3.2.3利用法向量求二面角
法向量法求二面角课件-2025届高三数学一轮复习
平面，、 ⊂ 平面，则, .
∴ 以为原点，为x轴，以过点与平行的直线为轴，为轴 . 建立
空间直角坐标系.
1、建立坐标系
所以 0,0,0 , 0,0,1 , 1,1,0 , 1,0,0 ,
| ∙ |
1
1
3、利用数量积
所以： = | , | =
=
=
2∙ 2 2
所以二面角 − −
的大小为
3
4、判断角大小
变式训练，构建模型
2、如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，
A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，O1O⊥底
n1，
n2
n1，
n2
l
cos
n1，
n2
n1，
n2
l
cos n1, n2 cos
cos n , n
1
2
总结:解题时我们只需观察图形是二面角是锐角还是钝角，
再根据所求法向量夹角的余弦值下结论即可！
法向量法求二面角的步骤：
1、建立坐标系，两两互垂直
面ABCD. 求二面角B－A1C－D的余弦值.
解
因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又
O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直.
如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角
坐标系.
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，
所以 OB＝ 3，OC＝1，
利用法向量求二面角
2
课前热身
在正方体ABCD A1B1C1D1中，求锐二面角A1 DB A的余弦值。
解：作DB的中点O, 连结AO 1 , AO 在正方体中A1D AB, AD AB AO BD, AO BD 1
AOA 为二面角A1 DB A的平面角 1 A1 不妨设AA 2，则AO 2，
7
课后练习
在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO ⊥面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8， PO=4，AO=3，OD=2. 在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二 面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理 由。
P
A O Bห้องสมุดไป่ตู้D
C
课堂总 结
思想方法
1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、 面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、 利用数量积的夹角公式计算. 2.合理建立空间直角坐标系 (1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系， 建系 方法的不同可能导致解题的简繁程度不同. (2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就 以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽 可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建 立时以其中的垂直相交直线为基本出发点. (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系， 在没有现成的垂直关系时要通过其 他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.
课题：利用法向量求二面角
——小越中学 章惠芳
1
复习回顾
3.2向量法求二面角
3.2向量法求二面角(16-1)编制人：闵小梅 审核人：王志刚【使用说明及学法指导】 1.完成预习案中的相关问题；2.尝试完成探究案中合作探究部分，注意书写规范；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂讨论质疑。
【学习目标】会用法向量求二面角的大小 【教学重点】向量法求二面角的大小【教学难点】建立适当的坐标系，准确写出点的空间坐标 一、复习引入 【复习】知识点1．向量法求两条异面直线所成的角（范围：]2,0(πθ∈）|||||,cos |cos n m=><=θ知识点2．向量法求直线与平面所成角（范围：[θ∈sin |cos ,|n AB θ=<>=r uu u r类比以上求法，思考如何用向量法求二面角？ 回顾二面角的有关概念： (1) 二面角的定义平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
(2)二面角的平面角①过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角，[0,]AOB π∠∈。
②一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角，[0,]AOB π∠∈。
abαθO12）【引入】知识点3．向量法求二面角（范围：[0,]θπ∈）①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。
如图，设二面角βα--l 的大小为θ，其中βα⊂⊥⊂⊥CD l CD AB l AB ,,,.结论：②法向量法如图1、2所示时，二面角l αβ--的平面角与平面α、β的法向量1n r ，2n r的夹角12,n n <>r r相等，即 ；如图3、4所示时，二面角l αβ--的平面角与平面α、β的法向量1n r ，2n r的夹角12,n n <>r r相等，即结论：cos θ＝ 或 cos θ＝二面角l αβ--为锐二面角时，cos θ＝二面角l αβ--为钝二面角时，cos θ＝ 【尝试练习】1.已知两平面的法向量分别为1n r =（0，1，0），2n r=（0，1，3）,则两平面所成的二面角余弦值为____ 2．（课本P107练习2改编）二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB 。
求二面角的方法
求二面角的方法求二面角的方法二面角是一个非常重要的概念，在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用。
它是指两个平面或曲面之间的夹角，也可以理解为一个三维图形中相邻两个面之间的夹角。
在这里，我们将介绍几种求二面角的方法。
方法一：向量法向量法是一种比较简单易懂的方法。
首先，我们需要找到两个平面或曲面上的法向量，然后计算它们之间的夹角即可得到二面角。
具体步骤如下：1. 找到两个平面或曲面上的法向量。
2. 计算这两个法向量之间的夹角，可以使用余弦定理或内积公式进行计算。
3. 将得到的结果转换为度数制即可得到二面角。
例如，假设我们要求一个正四棱锥中底面和侧棱所在平面之间的二面角。
首先，我们需要找到底面和侧棱所在平面上的法向量。
底面上任意一点处垂直于底面且指向外部的单位法向量为(0,0,-1)，而侧棱所在平面上任意一点处垂直于该平面且指向内部的单位法向量为(1/√2,0,-1/√2)。
然后，我们可以使用余弦定理计算它们之间的夹角，即cosθ=（0×1/√2+0×0+（-1）×（-1/√2））÷（√（0²+0²+1²）×√（（1/√2）²+0²+（-1/√2）²）），得到cosθ=1/3。
将其转换为度数制，即θ≈70.53°，即可得到二面角。
方法二：三角形面积法三角形面积法是另一种求解二面角的方法。
它需要先求出相邻两个面所在平面上的三个顶点，然后计算这三个顶点构成的三角形面积，最后根据正弦定理求出二面角。
具体步骤如下：1. 找到相邻两个面所在平面上的三个顶点。
2. 计算这三个顶点构成的三角形的面积。
3. 根据正弦定理计算出二面角。
例如，假设我们要求一个立方体中相邻两个正方形所在平面之间的二面角。
首先，我们需要找到这两个正方形所在平面上的三个顶点。
可以选择其中一个正方形上任意一点作为第一个顶点，然后在该正方形上选择任意两个相邻的点作为第二和第三个顶点。
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.2.3空间向量与空间角课时作业 新人教A版选修2-1
空间向量与空间角(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成角是( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选 A.建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,,0),=(1,,-1),平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos<,n>==-,所以<,n>=120°,所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°,所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.2.(2014²重庆高二检测)设ABCD,ABEF都是边长为1的正方形,FA⊥平面ABCD,则异面直线AC与BF所成的角等于( )A.45°B.30°C.90°D.60°【解析】选D.以B为原点,BA所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),F(1,0,1),所以=(-1,1,0),=(1,0,1).所以cos<,>=-.所以<,>=120°.所以AC与BF所成的角为60°.3.把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角,点E,F分别是AD,BC的中点,O是正方形中心,则折起后,∠EOF的大小为( )A. B. C. D.【解析】选C.=(+),=(+),所以²=(²+²+²+²)=-||2.又||=||=||,所以cos<,>==-.所以∠EOF=.4.在直角坐标系中,已知A(2,3),B(-2,-3),沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A-Ox-B,使∠AOB=90°,则cosθ为( )A.-B.C.D.-【解析】选C.过A,B分别作x轴垂线,垂足分别为A′,B′.则AA′=3,BB′=3,A′B′=4,OA=OB=,折后∠AOB=90°,所以AB==.由=++,得||2=||2+||2+||2+2||²||²cos(π-θ).所以26=9+16+9+2³3³3³cos(π-θ),所以cosθ=.5.(2014²天津高二检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )A.-B.C.-D.【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1).所以=(-2,-2,0),=(0,0,2),=(-2,0,1).设平面B1BD的法向量为n=(x,y,z).因为n⊥,n⊥,所以所以令y=1,则n=(-1,1,0).所以cos<n,>==,设直线BE与平面B1BD所成角为θ,则sinθ=|cos<n,>|=.6.如图,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中点,则GB与平面AGC所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【解析】选C.如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0),=(a,a,0),=(0,2a,2a),=(a,-a,0),=(0,0,2a),设平面AGC的法向量为n1=(x1,y1,1),由⇒⇒⇒n1=(1,-1,1).sinθ===.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014²唐山高二检测)平面α的一个法向量为(1,0,-1),平面β的一个法向量为(0,-1,1),则平面α与平面β所成二面角的大小为.【解析】设u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),平面α与平面β所成二面角为θ,则cosθ=±|cos<u,v>|=±||=±.所以θ=或.答案:或8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值为 . 【解析】设正方体棱长为2,分别取DA,D C,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系, 则A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2),则=(-1,0,2),=(1,-1,2),所以||=,||=.²=-1+0+4=3.又²=||||cos<,>=cos<,>,所以cos<,>=,所以所求角的余弦值为.答案:【变式训练】已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中,E是BC的中点.则直线A′C与DE所成角的余弦值为.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A′(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E,=(a,a,-a),=,所以cos<,>==.即直线A′C与DE所成角的余弦值为.答案:9.(2014²福州高二检测)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.【解析】以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2), D, E,F,所以=(0,0,2),=,=,设平面DEF的法向量n=(x,y,z). 则由得取z=1,则n=(2,0,1),设PA与平面DEF所成角为θ,则sinθ==.答案:【变式训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),D(0,0,0),=(-1,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,-1,0),设平面A1BD的一个法向量为n=(1,x,y),设平面A1BD与BC1所成的角为θ,n⊥,n⊥,所以n²=0,n²=0,所以解得所以n=(1,-1,-1),则cos<,n>==-,所以sinθ=,所以cosθ==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014²临沂高二检测)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD=2,CD=4,E,F分别为CD,PB的中点.(1)求证:EF⊥平面PAB.(2)求直线AE与平面PAB所成的角.【解析】(1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz,则E(0,-2,0),F(1,-2,1),P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,-4,0),所以=(1,0,1),=(0,-4,0),=(2,0,-2),所以²=(1,0,1)²(0,-4,0)=0,²=(1,0,1)²(2,0,-2)=0,所以⊥,⊥,所以EF⊥AB,EF⊥PA,因为AB⊂平面PAB,PA⊂平面PAB,AB∩PA=A,所以EF⊥平面PAB.(2)=(1,0,1)是平面PAB的一个法向量,设直线AE与平面PAB所成的角为θ,因为=(-2,-2,0),所以sinθ===,所以直线AE与平面PAB所成的角是30°.【变式训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AA1,AB的中点,求EF和平面ACC1A1夹角的大小. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则由E,F分别是AA1,AB的中点,得E(2,0,1),F(2,1,0).过F作FG⊥AC于G,则由正方体性质知FG⊥平面ACC1A1.连接EG,则与的夹角即为所求.又因为F是AB的中点,所以AG=AC,所以G.=,=(0,1,-1),cos<,>==.所以<,>=,即EF与平面ACC1A1的夹角为.【一题多解】建系同上,=(0,1,-1),A1(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,-2),=(-2,2,0).设平面ACC1A1的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则y=1,所以n=(1,1,0),cos<n,>===.所以<n,>=,则EF与平面ACC1A1的夹角为.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱D1C1,B1C1的中点,求平面EFC与底面ABCD所成二面角的正切值. 【解析】以D为原点,{,,}为单位正交基底建立空间直角坐标系如图,则C(0,1,0),E,F.设平面CEF的法向量为n=(x,y,z),则因为=,=,所以所以令z=1,则n=(-2,2,1).显然平面ABCD的法向量e=(0,0,1),则cos<n,e>==.设二面角为α,则cosα=,所以tanα=2.【拓展延伸】向量法求解二面角时的注意点由于两条直线所成的角,线面角都是锐角或直角,因此可直接通过绝对值来表达,故可直接求出,而二面角的范围是[0,π],有时比较难判断二面角是锐角还是钝角,因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断,故这是求二面角的难点.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos<m,n>=-,则l与α所成的角θ为( )A.30°B.45°C.135°D.150°【解析】选B.因为cos<m,n>=-,所以sinθ=|cos<m,n>|=.又因为直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°,所以θ=45°.2.(2014²长春高二检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,则AC与BD1所成角的余弦值为( )A.0B.C.-D.【解析】选A.建立如图坐标系,则D1(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),所以=(-2,-2,3),=(-2,2,0).所以cos<,>==0.所以<,>=90°,所求角的余弦值为0.【变式训练】如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM 所成的角的大小是.【解析】不妨设棱长为2,则=-,=+,cos<,>==0,故异面直线AB1和BM所成角为90°.答案:90°3.(2014²哈尔滨高二检测)在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面内的投影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是( )A.30°B.45°C.60°D.75°【解析】选A.如图,以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,则=(2a,0,0),=,=(a,a,0),设平面PAC的一个法向量为n,可取n=(0,1,1),则cos<,n>===,所以<,n>=60°,所以直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°.4.(2014²南宁高二检测)如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC 的中点,则二面角C-BF-D的正切值为( )A. B. C. D.【解析】选D.如图所示,连接BD,AC∩BD=O,连接OF.以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA=AD=AC=1,则BD=.所以B,F,C,D.结合图形可知,=且为面BOF的一个法向量,由=,=,可求得平面BCF的一个法向量n=.所以cos<n,>=,sin<n,>=,所以tan<n,>=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角A-BD-C的正弦值为.【解析】取BC中点O,连接AO,DO,建立如图所示的坐标系:设BC=1,则A,B,D.所以=,=,=.由于=为平面BCD的一个法向量,设平面ABD的法向量n=(x,y,z),则所以取x=1,则y=-,z=1,所以n=(1,-,1),所以cos<n,>=,sin<n,>=.答案:6.(2014²湛江高二检测)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为.【解题指南】根据正三棱柱的特点建立空间直角坐标系,再用向量法求异面直线所成的角.【解析】取AC的中点D,建立如图坐标系,设AB=a,则B,C1,A,B1.所以=,=.所以cos<,>==0.所以AB1与C1B所成的角为90°.答案:90°三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2013²新课标全国卷Ⅰ)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明AB⊥A1C.(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【解题指南】(1)取AB的中点,利用线面垂直证明线线垂直.(2)利用面面垂直确定线面垂直,找出直线A1C与平面BB1C1C所成的角或建立空间直角坐标系求解. 【解析】(1)取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OC⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.(2)由(1)知,OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OC,OA1两两相互垂直. 以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则有A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0).则=(1,0,),==(-1,,0),=(0,-,).设平面BB1C1C的法向量为n=(x,y,z),则有即可取n=(,1,-1).故cos<n,>==-.所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.【变式训练】(2013²辽宁高考)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC.(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值.【解题指南】利用条件证明线线垂直,进而证明线面垂直,由面面垂直的判定定理解决问题;借助前面的垂直关系,建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角的余弦值.【解析】(1)由AB是圆的直径,得AC⊥BC;由PA垂直于圆所在的平面,得PA⊥平面ABC;由BC⊂平面ABC,得PA⊥BC;又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.又因为BC⊂平面PBC,据面面垂直判定定理,平面PAC⊥平面PBC.(2)过点C作CM∥AP,由(1)知CM⊥平面ABC.如图所示,以点C为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.在直角三角形ABC中,AB=2,AC=1,所以BC=,又PA=1,所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1).故=(,0,0),=(0,1,1).设平面PBC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则⇒⇒不妨令y1=1,则z1=-1.故n1=(0,1,-1).设平面PAB的法向量为n2=(x2,y2,z2),由同理可得n2=(1,,0).于是cos<n1,n2>===.结合图形和题意,二面角C-PB-A的余弦值为.8.(2014²山东高考)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.(1)求证:C1M∥平面A1ADD1.(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.【解题指南】(1)本题考查了线面平行的证法,可利用线线平行来证明线面平行.(2)本题可利用空间几何知识求解二面角,也可以利用向量法来求解.【解析】(1)连接AD1,因为ABCD-A1B1C1D1为四棱柱,所以CD∥C1D1,CD=C1D1,又因为M为AB的中点,AB=2CD=2,所以AM=1,所以CD∥AM,CD=AM,所以AM∥C1D1,AM=C1D1,所以四边形AMC1D1为平行四边形,所以AD1∥MC1,又因为C1M⊄平面A1ADD1,AD1⊂平面A1ADD1,所以C1M∥平面A1ADD1.(2)方法一:因为AB∥A1B1,A1B1∥C1D1,所以平面D1C1M与ABC1D1共面,作CN⊥AB,连接D1N,则∠D1NC即为所求二面角的平面角.在ABCD中,DC=1,AB=2,∠DAB=60°,所以CN=,在Rt△D1CN中,CD1=,CN=,所以D1N=,cos∠D1NC==.方法二:作CP⊥AB于P点,以C为原点,CD为x轴,CP为y轴,CD1为z轴建立空间直角坐标系, 所以C1(-1,0,),D1(0,0,),M,所以=(1,0,0),=,设平面C1D1M的法向量为n1=(x1,y1,z1),所以所以n1=(0,2,1),显然平面ABCD的法向量为n2=(0,0,1),所以cos<n1, n2>===.显然二面角为锐角,所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角的余弦值为.【变式训练】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中点.(1)求证:A1B∥平面ADC1.(2)求二面角C1-AD-C的余弦值.(3)试问线段A1B1上是否存在点E,使AE与DC1成60°角?若存在,确定E点位置;若不存在,说明理由. 【解析】(1)连接A1C,交AC1于点O,连接OD.由ABC-A1B1C1是直三棱柱,得四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点.又D为BC的中点,所以OD为△A1BC的中位线,所以A1B∥OD,因为OD⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.(2)由ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,得BA,BC,BB1两两垂直.以BC,BA,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设BA=2,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0),所以=(1,-2,0),=(2,-2,1).设平面ADC1的法向量为n=(x,y,z),则有所以取y=1,得n=(2,1,-2).易知平面ADC的一个法向量为v=(0,0,1).所以cos<n,v>==-.因为二面角C1-AD-C是锐二面角,所以二面角C1-AD-C的余弦值为.(3)假设存在满足条件的点E.因为点E在线段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可设E(0,λ,1),其中0≤λ≤2.所以=(0,λ-2,1),=(1,0,1).因为AE与DC1成60°角,所以|cos<,>|==.即=,解得λ=1或λ=3(舍去).所以当点E为线段A1B1的中点时,AE与DC1成60°角.。
法向量求二面角余弦值公式
法向量求二面角余弦值公式
在数学的背景下，对于求解任意两向量夹角的余弦值，法向量求二面角余弦值公式是一个有效的方法。
法向量是一种在三维空间中的有向线段，它可以用来表示一个面的法线，即以该面上任一点为原点，以该面的法线方向为方向的有向线段。
法向量求二面角余弦值公式可以用来求解这样一种问题：对于两个法向量n1n2，求取它们之间所构成的角的余弦值。
为此，我们需要引入一个新的变量，即角α，这个角以度为单位进行计算。
根据法向量求二面角余弦值公式，如下所示：
cosα＝n1n2/（|n1|*|n2|）
这里，n1和n2分别表示两个法向量，而|n1|和|n2|则表示n1
和n2这两个向量的模，即沿着向量方向的长度。
说起来，这个法向量求二面角余弦值公式其实非常简单，其运用也十分广泛，它不仅仅可以被用来计算任意两个法线之间的夹角，而且还可以被用来计算任意三维空间中两个向量之间的夹角。
以下给出一个具体的例子，来验证一下法向量求二面角余弦值公式的正确性。
假设n1=[1,2,3]，n2=[1,0,1]，那么我们可以使用法向量求二面角余弦值公式来计算n1和n2之间的夹角。
首先计算n1和n2的模，即|n1|=√(1^2+2^2+3^2)=√14，|n2|=√(1^2+0+1^2)=√2，接着，我们可以计算n1n2=1*1+2*0+3*1=4，最后，将公式中所有的变量进行替换，最终求得cosα＝4/（√14*√2）=0.8333…
以上，就是法向量求二面角余弦值公式的基本概念及其具体使用的例子。
总结一下，法向量求二面角余弦值公式是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我们快速求出任意两个法向量之间的夹角余弦值，从而让我们有更清晰的认知。
法向量法求二面角
显然平面SBA的一个法向量为
n1 = (1， 0) 0，，
设平面SCD的一个法向量为
S D
z 1 C
1 SA = , 2
B 1 y
A x
n 2 = ( x，y，z )，
则 n 2 ⊥ 平面SCD
图5
1 AD = . 2
n 2 • SD = 0 ∴ ⇒ n2 • SC = 0
x−z =0 取 z = 2, 则 n2 = (2 , − 1, 2) 2 x + 2 y − z = 0
∴ A1Q = (2, 2, −2), QD = (−2, 20)
面AA1D的法向量 n1 = (1,0,0) 设面A1DQ的法向量为
z
A1
D1 B1 DC1n2 = (a1 , a2 , a3 ),
2
y
Q
C B
4 2
O（A） （ ）
x
则
n2 ⋅ A1Q = 2a1 + 2a2 − 2a3 = 0, n2 ⋅ QD = −2a1 + 2a2 = 0,
令y=1,取平面的一个法向量为
n = (1,1,1)
注：因为平面的法向量有无数个，方向可上，可下， 模可大可小，我们只要求出平面的某个法向量即可.
例题4. 例题 在长方体ABCD—A1B1C1D1中， AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点， 求此时二面角A—A1D—Q的大小． 解 ： 如图2，建立空间直角坐标系． 依题意：A1（0，0，2），Q（2，2，0）， D（0，4，0），
解：延长BA，CD 交于E，则面SCD∩面SBA=SE.
AD 1 ∵ AD / / BC 且 = BC 2
5 2
法向量求二面角余弦值公式
法向量求二面角余弦值公式法向量求二面角余弦值公式是用来求解三维空间中两个不同方向的法向量之间的夹角的余弦值的一种公式。
它是一种有用的工具，可以用来计算夹角的大小，以及两个法向量之间的方向性。
首先，什么是法向量？法向量是一种特殊的二维向量，它的分量指示着从一个坐标到另一个坐标的方向，但它不指示距离。
它一般用来描述平面或曲面的方向，如平面的法向量指向的是平面的法线方向。
接下来，我们来看一下公式本身。
法向量求二面角余弦值公式是： cosθ = n 1n 2 /（ | n 1 | | n 2 |其中表示两个法向量的夹角，n 1 n 2别表示两个不同方向的法向量，| n 1 | | n 2 |别表示其向量长度。
从上面的公式可以看出，计算两个法向量之间的余弦值需要一些数学知识，尤其是矢量代数方面的知识。
如果没有深入理解它的相关内容，可能会遇到一些困难。
然而，这种公式也是一个非常有用的工具，因为它可以求出任意两个法向量之间的夹角。
在可视化和空间模型中，它可以让我们快速准确地计算出两个法向量之间的夹角。
比如，在建筑中，我们需要精确测量出梁的弯曲角度，这时就可以用法向量求二面角余弦值公式来计算。
另外，在数字图像处理中，如果我们想要知道两个不同方向上的像素之间的夹角，那么也可以利用这种公式来求解。
此外，在机器学习中，当我们需要测量两个特征向量之间的角度时，也同样可以用这种公式来计算。
例如，在自然语言处理（NLP）任务中，我们可以用它来判断两个字的相似程度。
总之，法向量求二面角余弦值公式是一种有益的工具，它可以让我们快速准确地计算出任意两个不同方向的法向量之间的夹角余弦值。
它在许多不同的应用领域中都有用，比如建筑，数字图像处理，机器学习，以及自然语言处理，等等。
因此，这种公式可以说是在不同学科中都很有用，是三维空间中两个不同方向的法向量之间夹角余弦值求解的有效方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x 面SAB
由n DC且n
AD (1,
SD. 得n (2, 1,1)
0, 0)是平面SAB的法向量，
cos AD, n AD n 6
4.求两法向量夹角
二面角的平| 面AD角|| n是| 锐角3（一出一进）
所求二面角的余弦值为： 6 3
5.定值
近几年部分新课标高考题分析
(2019.18)如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4， AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D 的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
z
【点睛】
本题考查线面平行关系的证明、空
间向量法求解二面角的问题.求解二
面角的关键是能够利用垂直关系建
立空间直角坐标系，从而通过求解
O
法向量夹角的余弦值来得到二面角
的正弦值，属于常规题型.
x
y
归纳总结
两种方法 一个步骤 两个思想
半平面内分别垂直于棱的向量的夹角 两个平面的法向量的夹角求解 用法向量求二面角大小的步骤
数形结合 类比转化
14
板书设计
用向量法求二面角的大小
1、
3、例题
解：
由 n SC 0 ， n SD 0 ，得
n1, n2 , cos n1 n2
n1 n2
2、
n1, n2 n1, n2
cos n1 n2 n1 n2
cos n1 n2 n1 n2
SA、AB、AD 两两垂直，以 A 为坐标原点， AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz，
1 x z 0, 2 x y z 0.
则 A(0,0,0)，S(0,0,1)，D ( 1 ,0,0) ， 2
C(1,1,0， SC (1,1,1) ， SD (1 ,0,1) ， 2
取 z=1，得 n (2,1,1) ， cos n, AD n AD 6
z
平面ABD1的一个法向量为
DA1 (0,1,1)
D1 C1
A1
B1
平面CBD1的一个法向量为
D
Ay
DC1 (1,0,1)
x
C
B
cos 1/ 2, 120
二面角A-BD1-C的大小为120 .
实践操作
如图，ABCD是直角梯形，ABC B BC 2AD,求面SCD与 答题模板
2
6
探究方法
问题1：
二面角的平面角AOB能否转化成向量的夹角？
B
O l
A
AOB OA,OB
二面角 OA,OB
探究方法
问题2：
求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与 平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半 平面的法向量有没有关系？
n
a
n1 n2
l
B
的角就是二面角
O
A
l
4
温故知新
4.异面直线所成的角
v1
v2
v1,v2
|
v1
v2
v1,v2
温故知新
5.直线与平面所成的角
n 直线的方向向量为 a，平面的法向量为
n
a
a
a, n
2
sin cosa,b
B
n
a, n
3
通过经历向量法求 二面角大小的推导 过程，培养大胆探 索精神，提高学习 立体几何的兴趣．
3
温故知新
1.二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
2.二面角的范围：0,
3.如何作二面角的平面角？
定义法：在棱上取一点，在两个半平面内 作垂直于棱的两条射线，这两条射线所夹
以DF为折痕把∆DEF折起，使点C到达点P的位置，且PF┴BF
(1)证明：平面PEF┴平面ABFD;
z
(2)求DP与平面所成角的正弦值.
3
4
x
2017全国一卷18
如图，在四棱锥P－ABCD中，AB//CD中，且 BAP= CDP=900 （1）证明：平面PAB┴平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC, APD=900，求二面角A－PB－C的余弦值.
教学目标
1
通过类比异面直线 所成的角、直线与 平面所成角的解决 方法，得到用向量 求二面角大小的方 法，并能用之解决 有关问题，体会向 量方法在研究几何 问题中的作用．
2
在探究用向量法求二 面角大小的过程中， 体会数形结合、类比 转化的数学思想，进 一步提高空间想象能 力、分析问题和解决 问题的能力．
探究方法 思考：法向量的夹角与二面角平面角的关系
n1, n2
n1, n2
cos cos n1, n2
cos cos n1, n2
问题：法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么时候互补？
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；
利用空间向量求二面角
——临漳县第一中学 张艳梅
求二面角是立体几何的一类重要的问题，
也是高考的热点之一。高中立体几何引入了空 间向量，大大降低了立体几何的解题难度，它 不仅是对传统方法的有力补充,而且还可以最大 限度地避开思维的高强度转换和各种辅助线添 加的困难,将灵活的逻辑推理转化为机械。向量 的应用在高考数学解答题中得到了充分的体现. 本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决二 面角问题。
z
3 3
y
x
面SAB所成的二面角的余弦值。
z
解：建系如图 不妨设AB 2
1.建系
S
A(0,0,0), D(1,0,0),C(2, 2,0),S(0,0, 2), 2.找点坐标
y
设n (x, y, z)是面SCD的法向量，
B
C DC 1，2,0, SD 1，0， 2
3.求法向量坐标
A
D AD
n AD 3
AD (1 ,0,0) 为平面 SAB 的法向量， 2
n, AD 与二面角大小相等
设平面 SCD 的法向量为 n(x, y,z)， 平面 SAB 与平面 SCD 的所成
二面角的余弦值 6 3
2018全国一卷18
如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，
同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
9
课前热身
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BD1-C的大小为 ________．
解1
D1 C1
A1
B1
D
A
C
B
课前热身
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BD1-C的大小为
__1_2_0_°___．
解2 建立直角坐标系.