【状元之路】2017届高三数学一轮总复习开卷速查22 正弦定理和余弦定理 Word版含解析(数理化网)
3π 10．[2015· 安徽]在△ABC 中，∠A＝ 4 ，AB＝6，AC＝3 2，点 D 在 BC 边上，AD＝BD，求 AD 的长。 解析：设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c， 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3 2)2＋62－2×3 2 3π ×6×cos 4 ＝18＋36－(－36)＝90，
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2 5 5 sinC＝ 5 ，cosC＝ 5 。
π 又因为 sinB＝sin(A＋C)＝sin4＋C，
3 10 所以 sinB＝ 10 。 2 2 由正弦定理得 c＝ 3 b， π 1 又因为∠A＝4，2bcsinA＝3， 所以 bc＝6 2，故 b＝3。
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开卷速查(二十二)
正弦定理和余弦定理
)
A 级 基础巩固练 1 1．在△ABC 中，a＝3，b＝5，sinA＝3，则 sinB 等于( 1 A.5 5 C. 3 D．1 5 B.9
a b b 5 1 5 解析：根据正弦定理，sinA＝sinB，则 sinB＝asinA＝3×3＝9， 故选 B。 答案：B 2．△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c。若∠B＝2 ∠A，a＝1，b＝ 3，则 c＝( A．2 3 C. 2 B．2 D．1 )
1 1 解析：由题意可得2AB· BC· sinB＝2，
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又 AB＝1，BC＝ 2， 2 所以 sinB＝ 2 ，所以 B＝45° 或 B＝135° 。 当 B＝45° 时，由余弦定理可得 AC＝ AB2＋BC2－2AB· BC· cosB＝1， 此时 AC＝AB＝1，BC＝ 2，易得 A＝90° ， 与“钝角三角形”条件矛盾，舍去。所以 B＝135° 。 由余弦定理可得 AC＝ AB2＋BC2－2AB· BC· cosB＝ 5。 答案：B 6．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c。若 3a 2sin2B－sin2A ＝2b，则 的值为( sin2A 1 A．－9 C．1 7 D.2
π 2π 答案：3或 3 1 9 ． [2014· 北京 ] 在△ ABC 中， a ＝ 1 ， b ＝ 2 ， cosC ＝ 4 ，则 c ＝ __________；sinA＝__________。 1 解析： 根据余弦定理， c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×4 1 ＝4，故 c＝2，因为 cosC＝4，所以 sinC＝
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答案：1 8．[2014· 湖北]在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b， π c。已知∠A＝6，a＝1，b＝ 3，则∠B＝__________。 a b bsinA 3 解析： 由正弦定理 sinA ＝ sinB 得 sinB ＝ a ＝ 2 ，又∠ B ∈
π 5π π 2π ， ，所以∠B＝ 或 。 3 3 6 6
a b 1 3 解析：由正弦定理sinA＝sinB得：sinA＝sinB， 1 3 3 又∵∠B＝2∠A，∴sinA＝sin2A＝2sinAcosA。 3 ∴cosA＝ 2 ，∵∠A∈(0° ，180° )，∴∠A＝30° 。 ∴∠B＝60° ，∠C＝90° ，∴c＝ 答案：B 3． 在△ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 若 asinBcosC 1 ＋csinBcosA＝2b，且 a＞b，则 B＝( π A.6 2π C. 3 π B.3 5π D. 6 ) 12＋ 32＝2。
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1 解析： 根据正弦定理： asinBcosC＋csinBcosA＝2b 等价于 sinAcosC 1 1 ＋sinCcosA＝2，即 sin(A＋C)＝2。 5π π 又 a＞b，∴∠A＋∠C＝ 6 ，∴∠B＝6。故选 A 项。 答案：A A 4．[2016· 临沂模拟]在△ABC 中，若 sinB· sinC＝cos2 2 ，且 sin2B ＋sin2C＝sin2A，则△ABC 是( A．等边三角形 C．等腰三角形 ) B．直角三角形 D．等腰直角三角形
)
1 B.3
2sin2B－sin2A sinB2 b －1＝2 2－1，因 解析：由正弦定理可得 ＝ 2 2 sinA a sin A b 3 为 3a＝2b，所以a＝2。 2sin2B－sin2A 32 7 －1＝ 。 所以 ＝ 2 × 2 2 sin A 2
3π π 单调递减区间是4＋kπ， 4 ＋kπ(k∈Z)。
A 1 1 (2)由 f 2 ＝sinA－2＝0，得 sinA＝2。
3 由题意知∠A 为锐角，所以 cosA＝ 2 。 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA， 可得 1＋ 3bc＝b2＋c2≥2bc， 即 bc≤2＋ 3，且当 b＝c 时等号成立。 2＋ 3 1 因此2bcsinA≤ 4 。
在△ABD 中， 由正弦定理得 AD＝ 10。 B级
能力提升练
11．[2015· 课标Ⅱ]△ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC， △ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍。 sinB (1)求sinC； 2 (2)若 AD＝1，DC＝ 2 ，求 BD 和 AC 的长。 1 解析：(1)S△ABD＝2AB· ADsin∠BAD， 1 S△ADC＝2AC· ADsin∠CAD。 因为 S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD， 所以 AB＝2AC。 sinB AC 1 由正弦定理可得sinC＝AB ＝2。 (2)因为 S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以 BD＝ 2。 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD· BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD· DCcos∠ADC。 故 AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6。 由(1)知 AB＝2AC，所以 AC＝1。
答案：D 7 ．在△ ABC 中，∠ A ＝ 60° ， AC ＝ 2 ， BC ＝ 3 ，则 AB 等于 __________。 AC BC 2 解析：在△ABC 中，根据正弦定理，得sinB＝sinA，所以sinB＝ 3 ，解得 sinB＝1，因为∠B∈(0° ，180° )，所以∠B＝90° ，所以 sin60° AB＝ 22－ 32＝1。
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所以 a＝3 10。 bsin∠BAC 3 10 又由正弦定理得 sinB＝ ＝ ＝ ，由题设知 0＜ a 3 10 10 π B＜4， 所以 cosB＝ 1－sin2B＝ 1 3 10 1－10＝ 10 。 AB· sinB 6sinB 3 ＝2sinBcosB＝cosB＝ sinπ－2B
A 1＋cosA 解析：因为 sinBsinC＝cos2 2 ＝ 2 ， 所以 2sinBsinC＝1＋cos[π－(B＋C)] ＝1－cos(B＋C) ＝1－cosBcosC＋sinBsinC， 即 cosBcosC＋sinBsinC＝1， 所以 cos(B－C)＝1。 因为角 B，C 是△ABC 的内角， 所以∠B－∠C＝0，即∠B＝∠C， 又因为 sin2B＋sin2C＝sin2A，即 b2＋c2＝a2。 所以∠A＝90° ， 故△ABC 为等腰直角三角形。 答案：D 1 5． 钝角三角形 ABC 的面积是2， AB＝1， BC＝ 2， 则 AC＝( A．5 C．2 B. 5 D．5 )
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π 12．[2015· 山东]设 f(x)＝sinxcosx－cos2x＋4。
(1)求 f(x)的单调区间；
A (2)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c。若 f 2
＝0，a＝1。求△ABC 面积的最大值。 π 1＋cos2x＋2 sin2x sin2x 1－sin2x 解析：(1)由题意知 f(x)＝ 2 － ＝ 2 － 2 2 1 ＝sin2x－2。 π π 由－2＋2kπ≤2x≤2＋2kπ，k∈Z， π π 可得－4＋kπ≤x≤4＋kπ，k∈Z； π 3π 由2＋2kπ≤2x≤ 2 ＋2kπ，k∈Z， π 3π 可得4＋kπ≤x≤ 4 ＋kπ，k∈Z。 π π 所以 f(x)的单调递增区间是－4＋kπ，4＋kπ(k∈Z)；
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2＋ 3 所以△ABC 面积的最大值为 4 。 13．[2015· 四川]如图，角 A，B，C，D 为平面四边形 ABCD 的 四个内角。
A 1－cosA (1)证明：tan 2 ＝ sinA ； A (2)若∠A＋∠C＝180° ，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5， 求 tan 2 B C D ＋tan 2 ＋tan 2 ＋tan 2 的值。 A A sin 2 2sin2 2 1－cosA A 解析：(1)证明：tan 2 ＝ A＝ ＝ A A sinA 。 cos 2 2sin 2 cos 2 (2)由∠A＋∠C＝180° ， 得∠C＝180° －∠A，∠D＝180° －∠B。 由(1)，有 A B C D tan 2 ＋tan 2 ＋tan 2 ＋tan 2 ＝ 1－cosA 1－cosB 1－cos180° －A 1－cos180° －B 2 ＋ ＋ ＋ ＝ sinA sinB sinA sin180° －A sin180° －B 2 ＋sinB。 连接 BD。 在△ABD 中， 有 BD2＝AB2＋AD2－2AB· ADcosA，
1 6 10 1－192＝ 19 。 3 2 10 1－72＝ 7 。
A B C D 所以 tan 2 ＋tan 2 ＋tan 2 ＋tan 2 2 2 ＝sinA＋sinB ＝ 2×7 2×19 ＋ 2 10 6 10
4 10 ＝ 3 。 14．[2015· 浙江]在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a， π 1 b，c。已知∠A＝4，b2－a2＝2c2。 (1)求 tanC 的值； (2)若△ABC 的面积为 3，求 b 的值。 1 1 1 解析：(1)由 b2－a2＝2c2 及正弦定理得 sin2B－2＝2sin2C， 所以－cos2B＝sin2C。 π 3 又由∠A＝4，即∠B＋∠C＝4π，得 －cos2B＝sin2C＝2sinCcosC，解得 tanC＝2。 (2)由 tanC＝2，∠C∈(0，π)得
状元桥2017年高考数学理一轮总复习达标训练：3.7正弦
3.7 正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b，则B 的值为( ) A. 30° B. 45°C. 60°D. 90°2．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2C. 2 D ．13．(2015·贵州安顺二模)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 4．(2015·河北冀州中学期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上，则角C 的值为( )A.π6B.π3C.π4D.5π65．(2015·衡水中学第二学期调研)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0，2)解析：1．B 2.B 3.C 4.B 5.A二、填空题 6．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________． 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝π3，a ＝3，若给定一个b 的值使满足条件的三角形有且只有一个，则b 的取值范围为________．8．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．答案：6．4 7.(0，3]∪{2} 8.6－24三、解答题9．(2015·洛阳统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值．解析：(1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0，∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0，即(2cos C ＋1)2＝0，∴cos C ＝－22.又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2，∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ，∴sin A ＝15sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ，∴ab sin A sin Bsin C ＝2， 由正弦定理得：⎝⎛⎭⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．解析：(1)∵c ＝2，C ＝π3， ∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4.解得a ＝2，b ＝2. (2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0，∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形； 当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．11．(2015·湖北部分重点中学联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对边的边长，且C ＝π3，a ＋b ＝λc (其中λ>1)．(1)若λABC 为直角三角形；(2)若AC ＝98λ2，且c ＝3，求λ的值．解析：(1)证明：∵λ＝3，∴a ＋b ＝3c ， 由正弦定理得sin A ＋sin B ＝3sin C ，∵C ＝π3，∴sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝32， sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝32， ∴32sin B ＋32cos B ＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝32， 从而B ＋π6＝π3或B ＋π6＝2π3，则B ＝π6或B ＝π2. 若B ＝π6，则A ＝π2，△ABC 为直角三角形； 若B ＝π2，△ABC 亦为直角三角形． (2)若AC ·BC ＝98λ2，则12a ·b ＝98λ2，∴ab ＝94λ2. 又a ＋b ＝3λ，由余弦定理知a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， 即a 2＋b 2－ab ＝c 2＝9，即(a ＋b )2－3ab ＝9，故9λ2－274λ2＝9，解得λ＝2.。
2017届高三数学一轮复习课件：3-7 正弦定理和余弦定理
第二十四页，编辑于星期六：点 五十七分。
[规律方法] 与三角形面积有关问题的解题策略 (1)求三角形的面积。对于面积公式 S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是 已知哪一个角就使用含哪个角的公式。 (2)已知三角形的面积解三角形。与面积有关的问题，一般要利用正弦定理 或余弦定理进行边和角的互化。
答案：C
第二十九页，编辑于星期六：点 五十七分。
2．(2016·北京东城模拟)在锐角△ABC 中，AB＝3，AC＝4，S△ABC＝3 3， 则 BC＝( )
A．5
B. 13或 37
C. 37
D. 13
解析：由 S△ABC＝12AB·AC·sin∠BAC＝12×3×4×sin∠BAC＝3 3，得 sin∠
第十七页，编辑于星期六：点 五十七分。
【微练 1】(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c。已知 bcosC＋ccosB＝2b，则ab＝__________。
(2)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c。已知 b－c＝14a,2sinB ＝3sinC，则 cosA 的值为__________。
第三章
集合与常用逻辑用语
第一页，编辑于星期六：点 五十七分。
第七节 正弦定理和余弦定理
微知识 小题练 微考点 大课堂 微考场 新提升
第二页，编辑于星期六：点 五十七分。
微知识 小题练
教材回扣 基础自测
第三页，编辑于星期六：点 五十七分。
一、知识清单
微知识❶ 正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
A 为锐角
A 为钝角 或直角
图形
关系式 a＜bsinA a＝bsinA
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第五章三角函数、解三角形-第七节 正弦定理和余弦定理
4
π
2
π
2
15
,
8
解因为cos = − ,所以 < < π,故0 < < ,又sin =
sin 2 = 2sin cos =
cos 2 =
2cos2
−1=
15
2×
×
4
1
2× −1
16
1
−
4
=
=−
7
− .而sin
8
=
故sin 2 − = sin 2cos − cos 2 ⋅ sin = −
=− −
,
,
移项得 + = ,
所以△ 一定为直角三角形.
.又因为A, ∈ , ,
［对点训练2］（1）在△ 中,内角,,所对的边分别是,,,若
− cos = 2 − cos ,则△ 的形状为() D
A.等腰三角形
B.直角三角形
由
=
+
− ⋅ = + − × × × = ,得 = .故选D.
（2）在△ 中,角,,的对边分别为,,.若 = 2, = 30∘ , = 105∘ ,则 =()
A.1B. 2C.2 2D.2 3
[解析]∵ = ∘ , = ∘ , + + = ∘ ,∴ = ∘ ,∴由正弦定理可知
6 = 4 2 + 2 + 2 ,解得 = 1（负值舍）.
②求sin 的值；
解由①可求出 = 2,而0 < < π,所以sin = 1 − cos 2 =
2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形课件 理
(2)由余弦定理得 AC2＝BC2＋AB2－2AB· BCcos B，即( 7)2＝22 ＋AB2－2×2AB· cos 60°，即 AB2－2AB－3＝0，得 AB＝3，故 3 3 BC 边上的高是 ABsin 60°＝ 2 .
5 3 3 答案 (1)7 (2) 2
考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状 【例2】 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin C Nhomakorabeacsin A
1 1 1 abc 1 2.S△ABC＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B＝ ＝ (a＋b＋ 2 2 2 4R 2 c)· r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线
解析 如图所示，易知，在△ABC 中，AB＝20 海里，∠CAB＝ BC AB 30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得 ＝ ，解得 sin 30° sin 45° BC＝10 2(海里).
答案 10 2
4.(2016· 淮安质检)已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对边长分别 π 为 a，b，c，若 A＝ 3 ，b＝2acos B，c＝1，则△ABC 的面积等 于________.
3 4 解析 (1)∵cos A＝5，0＜A＜π，∴sin A＝5，又 B＝45°， ∴sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B) 7 2 b c ＝sin Acos B＋cos Asin B＝ 10 ，由正弦定理得sin B＝sin C， 1 5 b 即 ＝ ，∴b＝7. sin 45° 7 2 10
解
设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)
2017届高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：3.7 正弦定理和余弦定理 Word版含答案
第七节 正弦定理和余弦定理正、余弦定理掌握正、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．知识点 正弦定理和余弦定理 1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形： (1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin_C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．易误提醒 (1)由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．必记结论 三角形中的常用结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C (A ，B ，C ≠π2)．[自测练习]1．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b，c ，若a ＝c＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3D.6－ 2解析：在△ABC 中，易知∠B ＝30°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4.∴b ＝2. 答案：A2．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32 解析：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A， ∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.答案：B3．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°， 即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·BC sin 120°＝12×5×3×32＝1534.答案：1534考点一 利用正弦、余弦定理解三角形|1．(2015·高考广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2D. 3解析：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即4＝b 2＋12－6b ⇒b 2－6b ＋8＝0⇒(b －2)(b －4)＝0，由b <c ，得b ＝2.答案：C2．(2015·高考安徽卷)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________. 解析：因为∠A ＝75°，∠B ＝45°，所以∠C ＝60°，由正弦定理可得AC sin 45°＝6sin 60°，解得AC ＝2.答案：23．(2015·高考福建卷)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________．解析：因为△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以103＝12×5×8×sin A ，解得sin A＝32，因为角A 为锐角，所以cos A ＝12.根据余弦定理，得BC 2＝52＋82－2×5×8×cos A ＝52＋82－2×5×8×12＝49，所以BC ＝7.答案：7正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．考点二 利用正、余弦定理判断三角形形状|(2015·沈阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边且2a sin A＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．[解] (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12.又0<A <π，∴A ＝23π.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， ∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32， ∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B 、C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．判定三角形形状的两条途径(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，sin B (2cos A －1)＝0.∵0<B <π，∴sin B ≠0， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0，及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·(a 2＋b 2－c 2)2ab ＝0，整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)△ABC 为等边三角形． ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334，即12bc sin π3＝334，∴bc ＝3，① ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3，∴b 2＋c 2＝6，②由①②得b ＝c ＝3，∴△ABC 为等边三角形．考点三 三角形的面积问题|(2015·高考全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin Bsin C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． [解] (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6.由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值． 解：(1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.7.三角变换不等价致误【典例】 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )] ＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cosB.法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B . 在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2bb 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0.即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[易误点评] (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形． (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解． (3)结论表述不规范．[防范措施] (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子，然后进行判断．(2)在三角变换过程中，一般不要两边约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解；在利用三角函数关系推证角的关系时，要注意利用诱导公式，不要漏掉角之间关系的某种情况．[跟踪练习] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan A ＋tan B ＝2sin Ccos A .(1)求角B 的大小；(2)已知a c ＋ca ＝3，求sin A sin C 的值．解：(1)tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B＝sin A cos B ＋cos A sin Bcos A cos B＝sin (A ＋B )cos A cos B ＝sin C cos A cos B， ∵tan A ＋tan B ＝2sin C cos A ，∴sin C cos A cos B ＝2sin Ccos A ，∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)a c ＋c a ＝a 2＋c 2ac ＝b 2＋2ac cos B ac， ∵a c ＋ca ＝3，∴b 2＋2ac cos B ac ＝3， 即b 2＋2ac cosπ3ac ＝3，∴b 2ca＝2，而b 2ca ＝sin 2B sin A sin C ＝sin 2π3sin A sin C ＝34sin A sin C ， ∴sin A sin C ＝38.A 组 考点能力演练1．(2016·兰州一模)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：因为在锐角△ABC 中，b ＝2a sin B ，由正弦定理得，sin B ＝2sin A sin B ，所以sin A ＝12，又0<A <π2，所以A ＝30°，故选A. 答案：A2．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若S ＋a 2＝(b ＋c )2，则cos A 等于( )A.45 B ．－45C.1517D ．－1517解析：S ＋a 2＝(b ＋c )2⇒a 2＝b 2＋c 2－2bc ⎝⎛⎭⎫14sin A －1，由余弦定理得14sin A －1＝cos A ，结合sin 2A ＋cos 2A ＝1，可得cos A ＝－1517.答案：D3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A.12 B ．1 C. 3D ．2解析：∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝3，故选C.答案：C4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53B.107C.57D.5214 解析：因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin C ＝sin [π－(A＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A ·sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57.答案：C5．(2015·唐山一模)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝( )A.1010B.31010C.55 D.255解析：由已知条件可得图形，如图所示，设CD ＝a ，在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos ∠DAC ，∴a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos ∠DAC ，∴cos ∠DAC ＝31010.答案：B6．(2015·高考重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4. 答案：47．(2015·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C ＝________.解析：由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，又由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2×sin A sin C ×cos A ＝2×46×34＝1. 答案：18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.解析：∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B .由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35.答案：359．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23a sin B ＝5c ，cos B ＝1114.(1)求角A 的大小；(2)设BC 边的中点为D ，|AD |＝192，求△ABC 的面积．解：(1)由cos B ＝1114得sin B ＝5314. 又23a sin B ＝5c ，代入得3a ＝7c ，由a sin A ＝c sin C得3sin A ＝7sin C ， 3sin A ＝7sin(A ＋B )，3sin A ＝7sin A cos B ＋7cos A sin B ，得tan A ＝－3，A ＝2π3. (2)AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝194， c 2＋⎝⎛⎭⎫76c 2－2c ·76c ·1114＝194，c ＝3，则a ＝7. S ＝12ac sin B ＝12×3×7×5314＝1534. 10．(2016·杭州模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C －12c ＝b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)由a cos C －12c ＝b 得sin A cos C －12sin C ＝sin B. 又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以12sin C ＝－cos A sin C . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝－12. 又因为0<A <π，所以A ＝2π3. (2)由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝23sin C . l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )] ＝1＋23⎝⎛⎭⎫12sin B ＋32cos B ＝1＋23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3.因为A ＝2π3，所以B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3， 所以B ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3. 所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3∈⎝⎛⎦⎤32，1. 所以△ABC 的周长的取值范围为⎝⎛⎦⎤2，233＋1. B 组 高考题型专练1．(2015·高考广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________. 解析：由sin B ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin 2π3＝b 12，所以b ＝1. 答案：12．(2015·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________． 解析：由cos A ＝－14得sin A ＝154，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12bc ×154＝315，解得bc ＝24，又b －c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc －2bc cos A ＝22＋2×24－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64，故a ＝8. 答案：83．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为1.4．(2015·高考湖南卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C . 解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B， 所以sin B ＝cos A .(2)因为sin C －sin A cos B ＝sin[180°－(A ＋B )]－sin A cos B ＝sin(A ＋B )－sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝cos A sin B ，所以cos A sin B ＝34. 由(1)sin B ＝cos A ，因此sin 2B ＝34.又B 为钝角，所以sin B ＝32，故B ＝120°. 由cos A ＝sin B ＝32知A ＝30°，从而C ＝180°－(A ＋B )＝30°. 综上所述，A ＝30°，B ＝120°，C ＝30°.5．(2015·高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积． 解：(1)由tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得 sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b sin B，得b ＝3 5.由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4，得sin C ＝255.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.。
2017版高考数学北师大版(理)一轮复习第4章三角函数、解三角形4.7正弦定理、余弦定理文档
1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，三角形为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，三角形为钝角三角形．( × ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )1．在△ABC 中，a ＝33，b ＝3，A ＝π3，则C 为( )A.π6B.π4C.π2D.2π3答案 C解析 由正弦定理得3sin B ＝33sinπ3，∴sin B ＝12，∵a ＞b,0＜B ＜π3，∴B ＝π6.∴C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝π2.2．(2015·合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3 C ．2 3D ．2答案 B解析 因为S ＝12×AB ×AC sin A＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1， 所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos60°＝3， 所以BC ＝ 3.3．(2015·北京)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2A sin C ＝.答案 1解析 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin2Asin C ＝2×34×74378＝1.4．(教材改编)△ABC 中，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为． 答案 直角三角形解析 由已知得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ， ∴sin A ＝sin 2A ，又sin A ≠0，∴sin A ＝1，A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0，则角B ＝. 答案 π3解析 由正弦定理知，sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0. ∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 代入上式得3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0. ∵sin C ＞0，∴3sin B －cos B －1＝0， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝12. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个D ．无法确定(2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是． (3)(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝.答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 解析 (1)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个．(2)由题意知a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 又c 2＝b 2＋2bc ， ∴cos A ＝22，A ＝45°，sin B ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°. (3)因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝bsinπ6，解得b ＝1.思维升华 (1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．(1)(2015·三门峡模拟)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞2B ．x ＜2C ．2＜x ＜22D ．2＜x ＜2 3(2)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝. 答案 (1)C (2)1解析 (1)若三角形有两解，则必有a ＞b ，∴x ＞2， 又由sin A ＝a b sin B ＝x 2×22＜1，可得x ＜22，∴x 的取值范围是2＜x ＜2 2. (2)∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3， 设AB ＝x ，由余弦定理，得 BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ， 化简得x 2－2x ＋1＝0， ∴x ＝1，即AB ＝1.题型二 和三角形面积有关的问题例2 (2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C .所以－cos2B ＝sin 2C .① 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos2B ＝－cos2⎝⎛⎭⎫34π－C ＝－cos ⎝⎛⎭⎫32π－2C ＝sin2C ＝2sin C cos C ，② 由①②解得tan C ＝2. (2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得 sin C ＝255，cos C ＝55，因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ， 所以sin B ＝31010，由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解 (1)由题设A 与C 互补及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．② 由①②得cos C ＝12，BD ＝7，因为C 为三角形内角，故C ＝60°. (2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin60° ＝2 3.题型三 正弦、余弦定理的简单应用 命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 (1)A (2)B解析 (1)已知c b <cos A ，由正弦定理，得sin Csin B <cos A ，即sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形． (2)∵cos 2B2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c 2c， ∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ， ∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a ，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形． 命题点2 求解几何计算问题例4 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin Bsin C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ， ∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示． ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为．答案 (1)D (2) 3解析 (1)∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ∴cos A (sin B －sin A )＝0， ∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ， ∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，∴△ABC 为等腰或直角三角形．(2)sin ∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos ∠BAD ，∴cos ∠BAD ＝223.BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD 2＝3，BD ＝ 3.二审结论会转换例 (12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值． 审题路线图：规范解答解 (1)△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c ，[2分] 又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ，[4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.[7分] (2)在△ABC 中，由cos A ＝64， 可得sin A ＝104.[8分] 于是，cos2A ＝2cos 2A －1＝－14，[9分]sin2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[10分] 所以，cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos2A cos π6＋sin2A sin π6＝⎝⎛⎭⎫－14×32＋154×12＝15－38.[12分] 温馨提醒 (1)本题将正弦定理、余弦定理和和差公式综合进行考查，具有一定的综合性，要求考生对公式要熟练记忆；通过审题理清解题方向；(2)本题还考查考生的基本运算求解能力，要求计算准确无误，尽量简化计算过程，减少错误．[方法与技巧]1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要只含角或只含边．[失误与防范]1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范围，防止出现增解、漏解．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案 C解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin C c ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C 等于( )A.2π3B.π3C.3π4D.5π6答案 A解析 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝5b .因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝25＋9－2×3×5cos C ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3. 3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)及已知条件sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，可设a ＝5x ，b ＝11x ，c ＝13x (x ＞0)．则cos C ＝(5x )2＋(11x )2－(13x )22·5x ·11x ＝－23x 2110x 2＜0， ∴C 为钝角．∴△ABC 为钝角三角形．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3答案 C解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B，则B 等于( ) A.π6B.π4C.π3D.3π4答案 C 解析 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝a c ＋b， 即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， 故B ＝π3，故选C. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为．答案 π3或2π3解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac＝cos B ， 结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32， ∴B ＝π3或2π3. 7．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为． 答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24， 又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝52－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64， ∴a ＝8.8．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为． 答案 3解析 由正弦定理，可得(2＋b )(a －b )＝(c －b )·c .∵a ＝2，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∴sin A ＝32. 由b 2＋c 2－bc ＝4，得b 2＋c 2＝4＋bc .∵b 2＋c 2≥2bc ，即4＋bc ≥2bc ，∴bc ≤4.∴S △ABC ＝12bc ·sin A ≤3，即(S △ABC )max ＝ 3. 9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积． 解 (1)由题意得1＋cos2A 2－1＋cos2B 2＝32sin2A －32sin2B ， 即32sin2A －12cos2A ＝32sin2B －12cos2B ， sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6.由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)，所以2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3，sin A ＝45，asin A ＝csin C ，得a ＝85，由a ＜c ，得A ＜C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825. 10.如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD 、AC 的长．解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)因为∠ADB ＋∠ADC ＝π，所以sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ＝437.在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋(2＋3)2－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝c ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B 知7＝c 2＋4－2c ，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)．∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 12．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝. 答案 210解析 由tan A ＝2得sin A ＝2cos A .又sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝255. ∵b ＝5，B ＝π4， 根据正弦定理，有a sin A ＝b sin B， ∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210. 13．(2015·重庆)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝. 答案 6解析 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，即2sin ∠ADB ＝3sin120°，解得sin ∠ADB ＝22，所以∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2×sin120°sin30°＝ 6. 14．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为．答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin60°＝BC sin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin120°cos C －2cos120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C ) ＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C 2，BC 边上的中线AM 的长为7. (1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32， 又0＜A ＜π，∴A ＝π6. 由sin A sin B ＝cos 2C 2， 得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6， 则sin(5π6－C )＝1＋cos C ，化简得cos(C ＋π3)＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6. (2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a 2)2－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2， 故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。
高考数学一轮复习第3单元三角函数、解三角形第22讲正弦定理和余弦定理课件理
(2+b)·(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC
面积的最大值为
.
[答案] 3
[解析] 根据正弦定理和 a=2 可得
(a+b)(a-b)=(c-b)c,故得 b2+c2-a2=bc,根据余弦
定理得 cos A=������2+������ 2-������2=1,所以 A=π.根据
教学参考
3.[2014·全国卷Ⅱ] 钝角三角形 ABC
的面积是12,AB=1,BC= 2,则 AC= ()
A.5
B. 5
C.2
D.1
[答案] B [解析] 根据三角形面积公式,得12BA·BC·sin B=12, 即12×1× 2×sin B=12,得 sin B= 22,其中 C<A.若 B 为锐
C+ccos A,则 B=
.
[答案]
π 3
[解析] 因为 2bcos B=acos C+ccos A,由正弦
定理有 2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,所以 cos B=12,得 B=π3.
教学参考
5.[2016·全国卷Ⅱ] △ABC 的内角 A,B,C
(2)若 a+c=6,△ABC 的面积为 2,求 b.
解:(1)由题设及 A+B+C=π 得 sin B=8sin2 ������,
2
故 sin B=4(1-cos B),
上式两边平方,整理得 17cos2B-32cos B+15=0, 解得 cos B=1(舍去)或 cos B=15.
17
教学参考
高考数学(文科)复习第三单元 第22讲 正弦定理和余弦定理
60°.
课前双基巩固
4.[教材改编] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边
分别为 a,b,c,若 a=3 2,b=2 3,cos C=13,则
△ABC 的面积为
.
[答案] 4 3
[解析] ∵cos C=13,∴sin C=232,∴S△ABC=12absin
C=12×3 2×2 3×232=4 3.
(2)[2018·北京东城区检测] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=5,c=7,cos C=15,
sin ������ sin ������ sin2 ������ 2sin ������cos ������
6
此 sin A= 1-cos2������= 3,故选 D.
内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若
[解析] (1)因为△ABC 中,a= 6,b=4,所以由正弦定
a= 6,b=4,B=2A,则 sin A 的值为 ( )
A.
6 3
B.
6 6
C.
3 2D.Fra bibliotek3 3
理得sin6������=sin4������,又因为 B=2A,所以 6 = 4 = 4 = 4 ,化简得 cos A= 2 >0,因
课堂考点探究
例 2 (1)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是
a,b,c,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,则△ABC
的形状是 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
(2)在△ABC 中,若 sin A=2cos Bsin C,则△ABC
第八节 正弦定理和余弦定理应用举例-高考状元之路
第八节 正弦定理和余弦定理应用举例预习设计 基础备考知识梳理1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫仰角，在水平线 的角叫俯角（如图①）．2．方位角 从指北方向 转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）．3．方向角相对于某一正方向的水平角（如图③）(1)北偏东,0α即由指北方向 旋转0α到达目标方向．(2)北偏西,0α即由指北方向 旋转,0α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似． 4．坡度（比） 坡面与水平面所成的 的度数（如图④，角θ为坡角）．坡比；坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡度（比））．典题热身1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的关系是( )βα>.A βα=.B 90.=+βαC 0180.=+βαD2．如图所示，为了测量某障碍物两侧A 、B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定A 、B 间距离的是 ( )βαγ,,.A a B ,,.βα γ,,.b a C b D ,,.βα3．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40方向，灯塔B 在观察站C 的南偏东60方向，则灯塔A 在灯塔B 的 ( )A ．北偏东 10方向B ．北偏西o 10方向C ．南偏东.10o 方向D ．南偏西10方向答案：B4．(2011．吉林一中模拟)中新社亚丁湾2011年2月5日电，中国海军第七批护航编队采取直升机低空查证、发射爆震弹示警等措施，成功驱离多艘可疑小艇，如图，当甲船位于A 处时，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘货船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西,30 相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B 处救援，则sin θ的值等于答案：14755．在200 m 高的山下一塔的塔顶与塔底看山顶的仰角分别是,6030 、o 则塔高为 m ． 答案：3400 课堂设计 方法备考题型一 测量距离问题【例1】某观测站C 在目标A 的南偏西025方向，从A 出发有一条南偏东035走向的公路，在C 处测得与C 相距31 km 的公路上B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20 km 到达D ，此时测得CD 为21 km ，求此人在D 处距A 还有多少km ．答：此人在D 处距A 还有15 km ．题型二 测量高度问题【例2】（2011．沈阳模拟）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可选取与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得=∠=∠BDC BCD ,75 ,,60s CD = 并在点C 处测得塔顶A 的仰角为,30求塔高AB ．答案：塔高s 22 题型三 测量角度问题【例3】如图，在海岸A 处，发现北偏东45方向，距A 处e nmi 1)13(-的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西 75的方向，距离A 处2 n mile 的C 处的缉私船奉命以h e nmi /1310的速度追截走私船．此时，走私船正以h e nmi /101的速度从B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船，答：缉私船沿东偏北30方向能最快追上走私船。
高考数学一轮复习 考点22 正弦定理和余弦定理必刷题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
考点22 正弦定理和余弦定理1．（某某省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值X 围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，∴022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值X 围为,故选C.2．（某某省实验中学等四校2019届高三联合考试理科）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()22a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1BC ．4 D ．4【答案】D【解析】由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵ 2222cos a b c ab C +-=，∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ 0C π<<， ∴ 5666C πππ-<-<， ∴ 66C ππ-=，即3C π=，则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12+=故选：D ．3．（某某省某某市2019届高三总复习质量测试理科二）在ABC ∆中，1cos 3A =，2AB =，3BC =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．1 B ．2C ．12x x D．【答案】C 【解析】由余弦定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅234150AC AC ⇒--=3AC ⇒=，因为1cos 3A =，所以sin A ==因此1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅= C.4．（某某省某某市2019届高三第二次模拟考试数学理）在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为2a ，则22b c c b+的最大值是_____．【解析】因为BC 边上的高为2a ， 所以11sin 222a a bc A ⨯⨯=，即22sin a bc A =， 可得2222cos 2222bc b c a bc A c b bc bc+++==2sin 2ccossin cos 2bc A b A A A bc +==+=4A π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭故22b cc b+．5．（某某省某某市2019届高三适应性考试）在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【答案】3【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列， 所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==， 所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=， 又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =，因为()12CM CA CB =+， 所以22222422cos CMCA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解3c =.即AB .故答案为3． 6．（某某省某某十校2019届第二学期高考模拟考试）在ABC ∆中，A ，B ，C 内角所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b =且cos cos 4sin sin c B b C a B C +=，则c 的最小值为_____．【答案】12【解析】∵ccos cos 4sin sin B b C a B C +=，∴sin cos sin cos 4sin sin sin C B B C A B C +=， ∴sin()sin 4sin sin sin B C A A B C +==，∵sin 0A ≠，∴1sin sin 4B C =，∴1sin 4sin C B =，由正弦定理可得sin sin b c B C=，即2sin 28sin sin Cc C B =⨯=， 当sin 1B =时，min sin C =14.当1sin 4C =时，则c 的最小值为12．故答案为：12.7．（某某省某某市2019届高三第一次模拟考试理）设ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a =6b =，1cos 2B =-，那么角C 的大小为__________．【答案】12π 【解析】1cos2B =-，∴B 为钝角，可得23B π=，sin B =．=sin A =A 为锐角，∴4A π=．∴24312C A B πππππ=--=--=． 8．（某某省2019届高三高考教学质量测评卷八数学理）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中最大的角等于另外两个角的和，当最长边1c =时，ABC ∆周长的最大值为_______.1 【解析】依题意，C A B =+，结合三角形的内角和定理，所以2A B π+=，设ABC ∆的外接圆半径为R ，则12R =，于是2(sin sin )sin sin a b R A B A B +=+=+sin cos 4A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当4A π=时，a b +1.9．（市通州区2019届高三4月第一次模拟考试）在ABC △中，3cos 5A =,a =5b =，则c =__________．【答案】7 【解析】由3cos ,55A a b ===，代入2222cos a b c bc A =+-，得233225255c c =+-⨯⨯⨯，即：2670c c --=解得7.(1c c ==- 舍去） 故答案为：7．10．（某某省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷）在ABC ∆中，23BAC π∠=，已知BC 边上的中线3AD =，则ABC ∆面积的最大值为__________．【答案】【解析】在△ABC 中，23BAC π∠=，BC 边上的中线AD=3，1()2AD AB AC =+，设AB ＝c ，AC ＝b ， 平方可得 9＝()222211222cos 434c b AB AC c b cb π⎛⎫++⋅=++⋅ ⎪⎝⎭. 化简可得，22362c b bc bc bc bc +=≥-=-，∴bc≤36，当且仅当b c =时成立，故△ABC 的面积S ＝1213sin 36932322bc π⋅⨯⨯= 故答案为：9311．（某某省棠湖中学2019届高三高考适应性考试）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则cos B 的最小值为_____.【答案】12【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =22222cos 22a c b a c acB ac ac+-+-==， 由基本不等式可以得到2221222a c ac ac ac ac ac +--≥=，当且仅当a c =时等号成立，故cos B 的最小值为12. 12．（某某省某某市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且ccosA ＝4，asinC ＝5． （1）求边长c ；（2）著△ABC 的面积S ＝20．求△ABC 的周长． 【答案】（141（2）41 【解析】（1）∵由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C===，可得：asinC ＝csinA ， ∵asinC＝5，可得：csinA ＝5，可得：sinA ＝5c ，又∵ccosA＝4，可得：cosA ＝4c，∴可得：sin 2A+cos 2A ＝222516c c +＝1，∴解得c 41（2）∵△ABC 的面积S ＝12absinC ＝20，asinC ＝5，∴解得：b ＝8，∴由余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ＝64+418＝41，解得：a ，∴△ABC 的周长＝a+b+c ．13．（某某省某某市2019届高三全真模拟考试）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2a b c =+，且ABC ∆外接圆的半径为1，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）4【解析】 （Ⅰ）∵2sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫-=+⎪⎝⎭， ∴2cos cos cos c A a B b A =+，由正弦定理得，()2sin cos sin cos sin cos sin sin C A A B B A A B C =+=+=， ∴2sin cos sin C A C =，又0C π<<，∴sin 0C ≠，∴1cos 2A =， 又0A π<<，∴3A π=.（Ⅱ）设ABC ∆外接圆的半径为R ，则1R =，2sin a R A ==，由余弦定理得()22222cos 33a b c bc b c bc π=+-=+-，即3123bc =-，∴3bc =，∴ABC ∆的面积11sin 322S bc A ==⨯=. 14．（某某省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）如图ABC ∆中，D 为BC 的中点，213AB =，4AC =，3AD =.（1）求边BC 的长；（2）点E 在边AB 上，若CE 是BCA ∠的角平分线，求BCE ∆的面积. 【答案】（1）10；（2）607. 【解析】（1）因为D 在边BC 上，所以cos cos ADB ADC ∠=-∠，在ADB ∆和ADC ∆中由余弦定理，得222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-+=⨯⨯，因为213AB =4AC =，3AD =，BD DC =，所以229529160BD BD +-++-=，所以225BD =，5BD =. 所以边BC 的长为10.（2）由（1）知ADC ∆为直角三角形，所以14362ADC S ∆=⨯⨯=，212ABC ADC S S ∆∆==. 因为CE 是BCA ∠的角平分线，所以1sin 21sin 2ACE BCE AC CE ACE S S BC CE BCE ∆∆⨯⨯∠=⨯⨯∠42105AC BC ===. 所以25ABC BCE ACE BCE BCE S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+7125BCE S ∆==，所以607BCE S ∆=.即BCE ∆的面积为607.15．（某某省某某市2019届高三第三次模拟考试数学理）如图所示，锐角ABC ∆中，52AC =D 在线段BC 上，且32CD =，ACD ∆的面积为66，延长BA 至E ，使得EC BC ⊥.（Ⅰ）求AD 的值； （Ⅱ）若2sin 3BEC ∠=，求AE 的值. 【答案】（Ⅰ）214；（Ⅱ）322. 【解析】（Ⅰ）在ACD ∆中，1sin 2ACD S AC CD ACD ∆=⋅∠15232sin 662ACD =⨯∠=所以26sin 5ACD ∠=. 因为090ACD ︒<∠<︒，所以2261cos 155ACD ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 由余弦定理得2222cos 56AD CD CA CD CA ACD =+-⋅⋅⋅∠=，得214AD =（Ⅱ）因为EC BC ⊥，所以()1sin sin 90cos 5ACE ACD ACD ∠=︒-∠=∠=. 在AEC ∆中，由正弦定理得sin sin AE ACACE AEC=∠∠，即521253AE =，所以32AE =. 16．（某某省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3=c b ，2sin 3B A =. （1）求cos B ；（2）若2a =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）56（2）112【解析】（1）因为2sin B A=，所以2b=，即a=又因为=c，所以2225cos262a c bBac+-===.（2）因为2a=，所以3c=.因为5cos6B=，在ABC∆中，(0,)Bπ∈，所以sin6B=所以11sin232262ABCS a c B∆=⋅⋅=⨯⨯⨯=.17．已知ABC∆的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos cos2cosb Cc B a A+=. （1）求A；（2）若ABC∆的周长为3，求a的最小值.【答案】（1）3Aπ=；（2）1.【解析】（1）由已知及正弦定理得sin cos cos sin2sin cosB C B C A A+=，即()sin2sin cosB C A A+=，∵()()sin sin sinB C A Aπ+=-=，∴1cos2A=.又∵()0,Aπ∈，∴3Aπ=.（2）∵()2222221cos222b c bc ab c aAbc bc+--+-===，化简得()()223*bc b c a=+-，∵3a b c++=，∴()3a b c=-+，代入()*式得()369bc b c =+-， ∵22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()23694b c b c +-≤+，即()()28120b c b c +-++≥， 解得2b c +≤或6b c +≥（舍），当且仅当b c =时取“=”.∴()31a b c =-+≥，即a 的最小值为1，此时1b c ==，且ABC ∆为正三角形.18．（某某省某某市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =. （1）求BD CD； （2）若1AD AC ==，求BC 的长．【答案】（1）2；（2【解析】解：（1）由正弦定理可得在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD =∠， 在ACD ∆中，sin sin AD CD C CAD=∠， 又因为BAD CAD ∠=∠，sin 2sin BD C CD B==. （2）sin 2sin C B =，由正弦定理得22AB AC ==，设DC x =，则2BD x =，则222254cos cos 24AB AD BD x BAD CAD AB AD +--∠==∠⋅，2222222AC AD CD x AC AD +--==⋅. 因为BAD CAD ∠=∠，所以2254242x x --=，解得2x =.3BC x ==19．（）在某某省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理ABC ∆中，AB C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DC BD的值； （Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）4；【解析】（Ⅰ）因为cos 3B =，∴sin 3B =， ()13sin sin sin cos cos sin 23236C A B A B A B +=+=+=⨯+⨯=， 由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DC CAD∠， 因为AD 平分BAC ∠，所以sin 4sin 6DC B BD C ===.（Ⅱ）由cos cos 2c B b C +=，即222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==， 所以sin sin a b A B =，∴sin sin 3a Bb A ==故11sin 222ABCS ab C ==⨯=20．（某某省某某市2019届高三考前模拟三模）已知,,a b c 分别为ABC △三个内角,,A B C 所对的边，若向量(,cos )m b B =，(cos ,2)n C c a =-，且m n ⊥.（1）求角B ；（2）若113||2m =，且24ac =，求边,a c . 【答案】（1）3B π=；（2）64a c =⎧⎨=⎩或46a c =⎧⎨=⎩.【解析】 （1）m n ⊥0m n ∴⋅=，又向量(),cos m b B =，()cos ,2n C c a =-，故()cos 2cos 0b C c a B +-=由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===得：sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C A B +-= ()sin 2sin cos 0B C A B ∴+-=又()()sin sin sin B C A A π+=-=sin 2sin cos 0A A B ∴-=sin 0A ≠1cos 2B ∴=又()0,B π∈3B π∴= （2）由（1）知3B π=1,2m b ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭22111322m b ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭ 2111344b ∴+=，即：228b =，解得：27b = 在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos b ac ac B =+-又3B π=，故2228a c ac =+-，即：()2283a c ac =+- 又24ac =，解得：64a c =⎧⎨=⎩或46a c =⎧⎨=⎩． 21．（某某省师X 大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)理）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，若3cos 4A =，2B A =，3b =.（1）求a ；（2）已知点M 在边BC 上，且AM 平分BAC ∠，求ABM ∆的面积.【答案】(1) 2a = (2) 757ABM S ∆=【解析】（1）由0A π<<，3cos 4A =，得sin 4A =，所以3sin sin 22sin cos 2448B A A A ===⨯=， 由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin 2sin b A a B ==. （2）2231cos cos22cos 12148B A A ⎛⎫==-=⨯-= ⎪⎝⎭， 在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22100c c --=， 解得52c =或2c =-（舍去）. 1sin 2ABC S bc A ∆== 因为||||365||||52ACM ABM S CM AC S BM AB ∆∆====，所以55111116176ABM ABC S S ∆∆==⨯=. 22．（某某省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边，点D 为边BC 的中点，ABC ∆的面积为22sin AD B. （I ）求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值；（II ）若2BD AB =，AD =b . 【答案】（I ）12；（II）b = 【解析】（I ）由ABC ∆的面积为22sin AD B 且D 为BC 的中点可知：ABD ∆的面积为24sin AD B， 由三角形的面积公式可知21sin 24sin AD AB BD B B⋅⋅=， 由正弦定理可得2sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=，所以1sin sin 2BAD BDA ∠⋅∠=.（II ）因为2BD AB =，所以在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin BD AB BAD BDA=∠∠， 所以sin 2sin BAD BDA ∠=∠，由（1）可知1sin sin 2BAD BDA ∠⋅∠=， 所以sin 1BAD ∠=，1sin 2BDA ∠=，∵(0,)BAD π∠∈，∴2BAD π∠=，在直角ABD ∆中，AD =1sin 2BDA ∠=所以2BD =，1AB =. ∵2BC BD =，4BC =，在ABC ∆中用余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-1116214132=+-⨯⨯⨯=b =23．（某某部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）在ABC 中，45A ∠=，2AB =（1）若BC =求ACB ∠；（2）若ABC?的面积为1，求BC .【答案】（1）6ACB π∠=；（2. 【解析】（1）由题设知，2sin45sin ACB=︒∠， 所以1sin 2ACB ∠=. 566ACB ππ∠=或. 由AB BC <大边对大角，所以6ACB π∠=．（2）1sin 12ABC S bc A ∆==，容易得出b =在ABC △中，由余弦定理得 2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅⋅∠42222=+-⨯=所以BC =24．（某某省某某市、枣庄市2019届高三第二次模拟预测数学理）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222cos cos cos 1sin sin A C B A C +-=-（1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）3π；（2【解析】（1）222222cos cos cos 1sin 1sin 1sin 1sin sin A C B A C B A C +-=-+--+=- 222sin sin sin sin sin B A C A C ∴=+-由正弦定理可得：222b a c ac =+- 由余弦定理可得：2221cos 22a cb B ac +-== ()0,B π∈3B π∴=（2）由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，即：224a c ac =+-222a c ac +≥42ac ac ∴+≥4ac ∴≤（当且仅当a c =时取等号）∴11sin 422ABC S ac B ∆=≤⨯=ABC ∆． 25．（某某省某某第一中学2019届高三第三次模拟考试）已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若cos sin a b C c B =+（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b = ，求ABC ∆面积的最大值。