从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系

第12卷第3期 数 学 教 育 学 报Vol.12, No.32003年8月JOURNAL OF MA THEMA TICS EDUCA TIONAug., 2003收稿日期：2003–06–15从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系侯维民（天水师范学院 数学系，甘肃 天水 741001）摘要：高等数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想方法上是中学数学的因袭和扩张，在观念上是中学数学的深化和发展．高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方面．注意与中学数学的联系对比不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用．关键词：高等代数；中学数学；数学知识；数学思想方法；数学观念中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2003）03–0084–04数学教育的双专业性不但要求数学教师精通较多的数学知识，具备多种数学能力；还要求他们懂得系统的教育理论，练就娴熟的教育技能．为使未来的中学数学教师精通较多的数学知识，具备多种数学能力，高师数学系除开设“中学数学复习与研究”，“中学数学教材教法”等直接指导中学数学教学的课程外，还开设了“数学分析”、“高等代数”等高等数学类的课程．然而，在长期开设高等数学类课程的实践中，一直存在着2方面的问题．一方面由于中学数学知识难以与高等数学知识直接衔接，使不少大一学生一接触到“数学分析”、“高等代数”等课程，就对数学专业课产生了畏难情绪；另一方面，由于高等数学理论与中学教学需要严重脱节，许多高师毕业生对如何用高等数学理论指导中学数学教学感到茫然．为了解决上述长期存在的问题，笔者认为，用数学方法论[1]的望远镜和显微镜来剖析各门高等数学类课程与中学数学的联系是一项有效的措施．不但要挖掘知识体系方面的联系，更要挖掘数学思想方法、数学观念方面的联系．通过这些工作，使师生都清楚地看到：高等数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想方法上是中学数学的因袭和扩张，在观念上是中学数学的深化和发展．这样，学生学习高等数学类课程的难度就会大大降低，高等数学类课程对培养中学数学教师的指导作用也会显著增强．下面以高等代数课为例[2]，从数学知识、数学思想方法、数学观念3个方面发掘一下高等数学类课程与中学数学的联系．1 知识方面的联系这个问题至少可由以下6点说明．（1）中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则．高等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论．（2）中学代数给出了多项式因式分解的常用方法．高等代数首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及不可约多项式在3种常见数域上的判定．（3）中学代数讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系．高等代数接着讲一元n 次方程根的定义，复数域上一元n 次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一元n 次方程根的特点，有理系数一元n 次方程有理根的性质及求法，一元n 次方程根的近似解法及公式解简介．（4）中学代数讲二元一次、三元一次方程组的消元解法．高等代数讲线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法、讲线性方程组解的判定及解与解之间的关系．（5）中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子．中学代数学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子．中学代数中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子．（6）中学几何学习的向量的长度和夹角为欧氏第3期侯维民：从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系85空间向量的长度和夹角提供模型，三角形不等式为欧氏空间中2点间距离的性质提供模型，线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型．综上所述可知，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高．它不但解释了许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等，而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统．这对用现代数学的观点、原理和方法指导中学数学教学是十分有用的．2 思想方法方面的联系2.1 抽象化思想小学从具体事物的数量中抽象出数字，开创了算术运算的时期．中学用字母表示数，开创了在一般形式下研究数、式、方程的时期．高等代数用字母表示多项式、矩阵，开始研究具体的代数系统，进而又用字母表示满足一定公理体系的抽象元素，开始研究抽象的代数系统——向量空间、欧氏空间．随着概念抽象化程度不断的提高，数学研究的对象急剧扩大．2.2 化归思想中学数学里，化无理方程为有理方程，化分式方程为整式方程，化三元一次方程组为二元一次方程组直至一元一次方程，通过化归矩形推导平行四边形面积公式，这些都用到化归思想．在高等代数里，通过按行按列展开，将阶数较高的行列式化为阶数较低的行列式；通过分离系数，将线性方程组的研究转化为增广矩阵的研究；通过选定基，将向量之间的关系转化为向量坐标之间的关系，将线性变换的研究转化为矩阵的研究，将二次型的研究转化为实对称矩阵的研究等，也都用到化归思想．2.3 分类思想中学按概念对研究的对象分类，例如对数分类，对代数式分类等．高等代数除按概念分类，如将次数大于0的多项式分为可约与不可约2类，将二次型分为正定、负定、不定3类等；按元素间的等价关系分类，例如分别依矩阵的等价关系、相似关系、合同关系对矩阵分类；利用向量空间的同构关系对向量空间、欧氏空间按维数分类，等等．2.4 结构思想现代数学通过3种数学结构将数学各分支联系成一个整体．中学数学与高等代数都用现代数学的观点和语言组织教材，2者的许多概念、性质及运算律具有相似性．从负数到负多项式、负矩阵再到负元素，由倒数到逆矩阵再到逆元，从数的运算律到集合、多项式、矩阵的运算律再到代数系统的运算律，由数的大小关系到集合的包含关系、多项式的整除关系再到集合的偏序关系，这些内容全都反映了结构思想．2.5 类比推理思想在中学数学中，由分数的性质类比推理分式的性质；由2直线的位置关系类比推理2平面的位置关系；由直角三角形的勾股定理类比推理具有3直角顶点四面体的勾股定理．在高等代数中，由整数整除理论类比推理数域F上的多项式的整除理论；由直角坐标系下，几何向量的长度、夹角、内积、距离公式类比推理规范正交基下，n维欧氏空间中向量的长度、夹角、内积、距离公式．2.6 严格的逻辑推理方法受中学生理解能力的限制，中学数学中严格的定义较少，定理和习题的推理过程较短，几何问题的推导还常常借助直观图形．但常用的证题方法，如反证法、同一法、综合法、分析法、数学归纳法等，学生已有接触．而高等代数对所研究的各类问题首先给出严格的定义，然后从定义出发，通过严密的逻辑推理，得出性质、定理、推论，直至建立完整的理论体系．同中学数学相比，高等代数具有提出问题，理论推导严格，讨论问题深入，知识体系完备的优点．2.7 公理化方法中学平面几何将利用直觉经验不证自明的少数命题和推导原则作为公理，由此出发推证出大量新的命题，这已用到实质公理化方法．高等代数中的向量空间、线性变换、欧氏空间都将若干条假设作为公理，利用这些公理，再推导出各自的理论体系，这已用到形式公理化方法．由实质公理化方法到形式公理化方法体现了公理化方法的发展．2.8 坐标方法中学数学通过数轴建立了直线上点的坐标，通过平面坐标系建立了平面上点的坐标．高等代数通过向量空间的基建立了向量空间中各种向量的坐标，推导出了向量和及向量数乘的坐标计算公式，证明了坐标变换公式．欧氏空间一章还给出了在规范正交基下，向量的长度、内积、投影、距离、夹86 数学教育学报第12卷角的坐标计算公式，这些公式恰是中学平面解析几何中相应公式的直接推广．2.9 变换方法中学数学学过线性方程组的同解变换．高等代数将这些同解变换转换成矩阵的初等变换，由此得到一种用途广泛的解题方法——矩阵的初等变换法．利用矩阵的初等变换法可以求解线性方程组，可以求矩阵的秩，可以求矩阵在等价关系和合同关系下的标准形，可以求逆矩阵，可以直接求解部分矩阵方程等．2.10 构造性方法中学数学中的一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、三元一次方程组的求解方法都属于构造性方法．高等代数不但继续用构造性方法解题（例如，判断整系数多项式可约性的克罗内克方法，求排列反序数的方法，求线性方程组解的行列式法和矩阵消元法等），还用构造性方法证明定理（例如，证明带余除法定理，证明最大公因式的存在性定理，证明正交基的存在性定理，证明对称矩阵与对角形矩阵合同定理等）．综上所述可知，高等代数与中学代数虽然在知识深度上有较大差异，但产生知识的思想方法却是一脉相承的．只是由于中学数学的知识较浅，内容较窄，对思想方法的巨大作用体现不深而已．通过学习高等代数等近、现代数学课程，人们越来越深刻地认识到数学思想方法在揭示数学知识的内在联系，培养多种数学能力方面的巨大威力，从而学习和应用数学思想方法的自觉性大大增强．而这种自觉性对于当前提高中学数学教学质量恰恰是最为重要的．3 观念方面的联系在中学数学中初步萌生的若干数学观念，包括数学研究的对象，数学研究的特点等，在高等代数中将得到深化和发展．关于数学研究的对象，由中学代数研究的数、代数式、方程、函数等内容，中学几何研究的点、线、面、常见图形等内容，不难看出：数学研究的对象是现实世界的数量关系和空间形式．然而这个观念在高等代数等后继课程中却不断受到冲击．首先，集合的包含关系，多项式的整除关系，向量的线性关系，矩阵的等价、相似、合同关系已不再是传统意义下的数量关系．其次，向量空间、欧氏空间也不再局限于有直观意义的空间形式．高等代数等近、现代数学课程都说明：数学是一门应用抽象量化方法研究关系、结构、模式的科学．这一新的观念对于指导中学教改是至关重要的．关于数学研究的特点，人们普遍认为是抽象性、严谨性和应用的广泛性，然而仅从中学数学是很难深刻体会到这些特点的．首先看抽象性．中学数学中，从用字母表示数，诸多数学概念的形成已使学生初步体会到抽象的含义和作用．但是对数学科学如何借助于抽象而不断发展却知之甚微，通过高等代数等后继课程的学习，这样的例子就渐渐多了起来．例如，从几何向量等数学对象关于加法和数乘的共性中，可以抽象出向量空间的概念，再将几何向量关于内积的共性抽象并赋予实数域上的向量空间就得到欧氏空间的概念．而当人们只把注意力集中到欧氏空间等代数系统的“距离”的本质属性——非负性、对称性、三角不等式时，就抽象出“距离空间”的概念．当人们再注意到由距离所产生的拓扑结构只是一种特殊的拓扑结构时，又抽象出拓扑空间的概念，可见随着抽象程度的不断提高，数学研究的对象日益扩大，结论更加本质．再看严谨性．受中学生理解能力的限制，中学数学的严格定义较少，几何问题的推导还常常借助直观图形．数学推理的严谨性并不十分明显．而高等代数对所研究的各类问题首先给出严格的定义，然后从定义出发，通过严密的逻辑推理得出性质、定理、推论，直至建立完整的理论体系．推理的严谨性随处可见．最后看应用的广泛性．中学数学除了它的教育功能外，还能解决一些简单的实际问题，如工程、行程、浓度、面积、体积等．而高等代数除了它的教育功能外，还能进一步解决一些较为复杂的问题，如电力系统、线性规划、投入产出模型等．总之，学习高等数学类课程越多，数学应用的广泛性就体现得越全面．参考文献：[1] 马忠林，郑毓信．数学方法论[M]．南宁：广西教育出版社，1996．34−98．[2] 杨世明，周春荔，徐沥泉，等．MM教育方式：理论与实践[M]．香港：香港新闻出版社，2002．54−87．[3] 张禾瑞，新．高等代数（第四版）[M]．北京：高郝钅丙第3期 侯维民：从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系 87等教育出版社，1999．1−3．Explore Relations between the Higher Algebra and the Mathematics ofMiddle School by Mathematical MethodologyHOU Wei-min(Department of Mathematics, Tianshui Teachers’ College, Gansu Tianshui 741001, China)Abstract: This article explored the relations on mathematical knowledge, mathematical thoughts and methods, mathematical senses. It showed that if we noticed the connections and comparisons of Higher Algebra and middle school mathematics, this not only reduced the difficulty of Higher Algebra ’s study , but also strengthened the guiding actions of Higher Algebra on training mathematical teachers of middle school.Key words: Higher Aalgebra ; middle school mathematics; mathematical knowledge; mathematical thought and method; mathematical sense[责任编校：陈汉君]（上接第69页）试验或许能给学生一些直观上的帮助．现在的教材只是在高三“统计初步”一章才对抽样知识做一些简单介绍，抽样方法只简单随机一种．本调查发现高一和高二学生应用分层随机占10%，整群随机也有3%，2个年级比例相差不大，甚至高一还要好于高二．学生容易想到的分层随机教材中却没有介绍．有些抽样方法的引入提前至高一或初中阶段也未尝不可．另外，各种抽样方法和学生的认知水平有怎样的联系以及中学生对随机概念的认识情况都有待进一步研究．致谢：本文在撰写过程中得到导师李俊的悉心指导，在此表示感谢！ 参考文献：[1] 梁小筠，祝大平．抽样调查的方法和原理[M]．上海：华东师范大学出版社，1994．55．[2] 王孝玲．教育统计学（修订二版）[M]．上海：华东师范大学出版社，2002．337–343．[3] 黄良文，吴国培．应用抽样方法[M]．北京：中国统计出版社，1991．45．Investigation of Middle School Students’ SamplingWANG Xiu-jun(Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200062, China)Abstract: An understanding of sampling was fundamental to statistical literacy and sampling methods were the key of sampling. A questionnaire was carried out to investigate middle school students’ sampling methods. The main finding was that before learning sampling methods systematically the middle school students had the primitively ideas of the sampling methods. In general students often did not recognize the statistical fairness of random samples and more believed stratified sampling and students’ sample selections were different according to their grade and achievement. Key words: sampling methods; investigation; random[责任编校：周学智]。