最新全国数学竞赛试题及答案详解
教育部数学竞赛试题及答案
教育部数学竞赛试题及答案试题一：代数部分1. 计算下列表达式的值：\( (x^2 - 3x + 2) / (x - 1) \)，当\( x = 2 \)。
2. 解方程：\( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \)。
3. 证明：对于任意实数 \( a \) 和 \( b \)，\( (a + b)^2 \leq2(a^2 + b^2) \)。
试题二：几何部分1. 已知三角形ABC中，角A为30度，角B为45度，求角C的度数。
2. 圆O的半径为5，点P在圆上，OP=3，求点P到圆心O的切线长度。
3. 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
试题三：概率统计部分1. 抛掷一枚均匀硬币两次，求至少出现一次正面的概率。
2. 从1到10的整数中随机选择一个数，求这个数是奇数的概率。
3. 一个班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。
随机选择5名学生，求至少有3名男生的概率。
试题四：数论部分1. 证明：对于任意正整数 \( n \)，\( n^5 - n \) 总是能被30整除。
2. 求所有小于100的正整数，它们既是完全平方数，又是完全立方数。
3. 证明：不存在两个连续的完全平方数，它们的和是一个完全立方数。
答案：试题一：1. 将 \( x = 2 \) 代入表达式，得到 \( (2^2 - 3*2 + 2) / (2 -1) = 0 \)。
2. 解方程 \( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \)，使用公式 \( x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)，得到 \( x = \frac{-5 \pm\sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4} \)，即 \( x = -2 \)或 \( x = \frac{1}{2} \)。
3. 证明：\( (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \)，而 \( 2(a^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2 \)，显然 \( 2ab \leq 2a^2 + 2b^2 \)，所以 \( (a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2) \)。
数学竞赛试题及答案
数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 如果一个数除以3的余数是2，那么这个数加1后除以3的余数是多少？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，其体积是多少立方厘米？A. 240B. 180C. 120D. 100答案：A4. 一个数的75%是150，那么这个数是多少？A. 200B. 300D. 500答案：B5. 一个班级有21个男生和一些女生，班级总人数是42人，那么这个班级有多少女生？A. 21B. 20C. 19D. 18答案：B6. 下列哪个分数是最接近1的？A. 1/2B. 3/4C. 4/5D. 9/10答案：D7. 一个数的1/3与它的1/4的和等于这个数的1/2，那么这个数是多少？A. 12B. 24C. 36D. 48答案：B8. 一个正方形的面积是64平方厘米，它的周长是多少厘米？A. 32B. 48C. 64答案：B9. 一个数的3倍加上12等于这个数的7倍，求这个数是多少？A. 4B. 6C. 8D. 10答案：C10. 下列哪个数是质数？A. 15B. 29C. 35D. 50答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个长方形的长是15cm，宽是长的1/3，那么这个长方形的宽是_______cm。
答案：5cm12. 一本书的价格是35元，如果打8折，那么现价是______元。
答案：28元13. 一个数的1/2与它的1/4的差等于3，那么这个数是______。
答案：1214. 一个数的倒数是1/7，那么这个数是______。
答案：715. 一个数的1/5加上它的1/3，和是这个数的______。
答案：8/15三、解答题（每题10分，共40分）16. 一块地的面积是300平方米，如果长是30米，那么这块地的宽是多少米？答案：这块地的宽是300平方米除以30米，即10米。
全国初中数学竞赛试题及解答
ABCD全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。
请将正确答案的代号填在题后的括号里）1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（ ）A 、P MB 、P MC 、P MD 、不确定 答案：B 解析：∵3c b a M ，2b a N ，222c b a c N P ，122cb a P M ∵c b a ∴0122122c c c c b a P M ，即0 P M ，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）答案：C解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案：A解析：由题意知3×（甲－乙）151025 ∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线49545x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个 答案：B解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ，N y 525 ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N ，且0525 N ，∴541N ，即1 N ，2，3，4，55、设a ，b ，c 分别是ABC 的三边的长，且cb a ba b a，则它的内角A 、B 的关系是（ ）A 、AB 2 B 、A B 2C 、A B 2D 、不确定 答案：B解析：由c b a b a b a得c a bb a ，延长CB 至D ，使AB BD ，于是c a CD 在ABC 与DAC 中，C C ，且DC ACAC BC∴ABC ∽DAC ，D BAC ∵D BAD∴BAC D BAD D ABC 226、已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，111C B A 的三边长分别为1a ，1b ，1c ，面积为1S ，且1a a ，1b b ，1c c ，则S 与1S 的大小关系一定是（ ）A 、1S SB 、1S SC 、1S SD 、不确定 答案：D解析：分别构造ABC 与111C B A 如下：①作ABC ∽111C B A ，显然1211a a S S ，即1S S ；②设101b a ，20c ，则1 c h ，10 S ，10111 c b a ，则10100431S ，即1S S ；③设101 b a ，20 c ，则1 c h ，10 S ，2911 b a ，101 c ，则2 c h ，101 S ，即1S S ；因此，S 与1S 的大小关系不确定。
数学竞赛试题(带答案)
数学竞赛试题一、选择题(本题共8小题．每小题6分，满分48分)：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的．请将正确选项的代号填在题后的括号内．1．如果a ，b ，c 是非零实数，且a+b+c=O ，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ．1或-1C ．2或-2D ．0或-22．如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是( )．A ．a+lB ．a 2+lC ．a 2+2 a+1 D ．a+22+l 3．甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两人继续比赛，直到分出胜负，负者退下，由另一人与胜者比赛．比赛若干局后，甲胜4局、负2局；乙胜3局、负3局．如果丙负3局，那么丙胜( )．A ．O 局B ．1局C ．2局D ．3局4．关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 235332只有5个整数解．则a 的取值范围是( )．A ．-6<a<-211B ．-6≤a<-211 c ．-6<a≤-211 D ．-6≤a ≤-211 5．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a=l ，则这个正方形的面积 为( )．A ．2537+B ．253+C ．215+ D ．(1+2 )2 6．某种产品按质量分为l 0个档次．生产最低档次产品，每件获利润8元．每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大的产品是第k 档次(最低档次为第一档次，档次依次随 质量增加)，那么k 等于( )．A ．5B ．7C ．9D ．107．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A=30°，∠C 的平分线与∠B 的外角的平分线交于E 点，连结AE ，则∠AEB 是( )．A ．50° B．45° C．40° D．35°8．已知四边形ABCD ，从下列条件中：(1)AB∥CD； (2)BC∥AD； (3)AB=CD ； (4)BC=AD ；(5)∠A =∠C； (6)∠B =∠D． 任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有( )．A ．4种B ．9种C ．1 3种D ．1 5种二、填空题(本题共4小题，每小题8分，满分32分)：将答案直接填写在对应题目的横线上．9．已知-l<a<0，化简4)1(4)1(22+-+-+aa a a 得 ． 10．如图，已知AD=DB=BC ．如果∠C=α，那么∠ABC=11．甲、乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占 有济南市场同类产品的43．然而实际情况并不理想．甲厂仅有21的产品、乙厂仅有31 的产品销到了济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的31 ．则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为12．假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座位，租金400元；乙种客车每辆有50个座位，租金480元．则租用该公司客车最少需要租金 ．三、解答题(本题共3小题，每小题20分，满分60分)：13．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°CD 是角平分线，DE∥BC 交A C 于点E ，DF∥AC 交BC 于点F ．求证：(1)四边形CEDF 是正方形；(2)CD 2=2AE·BF．14．设方程20022x 2-2003·2001 x -l=0的较大根是r ，方程2001 x 2-2002 x+1=0的较小根是s ，求r-s 的值．15．在1 8×18的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相等的正整数．求证：无论哪种填法，至少有两对相邻小方格(有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格)，每对相邻的两小方格中所填之数的差均不小于1 0．初中数学竞赛一、选择题1．A 2．D 3．B 4．C 5．A 6．C 7．B 8．B二、填空题9．一a 2 10．180°一23a 11．2：l 12．3520(1)当a 和b 所在的方格既不同行又不同列时，从 a 所在的方格出发，可以通过一系列向相邻格(上下或左右)的移动而达到6所在的格．如图(1)所示．由于a 和b 既不同行又不同列，总存在两条完全不同的路线(两路线途径的方格无一相同)，由a 所在的方格到达b 所在的方格．显然，无论是线路甲，还是线路乙，其相邻移动的次数均不超过17+17=34次．若在线路甲上任何相邻两方格所填之数的差均小于或等于9，则323≤b -a≤34×9=306．这与事实不符．路线乙的情况完全相同，所以，在路线甲和路线乙中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10．(2)当a 和b 所在的方格同行或同列时．与情况1类似，如图(2)所示，同样可以找到两条完全不同的，移动次数不大于34次的路线甲和路线乙，其中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10．。
2024全国高中数学奥林匹克竞赛试题
1、设a，b，c为正实数，且满足a+b+c=1，则1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值为多少？A. 1B. 3/2C. 2D. 5/2解析：本题主要考察不等式的应用及求解最值问题。
通过运用柯西不等式，我们可以推导出1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值。
经过计算，当且仅当a=b=c=1/3时，取得最小值1。
（答案）A2、在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=√3，b=3，且三角形ABC的面积为(3√3)/4，则c的值为多少？A. 1B. 2C. √7D. √13解析：本题主要考察三角形的面积公式及余弦定理。
根据三角形面积公式S=(1/2)absinC，我们可以求出sinC的值，再利用余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，结合sin²C+cos²C=1，可以求出c的值。
经过计算，c=√7。
（答案）C3、设正整数n满足：对于任意的正整数k(1≤k≤n)，n都能整除k⁵-k，则n的最大值为多少？A. 60B. 120C. 240D. 360解析：本题主要考察整除的性质及数论知识。
我们需要找到一个正整数n，使得对于任意的正整数k(1≤k≤n)，n都能整除k⁵-k。
通过分解k⁵-k，我们可以发现其包含因子2, 3, 4,5等，结合这些因子的性质，我们可以求出n的最大值。
经过推导，n的最大值为120。
（答案）B4、已知数列{an}满足a₁=1，且对于任意的n∈N*，都有aₙ₊₁=aₙ+n+1，则a₁₀的值为多少？A. 46B. 50C. 55D. 66解析：本题主要考察数列的递推关系及求和公式。
根据题目给出的递推关系aₙ₊₁=aₙ+n+1，我们可以逐步求出数列的项，或者通过求和的方式直接求出a₁₀。
经过计算，a₁₀=55。
（答案）C5、在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(0,1)，C(2,3)，则三角形ABC外接圆的圆心到原点O的距离为多少？A. √2/2B. √5/2C. √10/2D. √13/2解析：本题主要考察三角形外接圆的性质及距离公式。
全国初中数学联合 竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4..2．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为 （ ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则 （ ）4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA 5PC ＝5，则PB ＝______．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，___P_A_C_B求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积._ Q_I _ P_ C_ A_M_B第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 解： 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。
全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分,共30分。
）1（甲）．如果实数a ，b ，c 22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为（ ）．（A ）2c a - （B ）22a b - （C ）a - （D)a 1（乙）．如果22a =-11123a+++的值为（ ）．（A)2- （B 2 （C ）2 （D ）222（甲）．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2）,那么另一个交点的坐标为（ )． （A ）（2，3） （B ）（3，－2） (C ）（－2,3） （D ）（3，2）2（乙）． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y )的个数为（ ）． （A ）10 （B ）9 (C ）7 （D ）53（甲)．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<,那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( )． (A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D)143（乙）．如图,四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为( ）． (A)23 （B)4 （C ）52 （D)4。
54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说:“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是( ）．OAB CED(A ）1 （B ）2 （C ）3 (D ）44（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D) 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，,则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． (A ）0p （B ）1p (C ）2p （D ）3p 5（乙）．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后,黑板上剩下的数是（ ）．(A ）2012 (B ）101 （C ）100 （D ）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x "到“结果是否>487？"为一次操作。
全国2022年初中数学联合竞赛试题【含答案】
全国2022年初中数学联合竞赛试题（含答案解析）一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为（ ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21.2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（ ）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ ）A ．5组.B ．7组.C ．9组.D ．11组.5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （ ）A ．21+.B ．6.C ．132-.D ．31+.6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则zy x 432++的值为 （ ）A ．1. B ．23. C ．2. D ．25.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A ．8．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 ．9．能使2562+n 是完全平方数的正整数n 的值为 ．10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 43=，58=AC ，D 为EF的中点，则BAAB ＝ ．第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（1）︒=∠30PBD ；（2）DC AD =．三．（本题满分25分）已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且)(3222OC OB OA OC OB OA ++=++．（1）证明：3+=+p n m ；（2）求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．第二试 （B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且DS =2SB ．求证：DC AD =．C A B三．（本题满分25分）已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且2OA ＋2OB ＋2OC ＝3(OA ＋OB ＋OC ）．求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB AC BC ,,的垂线，垂足分别为F E D ,,，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ．如果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线．三．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第三题相同.一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为（ ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21.2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（ ）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ ）A ．5组.B ．7组.C ．9组.D ．11组.5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （ ）A ．21+.B ．6.C ．132-.D ．31+.6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则zy x 432++的值为 （ ） A ．1. B ．23. C ．2. D ．25.【答案】C.【解析】已知等式得2=+++z y x zx xy ，3=+++z y x xy yz ，4=+++zy x yz zx ，所以29=++++z y x zx yz xy ．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A ．8．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 ．c b c b 42422-=-，10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 43=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB ＝ ．第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（1）︒=∠30PBD ；（2）DC AD =．三．（本题满分25分）已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且)(3222OC OB OA OC OB OA ++=++．（1）证明：3+=+p n m ；（2）求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．第二试 （B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且DS =2SB ．求证：DCAD =．三．（本题满分25分）已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且2OA ＋2OB ＋2OC ＝3(OA ＋OB ＋OC ）．求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB AC BC ,,的垂线，垂足分别为F E D ,,，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ．如果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线．若11MM NN =，则1111)1(NN MM MM NN PD λλ-+===．若11MM NN >，同理可证11)1(NN MM PD λλ-+=． ………15分三．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第三题相同.。
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最新全国数学竞赛试题及答案2019年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时，请依据本评分标准•填空題只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理■步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次•一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分•1.已知止实数4满足°。
= (%)匕则log u(3α)的值为_________答案：⅛I £9解：由条件知9α = α",故3a = J9a ∙a=αub,所以log (3t∕)=—・2.若实数集合{l,2,3,x}的最人元索与最小元索Z基等于该集合的所有元素之和，则开的值为___________ ・答案：一扌.解：假如x>0 ,则故大、最小元素之林超过max{3,x},而所有元素之和大T∙nm{3,x},不符合条件•故XVO,即.丫为最小元素.「•是3-.丫= 6 + .丫，解得心弓. ，.3・平而百•角坐标条中，e是单位向吊，向吊S满足a∙e=2 , ∏ a≤5 α + ∕e对任意实数f成立，则同的取值范由是__________ ・答案:[√5,2√5].解：不妨设e = (l,0).由于α∙ e = 2,可设α = (2,y),则对任总实数八¾*4⅛52 = a <5 aA-te= 5√(2÷∕)2÷s2 ,这等价于4÷√<5∣5∣,解得μ∣∈[1,4],即.r∈[∣J6]. 于足a= >∕4÷52∈[∖∕5,2>∕5].4•设为椭圆F的长轴顶点，化尸为F的两个焦点，|肋| = 4、∣JF∣= 2÷√3, P为F上-点，满足I PE∖↑PF∖ = 2 ,则••的面积为__ .答案：∣∙解：不妨设平而頁角坐标系屮「的标准方程为⅛ + 4=l(α>∕>>0)・a' Ir根据条件得2a = ∖AB∖= 4, α± Ja -b2 =∣Jλ ∣ = 2 + V3 .可知O = 2,6 = 1,且纠=2圧F = 2√3 .山椭関定义知|P£| + ∖1Ψ∖= 2α = 4,结合|阳・|阳=2得∖PE[ + IPrI2 = (IMl + 1"Ir - 2∖PE∖∖PF∖ =12 = IzTf ,所以Z.EPF为貞角，进而Sg = ^∖PE[∖Pl∙∖ = I・5・在1,2.3,…,10中随机选出一个数—在一1,一2、一3,・・・,一10中随机选出一个数/>・则/+b被3整除的概率为_____________答案：蓿解：数ai(α,∂)共有10' = IOO种等概率的选法.考应其中使α2+Λ被3格除的选法数N •若。
被3整除•则〃也被3整除•此时各仃3种选法•这样的(仏方)何3' = 9组・若α不被3整除■则a2≡ I(InOd3) •从而/)三-l(mod3) •此时a {∖7种选法，〃有4种选法，这样的("#)有7x4 = 28组.37 因此N = 9 + 28 = 37∙于是所求概率为1006.对任总闭区间/,用数y = smx在/上的灿人值.若止数“满足Mg = 2M"∣,则4的値为________________________________ ・答案：丄7r 或旦7r.6 12解：假⅛IO<α<^,则山止弦函数图像性质得OVA仏“=SiIWSM心，打条件不符.因此σ> j,此时M OtfI = I,故Λ‰=4・于是〃在非负整数4使得2kπ÷-π <a <2cι <2Λπ +—π .①6 6乂①中两处“s ”至少有一处取到等号.当&= 0时，得G = =Tr或2α =匕Tr・经检验，t/ = —7Γ, —π均满足条件.6 6 6 12当& 2丨时，由F 2Λπ + -π<2 2Arπ÷-π ,故不存在满足①的α・综匕4的值为丄亦或空Tr・6 127.如图，止方体A Hcl)- EI GH的•个截而经过顶点,4,「及棱H上•点K・IL将正方体分成体枳比为3:1的两部/∕r分.则£的伉为______________ .Kr答案：・解：记(、为檢ħi所任半面.延SF交r点几则P 在n上.故宜线CPfiL(I f I平面BCGF的交线•设CP与卩G交于点L •则四边形 /紅C为截面・因平而ABC平行于平而KlL >且AK. BF、CL共点P ,//台・不妨设正方体楼长为1•则正方体休枳为1∙结合条件知棱台ABC-KFL 的 体枳卩=丄・4设PF = h ,则竺=皂=些=丄.注总到AB IiC Pli 力 + 1分别是棱锥P-ABC^锥P-MZ 的髙，于是化简得方=1,故嗨.从而^ = ^ = I = √3∙8•将6个数2, 0,1, 9, 20,19按任意次序排成一行,拼成一个8位数（首位不为0）,则产生的不同的8位数的个数为 ____________ •答案：498・解：将2, 0,1, 9, 20J9的首位不为0的排列的全体记为A ・易知制= 5x5!=600 （这里及以下，IX ∣农示有限集X 的元索个数）・将J ∙∣∙2的后一项是0,且1的后一项是9的排列的全体记为J'P 2的后 一项足0,但1的拆一项不足9的排列的全体记为「： J 1I 1I 的丿Γi 一项足9,但2 的后一项不是0的排列的全体记为D •易知网= 4!, ∣β∣÷∣C ∣ = 5!・ ∣B ∣+∣D ∣ = 4×4!.即∣B ∣=24,∣C ∣ = 96,∣D ∣ = 72∙由〃中排列产生的每个8位数,恰对应〃中的2x2 = 4个排列（这样的排列 中，20IIr 与“ 2,0”互换.19可与“1,9 ”互换）・类似地,由“或D 中排列产 生的每个8位数,恰对应「或D 中的2个排列.因此满足条件的8位数的个数为 |小（〃 UCUD ）1+弓+"； PI二.解答题：本大题共3小题，满分56分•解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤•9.（本题满分16分）任ZU 〃「中,BC = a,CA ≈ 6, AB = C ・若〃是α ⅛ C 的 等比中项，ILSin /足sin （〃一/4）与sin 「的等左中项，求COS 〃的Hi ∙解：I 大“足c 的等比中项，故/∕√i ∙√>0,满足 b = CIa y C = CI I a . 因SinJ 是sin （〃一力）,Sin C 的等差中项,故2sin J = Sin(Zy-J)÷sinC = sin(2∕ — J)+sin(B + A) = 2sinBcos •结合正、余弦定理，得 a Sin A I Λ2 + c 2 —α2—= ----- =COS A = ---------- b Sin B Ihc即b 2 +c 2-a 2= IaC.= ∖AB. BC-PB-I KF. FL. PF 3/r ÷3Λ÷I6(∕∕÷1)2坐L 鬥一也 = 600-18-48-36 = 498I t.............. 20分IL （本题满分20分）称一个复数数列｛叮为“冇趣的”，若∣∙l∣ = l, H 对任盘正整数”，均有4zt l +2r^+1÷z; = 0.求爪犬的带数「，使得对一切有趣 的数列匕」及任意止整数加，均有∣z 1÷z 2÷∙∙→r m ∣≥C ・解：考虑有趣的复数数列｛»｝・归纳地可知亠HoSGNJ.由条件,得。
「一将①代入并化简，可知b+于一 1 = 2几即√4=√÷1,所以2 √5 +1q∙ = ---- •...... 予2 12分进而_ D C 2 +α2 - ft 2g 4+l-g' I∖∕5-lCOS Z/ =—Z = "~τ=2(/( 2(「 q 2........................... 16分10.（本题满分20分）在平而直角坐标系XOF 中，IMlQ 与抛物线『:b=4x 恰有一个公共点，且圆。
与X 轴相切于r 的魚点F ・求圆Q 的半径・解：易知『的焦点F 的坐标为（1,0）.设恻Q 的半•径为r （r >0）・山对称性, 不妨设。
在X 轴上方与X 轴相切于F ,故。
的方程为（x-l ）2÷（^-r ）2 = r 2 ・=£代入①并化简，得匸一1 ÷∕-2∕y = 0・显然y>0,故44hI1 ［（y 2VF = — --- ----- 1 + V2八432y........................... 5分根据条件.②恰有一个止数解丿，该y 值对应Q 与『的唯一公共点. 考虔f（y ）= UJ役（丿>O ）的最小值.32y由平均值不等式知才+4 = y2+* + g + g≥4 ［产彳,从而Λy) >当Ji 仅当r=y ・即丿=芈时，/U ）取到故小值警・山②有解可知r ≥芈・又假如r> 習,因/（刃随y 连续变化，且y → 及y→+oc 时/（J ）均可任意大，故②在I o,^∣及I 羊 15分, + OO 上均有解，与解的唯一性矛∕⅛∙综上’仅有〜学满足条件（此时是。
与F 的唯一公共点）•头定@瞬践檎解得玉L = .T±/i (〃wN ・)・内此 Ul=BI •占=+（〃“•）・进而冇+ 1 = 0（〃WN ） ∙I=N-I I +⅞II =⅛id T m =∣z l ÷r 2d -- 卜 r w ∣（∕w ∈N*）. 肖加=2$GWN •）时,利用②可得7上 I 二I + & I - £ I -2⅛-∣ + 二” I >专- £ I -2t-i +I 「2二”+二小 3±>Λi _空 4~ _ — 2门〃"・)・I >∕3 >/3 V3 ^l=T -∑i aT = τ∙.............. 10分当/» = 2$ +I （SWNJ 时.由①、②可知1-2Mll =⅛<3‰ = Σ2pΓΓ= Σl÷* ∣÷-2il tL j*x ArHz 4-1H^≥∣-∣÷-2∣-[∑∣-当加=1 时.7；=IZ I I = 以上表明C =普满足要求.2i-l +二』T-2,÷∣l >~~ΣI -2⅛-l ÷r2tl = ~∙ 1>√∑.一 315分另一方而，当 ∑∣ = 1, Z lk ' + J^i｛二」为仃趣的数列•此时”> ∙2*<∣2”*'^1^^i (A ∙∈N*)时.易验证知Iim7- 4 ∙∕×= Iiml÷⅛"3= IiT r 1 +刀（二”+"J⅛=l-3÷√3i 4√3 -------- =—.3这表明「不能大于£综上•所求的42019年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次.—、（本题满分40分）如图，在忧角「屮，M是肌边的屮点•点P在（、内，使得AP r∙分乙BAC .片线MP与HABp、氐AeP的外接圆分别相交于不同于点P的两点/）"・证明：若DE = MP,则〃C=2BP・证明：延长PA/到点F ,使得MF = ME・连接必；IiLI CE・Ih 条彳牛币J⅛J ΔHDP = Z/MP =乙CAP = Z.CEP = ΔCEM ・..... 10 金∣λ∣为HM = CXf ILEM = FM、所以=CE且BFHCE ・于是Z" = Z-CEM = ZRl)P,进而Bl) = B卜・........... 20 分又 DE = MP,故Dp = EM = FM ・F是在等腰厶Bf)F中,由对称性得〃P = BM・从而BC≈2BM ≈2BP・40分二、(本题满分40 分)设整数αl,α2√∙∙,σ20l9满足l = α1 <^2≤,*,≤^Ol9・记 / = (a； + + …+ a2O∣9 )4。