第九届全国周培源大学生力学竞赛试题
全国周培源大学生力学竞赛考试范围(参考)
全国周培源大学生力学竞赛考试范围（参考）理论力学一、基本部分(一) 静力学(1) 掌握力、力矩和力系的基本概念及其性质。
能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴的矩。
(2) 掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本概念及其性质。
能熟练地计算力偶矩及其投影。
(3) 掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质。
掌握汇交力系、平行力系与一般力系的简化方法、熟悉简化结果。
能熟练地计算各类力系的主矢和主矩。
掌握重心的概念及其位置计算的方法。
(4) 掌握约束的概念及各种常见理想约束力的性质。
能熟练地画出单个刚体及刚体系受力图。
(5) 掌握各种力系的平衡条件和平衡方程。
能熟练地求解单个刚体和简单刚体系的平衡问题。
(6) 掌握滑动摩擦力和摩擦角的概念。
会求解考虑滑动摩擦时单个刚体和简单平面刚体系的平衡问题。
(二)运动学(1) 掌握描述点运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标法，会求点的运动轨迹，并能熟练地求解点的速度和加速度。
(2) 掌握刚体平移和定轴转动的概念及其运动特征、定轴转动刚体上各点速度和加速度的矢量表示法。
能熟练求解定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。
(3) 掌握点的复合运动的基本概念，掌握并能应用点的速度合成定理和加速度合成定理。
(4) 掌握刚体平面运动的概念及其描述，掌握平面运动刚体速度瞬心的概念。
能熟练求解平面运动刚体的角速度与角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。
(三)动力学(1) 掌握建立质点的运动微分方程的方法。
了解两类动力学基本问题的求解方法。
(2) 掌握刚体转动惯量的计算。
了解刚体惯性积和惯性主轴的概念。
(3) 能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能。
(4) 掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定理，并会综合应用。
(5) 掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法。
了解其两类动力学基本问题的求解方法。
09全国大学生周培源力学竞赛题解
所以，可以作出结构的弯矩图，可知最大弯矩 M max = 0.308 F = 308 N ⋅ m （1 分）
6
梁的抗弯截面模量 最大应力 所以，结构安全。
W=
π
32
σ max
32 M max = = 143MPa < [σ ] W
v0
ω0 >
v0 r
方向如图所示。
（2）离最远处开始无滑动地滚动的距离 圆环到达最远距离时，v=0，时间为 t 2 =
v0 ； fsg
(2 分)
当 u=0 时刻开始无滑动滚动，有 t 1 = 在此过程中，加速度的大小为 a=fsg 所求距离：
( v 0 + rω 0 ) ； 2 fsg
(1 分)
s=
碰撞结束后，由质心运动定理有 即
2 FN = mgcosθ − mrω 2
r mg
θ
Ft
(1 分)
2
h
圆环不跳起，应有 FN>0，即 mgcosθ − mrω 2 > 0 。(2 分) 将ω2 和 cosθ =
(1 分)
r−h 代入整理得圆环不跳起的条件 r
2 v1 (2r − h ) 2 < 4r 2 (r − h )g (1 分)
解：
5
L/2 F F H
F L/2 F H l
l
图（a）
图（b）
1.两人同步旋转到单杠所在平面内时（如图（a）所示） ，结构左右对称，可以取图（c）部 分分析，在对称面上只有对称内力。根据力法方程得
⎧ δ11 X 1 + δ12 X 2 + Δ1F = 0 ⎨ ⎩δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + Δ 2 F = 0
第九届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案
出题学校：
第
(1)ω0=
(2) ∆π3σpd2σpd2(1)[F]= ≈0.4651 。
200nn
(2)不会波动，证明见详细解答。
(3)可以，许用荷载 多可提高76.7％。
第
(1) α1=0，α2=arccos 100=45o。
200
L
处的轴套、弹簧，以及各处铰的重量均可以忽略。
(1)暂不考虑金属片的变形，如果在匀速转动时O′处轴套向上升起的高度H=L是额定的工作状态，那么相应的转速ω0是多少？
(2)当转速恒定于ω0时，只考虑金属片弯曲变形的影响，试计算图示角度∠OAO′相对于把金属片视为刚
体的情况而言的变化量。
图1-1
解答及评分标准
6L6
q1⎛14123⎞，
故有θ=⎜−x+Lx+C′L⎟
(1)（本小题6分）显然，在转速ω0下，各金属片均与竖直线成60o角。先分析下片的受力，如图1-2(a)所示。建立如图所示的局部坐标系。重力为均布荷载，合力为G，作用点在x= L处。
离心力为线性分布荷载，在坐标为x的截面处，集度为G rω02=3Gω02x，其合力为3Gω02L，
Lg2Lg4g
作用点在x= L处。左端O′处的竖向杆端力仅来自于弹簧。由于弹簧的压缩量为L，故总压缩力
集度的横向分量，
75 3G
=
4L
q1=1⋅3Gω02L。①(1-5) 2 2Lg
q1
(a)(b)
图1-3
记重力和离心力的横向分量在A端引起的转角数值分别为θ0和θ1，则上片转角为θu=θ0−θ1，
下片转角为θb=θ0+θ1，上下两片轴线的相对转角为
全国大学生周培源力学竞赛模拟试题及答案-江南大学
江南大学力学竞赛模拟试题一、大家在日常生活中通常遇到这样的情景，如果没有打开瓶盖的起子，当然可用牙齿咬开，也可以把瓶盖挨着桌子，猛击瓶盖而打开它．但这两种方法都不太好：前者不太卫生，易损坏牙齿；后者易损坏桌子，有时甚至会击碎瓶口，使手受伤．下面的方法则较文雅也方便．如图左手拇指紧压住瓶盖，其余四指紧握住瓶颈且靠近瓶盖．右手抓住筷子的一头，另一头夹在瓶盖与手指之间，然后右手向下用力，一般很容易就打开了瓶盖。
（20分）(1)本问题与力学中的什么内容有关系?(2)若筷子弯曲太大如何处理?(3)右手上用的力与瓶盖上所受力的关系? 若右手向下用力过猛，筷子何处最易折断？图1 图2解：（1）实际上，这个方法中应用了杠杆原理．筷子在这里充当了杠杆。
（2）若筷子弯曲太大，可把两支叠在一起用。
这样可提高抗弯截面系数。
（3）左手手指充当了支点．（这个方法中，大拇指压住艇羹的主要目的，是防止其余四指(支点)向下打滑，图1可简化成图2所示的力学模型，设杠杆两端一边是右手施加的力F ，一边是瓶盖施加的力Q ，1l AO =，2l BO =。
即F l l Q 12=，由于12l l >>，所以F Q >>。
即右手只要稍加力，就可能打开瓶盖。
把筷子作为一受力杆件，最大弯矩在O 处（图3示），即左手手指与筷子接触处最容易折断。
图3二、某工地为使工人高处作业方便，在木桩上搁置一些木板。
图示为一手握推车的工人站在板上。
若设板长5m ，厚58mm ，抗弯刚度EI =200 kN·m 2，假设板的宽度远小于长度，工人沿板的宽度中线行走，不计板重；木桩截面为80⨯80mm 的正方形；木材的弹性模量E =10Gpa ，许用应力[σ]=12Mpa 。
工人的体重为800N ；手推车的连同车内物料的重量共1200N ，其质心距工人1m ，距小车的轮轴0.5m 。
（35分）（1）画出板的结构分析模型的简图。
（2）并问工人站在何处，板的最大弯曲正应力最大？（3）该结构是否安全可靠？解：（1）可将板视作梁分析，并设人离板的左端A 得距离为x ，其结构分析模型如图（b ）所示。
9第九届全国周培源大学生力学竞赛试题及详细参考答案和评分标准
-1-
器之中时，他们意外发现，尽管各次放入后杆件滑动和滚动的情况都不一样，但最终静止时与水平面的夹
L 各处铰的重量均可以忽略。
(1) 暂不考虑金属片的变形，如果在匀速转动时 O′ 处轴套向上升
起的高度 H = L 是额定的工作状态，那么相应的转速 ω0 是多少？ (2) 当转速恒定于 ω0 时，只考虑金属片弯曲变形的影响，试计算
图示角度 ∠OAO′ 相对于把金属片视为刚体的情况而言的变化量。
A ωb
角每次基本上都是 45o ，如图 3 所示。小明兴奋地认为，由此就可以确定抛物线方程了。小刚对此表示怀
疑，他把杆水平地放在容器里，杆照样静止了下来。他认为，说不定杆的平衡状态有很多，利用这根杆件
来确定抛物线方程的想法不可靠。小明有些懊丧，一赌气把那根静止的水平杆拨弄了一下，那根杆立刻滑
动起来，最终又静止在 45o 的平衡角度上。小刚再次拨弄这根杆，杆运动一番后，仍然回到 45o 的平衡角
求得 J 截面上各个内力的数值？
图4
第 5 题（25 分）
在收拾整理第 3 题中所用的光滑均质杆时，小刚不小心将一根杆件滑落在 地上。小明“当心”的话还未说出口，就被杆件撞击地面时的现象所吸引，感 觉与自己的想象并不一致。两人找出几根材质不同但长度均为 2L 的杆件，让它 们在高度为 2L 处与铅垂线成θ ( 0 ≤ θ < 90o ) 角无初速地竖直落下，并与固定的 光滑水平面碰撞，如图 5 所示。
全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学平衡方程
0.5 m C P
FAx FAy
FBy
解：研究系统，受力如图，由方程：∑Fx=0，∑Fy=0，∑MA=0，可 解得FAx=0、FAy=20 kN、MA=20 kN· m。
研究杆BEC，受力如图，由方程：∑Fx=0，∑Fy=0，∑MB=0，可 解得FBx=0、FBy=－20 kN、FDE=40 kN· m。
㈠ 1-1. 图示结构中，均质等边三角形板ABC的重量P=10 kN，A、
B、C处均受链杆约束。求三角板在A、B、C三链杆处的约束 列 反力。 FC 平 C C
衡 方 程 的 技 巧
A P
B
( Fi ) 0 ( Fi ) 0 (Fi ) 0
A FA P
FB B
M M M
A
FC FA
A A C B
D
FA
E
F P FC C FB
B
A FA D FD
C
B
E
F P
㈢ 3-1. 图示结构，已知P=20 kN，求支座A处反力及杆 物 DE的受力。 体 系 平 衡 问 题 基 本 解 法
B FBx 0.5 m A 0.5 m D B E C P D MA A B E C P
0.5 m
E FDE
0.6 m 0.6 m
A C
B
0.8 m
0.6 m
0.6 m
D
F
0.6 m 0.6 m
E
A M C
B
0.8 m
P 4-2′图示结构，已知 P=10 kN，求支座A、E处反力及 杆CF、BF的受力。 0.6 m 0.6 m
A M C
B
0.8 m
D P
F
0.6 m 0.6 m
全国周培源大学生力学竞赛模拟试题-徐州工程学院
周培源全国大学生力学竞赛模拟题（徐州工程学院）一 某杂技团作飞车走壁表演，设车由A 点开始沿路径AEDBCE 运动，路径的DBC 段为一圆的缺口，而α==<<BOD BOC ，不计摩擦。
（25分）（1）小车在DBC 段运动时与力学中的哪些知识相关？ （2）问高度h 应为多少才能使小车越过缺口循上述路径运动？ （3）又如欲使h 值为最小，则α角应为若干？题一图二 长为l 的钢尺，用两手食指在两端水平托起，当两手食指慢慢平行靠近时，钢尺首先只在一只手上滑动，当滑动一定长度后，又换为只在另一只手上滑动。
（35分）（1）用力学知识简要解释这一现象。
（2）钢尺沿长度方向自重的荷载集度为q ，钢尺与手之间的静摩擦因数为s f ，动摩擦因数为f ，求钢尺在首先滑动的手上能滑动的最大距离d 。
（3）钢尺的材料弹性模量为E ，横截面对中性轴的惯性矩为z I ，求当钢尺在首先滑动的手上滑动最大距离d 时，钢尺两端的转角。
三 人们常可见到这样的杂技表演：一人躺在地上，身上压着一块石板，另一人挥铁锤击石板，石板破了而其底下的人却安然无恙。
（25分）(1)请指出这一表演中所包含的力学概念（或力学问题）。
(2)如果铁锤的质量为1m ，击石头时的速度为1v ，石头的质量为2m ，两者间的恢复因数为k ，碰撞的能量损失为多少？(3)如果铁锤与石板的恢复系数.k=0.5,铁锤1m =5kg ， 2m ＝75kg ，被表演者吸收转变为身体的变形能的能量为多少？四 一条长为2m 的黄铜管，外径D ＝150mm ，壁厚δ＝5mm ，两端封闭，用直径d ＝2.5mm 的钢丝绕在上面，如图1所示（已知钢的弹性模量s E ＝200GPa ，泊松比s μ＝0.25，黄铜的弹性模量c E ＝200GPa ，泊松比c μ＝0.34）。
（35分）题四 图1（1）计算该钢丝中产生的最大应力如下：MPa 7.32785.21505.210200223maxmax max max =+⨯⨯=+=+====d D Ed d D dEEy I y EI I My z z z ρρσ如果钢丝的屈服极限为235Mpa ，上述算式是否正确，为什么？（2）如果在力F ＝400N 作用下用钢丝将管紧密地缠绕一层，计算该钢丝中产生的最大应力，求铜管的应力。
周培源力学竞赛试题与解答
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子箱的师术魔 3 图
。衡平持保置位平水在能仍子箱其及板 BA �后板 BA 开离球圆当�是的讶惊人令更。了开推球圆把就地易轻然竟�球圆下一了推右向 轻轻棒魔用师术魔 。示所 3 图如�衡平持保以可仍统系�置位间中的板 BA 在定固子箱把又 师术魔后然。 ?为角夹线垂与线连的 B 点触接和 O 心圆且�衡平持保以可都球圆和板�上球圆 在置 q 放平水 BA 板性刚把先首师术魔。上面平水的性刚在放� 3M 为量质�球性刚的 R 为径 半是具道个一后最�动转铰 A 的滑光绕可� 2M 为量质�BA 板性刚质均的 L 为长是具道个一 另� 1M 为量质�子箱体方立明透不的 a 为长边是具道个一中其。目节个一演表要师术魔 �分 52�演表的师术魔、三 台舞新的儿特模 2 图
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求得 J 截面上各个内力的数值？
图4
第 5 题（25 分）
在收拾整理第 3 题中所用的光滑均质杆时，小刚不小心将一根杆件滑落在 地上。小明“当心”的话还未说出口，就被杆件撞击地面时的现象所吸引，感 觉与自己的想象并不一致。两人找出几根材质不同但长度均为 2L 的杆件，让它 们在高度为 2L 处与铅垂线成θ ( 0 ≤ θ < 90o ) 角无初速地竖直落下，并与固定的 光滑水平面碰撞，如图 5 所示。
金属片关于轴 OO′ 对称布置。两组金属片上方均与轴套 O 铰结，且该轴套处有止推装置，以防止其在轴
向上产生位移。两组金属片下方均与 O′ 处的轴套铰结，该轴套与轴
O
OO′ 光滑套合。当主机上的电动机带动两组金属片旋转时， O′ 处的
轴套会向上升起。但轴套上升时，会使沿轴安装的弹簧压缩。弹簧的 自然长度为 2L ，其刚度 k = 23G 。 O 和 O′ 处的轴套、弹簧，以及
架的自重。
(1) 由于重物的作用，圆杆的 A 截面最上点处会产生沿着 AB 杆轴线方向上的线应变。尽管吊装的重
物没有变化，但由于吊挂的位置不同，这个应变的数值也是不同的；无须证明，在所有可能的数值中，必
定有一个极大值 ε max 。试用 ε max 表示出重物及挂钩的总重量 F 。
(2) 在出现这个极大值 ε max 时，有人直接将 Eε max 作为在相应吊挂情况下 A 截面上危险点的屈服强度
(1) 某根杆 AB 自由下落的倾角 θ = 30o 。若在碰撞刚结束的瞬时，质心 C 的 速度恰好为零，那么，碰撞时的恢复系数 e 为多大？
(2) 另一根杆（也记其为 AB）自由下落的倾角 θ = 45o ， A 端与地面发生完 全非弹性碰撞。在碰撞后杆 AB 刚达到水平位置的瞬时，质心 C 的速度为多少？
第九届全国周培源大学生力学竞赛试题
出题学校：
本试卷共 5 题 满分 120 分 时间 3 小时 30 分
注意：答卷中各题所得的最后计算结果用分数表示或用小数表示均可。
第 1 题（15 分）
图 1 为某个装在主机上的旋转部件的简图。四个重量为 G ，厚度为 b ，宽度为 3b ，长度为 L ，弹性模
量为 E 的均质金属片按如图的方式安装在轴 OO′ 上。在 A 处相互铰结的上下两个金属片构成一组，两组
角每次基本上都是 45o ，如图 3 所示。小明兴奋地认为，由此就可以确定抛物线方程了。小刚对此表示怀
疑，他把杆水平地放在容器里，杆照样静止了下来。他认为，说不定杆的平衡状态有很多，利用这根杆件
来确定抛物线方程的想法不可靠。小明有些懊丧，一赌气把那根静止的水平杆拨弄了一下，那根杆立刻滑
动起来，最终又静止在 45o 的平衡角度上。小刚再次拨弄这根杆，杆运动一番后，仍然回到 45o 的平衡角
与圆杆相撞。不考虑可能存在的间隙。
(1) 若要使每根圆杆都不会失稳，安全因数取 n ，重 物（包含内芯）的重量 F 最多允许为多大（用 σ p 、d 和 n 表示）？
(2) 如果 F 的取值在上小题的许用范围内，内芯的圆
D1 D2 F
心位置会不会因为圆杆变形而在滚动过程中产生微小的
波动？试证明你的结论。
图2
(3) 在保持原结构和构件的形式不变（例如，不允许将实心圆杆改为空心圆杆），连接方式不变，安全
因数不变，不减小外环外径，不增加材料用量，不更换材料的前提下，能否重新设计和制作这一道具，使
F 在第 (1) 小题所得到的许用值得到提高？如果你认为这个设想可以实现， F 的许用值最多能提高多少？
第 3 题（25 分）
度上。两人就此进行了激烈的争论，反复的讨论和细致的演算；甚至还找了好几根长短不一的均质杆来进
行实验验证。 (1) 试以杆的轴线与水平面的夹角α ( 0 ≤ α ≤ 90o ) 为参数，推导出杆
件所有可能的平衡位置。
y 45° A
(2) 试确定这条抛物线的方程。
(3) 试分析静止在这个容器内的各种光滑均质杆，在什么情况下受到
L O′ H
图1
第 2 题（25 分）
在图 2 中，杂技演员推动着演出道具在平坦的水平面上缓慢滚动。道具的外环和内芯都是刚性的，
D1 = 5D2 。三根直径为 d 、长度相等的实心圆杆布置匀称，其重量可以忽略不计。圆杆两端分别与外环和 内芯用球铰连结，且有 D2 = 12.5d 。圆杆材料可视为理想弹塑性，比例极限为σ p ，弹性模量 E 的数值是σ p 的 400 倍。内芯有轴承及其他结构，可以保证悬挂在圆心处的重物始终保持着竖直悬垂的状态，而且不会
准则的相当应力。这样做行吗？为什么？ (3) 在图示 AB 区段的中截面 J 处，如果要利用电测
法测算出在各种吊挂情况下该截面的全部内力，同时要 求应变片要用得尽可能地少，效果要尽可能地好，在理 论上应该贴多少个应变片？应在该截面外圆的何处粘
A L
J B
G
L
L L
C
L/2 H
D
贴？沿着什么方向粘贴？如何利用这些应变片的读数来
小明和小刚有一个内壁十分光滑的固定容器，他们已经知道这个容器的内壁是一条抛物线绕着其对称 轴旋转而得到的曲面。如何确定这条抛物线的方程，是小明和小刚想要解决的问题。他们手里还有一根长 度为 400 mm 的同样光滑的均质直杆 AB，能不能借助这根杆件来做这件事呢？数次将这根杆件随意放入容
-1-
器之中时，他们意外发现，尽管各次放入后杆件滑动和滚动的情况都不一样，但最终静止时与水平面的夹
B
扰动之后还能回到初始的平衡角度上，什么情况下不能。
x
图3
第 4 题（30 分）
图 4 是一个吊装设备的示意图。水平平面内的直角刚架由塑性材料的实心圆杆制成，其两个短杆的端
面 A 和 G 牢固地固定在竖直的刚性壁上。吊装的重物一直不变，但可以吊挂在刚架的任意部位。已知刚架
各部分圆杆横截面的直径均为 d ，其他尺寸如图所示。材料的弹性模量为 E ，泊松比 ν = 0.25 。不考虑刚
L 各处铰的重量均可以忽略。
(1) 暂不考虑金属片的变形，如果在匀速转动时 O′ 处轴套向上升
起的高度 H = L 是额定的工作状态，那么相应的转速 ω0 是多少？ (2) 当转速恒定于 ω0 时，只考虑金属片弯曲变形的影响，试计算
图示角度 ∠OAO′ 相对于把金属片视为刚体的情况而言的变化量。
A ωb
B
C
θ
2L
A
2L
图5
-2-