§18运用目标达到法求解多目标规划
多目标规划问题的几种常用解法
多目标规划问题的几种常用解法(1) 主要目标法其基本思想是：在多目标问题中，根据问题的实际情况，确定一个目标为主要目标，而把其余目标作为次要目标，并且根据经验，选取一定的界限值。
这样就可以把次要目标作为约束来处理，于是就将原来的多目标问题转化为一个在新的约束下的单目标最优化问题。
(2) 线性加权和法其基本思想是：按照多目标f i (x) (i=1, 2, … ,m)的重要程度，分别乘以一组权系数λj (j=1, 2, … ,m)然后相加作为目标函数而构成单目标规划问题。
即 ∑==m j j j x f f 1)(min λ，其中∑==≥mj j j 110λλ且(3) 极大极小法其基本思想是：对于极小化的多目标规划，让其中最大的目标函数值尽可能地小，为此，对每个 x ∈R ，我们先求诸目标函数值f i (x)的最大值，然后再求这些最大值中的最小值。
即构造单目标规划：{})(max min 1x f f j mj ≤≤= (4) 目标达到法（步骤法）对于多目标规划：[])(,),(),(m in 21x f x f x f ms.t g j (x) ≤0 j=1, 2, … ,n先设计与目标函数相应的一组目标值理想化向量),,(**2*1m f f f ，再设γ为一松弛因子标量。
设),,,(21m w w w W =为权值系数向量。
于是多目标规划问题化为：()kj x g m j f w x f j j j j x ,,2,10)(,,2,1min *, =≤=≤-γγγ（5）字典序法对目标的重要性进行排序，依次求解各单目标规划（前一个目标的最优解不唯一，其结果作为下一个目标的约束），到有唯一解时结束。
目标规划与多目标规划
x11
x 21
x 31
d
7
d
7
200,
x12
x 22
x 32
d
8
d
8
100,
x13
x 23
x 33
d
9
d
9
450,
x14 x 24 x 34 d10 d10 250,
min
d
7
d
8
d
9
d10
（5）新运费尽量不超过不考虑各个目标费用的10%：
34
min z
cij x ij
4 i j1
xij ai , i 1,2,3
j1
s.t.
3
xij b j, j 1,2,3,4
i 1
xij 0, i 1,2,3; j 1,2,3,
上述模型的求解程序及结果为
sets:
gch/1..3/:a;
yhu/1..4/:b;
P1>>P2>>P3>>P4.
2
列出每个部门的目标愿望分为决策值和目标值。决策值
依赖于问题的决策变量，使决策变量的表达式，目标值是该
决策值的一个愿望参考值。比如，设决策者决定生产产品I x1 件，产品II x2件。则四个部门的目标决策值和目标值分别为
部门 营销部门 材料部门 设备管理 财务部门
目标决策值f
c=5 2 6 7 3546
计算得到最小运费为2950元.
4 5 2 3;
enddata
多目标决策方法讲义PPT92页
图3
对应于第二优先等级，将 ＝0作为约束条件，建立线性规划问题：
用LINGO求解，得最优解 ＝0 ， ，最优值为6。具体LINGO程序及输出信息如下：LINGO程序为（参见图4）：
model:min=d2_;10*x1+15*x2+d1_-d1=40;x1+x2+d2_-d2=10;d1=0;END
图4
LINGO运算后输出为（参见图5）：
图5
对应于第三优先等级，将 ＝0， 作为约束条件，建立线性规划问题：
用LINGO求解，得最优解是 ， ，最优值为7。具体LINGO程序及输出信息如下（参见图6） ：
目标函数
目标约束
绝对约束
非负约束
在以上各式中，kl+ 、kl- 分别为赋予pl优先因子的第 k 个目标的正、负偏差变量的权系数，gk为第 k个目标的预期值，xj为决策变量，dk+ 、dk- 分别为第 k 个目标的正、负偏差变量。
目标函数
目标约束
绝对约束
非负约束
目标规划数学模型中的有关概念。
(1) 偏差变量 在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要引入正、负偏差变量 d +、d - 。其中，正偏差变量表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分。 因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，故有d +×d - =0成立。
第二部分 多目标决策的数学模型及其非劣解
一、多目标决策的数学模型
（一）任何多目标决策问题，都由两个基本部分组成： （1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。
（二）对于多目标决策问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形式：
数学毕业论文-浅谈多目标规划及解法
数学毕业论文-浅谈多目标规划及解法数学毕业论文-浅谈多目标规划及解法浅谈多目标规划及解法摘要：本文对多目标规划问题的解决方法进行了归纳和总结，并且进行了1定的评论。
基本方法有主要目标法、分层序列法；评价函数法，理想点法、线行加权和法、平方和权法；功效系数法。
特别地介绍了1种关于线性多目标规划求最优解的方法。
通过归纳和总结，熟知各解决方法的`特点，以便以后在实际中能够得到更好的应用。
并且给出了1种新的评价函数。
关键词: 多目标规划；解决方法；弱有效解；算法On multi-objective programming and Its SolutionAbstract: This article has carried on the induction and the summary to the multi-objective programming, and has carried on the certain commentary. The main method has the primary-object method，Lexicographic method，evaluation function methods，robustness estimate，linearity weighted sum method, involution weighted sum method efficiency coefficient method .Specially introduced one kind of method of optimal solution about muti-objective linear programming. Through the induction and the summary, knows very well each solution the characteristic, in order to later in will be actual can obtain a better application. And has produced one kind of new evaluation function.Keywords： multi-objective programming; solution; weak efficient solution; algorithm 目录中文题目 (1)中文摘要和关键词 (1)英文题目 (1)英文摘要和关键词 (1)前言 (2)正文 (3)1 有关多目标规划的基本概念 (3)1.1 标准形式 (3)1.2 多目标规划的解 (4)2 基本方法 (4)2.1主要目标法 (5)2.2 分层序列法 (5)2.2.1不容许宽容 (5)2.2.2允许宽容 (6)2.3评估函数 (7)2.3.1理想点法 (7)2.3.2线性加权和法 (8)2.3.3平方加权法 (8)2.4功效系数法 (8)2.4.1直线法 (9)2.4.2指数法 (10)2.5 线行多目标规划最优解求法 (10)2.5.1(LVP)弱有效解的解集性质与求解方法 (10)2.5.2 决策者满意解的确定方法 (15)2.5.3 算法步骤 (15)2.6确定权数法 (16)2.7新的评价函数 (17)3 结束语 (17)参考文献 (18)致谢 (20)【包括：毕业论文、开题报告、任务书】【说明：论文中有些数学符号是编辑器编辑而成，网页上无法显示或者显示格式错误，给您带来不便请谅解。
求解多目标决策常用的三种方法Read
x2 d1-
d1+
d2+
o
x1 d2-
d3+
d3-
最优解为黄色线段上任一点
一般来说，目标期望值可调整以适应实际情况。
三、目标规划的lindo求解
（以《运筹学》P107例5.(2)为例） 主要思想：化成单目标问题，多阶段求解
min
z
P1d
3
P2 (2d1
3d
2
)
P3d
4
x1 x2 d1 d1 10
例1 利润最大化问题：
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、 Ⅱ两种产品，已知 有关数据如下表所示：
Ⅰ Ⅱ 拥有量
原材料 kg
2
1
11
设备台时 hr 1
2
10
利润 元/件
8
10
试求获利最大的方案。
解：这是一个单目标规划问题，可用线性规划模 型表述为：
目标函数 max z = 8x1+10x2
约束条件 2x1 + x2 ≤11
d2－＋d2＋
4.利润额不小于56元
8x1＋10x2 ≥ 56
极小化
8x1＋10x2＋d3－－d3＋ ＝56
d3－
综上可得目标规划模型
min
z
P1
d
1
P2
(
d
2
d
2
)
P3
d
3
2 x1 x2
11
x1
x2
d
1
d
1
0
x1
2 x2
d
2
d
2
10
8 x1
10 x2
d
3
多目标规划求解
相比 的目标超过值和不足值，即正、负偏差变 lk 、 lk 表示在同一优 量；p l 表示第l个优先级；
先级 p l 中不同目标的正、负偏差变量的权系数。
五、目标达到法
首先将多目标规划模型化为如下标准形式
f1 ( X ) minF(x) min f 2 ( X ) f ( X ) k
第2节 多目标规划求解技术简介
效用最优化模型 罚款模型
约束模型
目标规划模型 目标达到法
为了求得多目标规划问题的非 劣解，常常需要将多目标规划问题 转化为单目标规划问题去处理。实 现这种转化，有如下几种建模方法：
一、效用最优化模型
建摸依据：规划问题的各个目标函数可以 通过一定的方式进行求和运算。这种方法将一 系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各 目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问 题转化为传统的单目标规划问题
Φ ( x , x , , x ) g ( i 1 , 2 , , m ) i 1 2 n i
或写成矩阵形式
T min Z ( F F ) A ( F F )
Φ (X )G
式中： a i 是与第i个目标函数相关的权重；
A是由 a 组成的m×m对 角矩阵。 ( i 1 , 2 , , k ) i
1 ( X ) 0 2 ( X ) 0 Φ(X ) ( X ) 0 m
（6.2.21）
（6.2.22）
在求解之前，先设计与目标函数相应的一 * 组目标值理想化的期望目标 f i 1 , 2 , , k ),每 i( 一个目标对应的权重系数为 w ( i 1 , 2 , , k )，再 i 设 为一松弛因子。那么，多目标规划问题 （6.2.21）～（6.2.22）就转化为
多目标规划的原理和
多目标规划的原理和多目标规划是一种优化方法，用于解决同时存在多个目标函数的问题。
与单目标规划不同，多目标规划的目标函数不再是单一的优化目标，而是包含多个决策者所关心的目标。
目标函数之间可能存在冲突和矛盾，因此需要找到一个平衡点，使得各个目标都能得到满意的结果。
1.目标函数的建立：多目标规划需要明确各个决策者所关心的目标，并将其转化为数学模型的形式。
目标函数可以是线性的、非线性的，也可以包含约束条件。
2.解集的定义：解集是指满足所有约束条件的解的集合。
在多目标规划中，解集通常是一组解的集合，而不再是单个的最优解。
解集可以是有限的或无限的，可以是离散的或连续的。
3.最优解的确定：多目标规划中的最优解不再是唯一的，而是一组解的集合，称为非劣解集。
非劣解集是指在所有目标函数下都没有其他解比其更好的解。
要确定最优解，需要考虑非劣解集中的解之间的关系，即解集中的解是否有可比性。
4.解的评价：首先需要定义一种评价指标来比较不同解之间的优劣。
常用的方法有加权法、广义距离法、灰色关联法等。
评价指标的选择应该能够反映出决策者对不同目标的重视程度。
5. Pareto最优解：对于一个多目标规划问题，如果存在一组解，使得在任意一个目标函数下都没有其他解比其更好，那么这组解就被称为Pareto最优解。
Pareto最优解是解集中最为重要的解，决策者可以从中选择出最佳的解。
6.决策者的偏好：在实际应用中，决策者对不同目标的偏好有时会发生变化。
因此，多目标规划需要考虑决策者的偏好信息，并根据偏好信息对解集进行调整和筛选。
多目标规划在解决实际问题中具有广泛的应用，尤其在决策支持系统领域发挥了重要作用。
它不仅能够提供一组有竞争力的解供决策者参考，还能够帮助决策者更好地理解问题的本质和各个目标之间的权衡关系。
多目标规划既可以应用于工程、经济、管理等领域的决策问题，也可以用于社会、环境等领域的问题求解。
总之，多目标规划通过将多个目标函数集成为一个数学模型，寻找一组最佳的解集，从而在多个目标之间实现平衡和协调。
多目标规划问题中的优化求解方法
多目标规划问题中的优化求解方法在现实生活中，我们经常面临多个目标之间的冲突和权衡。
例如，企业在决策过程中需要考虑利润最大化和成本最小化之间的平衡；城市规划者需要同时考虑经济发展、环境保护和社会公平等多个目标。
这种情况下，多目标规划问题就显得尤为重要。
多目标规划问题可以定义为在给定的约束条件下，同时优化多个目标函数的问题。
传统的单目标规划问题只需要找到一个最优解，而多目标规划问题则需要找到一组最优解，这些解之间没有明显的优劣关系。
因此，多目标规划问题的求解方法与单目标规划问题有很大的不同。
在多目标规划问题中，最常用的求解方法之一是权衡法。
该方法通过引入一个权衡参数，将多个目标函数转化为一个综合目标函数。
然后，通过求解这个综合目标函数，可以得到一组最优解。
权衡法的优点是简单易行，但是需要人为设定权衡参数，这可能会引入主观因素。
除了权衡法外，还有一些其他的优化求解方法可以用于解决多目标规划问题。
其中一个常用的方法是基于优先级的方法。
该方法将多个目标函数按照优先级进行排序，然后逐个解决。
在解决每个目标函数时，将其他目标函数作为约束条件进行求解。
这种方法的优点是能够考虑不同目标函数之间的依赖关系，但是需要确定目标函数的优先级，这可能会引入一定的主观性。
另一个常用的方法是基于目标规划的方法。
目标规划方法将每个目标函数的最优值作为一个约束条件，然后求解一个综合目标函数。
通过不断调整约束条件的权重，可以得到一组最优解。
这种方法的优点是能够考虑到每个目标函数的重要性，但是需要确定约束条件的权重，这同样可能引入主观因素。
此外，还有一些进化算法可以用于求解多目标规划问题。
例如，遗传算法和粒子群优化算法等。
这些算法通过模拟生物进化的过程，逐步优化解空间，从而找到一组最优解。
这些算法的优点是能够在解空间中进行全局搜索，但是计算复杂度较高，需要较长的求解时间。
综上所述，多目标规划问题中的优化求解方法有很多种。
不同的方法有不同的优点和局限性，适用于不同的问题场景。
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§18. 运用目标达到法求解多目标规划
用目标达到法求解多目标规划的计算过程，可以通过调用Matlab软件系统优化工具箱中的fgoalattain函数实现。
在Matlab的优化工具箱中，fgoalattain函数用于解决此类问题。
其数学模型形式为：
minγ
F(x)-weight ·γ≤goal
c(x) ≤0
ceq(x)=0
A x≤b
Aeq x=beq
lb≤x≤ub
其中，x，weight，goal，b，beq，lb和ub为向量；A和Aeq为矩阵；c(x)，ceq(x)和F(x)为函数。
调用格式：
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight)
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b)
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)
134
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2)
[x,fval]=fgoalattain(…)
[x,fval,attainfactor]=fgoalattain(…)
[x,fval,attainfactor,exitflag,output]=fgoalattain(…)
[x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda]=fgoalattain(…)
说明：F为目标函数；x0为初值；goal为F达到的指定目标；weight为参数指定权重；A、b为线性不等式约束的矩阵与向量；Aeq、beq为等式约束的矩阵与向量；lb、ub为变量x的上、下界向量；nonlcon为定义非线性不等式约束函数c(x)和等式约束函数ceq(x)；options中设置优化参数。
x返回最优解；fval返回解x处的目标函数值；attainfactor返回解x处的目标达到因子；exitflag描述计算的退出条件；output返回包含优化信息的输出参数；lambda返回包含拉格朗日乘子的参数。
例1：教材第6章第4节第二小节，即生产计划问题：
某企业拟生产A和B两种产品，其生产投资费用分别为2100元/t和4800元/t。
A、B两种产品的利润分别为3600元/t和6500元/t。
A、B产品每月的最大生产能力分别为5t和8t；市场对这两种产品总量的需求每月不少于9t。
试问该企业应该如何安排生产计划，才能既能满足市场需求，又节约投资，而且使生产利润达到最大最。
135
136
该问题是一个线性多目标规划问题。
如果计划决策变量用1x 和2x 表示，它们分别代表A 、B 产品每月的生产量（单位：t ）；),(211x x f 表示生产A 、B 两种产品的总投资费用（单位：元）；),(212x x f 表示生产A 、B 两种产品获得的总利润（单位：元）。
那么，该多目标规划问题就是：求1x 和2x ，使：
2121148002100),(min x x x x f +=
2121265003600),(max x x x x f +=
而且满足：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≤≤0,9
8
5
212121x x x x x x
求解程序如下：
① 编辑目标函数M 文件ff12.m
function f=ff12(x)
f(1)=2100*x(1)+4800*x(2);
f(2)=-3600*x(1)–6500*x(2);
② 按给定目标取：
goal=[30000,-45000];
weight=[30000,-45000];
③ 给出：
x0=[2,2];
A=[1 0; 0 1;-1 -1];
b=[5,8,-9];
lb=zeros(2,1);
④ 调用fgoalattain 函数：
[x,fval,attainfactor,exitflag]=fgoalattain(@ff12,x0,goal,weight,A,b,[],[],lb,[])
运行后，输出结果为：
137
x = 5 4 fval = 29700 -44000 attainfactor = -0.0100 exitflag = 1
例2：教材第6章第4节第三小节，即投资问题：
某企业拟用1000万元投资于A 、B 两个项目的技术改造。
设1x 、2x 分别表示分配给A 、B 项目的投资（万元）。
据估计，投资项目A 、B 的年收益分别为投资的60%和70%；但投资风险损失，与总投资和单项投资均有关系：
212221001.0002.0001.0x x x x ++。
据市场调查显示， A 项目的投资前景好于B 项
目，因此希望A 项目的投资额不小B 项目。
试问应该如何在A 、B 两个项目之间分配投资，才能既使年利润最大，又使风险损失为最小？
该问题是一个非线性多目标规划问题，将它用数学语言描述出来，就是：求1x 、2x ，使：
2121170.060.0),(max x x x x f +=
212221212001.0002.0001.0),(min x x x x x x f ++= 而且满足：
⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-=+0,0
1000212121x x x x x x
求解程序如下：
①首先编辑目标函数M文件ff13.m
function f=ff13(x)
f(1)=-0.6*x(1)-0.7*x(2);
f(2)=0.001*x(1)^2+0.002*x(2)^2+0.001*x(1)*x(2);
②按给定目标取：
goal=[-625,875];
weight=[-625,875];
③给出：
x0=[200,200];
A=[-1,1];
b=0;
Aeq=[1,1];
beq=1000;
lb=zeros(2,1);
④调用fgoalattain 函数：
[x,fval,attainfactor,exitflag]=fgoalattain(@ff13,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,[]) 运行后，输出结果为：
x =
750.0000 250.0000
fval =
-625.0000 875.0000
attainfactor =
-5.4254e-016
exitflag =
1
138。