎰=2.0-1.0e --e =0. 086 1, P{2<X ≤3}=dx e x 1032101-⎰=3.0-2.0e --e =0. 077 9,P{x>3} =dx e x 103101-∞⎰=3.0-e =0. 740 8.得 E(Y) =2 732. 15，即平均一台收费2732. 15元．例5 在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N 个人的血，可以用两种方法进行．(i)将每个人的血分别去验，这就需验N 次．(ii)按k 个人一组进行分组，把从k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k 个人的血都呈阴性反应，这样，这k 个人的血就只需验一次．若呈阳性，则再对这是个人的血液分别进行化验．这样，k 个人的血总共要化验k+1次．假设每个人化验呈阳性的概率为p ，且这些人的试验反应是相互独立的．试说明当p 较小时，选取适当的k ，按第二种方法可以减少化验的次数．并说明k 取什么值时最适宜．解 各人的血呈阴性反应的概率为q=l-p ．因而k 个人的混合血呈阴性反应的概率为k q ，k 个人的混合血呈阳性反应的概率为l-k q ．设以k 个人为一组时，组内每人化验的次数为X ，则X 是一个随机变量，其分布律为X 的数学期望为E(x)=k 1k q +（1+k 1）（1-k q ）=1-kq +k1． N 个人平均需化验的次数为N(1-kq +k1)． 由此可知，只要选择k 使1-kq +k1<1， 则N 个人平均需化验的次数<N ．当p 固定时，我们选取k 使得L=1-kq +k1 小于1且取到最小值，这时就能得到最好的分组方法．例如，p=0.1，则q=0.9，当k=4时，L=1-kq +k1取到最小值．此时得到最好的分组方法．若N=1000，此时以k=4分组，则按第二种方法平均只需化验1000(1-419.04+)=594(次)． 这样平均来说，可以减少40%的工作量．例6 设X ～）（λπ，求E(X)． 解 X 的分布律为}{==k X P 0,,2,1,0,!>=-λλλk k e k ．X 的数学期望为E(x)=∑∞=0k k!k e k λλ-=()∑∞=---11!1k k k eλλλ= λλλe e⋅-=λ，即 E(X)=λ．例7 设X ～U （a ，b ），求E(X)． 解 X 的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-=.,0,1)(其他bx a a b x fX 的数学期望为E(x)=dx x f x )(-⎰∞∞=dx a b x ab⎰-=.2b a + 即数学期望位于区间（a ，b ）的中点．我们经常需要求随机变量的函数的数学期望，倒如飞机机翼受到压力W=2kV （V 是风速，k>0是常数）的作用，需要求W 的数学期望，这里W 是随机变量V 的函数．这时，可以通过下面的定理来求W 的数学期望．定理 设Y 是随机变量X 的函数：Y=g(X)（g 是连续函数）．(i)如果X 是离散型随机变量，它的分布律为P{X=k x }=k p ，k=0，1，2，…，若∑∞=1)(k kkp xg 绝对收敛，则有E(Y)=E[g(X)]=∑∞=1)(k k kp xg ． (1.3)(ii)如果X 是连续型随机变量，它的概率密度为)(x f ，若 dx x f x g )()(⎰∞∞-绝对收敛，则有E(Y)=E[g(X)]=dx x f x g )()(⎰∞∞- (1.4)定理的重要意义在于当我们求E(Y)时，不必算出Y 的分布律或概率密度，而只需利用X 的分布律或概率密度就可以了，定理的证明超出了本书的范围．我们只对下述特殊情况加以证明．证 设X 是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章§5中定理的条件． 由第二章§5中的(5.2)式知道随机变量y=g(X)的概率密度为[]⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,)()()('其他，βαx y h y h f y f x Y于是E(Y)=dy y f y Y )(-⎰∞∞=[].)(')(dy y h y h f y x ⎰βα．当)('y h 恒>0时E(Y)= []dy y h y h f y x )(')(⎰βα=dx x f x g )()(⎰∞∞-.当)('y h 恒<0时E(Y)= －[]dy y h y h f y x)(')(⎰βα= －dx x f x g )()(-⎰∞∞=dx x f x g )()(⎰∞∞-.综合上两式，(1.4)式得证．上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况． 例如，设Z 是随机变量X,Y 的函数Z=g(X ，Y)（g 是连续函数），那么，Z 是一个一维随机变量．若二维随机变量(X ，Y)的概率密度为),(y x f ，则有E(Y)=E []),(Y X g =dxdy y x f y x g ),(),(⎰⎰∞∞-∞∞-, (1.5)这里设上式右边的积分绝对收敛．又若(X ，Y)为离散型随机变量，其分布律为P{X=i x ,Y=i y )=j i p ,i,j=l,2，．．．，则有E(Z)=E []),(Y X g =),(11j i i j y x g ∑∑∞=∞=j i p ， (1.6)这里设上式右边的级数绝对收敛．例8 设风速V 在（0，a ）上服从均匀分布，即具有概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=.,0,0,1)(其他a a f υυ又设飞机机翼受到的正压力w 是V 的函数：W=2kV (k>0，常数)，求w 的数学期望．解 由(1.4)式有E(W)=υυυd f k )(2⎰∞∞-=υυd a k a102⎰=.312ka例9 设随机变量(X ，Y)的概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<=.,0,1,1,23),(23其他x x y xy x y x f ．求数学期望E(Y)，E （XY1）． 解 由(1.5)式得 E(Y)=dydx y x f y ),(⎰⎰∞∞-∞∞-=dydx yx xx31123⎰⎰∞=[]dx y In x xx131123⎰∞=dx x x In 313⎰∞ =∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1223x Inx +dx x ⎰∞13123=43． E （XY1）=dydx y x f xy ),(1⎰⎰∞∞-∞∞-=53233411=⎰⎰∞dy y x dx x x ． 例10 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量．他们估计出售一件产品可获利m 元，而积压一件产品导致n 元的损失．再者，他们预测销售量Y(件)服从指数分布，其概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤>=,0.0,00,1)(-θθθy y e y f y Y ，问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品（m ，n ，θ均为已知）?解 设生产x 件，则获利Q 是x 的函数Q=)(x Q =⎩⎨⎧≥<--.,,),(x Y mx x Y Y x n mYQ 是随机变量，它是Y 的函数，其数学期望为E(Q)=dy y Qf Y )(0⎰∞=[]dy e y x n my y xθθ-⎰--1)(0+dy e mx y xθθ-∞⎰1=nx en m n m x -+-+-θθθ)()(．令dxd E(Q)=n en m x -+-θ)(=0 ， 得 nm nIn x +-=θ ．而 22dxd E(Q)= 0)(<+--θθx e n m ， 故知当nm nInx +-=θ时E(Q)取极大值，且可知这也是最大值． 例如，若⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤>=,0,00,000101)(00010-y y e y f y Y ，且有m=500元，n=2000元，则x =0002500000200010+-In=2 231.4．取x=2231件．例11 某甲与其他三人参与一个项目的竞拍，价格以千美元计，价格高者获胜．若甲中标，他就将此项目以10千美元转让给他人．可认为其他三人的竞拍价是相互独立的，且都在7～11千美元之间均匀分布．问甲应如何报价才能使获益的数学期望为最大（若甲中标必须将此项目以他自己的报价买下）．解 设321,,X X X 是其他三人的报价，按题意321,,X X X 相互独立，且在区间(7，11)上服从均匀分布，其分布函数为.11,1,117,47,7,0)(≥<≤-<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=u u u u u F 以Y 记三人最大出价，即Y=max{321,,X X X }．y 的分布函数为.11,1,117,47,7,0)(3≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=u u u u u F Y 若甲的报价为x ，按题意7≤x ≤10，知甲能赢得这一项目的概率为{}()347⎪⎭⎫⎝⎛-==≤=x x F x Y P p Y (7≤x ≤10)．以G(x)记甲的赚钱数，G(x)足一个随机变量，它的分布律为E[G(x)]= 347⎪⎭⎫⎝⎛-x (10-x)．令[])(x G E dx d =()()[]x x 43774123--=0， 得 x=37/4，x=7（舍去）．又知 []4/3722)(=x x G E dx d <0． 故知当甲的报价为x=37/4千美元时，他赚钱数的数学期望达到极大值，还可知这也是最大值．现在来证明数学期望的几个重要性质 ①（以下设所遇到的随机变量的数学期望存在）．1 设C 是常数，则有E(C) =C ．2 设X 是一个随机变量，C 是常数，则有E(CX) =CE(X)．3 设X ，Y 是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)十E(Y)． 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况．4 设X ，Y 是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)．这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况，证1、2由读者自己证明．我们来证3和4．———————————————————① 这里我们只对连续型随机变量的情况加以证明，读者只要将证明中的“积分”用“和式”代替，就能得到离散型随机变量情况的证明．设二维随机变量(X ，Y)的概率密度为),(y x f ．其边缘概率密度为)(x f X ，)(y f Y ．由(1.5)式E(X+Y)= dxdy y x f y x ),()(⎰⎰∞∞-∞∞-+=dxdy y x f x ),(⎰⎰∞∞-∞∞- +dxdy y x f y ),(⎰⎰∞∞-∞∞-= E(X)十E(Y)．3得证．又若X 和Y 相互独立， E(XY) =dxdy y x yf x ),(⎰⎰∞∞-∞∞- =dxdy y f x f y x Y X )()(⎰⎰∞∞-∞∞-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰∞∞-∞∞-dy y f y dxx f x Y x )()(= E(X)E(Y)． 4得证．例12 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车．如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X 表示停车的次数，求E(X)（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各位旅客是否下车相互独立）．解 引入随机变量 .10,,2,1,1,0 =⎩⎨⎧=i i i X i 站有人下车，在第站没有人下车，在第易知 .1021X X X X +++= 现在来求E(X)．按题意，任一旅客在第i 站不下车的概率为109，因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为 20109⎪⎭⎫ ⎝⎛，在第i 站有人下车的概率为1-20109⎪⎭⎫⎝⎛，也就是{}==0i X P 20109⎪⎭⎫ ⎝⎛， {}==1i X P 1-20109⎪⎭⎫⎝⎛,i=l ，2， (10)由此E(i X )=1-20109⎪⎭⎫⎝⎛,i=1.2， (10)进而 E(X)= ).(1021X X X E +++ =).()()(1021X E X E X E +++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-20109110=8. 784(次) ．本题是将X 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望的，这种处理方法具有一定的普遍意义．例13 设一电路中电流I(A)与电阻R(Q)是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=⎩⎨⎧≤≤=.0,30,9h(r),0,10,2)(2其他，其他，r r i i i g 试求电压V-=IR 的均值．解 E(V)=E(IR)= E(I) E(R)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰∞∞-∞∞-dr r rh di i g i )()(=)(2392303102V dr r di i =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰．。
高考数学概率期望练习题
高考数学概率期望练习题
1. 抛掷一枚均匀的硬币3次，求正面朝上次数的期望值。
2. 一个袋子中有5个红球和3个蓝球，随机抽取3个球，求抽到红球
的期望个数。
3. 某工厂生产的一批产品中，次品率为2%，现在随机抽取100件产品，求至少有2件次品的概率。
4. 一个射手射击10次，每次击中目标的概率为0.5，求击中目标次数的期望值。
5. 某城市的公交车每10分钟发车一次，乘客到达车站的时间是随机的，求乘客等待时间不超过5分钟的概率。
6. 一个骰子连续投掷两次，求两次点数之和为7的概率。
7. 某彩票的中奖率为1/1000，求购买100张彩票至少中一张的概率。
8. 甲、乙两人进行射击比赛，甲每次击中目标的概率为0.6，乙每次
击中目标的概率为0.7，求甲比乙先击中目标的概率。
9. 一个工厂有10台机器，每台机器在一定时间内发生故障的概率为
0.1，求至少有3台机器发生故障的概率。
10. 某学校有100名学生，其中10%的学生近视，求随机抽取5名学生，至少有1名近视的概率。
数学期望练习题及答案
数学期望练习题及答案一、基础题1. 某射手射击10次，命中率为0.6，求射手命中的次数的数学期望。
2. 投掷一枚均匀的硬币，求正面朝上的次数的数学期望。
3. 一批产品的合格率为0.85，从这批产品中随机抽取10件，求合格产品数量的数学期望。
4. 某人打出租车，每次等车时间服从参数为2的指数分布，求此人等车时间的数学期望。
二、进阶题1. 设随机变量X的分布列为：X=1，2，3，P(X=x)=1/4，1/2，1/4，求X的数学期望。
2. 一批电子元件的寿命X（单位：小时）服从正态分布N(100, 25)，求这批电子元件的平均寿命。
3. 某商店每天销售某种商品的数量X服从泊松分布P(5)，求该商店每天销售这种商品的平均数量。
4. 两个独立随机变量X和Y，X的数学期望为2，方差为3，Y的数学期望为4，方差为5，求随机变量Z=X+Y的数学期望和方差。
三、综合题1. 甲、乙两人比赛，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的数学期望。
2. 一位学生参加数学、语文、英语三门考试，数学成绩的数学期望为80分，语文成绩的数学期望为85分，英语成绩的数学期望为90分，求该学生三门课程总成绩的数学期望。
3. 某地区一天的气温X（单位：℃）服从正态分布N(20, 5)，求该地区一天气温超过25℃的概率。
4. 一批产品的重量X（单位：kg）服从正态分布N(50, 2)，求这批产品中重量超过52kg的概率。
四、应用题1. 某通信公司推出一款手机套餐，每月固定费用为50元，通话费用每分钟0.2元，假设用户每月通话时长X服从正态分布N(300, 100)，求用户每月平均通话费用的数学期望。
2. 一家保险公司推出一款车险，每年固定保费为2000元，如果发生事故，保险公司赔偿金额Y服从指数分布λ=0.01，求保险公司从这款车险中获得的平均利润。
3. 某电商平台的日销售额X（单位：万元）服从对数正态分布，其均值μ=5，标准差σ=2，求该电商平台日销售额的数学期望。
新课标高考期望与方差经典高考题
期望与方差1.某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．2.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为43，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列．3.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ 的分布列．4.一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．5.（20XX年高考（安徽理））某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A类试题和一道B类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B类型试题,则使用后该试题回库,+道此次调题工作结束.试题库中现共有n m试题,其中有n道A类型试题和m道B类型试题,以X表示两次调题工作完成后,试题库中A类试题的数量.(Ⅰ)求2=+的概率;X n(Ⅱ)设m n=,求X的分布列和均值(数学期望).6.（20XX年高考（天津理））现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:ξ-,求随机(Ⅲ)用,X Y X Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=||变量ξ的分布列与数学期望Eξ.本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=⨯==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2=⨯==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3=⨯==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为：解：由题：⎪⎭⎫ ⎝⎛43,3~B ξ，所以3,2,1,0,4143)(33=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k P kkk ξ，分布列为说明：n 次独立重复实验中，以事件发生的次数ξ为随机变量．解：随机变量ξ 的取值为3，4，5．当ξ ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他二球的编号只能是1，2，故有;101C C )3(3523===ξ P当ξ ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他二球只能在编号为1，2，3的3球中取2个，故有;103C C )4(3523===ξ P当ξ ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他二球只能在编号为1，2，3，4的4球中取2个，故有.53106C C )5(3523====ξ P因此，ξ 的分布列为解：以ξ 表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则ξ 是一个随机变量，由题设ξ 可能取的数值是0，1，2，3．当ξ ＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为;750.0123)0(===ξ P 当ξ ＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为;204.0119123)1(≈⋅==ξ P 当ξ ＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为;041.0119112123)2(≈⋅⋅==ξ P 当ξ ＝3时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为.005.099101112123)3(≈⋅⋅⋅==ξ P所以ξ 的分布列为说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量ξ的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列．【解析】(I)2X n =+表示两次调题均为A 类型试题,概率为12n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)m n =时,每次调用的是A 类型试题的概率为12p =随机变量X 可取,1,2n n n ++21()(1)P X n p ==-=,1(1)2(1)P X n p p =+=-=,21(2)4P X n p =+==(1)(2)1424EX n n n n =⨯++⨯++⨯=+答:(Ⅰ)2X n =+的概率为12n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)求X 的均值为1n +1. 【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件(0,1,2,3,4)i A i =,则4412()()()33i i ii P A C -=.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22224128()()()3327P A C ==. (2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件B ,则34B A A =⋃,由于3A 与4A 互斥,故334434441211()()()()()()3339P B P A P A C C =+=+=所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能的取值为0,2,4,由于1A 与3A 互斥,0A 与4A 互斥,故2130484017(0)(),(2)()(),(4)()()278181P P A P P A P A P P A P A ξξξ=====+===+= 所以ξ的分布列为ξ0 2 4p827 40811781随机变量ξ的数学期望84017148024********E ξ=⨯+⨯+⨯=.。
【理科附加】概率分布与数学期望-十年高考(2009-2018)之高三数学分项与解读(江苏专版)(Word含解析)
专题7 概率分布与数学期望【考情概览】年份题号考点难度层次考查内容，方式，模型等20182017201620152014 22 概率分布与数学期望一般分布列与数学期望20132012 22 概率分布与数学期望一般分布列与数学期望20112010 22 概率分布与数学期望一般分布列，概率2009【真题展示】1. 【2010江苏，22】某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．【答案】（1）（2）0.8192【解析】解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02．∴X的分布列为：（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4-n 件． 由题设知4n-（4-n ）≥10， 解得n≥又n ∈N ，得n=3，或n=4．所求概率为P=C 43×0.83×0.2+0.84=0.8192答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．2. 【2012江苏，22】设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)． 【答案】411． (2) ξ 012P (ξ)411 611 11162()E ξ+=【解析】解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有238C对相交棱，因此232128C 834(0)C 6611P ξ⨯====.(2)若两条棱平行，则它们的距离为122的共有6对，故21261(2)C 11P ξ===， 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)2)＝4161111111--=， 所以随机变量ξ的分布列是ξ 012P(ξ)411 611 111因此6162()12111111E ξ+=⨯+=3. 【2014江苏，22】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同. （1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X . 【答案】（1）518；（2）20()9E X =. 【解析】（1）由题意22243229518C C C P C ++==； （2）随机变量X 的取值可能为2,3,4，44491(4)126C P X C ===， 313145364913(3)63C C C C P X C +===， 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==， 所以X 的分布列为13120()21434631269E X =⨯+⨯+⨯=.【对症下药】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p :)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.【考题预测】1．某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同学数学获一等奖的概率为，物理，化学，生物获一等奖的概率都是，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量表示该同学获得一等奖的总数，求的概率分布和数学期望．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）解：记“该同学获得个一等奖”为事件，根据相互独立时间的概率计算公式，即可求解；（2）随机变量的可能取值为，求得随机变量取每个值的概率，得到随机变量的分布列，利用公式求解数学期望即可.【详解】（1）解：记“该同学获得个一等奖”为事件，，则，，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为．（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，所以的概率分布为故．【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率的计算和随机变量的分布列和数学期望，其中认真审题，准去判断，根据相互独立事件的概率计算公式得到随机变量的分布列，是解答关键，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.2．从集合的所有非空子集中，等可能地取出个．（1）若，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；（2）若，记所取子集的元素个数之差为，求的分布列及数学期望．【答案】(1) .(2) 分布列见解析，.【解析】分析：（1）集合的非空子集数为，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为，全为偶数的子集数为，由古典概型概率公式可得结果；（2）当时，的所有可能取值为，由组合知识，利用古典概型概率公式可得随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得其数学期望．详解：（1）当时，记事件：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”.则集合的非空子集数为，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为，全为偶数的子集数为，所以，（2）当时，的所有可能取值为则所以的数学期望.点睛：本题主要考查古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.3．已知正六棱锥的底面边长为，高为．现从该棱锥的个顶点中随机选取个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.（1）求概率的值；（2）求的分布列，并求其数学期望．【答案】(1) .(2)分布列见解析，.【解析】分析：（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，共有种取法，其中面积的三角形有个，由古典概型概率公式可得结果；(2)的可能取值，根据古典概型概率公式可求得随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得其数学期望．详解：（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，共有种取法，其中的三角形如，这类三角形共有个因此.（2）由题意，的可能取值为其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；因此所以随机变量的概率分布列为：所求数学期望.点睛：在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数，其次所求概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率；求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.4．袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程次后，袋中红球的个数记为.(I)求随机变量的概率分布及数学期望；(Ⅱ)求随机变量的数学期望关于的表达式.【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】分析：（1）由题意得到的所有取值，然后利用古典概型概率计算公式求出概率，则可得出答案；（2）设，，则则，，再把、……、用表示，得到，从而说明为等比数列，由等比数列的通项公式得答案.解析：(1)由题意可知.当时，即二次摸球均摸到红球，其概率是；当时，即二次摸球恰好摸到一红，一白球，其概率；当时，即二次摸球球均摸到白白球球其概率是.所以随机变量的概率分布如下表：(一个概率得一分不列表不扣分)数学期望.(Ⅱ)设，.则，.，，，，，.所以，..由此可知，.又，所以.点睛：求随机变量及其分布列的一般步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义．(2)利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；(3)按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．5．如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S．（1）求S＝的概率；（2）求S的分布列及数学期望E(S)．【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）由古典概型的概率计算公式，能求出取出的三角形的面积S＝的概率；（2）由题设条S的所有可能取值为为，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量S的分布列及期望．详解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有种不同选法，其中S＝的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种，所以P(S＝)＝＝.（2）S的所有可能取值为，，.S＝的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种，所以P(S＝)＝＝.S＝的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，所以P(S＝)＝＝.又由（1）知P(S＝)＝＝，故S的分布列为SP所以E(S)＝×＋×＋×＝.点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．6．某篮球运动员每次在罚球线投篮投进的概率是0.8，且各次投篮的结果互不影响．（1）假设这名运动员投篮3次，求恰有2次投进的概率（结果用分数表示）；（2）假设这名运动员投篮3次，每次投进得1分，未投进得0分；在3次投篮中，若有2次连续投进，而另外一次未投进，则额外加1分；若3次全投进，则额外加3分，记为该篮球运动员投篮3次后的总分数，求的分布列及数学期望（结果用分数表示）．【答案】（1）0.384；（2）见解析【解析】【分析】(1)先判断随机变量服从二项分布，再根据二项分布概率公式求结果，（2）先确定随机变量取法，再求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.【详解】（1）设为该运动员在3次投篮中投进的次数，则. 在3次投篮中，恰有2次投进的概率;（2）由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6.,;;;.所以的分布列是0 1 2 3 6P 0. 008 0.096 0.128 0.256 0.512.7．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为，且三位学生能否做对相互独立，设为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求的值；（2）求的数学期望．【答案】(1) ,(2)【解析】分析：（1）根据已知列方程组解之即得m,n的值. （2）先计算出a,b的值再求的数学期望．详解：（1）由题意，得又，解得，（2）由题意，所以点睛：本题第1问，可能部分学生找方程比较困难，要注意观察已知的图表信息.表中说明三个都没有做对的概率是，所以.表中说明三个都做对的概率是，所以.8．盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数i,i,2,2,--其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中， 至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ 【答案】(1)1116(2)见解析 【解析】试题分析：（1）根据卡片上分别标有数﹣i ，i ，﹣2，2其中i 是虚数单位，可求P （A ），利用对立事件的概率公式，可求P （B ）；（2）确定随机变量ξ=|a•b|的取值，求出相应的概率，可得分布列与数学期望Eξ． 试题解析：（1）∵卡片上分别标有数﹣i ，i ，﹣2，2其中i 是虚数单位， ∴P （A ）=24=12， P （B ）=1﹣P （B ）=1﹣[00413441111()()()2222C C ⋅⋅+⋅⋅]=1﹣516=1116（2）a ，b ，ξ的可能取值如下表所示：由表可知：P （ξ=1）=416=14，P （ξ=2）=816=12，P （ξ=4）=416=14∴随机变量ξ的分布列为∴Eξ=1×14+2×12+4×14=949．某公司有四辆汽车，其中车的车牌尾号为0，两辆车的车牌尾号为6，车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知两辆汽车每天出车的概率为，两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的.该公司所在地区汽车限行规定如下：（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；（2）设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望.【答案】（1）.（2）见解析.【解析】试题分析：（1）先求出其对立事件（该公司在星期四最多有一辆汽车出车）的概率，则所求概率 .（2）的可能值为0，1，2，3，4，分别求出即可得的分布列和数学期望.试题解析：（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件，则：该公司在星期四最多有一辆汽车出车.∴.答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为.（2）由题意，的可能值为0，1，2，3，4；；；；..答：的数学期望为.【点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥人事件的和；二是先求对立事件的概率，进而求所求事件的概率，本题词的第（1）题采用的是法二.10．在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的33表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．（1）求概率；（2）求的概率分布及数学期望．【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）从33表格中随机不重复地点击3格，共有种不同情形，再将事件分类，根据古典概型概率公式求得概率；（2）先确定的所有可能值为300，400，500，600，700，再分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（1）从33表格中随机不重复地点击3格，共有种不同情形，则事件：“”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含种情形，第二类包含种情形．∴．（2）的所有可能值为300，400，500，600，700．则，，，．∴的概率分布列为：X300 400 500 600 700 P∴（元）．。
高考总复习数学期望和方差
科 教学设计高中数学离散型随机变量的期望方差习题及详解一、选择题1．(全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 [答案] B2．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19C.23D.59 [答案] D3．某区于2010年元月对全区高三理科1400名学生进行了一次调研抽测，经统计发现5科总分ξ(0<ξ<750)大致服从正态分布N (450,1302)，若ξ在(0,280)内取值的概率为0.107，则该区1400名考生中总分为620分以上的学生大约有(结果四舍五入)( )A ．100人B ．125人C ．150人D ．200人 [答案] C5．(模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．2 [答案] A6．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )A ．39元B ．37元C ．20元 D.1003元 7．(广州市)某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800、600、0的四个球(球的大小相同)，参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回)，公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元)，并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次，但是所得奖金减半(若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会)，求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．( )A ．450元B ．900元C ．600元D ．675元 [答案] D8．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256 B.9256 C.247256 D.764 [答案] C9．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平局的概率为b ，负的概率为c (a ，b ，c ∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab 的最大值为( )A.13B.12C.112D.16 [答案] C 二、填空题11．(如图，A 、B 两点间有5条线并联，它们在单位时间内能通过的信息量依次为2,3,4,3,2.现从中任取3条线且记在单位时间内通过的信息总量为ξ.则信息总量ξ的数学期望为________．[答案]42512．(江门市模考)产量相同的机床Ⅰ、Ⅱ生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数X 1、X 2的分布列分别如下：X 1 0 1 2 3 P0.40.40.10.1X 2 0 1 2 P0.30.50.2两台机床中，较好的是________． [答案] Ⅱ 因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)13．(南京调研)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512.现甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．(1)袋中原有白球的个数为________． (2)随机变量X 的数学期望E (X )＝________. [答案] (1)6 (2)10714．(高考调研)如果随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，且D (ξ)＝2，则E (pξ－D (ξ))＝________.[答案] 0 三、解答题15．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课程互不影响，已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)记“函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．16．(2010·新乡市调研)高二下学期，学校计划为同学们提供A 、B 、C 、D 四门方向不同的数学选修课，现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习(受条件限制，不允许多选，也不允许不选)．(1)求3位同学中，选择3门不同方向选修的概率； (2)求恰有2门选修没有被3位同学选中的概率；(3)求3位同学中，选择选修课程A 的人数ξ的分布列与数学期望．17．设两球队A 、B 进行友谊比赛，在每局比赛中A 队获胜的概率都是p (0≤p ≤1)．(1)若比赛6局，且p ＝23，求其中A 队至多获胜4局的概率是多少？(2)若比赛6局，求A 队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？(3)若采用“五局三胜”制，求A 队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望.。
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高考复习考点自测含答案1．(2017·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )．A.65 B.65C. 2 D ．2 解析 由题意知a ＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a ＝－1.s 2＝－1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－125＝2. 答案 D2．已知X 的分布列为X －1 0 1P 12 13 16设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( )． A.73B ．4C ．－1D ．1 解析E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.答案 A3．(2017·湖北)ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9 解析 x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.①又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4.② 由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4. 答案 A4．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )． A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45 解析 ∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ＝1.6， D (X )＝np (1－p )＝1.28，∴⎩⎨⎧n ＝8，p ＝0.2.答案 A5．(2017·上海)随机变量ξξ 7 8 9 10 P 0.3 0.35 0.2 0.15该随机变量ξ的均值是解析 由分布列可知E (ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2. 答案 8.2 6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E (ξ)＝________. 解析 ξ的取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 312C 316＝1128；P (ξ＝1)＝C 212C 14C 316＝3370；P (ξ＝2)＝C 112C 24C 316＝970；P (ξ＝3)＝C 34C 316＝1140.∴E (ξ)＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝34.答案 347．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E (ξ)＝________.解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，35，从而有E (ξ)＝np ＝4×35＝125.答案 125考向一 离散型随机变量的期望和方差【例1】►A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3，(1)求X ，Y 的分布列；(2)求E (X )，E (Y )．[审题视点] 首先理解X ，Y 的取值对应的事件的意义，再求X ，Y 取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望．解 (1)X ，Y 的可能取值分别为3,2,1,0.P (X ＝3)＝23×25×25＝875，P (X ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875，P (X ＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25，P (X ＝0)＝13×35×35＝325；根据题意X ＋Y ＝3，所以P (Y ＝0)＝P (X ＝3)＝875，P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝2875，P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝25，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝325.X 的分布列为Y 的分布列为(2)E (X )＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×25＝15；因为X ＋Y ＝3，所以E (Y )＝3－E (X )＝2315.2.广东17.(本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
（1）求图中x 的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人， 该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ， 求ξ的数学期望。
【解析】（1）0.0061030.01100.054101010.018x x ⨯⨯+⨯+⨯+⨯=⇔= （2）成绩不低于80分的学生有(0.0180.006)105012+⨯⨯=人，其中成绩在90分以上（含90分）的人数为0.0610503⨯⨯=随机变量ξ可取0,1,221129933222121212691(0),(1),(0)112222C C C C P P P C C C ξξξ=========69110121122222E ξ=⨯+⨯+⨯=答：（1）0.018x =（2）ξ的数学期望为12考向二 期望与方差性质的应用【例2】►设随机变量X 具有分布P (X ＝k )＝15，k ＝1,2,3,4,5，求E (X ＋2)2，D (2X －1)，D X －1.[审题视点] 利用期望与方差的性质求解．解 ∵E (X )＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝155＝3.E (X 2)＝1×15＋22×15＋32×15＋42×15＋52×15＝11.D (X )＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15＋(5－3)2×15＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2.∴E (X ＋2)2＝E (X 2＋4X ＋4)＝E (X 2)＋4E (X )＋4＝11＋12＋4＝27.D (2X －1)＝4D (X )＝8，D X －1＝D X ＝ 2.【训练2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 12 120 110 320 15∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2. 又E (η)＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2. 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4，即为所求．一、选择题1．已知某一随机变量X 的概率分布列如下，且E (X )＝6.3，则a 的值为( ).X 4 a 9 P 0.5 0.1 bA ．5B ．6C ．7D ．8解析 由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1，∴b ＝0.4. ∴E (X )＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3. ∴a ＝7. 答案 C2．(2017·安徽合肥)已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，D (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )．A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1解析 由题意得⎩⎨⎧ np ＝2.4，np 1－p ＝1.44，解得⎩⎨⎧n ＝6，p ＝0.4.答案 B3．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (η)，D (η)分别是( )． A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6解析 若两个随机变量η，X 满足一次关系式η＝aX ＋b (a ，b 为常数)，当已知E (X )、D (X )时，则有E (η)＝aE (X )＋b ，D (η)＝a 2D (X )．由已知随机变量X ＋η＝8，所以有η＝8－X .因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案 B4．已知X 的分布列为X －1 0 1 P121316则在下列式子中：①E (X )＝－13；②D (X )＝27；③P (X ＝0)＝13.正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 E (X )＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D (X )＝⎝⎛⎭⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎫1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确． 答案 C5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b的最小值为( )．A.323B.283C.143D.163解析 由已知得，3a ＋2b ＋0×c ＝2，即3a ＋2b ＝2，其中0<a <23，0<b <1.又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝⎛⎭⎫2a ＋13b＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋2 2b a ·a 2b ＝163，当且仅当2b a ＝a 2b ，即a ＝2b 时取“等号”，又3a ＋2b ＝2，即当a ＝12，b ＝14时，2a ＋13b 的最小值为163，故选D.答案 D。