第四章频率域滤波介绍
频域滤波的基本原理
频域滤波的基本原理频域滤波的基本原理频域滤波是一种信号处理技术，它根据信号的频率特征对信号进行处理，从而达到去噪、滤波等目的。
频域滤波的基本原理就是将时域中的信号转化为频域中的信号，利用频域中的特征进行处理，最后再将处理后的信号转回时域。
一、时域和频域时域和频域是信号处理中常用的两个概念。
时域是指信号随时间变化的情况，它通常用时域波形来表示。
例如，我们平常看到的声音、图像等都是时域信号。
频域是指信号在频率上的特征，与时域不同，它通常用其频谱图表示。
频谱图是一种表示信号频率分布情况的图形，它能够显示信号中存在的各种频率成分。
例如，下图分别是一个声音信号的时域波形和频谱图：![时域波形和频谱图示例]( "时域波形和频谱图示例.png")二、傅里叶变换频域处理的基础是傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，它可以将任意周期的连续信号分解成一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶变换的基本形式为：F_freq(x) = ∫_{-∞}^∞f_time(t)e^{-2πif t}dt其中，f_{time}是时域信号，F_{freq}是频域信号，i表示虚数单位。
需要注意的是，傅里叶变换通常是定义在连续信号上的，在实际应用中，离散信号也常常需要进行傅里叶变换，这时候可以使用离散傅里叶变换（DFT）。
三、频域滤波的基本原理频域滤波是指利用傅里叶变换将信号从时域转换到频域，然后在频域中对信号进行滤波，最后再将信号从频域转回时域的一种信号处理方法。
在频域中，我们可以通过观察信号的频谱图来判断信号中是否存在噪声或需要滤除的部分。
例如，下图中的频谱图显示了一个信号中存在高频噪声：![高频噪声示例]( "高频噪声示例.png")为了去除这种噪声，我们可以在频域中将高频的部分过滤掉，实现去噪的效果。
具体而言，频域滤波通常包括以下几个步骤：1. 将时域信号x(t)进行傅里叶变换，得到频域信号X(f)；2. 在频域中对X(f)进行滤波处理，得到滤波后的频域信号Y(f)，过滤方式包括低通、高通、带通滤波等；3. 将Y(f)进行傅里叶反变换，得到处理后的时域信号。
第四章频率域图像增强
图像傅立叶变换的物理意义
傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空 间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示 空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图 像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表 示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。 为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱 图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并 不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶 频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域 点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么 理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来 讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立 叶变换后的频谱图，也叫功率图
域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质 ✓ 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对 于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
✓ 一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域用硬件实现
➢图像的频率指什么？
✓ 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面
Mx0
u=0,1,2,…,M-1
✓ 给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
f(x)
1
M1
j2ux
F(u)e M
Mu0
x=0,1,2,…,M-1
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换及反变换
✓ 从欧拉公式 e j cos j sin
F (u)
1
M 1
图像滤波
–相隔两行或两列的差分，故边缘两侧的象元得到 了增强，边缘显得粗而亮。
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Sobel Edge Detector
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拉普拉斯算子(零交叉算子)
拉普拉斯算子进一步表示为：
2 f
2 f x2
2 f y2
• 实际最常用且效果较好的是用3×3模板。
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• 在计算梯度时只涉及到中心像元 的水平和垂直方向的邻域像素，
则称为水平垂直梯度法。即：
z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9
1 f (i, j) f (i 1, j),2 f (i, j) f (i, j 1)
1
1 0
01, 2
按一定算法在整幅图像中漫游来变换图像的灰 度。
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Sobel operator
• 模板表示：检测垂直和检测水平
z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9
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Sobel operator
不像普通梯度算子那样用两个像素之差值， 而用两列或两行加权和之差值，其优点为：
The gradient is estimated in eight (for a convolution mask) possible directions.3/8
f |(z7 +z8 + z9) - (z1 + z2 + z3) | +
|(z3 +z6 + z9) - (z1 + z4 + z7) |
频率域滤波
频率域滤波频率域滤波是经典的信号处理技术之一，它是将信号在时域和频域进行分析以达到信号处理中的一定目的的技术。
它在诸多技术方面有着广泛的应用，比如音频信号处理、通信信号处理、部分图像处理和生物信号处理等。
本文将从以下几个方面来介绍频率域滤波的基本原理：概念的介绍、频谱的概念、傅里叶变换的原理、频率域滤波的基本原理、应用场景。
一、概念介绍频率域滤波是一种信号处理技术，它可以将时域信号转换成频域信号，并根据信号特征在频率域中对信号进行处理以达到特定的目的，如去除噪声和滤波等。
一般来说，信号处理包括两个阶段：时域处理和频域处理。
时域处理会涉及到信号的时间特性，而频率域处理则涉及到信号的频率特性。
二、频谱概念频谱是指信号分析中信号频率分布的函数，它是信号的频率特性的反映。
一个信号的频谱是一个衡量信号的能量随频率变化的曲线。
通过对信号的频谱进行分析，可以提取出信号中不同频率成分的信息，从而对信号进行更深入的分析。
三、傅里叶变换傅里叶变换是将时域信号转换成频域信号的基本手段。
傅里叶变换是指利用线性无穷积分把一个函数从时域转换到频域，即将一个函数的时间属性转换为频率属性的过程。
傅里叶变换会将时域信号映射到频域，从而可以分析信号的频率分布情况。
四、频率域滤波的基本原理频率域滤波的基本原理是先将信号进行傅里叶变换，然后将信号在频域进行处理。
根据不同的应用需求，可以采用低通滤波、高通滤波或带通滤波等滤波器对信号进行处理，从而获得滤波后的信号。
最后，再将滤波后的信号进行反变换即可。
五、应用场景由于具有时域和频域双重处理功能，频率域滤波技术在诸多技术领域都有广泛应用。
例如，在音频信号处理方面，频率域滤波可以去除音频信号中的噪声，使得信号变得更加清晰。
此外，在以图像处理方面，频率域滤波技术可以有效去除图像中的多余信息，从而提高图像的质量。
在通信领域，频率域滤波技术可以应用于对通信信号的滤波和信号分离，从而有效提升信号的传输效率。
地震拓频处理
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时域滤波器和频域滤波器的变换
时域滤波器和频域滤波器的变换卷积定理函数空间域的卷积的傅⾥叶变换是函数傅⾥叶变换的乘积。
对应地，频率域的卷积与空间域的乘积存在对应关系。
由卷积定理可知所有频域的滤波理论上都可以转化为空域的卷积操作。
给定频率域滤波器，可对其进⾏傅⾥叶逆变换得到对应的空域滤波器；滤波在频域更为直观，但空域适合使⽤更⼩的滤波模板以提⾼滤波速度。
因为相同尺⼨下，频域滤波器效率⾼于空域滤波器，故空域滤波需要⼀个更⼩尺⼨的模板近似得到需要的滤波结果。
空域卷积将模板在图像中逐像素移动，将卷积核的每个元素分别和图像矩阵对应位置元素相乘并将结果累加，累加和作为模板中⼼对应像素点的卷积结果。
通俗的讲，卷积就是对整幅图像进⾏加权平均的过程，每⼀个像素点的值，都由其本⾝和邻域内的其他像素值经过加权平均后得到。
在像素的处理上，是先将结果暂存在于⼀个副本，最后统⼀拷贝，故不会出现处理顺序不同⽽结果不同的情况。
⼆维连续卷积的数学定义：离散形式：频域滤波频率域是由傅⾥叶变换和频率变量 (u,v)定义的空间，频域滤波处理过程：先对图像进⾏傅⾥叶变换，转换⾄频率域，在频域使⽤滤波函数进⾏滤波，最后将结果反变换⾄空间域。
即：⾼斯函数公式：形状：空域⾼斯平滑滤波⾼斯模板的⽣成因为图像是离散存储的，故我们需要⼀个⾼斯函数的离散近似。
具体地，对⾼斯函数进⾏离散化，以离散点上的⾼斯函数值作为权值，组成⼀定尺⼨的模板，⽤此模板对图像进⾏卷积。
由于⾼斯分布在任意点处都⾮零，故理论上需要⼀个⽆穷⼤的模板，但根据" 准则"，即数据分布在的概率是0.9974，距离函数中⼼超过数据所占权重可以忽略,因此只需要计算的矩阵就可以保证对⾼斯函数的近似了。
假设⼆维模板⼤⼩,则模板上元素处的值为：前⾯的系数在实际应⽤中常被忽略，因为是离散取样，不能使取样和为1，最后还要做归⼀化操作。
程序：function filt=mygaussian(varargin)%参数初始化，使⽤varargin处理可变参数情况siz=varargin{1};%模板尺⼨if(numel(siz)==1)siz=[siz,siz];endstd=varargin{2};%⽅差centa = (siz(1)+1)/2;%此处不要取整centb = (siz(1)+1)/2;filt = zeros(siz(1),siz(2));summ=0;for i=1:siz(1)for j=1:siz(2)radius = ((i-centa)^2+(j-centb)^2);filt(i,j) = exp(-(radius/(2*std^2)));summ=summ+filt(i,j);endendfilt=filt/summ;%归⼀化测试：执⾏mygaussian(4,1)得：0.0181 0.0492 0.0492 0.01810.0492 0.1336 0.1336 0.04920.0492 0.1336 0.1336 0.04920.0181 0.0492 0.0492 0.0181执⾏fspecial('gaussian',4,1)得：0.0181 0.0492 0.0492 0.01810.0492 0.1336 0.1336 0.04920.0492 0.1336 0.1336 0.04920.0181 0.0492 0.0492 0.0181可以看出与Matlab结果相同。
数字图像处理(冈萨雷斯)-4_fourier变换和频域介绍(dip3e)经典案例幻灯片PPT
F (u,v)
F *(u, v)
f ( x ,y ) ☆ h ( x ,y ) i f f t c o n j F ( u , v ) H ( u , v )
h(x,y):CD 周期延拓
PAC1
h:
PQ
QBD1
DFT
H (u,v)
F*(u,v)H(u,v)
IDFT
R(x,y):PQ
✓ 使用这组基函数的线性组合得到任意函数f，每个基函数的系 数就是f与该基函数的内积
图像变换的目的
✓ 使图像处理问题简化； ✓ 有利于图像特征提取； ✓ 有助于从概念上增强对图像信息的理解；
图像变换通常是一种二维正交变换。
一般要求： 1. 正交变换必须是可逆的； 2. 正变换和反变换的算法不能太复杂； 3. 正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率 成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理
4.11 二维DFT的实现
沿着f(x,y)的一行所进 行的傅里叶变换。
F (u ,v ) F ( u , v ) (4 .6 1 9 )
复习：当两个复数实部相等,虚部互为相 反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.
4.6
二维离散傅里叶变换的性质
其他性质：
✓尺度变换〔缩放〕及线性性
a f( x ,y ) a F ( u ,v ) f( a x ,b y ) 1 F ( u a ,v b ) |a b |
域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质
✓ 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对 于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
✓ 一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域用硬件实现
遥感数字图像处理：遥感图像处理-图像滤波
Mean 11x11
1.2 中值滤波器
在邻域平均法中，是将n×n局部区域中的灰度的平
均值作为区域中央象元的灰度值。而在中值滤波中，是 把局部区域中灰度的中央值作为区域中央象元的值。
g(x, y) median(of (x, y))
如，在3×3区域内进行中值滤波，是将区域内9个 灰度值按由小到大排列，从小的一方开始的第5个值即 为中央象元的值。
矢量微分----梯度
二元函数f(x,y)在坐标点(x,y)处的梯度向量的定义：
f
G[
f
( x,
y)]
x f
y
梯度的幅度：
G[ f (x, y)] ( f )2 ( f ) 2
x
y
梯度的幅角：
M
tg 1[ f / f ] y x
连续域的微分----离散域的差分
x f (i, j) f (i 1, j) f (i, j) y f (i, j) f (i, j 1) f (i, j)
MN
r(i, j) (m, n)t(m, n) m1 n1
将计算结果r（i，j） 放在窗口中心的像 元位置，成为新像 元的灰度值。然后 活动窗口向右移动 一个像元，再按公 式做同样的运算， 仍旧把计算结果放 在移动后的窗口中 心位置上，依次进 行，逐行扫描，直 到全幅图像扫描一 遍结束，则新图像 生成。
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电子科技大学 光电信息学院 二○一三年3月11日
何谓图像增强？
图像对比度增强
何谓图像增强？
微光图像的去噪图像增强？
红外图像的锐化处理
何谓图像增强？
红外图像的边缘检测（便于机器识别）
何谓图像增强？
图像在生成、获取、传输等过程中，受照明 光源性能、成像系统性能、通道带宽和噪声等 诸多因素的影响，往往造成对比度偏低、清晰 度下降、并引入干扰噪声。 因此，图像增强的目的，就是改善图像质量， 获得更适合于人眼观察、或者对后续计算机处 理、分析过程更有利的图像。 图像增强并不以图像保真为准则，而是有选 择地突出某些对人或计算机分析有意义的信息 ，抑制无用信息，提高图像的使用价值。
f ( x, y ) b d d c g x, y [ f ( x, y ) a ] c a f ( x , y ) b b a f ( x, y ) a c
1.1 直接灰度变换法
(一) 线性灰度变换
g(x,y) d
c 0 a b f(x,y)
主要内容
空间域灰度变换 空间域滤波 频率域滤波 伪彩色与假彩色处理
主要内容
空间域灰度变换 空间域滤波 频率域滤波 伪彩色与假彩色处理
一、空间域灰度变换
空间域灰度变换，又称为对比度变换或对比 度增强。可分为以下两大类： 直接灰度变换法
1、线性变换；2、对数变换；3、指数变换。
直方图调整法
原始图象
亮度倒置 底片效果
红色分量 置零
红色、绿色 分量均置零
原始图象
非线性亮度变换 对数效应
非线性亮度变换 指数效应
原始图象
分段线性化 出现假轮廓
1.2 直方图调整法
1000 p(rk) 750
500 像素出 250 现次数
50 100 150 200
Nk
像素灰度级别
1.2 直方图调整法
1.1 直接灰度变换法
(二) 分段线性灰度变换
g(x,y) Mg d
c 0 a b Mf f(x,y)
1.1 直接灰度变换法
(三) 非线性灰度变换 (1) 对数变换 低灰度区扩展，高灰度区压缩。
(2) 指数变换 高灰度区扩展，低灰度区压缩。
1.1 直接灰度变换法
(三) 非线性灰度变换——对数变换
1.1 直接灰度变换法
(二) 分段线性灰度变换
将感兴趣的灰度范围线性扩展，相对 抑制不感兴趣的灰度区域。 设f(x,y)灰度范围为[0,Mf]，g(x,y)灰度 范围为[0,Mg],
1.1 直接灰度变换法
(二) 分段线性灰度变换
M g d [ f ( x, y ) b ] d M f b d c g ( x, y ) [ f ( x, y ) a ] c b a c a f ( x, y ) b f ( x, y ) M f a f ( x, y ) b 0 f ( x, y ) a
(一) 直方图均衡化
首先，假定连续灰度级的情况，推导直方图均衡化变 换公式，令r代表灰度级，P ( r ) 为概率密度函数。 r 值已归一化，最大灰度值为1。
(一)直方图均衡化
要找到一种变换 S=T ( r ) 使直方图变平直， 为使变换后的灰度仍保持从黑到白的单一变化 顺序，且变换范围与原先一致，以避免整体变 亮或变暗。必须规定： (1) 在0≤r≤1中，T(r)是单调递增函数，且 0≤T(r)≤1； (2) 反变换r=T-1(s),T-1(s)也为单调递增函数， 0≤s≤1。
a,b,c是按需要可以调整的参数。
1.1 直接灰度变换法
(三) 非线性灰度变换——指数变换
灰度变换实例
原始图象
灰度倒置 底片效果
原始图象
非线性灰度变换 对数效应
原始图象
非线性灰度变换 指数效应
原始图象
分段线性化 出现假轮廓
招贴画化 4级灰度
招贴画化 3级灰度
招贴画化 2级灰度 即二值化
应用到离散灰度级，设一幅图像的像素 总数为n，分L个灰度级。 nk: 第k个灰度级出现的频数。 第k个灰度级出现的概率 P(rk)=nk/n 其中，0≤rk≤1，k=0,1,2,...,L-1 形式为：
sk T (rk ) p(rj )
1、直方图均衡化；2、直方图匹配。
1.1 直接灰度变换法
(一) 线性灰度变换 当图像成像时曝光不足或过度, 或由于成像 设备的非线性和图像记录设备动态范围太窄 等因素。都会产生对比度不足的弊病，使图 像中的细节分辨不清。这时可将灰度范围线 性扩展。
1.1 直接灰度变换法
(一) 线性灰度变换 设f(x,y)灰度范围为[a,b]，g(x,y)灰度范围为 [c,d]，则有
直方图均衡化-变换公式推导图示
sj+s sj
rj rj+r
(一)直方图均衡化
考虑到灰度变换不影响像素的位置分布， 也不会增减像素数目。所以有：
r
0
p(r )dr p(s)ds 1 ds s T (r )
0 0
s
s
T (r ) p(r )dr
0
r
(1)
(一)直方图均衡化
ln[ f ( x, y ) 1] g ( x, y ) a b ln c
a,b,c是按需要可以调整的参数。
1.1 直接灰度变换法
(三) 非线性灰度变换——对数变换
1.1 直接灰度变换法
(三) 非线性灰度变换——对数变换
g ( x, y) b
c[ f ( x, y )a ]
1
0.4 0.3 p(rk)
0.2 像素出 0.1 现概率
50 100 150 200
Nk
像素灰度级别
直方图举例
直方图描述了一幅图像的灰度(颜色)分布
1.2 直方图调整法
(一) 直方图均衡化 直方图均衡化是将原图像的直方图通 过变换函数修正为均匀的直方图，然后 按均衡直方图修正原图像。 图像均衡化处理后，图像的直方图是 平直的，即各灰度级具有近似相同的出 现频数，那么由于灰度级具有均匀的概 率分布，图像看起来就更清晰了。