利用法向量求二面角的正负
法向量求二面角余弦值公式
法向量求二面角余弦值公式二面角余弦值公式是一种计算二面角的方法，也是数学中最重要的理论之一。
它是基于三角函数的概念而演变而来。
今天，我们将介绍法向量求二面角余弦值公式，它是求解二面角余弦值的简便方法。
法向量求二面角余弦值公式可以用来求解任意给定的二面角的余弦值。
首先，我们需要求出每个角的法向量，比如，角A的法向量是(1, 0, -1)，角B的法向量是(2, 1, -1)。
然后，我们可以使用下面的公式计算它们之间的余弦值：cos = (A B)/ (|A| |B|)其中A、B表示两个角的法向量，AB表示A、B的点积，而|A|和|B|表示A、B的模。
由此，我们可以使用以上公式来求解任意二面角之间的余弦值。
举例来说，若要计算角A（1，0，-1）和角B（2，1，-1）的余弦值，我们只需要将之前的公式中的A、B分别换成这两个角的法向量即可：cos = (12 + 01 + (-1)*(-1))/ (|1|× |2，1，-1|)cos = 3 / (√63)cos = 0.948因此，角A（1，0，-1）和角B（2，1，-1）之间的余弦值为0.948。
通过以上的计算，我们可以得出结论：法向量求二面角余弦值公式是一种用来求解任意二面角之间的余弦值的简便方法。
它也是利用三角函数基础概念而演变而来的基本计算公式之一。
由于它的方法简单易行，所以，它在很多领域，如几何学、地理学、机械工程、电子工程等，都有着广泛的应用。
综上所述，法向量求二面角余弦值公式是一个简单而实用的求解方法，它不仅可以求出二面角之间的余弦值，而且还可以用于几何学、地理学、机械工程、电子工程等多个领域。
它对于改善人们的生活、发展科学技术具有重要意义，为我们现在的生活带来了无穷的便利。
法向量求二面角正弦值公式
法向量求二面角正弦值公式首先，我们需要了解一些基本的向量和二面角的知识。
在三维空间中，一个向量可以用它的坐标表示为V=(x,y,z)，其中x、y和z分别是向量在x、y和z轴上的分量。
向量的模（或长度）可以通过勾股定理计算得出：，V，=√(x^2+y^2+z^2)。
两个平面的法向量可以用来确定它们之间的夹角。
设P1和P2是两个平面，它们的法向量分别为N1和N2、我们可以计算它们的夹角θ，其中0≤θ≤π。
在这种情况下，不同方向的夹角θ可能有相同的正弦值，因此我们只考虑θ在0到π之间的情况。
假设θ是二面角的夹角，则它们的法向量可以表示为：N1=(x1,y1,z1)N2=(x2,y2,z2)两个向量的内积（点积）可以定义为：N1·N2=x1*x2+y1*y2+z1*z2同时，我们还可以使用向量的模来计算它们之间的夹角的余弦值：cos(θ) = N1·N2 / (，N1， * ，N2，)这就是求两个向量夹角余弦的公式。
然而，我们的目标是求得夹角的正弦值。
为了得到它，我们需要利用一些三角恒等式。
正弦函数（sin）和余弦函数（cos）之间有一个很重要的关联：sin(θ) = √(1 - cos^2(θ))我们可以将上述的夹角余弦值代入这个公式，得到夹角正弦值的公式：sin(θ) = √(1 - (N1·N2 / (，N1， * ，N2，))^2)这就是求二面角正弦值的公式。
值得注意的是，由于两个法向量的方向不同，它们之间的夹角的正弦值可能有两个值。
例如，在0到π之间的夹角的正弦值和在π到2π之间相同。
因此，在计算二面角正弦值时，我们需要考虑这两个可能的值。
这是关于法向量求二面角正弦值公式的详细解释。
我们可以使用这个公式在三维空间中计算平面之间的夹角。
二面角法向量求法
二面角的表示方法
二面角是由两个半平面所组成 的图形，其大小由两个半平面
的夹角决定。
二面角可以用角度制或弧度制 来表示，与平面角和空间角类
似。
二面角的大小与两个半平面的 方向有关，与半平面的大小无 关。
在求解二面角的大小时，通常 需要先找到两个半平面的法向 量，然后计算两个法向量之间 的夹角即可得到二面角的大小 。
二面角法向量求法
汇报人：XX 2024-01-23
• 引言 • 二面角的表示方法 • 法向量的求解方法 • 二面角法向量的性质 • 二面角法向量的应用 • 总结与展望
01
引言
二面角的定义
二面角是由两个半平面所组成的 图形，其大小由这两个半平面的
夹角决定。
二面角的大小范围在0°到180°之 间，当两个半平面重合时，二面 角为0°；当两个半平面形成一条
面积射影定理
根据面积射影定理，二面角的余弦值等于两个半 平面在棱上的投影面积之比。因此，可以通过求 出两个半平面在棱上的投影面积，然后利用面积 射影定理求出二面角的大小。
三垂线定理及其逆定理法
利用三垂线定理或其逆定理，可以构造出与二面 角的棱垂直的线段，进而通过解三角形求出二面 角的大小。
空间向量夹角公式
03
法向量的求解方法
平面法向量的求解方法
直接法
如果平面上的一个向量 已知，则该向量即为平 面的法向量。
待定系数法
设平面的法向量为 n=(x,y,z)，根据平面的 方程可以列出关于x,y,z 的方程组，通过求解方 程组得到法向量。
向量积法
如果平面上有两个不共 线的向量a和b，则平面 的法向量n可以通过计 算向量a和b的向量积得 到，即n=a×b。
利用法向量求二面角
2
课前热身
在正方体ABCD A1B1C1D1中，求锐二面角A1 DB A的余弦值。
解：作DB的中点O, 连结AO 1 , AO 在正方体中A1D AB, AD AB AO BD, AO BD 1
AOA 为二面角A1 DB A的平面角 1 A1 不妨设AA 2，则AO 2，
7
课后练习
在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO ⊥面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8， PO=4，AO=3，OD=2. 在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二 面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理 由。
P
A O Bห้องสมุดไป่ตู้D
C
课堂总 结
思想方法
1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、 面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、 利用数量积的夹角公式计算. 2.合理建立空间直角坐标系 (1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系， 建系 方法的不同可能导致解题的简繁程度不同. (2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就 以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽 可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建 立时以其中的垂直相交直线为基本出发点. (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系， 在没有现成的垂直关系时要通过其 他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.
课题：利用法向量求二面角
——小越中学 章惠芳
1
复习回顾
用向量求二面角4例
坐标法求二面角例举 高二数学 陈作美求两平面所成的二面角是立体几何的基本问题，也是核心问题，更是考试的重点所在。
传统几何方法求二面角，一般都要经历“寻找二面角的平面角、证明是二面角的平面角，计算二面角的三角函数值”的过程，而这往往需要添加较多的辅助线，这给解题带来一定的困难。
坐标法给出一种通过空间向量求二面角的简便方法，不需要“找、证”，只需“算”。
当二面角所处的图形适合建立空间直角坐标系时，十分凑效。
1. 求二面角的公式如图1，两平面，向量是它们的法向量，设平面所成的二面角为θ，向量所成的为，则cos θ=-1212n n n n ∙（注意：二面角的两个法向量都必须指向二面角的内部） 2. 平面的法向量求法在空间直角坐标系O －xyz 中，已知不平行的向量，在平面π上，设向量是平面π的法向量，则即，因为法向量有无数个，故可以通过任意取定的一个分量来确定一个特殊的法向量（但不能是零向量）。
特别地，当平面π在三个坐标轴上的交点分别是A（a、0、0）、B（0、b、0）、C（0、0、c）（abc≠0）时，易证是它的一个法向量。
3. 应用例举例1. 如图2，正方形ABCD，ADEF的边长都是1，而且平面ABCD，ADEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若。
（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小的余弦值。
（02年全国高考改编）解（仅解（3））由（2）可知，当M，N分别为AC，BF的中点时，MN的长最小。
如图2，以线段AB的中点为原点建立空间直角坐标系，则M、，故分别是面MNA与面MNB的法向量，设面MNA与面MNB所成的二面角是θ，则，因此cos =-1/3.例2. 如图3，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形PB⊥面ABCD。
（1）略；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD的所成的二面角恒大于90°。
法向量求二面角正弦值公式
法向量求二面角正弦值公式
正弦值公式指的是物理中求取二面角正弦值的公式，它由一般正弦函
数发展而来，是一个关于二面角α和β的关系式。
公式表示为：sinα=sinβ*cosγ-cosα*sinγ。
其中，γ表示两方向向量α和β的夹角，α和β分别代表两边的
方向向量，当γ求出时，就可以据此求出α和β的正弦值。
该公式可以应用于求解各种二面角的正弦值，从而解决复杂的物理问题。
它的用途非常广，可以用在电磁学、传播学、声学、流体力学、热学
等方面。
同时，该公式也可以用于求解多边形的内角和。
这样可以更高效地求
解多边形的内角和，其思想是，从一个多边形顶点出发，求解出其与相邻
顶点的夹角γ，然后根据正弦值公式求解出相应的内角和，重复该操作，就可以求解出所有内角和。
法向量求二面角公式
法向量求二面角公式在几何学中，二面角是一种重要的概念，它由两条相交的平面构成。
此外，当两条相交的直线所在的平面具有相同的法向量时，它们构成的夹角叫做二面角。
而要求出两个法向量构成的二面角，可以采用“法向量求二面角公式”。
“法向量求二面角公式”可以用下面的公式表示：α = arccos (N1 . N2 / (|N1| |N2|))其中，N1、N2分别是两个法向量，“.”表示内积，“|N1| |N2|”表示两个法向量的向量积，α表示由N1、N2两个法向量构成的夹角。
要用“法向量求二面角公式”求出N1、N2两个法向量的夹角，第一步是求出N1、N2的值。
N1、N2的值可以用下面的公式求得： N1 = (x1, y1, z1)N2 = (x2, y2, z2)其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别表示两个法向量在三个坐标方向上的值，x1、y1、z1是N1在三个坐标方向上的值，x2、y2、z2是N2在三个坐标方向上的值。
第二步，根据求得的N1、N2值，就可以用“法向量求二面角公式”求出N1、N2所构成的夹角，具体公式如上所述。
以上就是“法向量求二面角公式”的介绍，它可以帮助我们快速确定两个法向量构成的夹角。
这种公式的优点在于它可以简单快速地求得椭圆夹角、圆柱夹角、椎体夹角等复杂夹角，为几何学研究带来了方便。
当然，如果希望用“法向量求二面角公式”求出精确的夹角，需要准确求出N1、N2的值，还需要采用精度更高的计算机程序。
另外，在计算N1、N2的值时，也要注意两个法向量的向量积及其长度是否相等，不然就会得到错误的结果。
本文介绍了“法向量求二面角公式”，它可以用于求出相交的两个法向量构成的夹角，使几何学研究变得更加容易简单。
然而，为了保证计算出来的结果准确无误，求值时需要考虑到N1和N2之间的向量积及长度等因素。
向量法求面面角正负判定
向量法求面面角正负判定1.引言1.1 概述概述部分的内容可以如下所示：引言部分的目的是介绍本文将要讨论的主题——向量法求面面角的正负判定。
面面角是几何学中的一个重要概念，它描述了两个相交平面之间的夹角，正面面角表示这两个平面的法向量之间的夹角，负面面角则表示这两个平面的法向量之间的补角。
本文的结构主要分为三个部分。
第一部分是引言部分，概述了本文的研究背景和目的。
第二部分是正文部分，主要介绍了向量法求面面角的定义和计算方法。
在这部分中，我们将详细阐述了如何利用向量的性质来求解面面角，并给出了具体的计算步骤。
最后一部分是结论部分，我们将讨论如何通过计算得到的面面角的数值来判定其正负。
我们将提供针对正面面角和负面面角的判定方法，并对求解过程进行总结和归纳。
通过本文的研究，读者将能够深入了解向量法求解面面角的原理和计算方法，以及如何根据计算结果进行正负判定。
这对于几何学的研究和实际应用都具有重要意义，例如在计算机图形学、物体建模和机器视觉等领域的应用中，面面角的正负判定都是必不可少的一步。
希望通过本文的阅读，读者能够掌握向量法求解面面角的基本原理和方法，并能够灵活运用于实际问题的求解中。
1.2文章结构文章结构部分应包含如下内容：本文共分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个部分。
概述部分旨在介绍文章要讨论的主题——向量法求面面角正负判定，并简要概括文章的内容和重要性，引起读者的兴趣。
文章结构部分即本文的目录，详细列出了各个章节的标题和子标题，以帮助读者了解整篇文章的结构和章节安排。
目的部分说明了本文的写作目的，即介绍和解释向量法求面面角正负判定的定义、计算方法以及对应的判定方法，为读者提供清晰的指导和理解。
正文部分是本文的主体部分，包括向量法求面面角的定义和计算方法的详细介绍。
结论部分总结了本文的主要内容，重点概括了正面面角和负面面角的判定方法。
通过以上结构，本文将全面、系统地介绍向量法求面面角正负判定的相关内容，为读者提供理论基础和实际应用的指导。
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利用法向量求二面角的平面角
授课教师：陈诚班级：高二（14）班时间：2010-01-14
【教学目标】
1、让学生初步理解二面角的平面角与半平面法向量的关系，并能解决与之有关
的简单问题。
2、通过本节课的学习，培养学生观察、分析与推理从特殊到一般的探究能力和
空间想象能力。
3、培养学生主动获取知识的学习意识，激发学生学习兴趣和热情，获得积极的
情感体验。
【教学重点】利用法向量计算二面角的大小。
【教学难点】求两个面的法向量及判断二面角大小与两个面的法向量的夹角的关系。
【课时安排】1课时
【教学过程】
一、内容回顾
求二面角的平面角的方法：定义法、三垂线法、向量法。
前两种方法是空间立体的方法，难度较大，都涉及到要在两半平面内找棱的垂线，或是找点在平面内的射影，再算边长，通过解三角形来解决。
而向量法也是要找两个与棱垂直的且和半平面延伸方向一致的向量来计算夹角。
所以这些方法都涉及到了找垂线，再说明，再计算的过程，都需要逻辑推理。
而如果解决二面角的平面角也能像前面解决线线角或线面角问题一样，能通过空间向量的方法来解决，那么这些逻辑推理过程，我们能通过利用空间向量的程式化计算来转化。
因为空间中平面的位置可以用平面的法向量来表示，所以二面角的平面角可以用平面的法向量的夹角来解决，那么向量的夹角与二面角的平面角有着一种什么样的联系呢？
二、新课讲授
如图，二面角为l αβ--
1、记121212,,C =A,=B.l l l l l l αβαβ⊥⊥ 且与相交于，
2、过B 作,()BO l AO AOB ⊥∠连下面说明即是二面角的平面角
11,,.,.l l BO l l BOC l OC l l l AOC l AO
AOB ⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥∴⊥∴∠ 面面是二面角的平面角（一找、二证、三计算）
3、,l AOC BOC ⊥面和面
0=360.
AOC BOC AOBC AOBC ∴ 又过空间一点有且只有一个平面和已知直线垂直。
面和面重合。
即四点共面，即有平面四边形内角和
4、在12 l l ，上分别取直线的方向向量12,,n n
，事实上，由于线面垂直，两
方向向量即是两平面的法向量。
①0
01212,,180,180.ACB n n ACB AOB AOB n n ∠=<>∠+∠=⇒∠+<>=
②00
1212,180,180,.ACB n n ACB AOB AOB n n ∠+<>=∠+∠=⇒∠=<> 由①②分别可得1212,,COS AOB COS n n COS AOB COS n n ∠=-<>
∠=<>
5、总结。
计算二面角的平面角，可先找两平面的法向量的夹角。
即计算法
向量的数量积。
可求出法夹角的余弦值，继而得到平面角的余弦值。
注释： 这里不能像解决线线角或线面角那样，对向量夹角的余弦值套上绝对值。
因为前两种角都是在00090-之间，所以前两种角的正（余）弦值一定是一个正数。
而二面角的平面角在000180-，所以余弦值有可能会是负值。
正负的选取要通过对图形的观察得到。
无论法向量的夹角余弦值求出来是正还是负，如果观察得到的二面角的平面角是个锐角，则平面角的余弦值取正的。
三、例题 例1、
,2,4,ABC B SA ABC SA BC AB M N AB BC S NM A ∆∠⊥===--是以为直角的直角三角形。
平面、分别是、的中点。
求二面角的余弦值。
解：如图，以B 为原点，,BA BC x y
为、轴建系，
则A （4，0，0），S （4，0，2），M （2，0，0），N （0，1，0）
12(0,0,2)
,,SA AMN
AS AMN AMN n AS SMN n x y z ⊥∴∴===
面可作为平面的一个法向量。
平面一个法向量为设平面的一个法向量为（）
220(,,)(2,0,2)0220
0(,,)(4,1,2)0420
n SM x y z x z n SN x y z x y z ⎧∙=⇒∙--=⇒--=⎪⎨∙=⇒∙--=⇒-+-=⎪⎩
2
12
=1 2.1,2,1
,
x z y n
COS n n
=-=∴=-
∴<>===
令，则1,（）
6
COSθ
∴=
可观察二面角的平面角是锐角，
注释：引导学生总结用法向量求解二面角的平面角问题的一般步骤。
Step1 建系
Step2 表示相应点的坐标
Step3 设平面的法向量分别为
12
,n n
Step4 列方程求出法向量
Step5 用数量积公式求法向量的余弦值
Step6 根据图形判断锐角或钝角
例2
、0
1111
160
ABC A B C AB AC AA ABC
-==∠=在直三棱柱中，，.
1
1
.
AB AC
A AC B
⊥
--
（1）证明
（2）求二面角的平面角的余弦值。
1
1
11
12
11
,sin30
sin sin sin sin602
90.
(0,0,0),(1,0,0),
(1,0,0)
AB AC
ABC C C
C B C
BAC AB A C
A B C A
AB AA C n
A BC n
∆==∴=∴=
∴∠=⇒⊥
∴=
解：如图
（1）中，即，，
（2）如图建系，
是平面的一个法向量。
设平面
的法向量为
21
21
2
12
(,,)
(,,)(1,0,0
(,,)0
,
x y z
n A B x y z x
n A C x y z
n
n n
A A
=
⎧∙⇒∙⇒-=
⎪
⎨
∙⇒∙⇒-=
⎪⎩
=
∴==
-
令z=1,可得
COS<
观察可知二面角
1
1
C B
A A C B
-
∴--
的平面角为锐角，
二面角的平面角的余弦值
四、小结
本节课主要学习了利用法向量求二面角的平面角的大小，并通过两个例题熟悉了利用法向量求二面角大小的主要步骤。
五、作业布置（P112，第6题）。