第八届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案
周培源力学 竞赛资料
全国周培源大学生力学竞赛考试范围（参考）Ⅰ.理论力学(一)静力学(1)掌握力、力矩和力系的基本概念及其性质。
能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴的矩。
(2)掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本概念及其性质。
能熟练地计算力偶矩及其投影。
(3)掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质。
掌握汇交力系、平行力系与一般力系的简化方法、熟悉简化结果。
能熟练地计算各类力系的主矢和主矩。
掌握重心的概念及其位置计算的方法。
(4)掌握约束的概念及各种常见理想约束力的性质。
能熟练地画出单个刚体及刚体系受力图。
(5)掌握各种力系的平衡条件和平衡方程。
能熟练地求解单个刚体和简单刚体系的平衡问题。
(6)掌握滑动摩擦力和摩擦角的概念。
会求解考虑滑动摩擦时单个刚体和简单平面刚体系的平衡问题。
(二)运动学(1)掌握描述点运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标法，会求点的运动轨迹，并能熟练地求解点的速度和加速度。
(2)掌握刚体平移和定轴转动的概念及其运动特征、定轴转动刚体上各点速度和加速度的矢量表示法。
能熟练求解定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。
(3)掌握点的复合运动的基本概念，掌握并能应用点的速度合成定理和加速度合成定理。
(4)掌握刚体平面运动的概念及其描述，掌握平面运动刚体速度瞬心的概念。
能熟练求解平面运动刚体的角速度与角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。
(三)动力学(1)掌握建立质点的运动微分方程的方法。
了解两类动力学基本问题的求解方法。
(2)掌握刚体转动惯量的计算。
了解刚体惯性积和惯性主轴的概念。
(3)能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能。
(4)掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定理，并会综合应用。
(5)掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法。
了解其两类动力学基本问题的求解方法。
(6)掌握达朗贝尔惯性力的概念，掌握平面运动刚体达朗贝尔惯性力系的简化。
周培源力学竞赛共31页
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
ห้องสมุดไป่ตู้
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
第一届到第八届周培源力学大赛试题答案
第 6 届周培源全国大学生力学竞赛初赛（样题）时间 3 小时，满分120 分一、奇怪的独木桥（25 分）一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。
他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。
他觉得很奇怪，为什么 2 个人可以过桥而 1 个人却不能。
等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。
根据事后他的调查，小河宽 4 米，独木桥长 6 米，如图1 所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。
独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为[ ] = 600N m 。
为方便假设每人的体重均为800N，而独木桥的重量不计。
请你分析一下：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？图 1 奇怪的独木桥二、模特儿与新型舞台（35 分）a 有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。
该舞台类似长方形桌子，长为2a，宽为，有 6 条等长的桌腿（图2）。
每条桌腿都与水平地面有接触开关，如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。
该模特儿发现，站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来，如图2，她站在舞台右上角附近时，左下角的灯就不亮。
如果把模特儿的重量认为是集中载荷，把舞台认为是刚体且不计质量，则（1）本问题与力学中的什么内容有关系？1（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的 边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、 3、2、1）。
aa 三、魔术师的表演（25 分）a魔术师要表演一个节目。
其中一个道具是边长为 的不透明立方体箱子，质量为aM 1；另一个道具是长为 L 的均质刚性板 AB ，质量为 M 2，可绕光滑的 A 铰转动；最后一个道具 是半径为 R 的刚性球，质量为 M 3，放在刚性的水平面上。
第8届全国力学竞赛试题及答案
结论 3 分
证明方法不 限。 结论错误，0 分； 结论正确且能 够证明，3 分； 结论正确但证 明不完善，1 分。
小球的抛物线轨迹方程一定可以写为 y = −a(x − b)2 + c 的形式（a、b、c 与初始条件有 关且均为正值）。在 x = −r + Δx 处，抛物线的高为 y2 = −a(−r + Δx − b)2 + c 。假设抛物线过 A 点，则有 0 = −a(−r − b)2 + c 。因此有 y2 = 2a(r + b)Δx − aΔx2 ，略去高阶小量，即 y2 ∼ Δx 。
ε1
=
1 E
⎡⎣σ1
−ν
(σ 2
+ σ3 )⎤⎦
=
−
p E
(1−
2ν
)
代入(2-5)式，有： − FpL (1− 2ν ) = − pΔV ( F ) ，
E
从而得到体积改变量：
(2-5) 1 分 1分
(2-6) 2 分
ΔV ( F ) = FL (1− 2ν ) = σπ D2L (1− 2ν )
E
（1－8）
2 分，可以带入 角度。如果坐 标系选取不 同，或符号不 同，只要正确 即可。下面类 似处理
2分
同时根据系统水平动量守恒，有
u
=
v+n x'y'
cosϕ
−
v+τ x'y'
sin ϕ
联立（1－7），（1－8），（1－9），解出
（1－9） 1 分
v+n x'y'
=
v0
sinϕ(e − cos2 1+ cos2 ϕ
全国大学生周培源力学竞赛模拟试题及答案-江南大学
江南大学力学竞赛模拟试题一、大家在日常生活中通常遇到这样的情景，如果没有打开瓶盖的起子，当然可用牙齿咬开，也可以把瓶盖挨着桌子，猛击瓶盖而打开它．但这两种方法都不太好：前者不太卫生，易损坏牙齿；后者易损坏桌子，有时甚至会击碎瓶口，使手受伤．下面的方法则较文雅也方便．如图左手拇指紧压住瓶盖，其余四指紧握住瓶颈且靠近瓶盖．右手抓住筷子的一头，另一头夹在瓶盖与手指之间，然后右手向下用力，一般很容易就打开了瓶盖。
（20分）(1)本问题与力学中的什么内容有关系?(2)若筷子弯曲太大如何处理?(3)右手上用的力与瓶盖上所受力的关系? 若右手向下用力过猛，筷子何处最易折断？图1 图2解：（1）实际上，这个方法中应用了杠杆原理．筷子在这里充当了杠杆。
（2）若筷子弯曲太大，可把两支叠在一起用。
这样可提高抗弯截面系数。
（3）左手手指充当了支点．（这个方法中，大拇指压住艇羹的主要目的，是防止其余四指(支点)向下打滑，图1可简化成图2所示的力学模型，设杠杆两端一边是右手施加的力F ，一边是瓶盖施加的力Q ，1l AO =，2l BO =。
即F l l Q 12=，由于12l l >>，所以F Q >>。
即右手只要稍加力，就可能打开瓶盖。
把筷子作为一受力杆件，最大弯矩在O 处（图3示），即左手手指与筷子接触处最容易折断。
图3二、某工地为使工人高处作业方便，在木桩上搁置一些木板。
图示为一手握推车的工人站在板上。
若设板长5m ，厚58mm ，抗弯刚度EI =200 kN·m 2，假设板的宽度远小于长度，工人沿板的宽度中线行走，不计板重；木桩截面为80⨯80mm 的正方形；木材的弹性模量E =10Gpa ，许用应力[σ]=12Mpa 。
工人的体重为800N ；手推车的连同车内物料的重量共1200N ，其质心距工人1m ，距小车的轮轴0.5m 。
（35分）（1）画出板的结构分析模型的简图。
（2）并问工人站在何处，板的最大弯曲正应力最大？（3）该结构是否安全可靠？解：（1）可将板视作梁分析，并设人离板的左端A 得距离为x ，其结构分析模型如图（b ）所示。
第八届全国周培源大学生力学竞赛团体赛总结及分析
第八届全国周培源大学生力学竞赛团体赛总结高云峰 庄茁 殷雅俊清华大学航天航空学院 100084一、基本情况2011年8月17～19日，来自全国30所高校的150多名学生和30多名指导教师齐聚清华大学，参加第八届全国周培源大学生力学竞赛团体赛。
周培源大学生力学竞赛由教育部高等学校力学教学指导委员会力学基础课程教学指导分委员会、中国力学学会和周培源基金会共同主办，《力学与实践》编委会承办，中国力学学会教育、科普工作委员会和清华大学协办。
全国周培源大学生力学竞赛团体赛着重在提高大学生的动手能力和创新能力，培养大学生的团队协作精神，激发大学生对力学的兴趣，发现力学拔尖人才，努力让力学竞赛成为校园文化的一部分。
本届竞赛的要求是：面对实际问题，团队成员相互协作、利用有关力学知识设计制作出有效的装置以实现特定的目标。
共有4项比赛项目：2项以理论力学内容为主，2项以材料力学内容为主。
组委会统一提供比赛中的所有材料，并统一提供基本工具，且允许各队自带工具箱和电钻。
比赛采用封闭形式，各队有独立的教室作为制作场地。
选手不能携带手机、计算机进入制作场地。
计算器和参考书籍不限制。
在每个制作单元时间内，选手只能看到本单元的比赛题目。
参考了以往比赛中指导教师的建议，本次比赛采用积分赛制，各队均可以参加所有项目的比赛，最后根据所有参赛项目的成绩，确定名次。
经过3天紧张、激烈的比赛，四川大学代表队获得了比赛的特等奖。
二、题目介绍1 超载检测某边远检查站得到线报：近期有卡车司机可能把贵重金属藏在木盒中过境。
由于条件限制，不能开箱捡查。
在专业仪器运到之前，在这里实习的大学生提出：设计制作一个简单装置，当卡车开上装置时，根据装置的变形，判断木盒中是否藏有贵重金属。
为了验证这一设想是否可行，他们开始了模拟试验：用遥控小车代替卡车，用螺母代替贵重金属，用激光笔来放大装置的变形。
2 定时下落某玩具厂商对一些技巧性强的玩具很感兴趣。
他询问厂里新来的大学生，能否设计制作一个装置，该装置的特点是：可以一直静止停留在立杆上；如果启动装置内部的“开关”后，装置就只能在立杆上停留指定的时间，然后自动滑落下来，刺向气球（见图1）。
第一届至第六届周培源大学生力学竞赛初赛试题及答案
第6届周培源全国大学生力学竞赛初赛（样题）时间3小时，满分120分一、奇怪的独木桥（25分）一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。
他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。
他觉得很奇怪，为什么2个人可以过桥而1个人却不能。
等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。
根据事后他的调查，小河宽4米，独木桥长6米，如图1所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。
独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为[]600N mM=⋅。
为方便假设每人的体重均为800N，而独木桥的重量不计。
请你分析一下：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？图1 奇怪的独木桥二、模特儿与新型舞台（35分）2a a 有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。
该舞台类似长方形桌子，长为，宽为，有6条等长的桌腿（图2）。
每条桌腿都与水平地面有接触开关，如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。
该模特儿发现，站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来，如图2，她站在舞台右上角附近时，左下角的灯就不亮。
如果把模特儿的重量认为是集中载荷，把舞台认为是刚体且不计质量，则（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为6、5、4、3、2、1）。
aa a a图2 模特儿的新舞台 三、魔术师的表演（25分） 魔术师要表演一个节目。
其中一个道具是边长为的不透明立方体箱子，质量为a 1M；另一个道具是长为L 的均质刚性板AB ，质量为2M ，可绕光滑的A 铰转动；最后一个道具是半径为R 的刚性球，质量为3M ，放在刚性的水平面上。
周培源力学竞赛试题(第六届—第十届)
A Pi
O
θ
B H E C D
S
二、骄傲自满的大力士（35 分）
有位大力士总是自命不凡，他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场的 球门坏了一半，剩下的半边球门如图：立柱 OA 垂直固定于水平地面上，沿 x 轴方 向，高为 H = 2.4m ，横梁 AB 平行于地面，沿 z 轴负方向，长为 L = H 。立柱和 横梁均为实心圆柱，直径均为 D = 0.06m 。夫人经过计算后想出了主意：和丈夫 比赛，看谁能把球门拉倒。比赛规则是：通过系在横梁 B 端中点的绳索，只能用 静力拉球门；绳索上有且只有 B 点系在与地面固定的物体上。绳索的重量不计， 长度不限。球门不计自重，采用第三强度理论，材料的屈服应力 σ s = 57MPa 。 大力士认为自己肯定不会输，因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是
r )的无弹性台阶后， 能不 2
3.演员又用细铁棍推动题 2 中匀质圆环在水平地面上匀速纯滚动，假设圆环
保持在铅垂平面内滚动，如图所示。又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为 ft ， 圆环与地面间的滚动摩阻系数为 δ 。试求为使铁棍的推力（铁棍对圆环的作用 力）最小，圆环上与铁棍的接触点的位置。
三、趣味单杠 (30 分 )
一半球形高脚玻璃杯， 半径 r =5cm， 其质量 m1=0.3 kg， 杯底座半径 R =5 cm， 厚度不计，杯脚高度 h =10 cm。如果有一个质量 m2 = 0.1 kg 的光滑小球自杯子的 边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。已知杯子底座与水平 （1）高脚玻璃杯会不会 面之间的静摩擦因数 fs = 0.5。试分析小球在运动过程中： 滑动； （2）高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧翘起） 。
EI 。两均质水晶圆球的半径均为 r ，重量均为 P = ql 。
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=
bh13 12
+
bh1
(0.592 − 0.5) h1
2
+
2bh23 12
+
2bh2
(1− 0.592) h1 + 0.5h2
2
= (0.083 + 0.008) bh13 + 0.167b (0.1)3 h13 + 0.2bh13 (0.458)2
= (0.091+ 0.0 + 0.042) bh13 = 0.133bh13
1，0，1，2，3 代入，可以看出 x 在（－3，－2）之间、（0，1）之间以及 x=2 处有三个解（见
下图）。
根据三角函数的特点，（0，1）之间的解有意义。注意到 x=2 是一个解，所以设 得到角度的正
x3 − 6x + 4 = (x − 2)(x2 + ζ x − 2) ，容易求出ζ = 2 ，问题变为求 x2 + 2x − 2 = 0 在（0，1） 确 表 达 式 ， 3 之间的解，为 x = 3 −1，因此ϕ = arcsin( 3 −1) ≈ 47° 时，小球与圆盘压力为零，正好分离。 分
T1 : T2 = 5 : 4
（1－11） 3 分
二、组合变形的圆柱体（20 分） 【解】：（1）在扭矩作用下，圆柱外表面产生最大剪应力，其值为 50%是剪切屈服应力。由扭 转内力和应力公式计算得到
τ = MT = MT = τs WP π D3 2
2分
16
MT
=
π D3 32
τ
s
(2-1) 4 分
（1－3） 1 分
得到速度或角 （1－4） 速度，1 分
对（1－4）中的速度和角速度求导有
x
=
−
1 2
rϕ
sin
ϕ
−
1 2
rϕ
2
cosϕ
，
ϕ
= − 2 cosϕ(2 + sin2 ϕ − 2sinϕ)g (2 − sin2 ϕ)2 r
把（1－5）代入（1－3）有
mg (4 + sin3 ϕ − 6sinϕ )
τ max = τ s +
⎛ ⎜⎝
τs 2
⎞2 ⎟⎠
故，
3分 (2-2) 1 分 (2-3)
σ = 3τ s
(2-4) 2 分
（3）根据圆柱扭转变形后截面保持平面的假定，扭转作用不引起体积改变。仅考虑轴向 方法不限制， 拉伸作用下的体积改变量，利用功的互等定理，建立另一均匀压强 p 作用下的圆柱体（考虑小
（2）在圆柱外表面有最大应力，在剪切和轴向拉伸作用下，平面应力状态的主应力表达式为
4
⎧⎨σ ⎩
1
=
σ 2
+
1 2
σ 2 + 4τ 2 ,
σ2 = 0,
σ3
=
σ 2
−
1 2
σ 2 + 4τ 2
应用第三强度理论（最大剪应力强度理论），有
τ max
= σ1 −σ3 2
=
1 2
σ 2 + 4τ 2
以剪应力τ = τ s 和拉伸应力σ 代入(2-2)式，屈服将发生在当拉伸应力σ 达到 2
=
FQ S bI z
=
3E1I z Δ L3 bI z
S
=
3E1Δ bL3
⎛ ⎜⎝
2bh2
⎡⎢⎣( h1
−
yc ) +
1 2
h2
⎤ ⎥⎦
⎞ ⎟⎠
( ) = 3E1Δ
L3
0.2h1 [0.408h1 + 0.05h1]
=
0.28
E1h12Δ L3
乘以梁上表面的面积，即为剪力值：
(3-4) 4 分
6
F top Q
结论 3 分
证明方法不 限。 结论错误，0 分； 结论正确且能 够证明，3 分； 结论正确但证 明不完善，1 分。
小球的抛物线轨迹方程一定可以写为 y = −a(x − b)2 + c 的形式（a、b、c 与初始条件有 关且均为正值）。在 x = −r + Δx 处，抛物线的高为 y2 = −a(−r + Δx − b)2 + c 。假设抛物线过 A 点，则有 0 = −a(−r − b)2 + c 。因此有 y2 = 2a(r + b)Δx − aΔx2 ，略去高阶小量，即 y2 ∼ Δx 。
ϕ)
，
u = v0 (1+ e) sinϕ cosϕ 1+ cos2 ϕ
（1－10） 2 分＋2 分
( ) ( ) 小球的动能：T1
=
1 2
m
v+n x'y'
2
+
1 2
m
v+τ x'y'
2 ，半圆盘的动能： T2
=
1 2
mu 2
代入 e = 1 和ϕ = 45° ，所以碰撞后瞬时小球的动能与半圆盘的动能之比为
4E
(2-7) 4 分
三、紧密结合的复合梁（30 分） 【解】 注意：计算结果保留小数点后 2 位即可以。答案中保留了小数点后 3 位。
答案如包含中间过程的参数，只要正确，也同样给分。 （1）建立如下坐标系（如果坐标系不同，只要结论正确，不扣分）
5
先计算折算面积和截面几何性质，换算为同样模量 E1 材料的 T 形截面，求截面形心的位置，
（1－8）
2 分，可以带入 角度。如果坐 标系选取不 同，或符号不 同，只要正确 即可。下面类 似处理
2分
同时根据系统水平动量守恒，有
u
=
v+n x'y'
cosϕ
−
v+τ x'y'
sin ϕ
联立（1－7），（1－8），（1－9），解出
（1－9） 1 分
v+n x'y'
=
v0
sinϕ(e − cos2 1+ cos2 ϕ
ε1
=
1 E
⎡⎣σ1
−ν
(σ 2
+ σ3 )⎤⎦
=
−
p E
(1−
2ν
)
代入(2-5)式，有： − FpL (1− 2ν ) = − pΔV ( F ) ，
E
从而得到体积改变量：
(2-5) 1 分 1分
(2-6) 2 分
ΔV ( F ) = FL (1− 2ν ) = σπ D2L (1− 2ν )
E
2
（1－1） 1 分
系统机械能守恒
1 2
mx2
+
1 2
m(x2
−
2xrϕ
sin
ϕ
+
r
2ϕ
2
)
+
mgr
sin
ϕ
=
mgr
拆开系统，对小球由水平方向质心运动定理
mx = −N cosϕ
由（1－1）和（1－2）得到
x
=
−
1 2
rϕ
sin
ϕ
，
ϕ 2 = 4(1− sinϕ)g (2 − sin2 ϕ)r
（1－2） 1 分
（3）为了求出碰撞后的速度，可以用不同的方法。以碰撞点处的法向 n 和切向τ为坐标
轴构成 x ' y ' 。
3
碰撞前小球的绝对速度在 x ' y ' 坐标系中为 vx−' y' = (−v0 sin ϕ, − v0 cosϕ)T 。设碰撞后小球
的绝对速度为 vx+' y'
= (vx+'ny' ,
v+τ x'y
N=
( ) 2 − sin2 ϕ 2
（1－5） （1－6）
得到加速度或 角加速度，2 分
得到压力与角 度的正确表达 式，3 分
下面求小球正好脱离圆盘的位置，即求 4 + sin3 ϕ − 6sinϕ = 0 的解。设 x = sinϕ ，
y = x3 − 6x + 4 。一般情况下三次方程的解不好求，但是本题比较好求。把 x＝－3，－2，－
yC2 − y2
= 3E1Δ 2L3
(0.592h1 )2 − y2
获得剪应力为二次曲线分布，讨论：
(3-5) 1 分
(3-6)
4 分，最后三个 等号中的任意 一个均可以
图 2 分，定性 对即可。两个 结果都可以。
在梁的下表面，即 y = − yC ，有τ = 0
（2）使梁 B 端下表面刚好接触 C 台面所需的竖向力为 FP = 0.4E1bh13Δ / L3 。
（3）不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力为
F top Q
=
0.28E1bh12Δ
/
L2 。
( ) （4）梁的剪应力为τ
=
3 2
E1Δ
yC2 − y2
/ L3 ，沿梁截面高度的分布图见详细解答。
第八届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案
一、看似简单的小试验（30 分）
（1）小球 P1 不可能直接击中 A 点，证明见详细解答。 （2）小球 P2 与圆盘开始分离时的角度ϕ = arcsin( 3 −1) ≈ 47° 。 （3）碰撞结束后瞬时小球 P3 与半圆盘的动能之比为 5：4。
二、组合变形的圆柱体（20 分）
(3-2) 4 分
由梁端位移计算： Δ = Fp L3 ，得到所需的竖向力为： 3E1I z
Fp
=
3E1I z Δ L3