最新111变化率问题课件选修2-3
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个式子称为函数 f x 在区间 x1, x2 上的平均变化率.
习惯上用 △x 表示 x2 x1,△y 或△f(x)表示 f (x2 ) f (x1) ,
这里的 △x 是相对于 x1 的一个“增量”，即 x2 x1 △x ，
则平均变化率可以表示为 △ f = f x2 f x1
△x
[解析] 当自变量从 x0 变到 x0＋Δx 时，函数的平均
变化率为f(x0＋ΔΔxx)－f(x0)＝[2(x0＋Δx)2＋Δx1]－(2x02＋1)
＝4x0＋2Δx.
• [点评] 这类题目的关键是熟记平均变化率公式的形式 ．
[例 2] 求函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化 率，并计算当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
课堂小结：
注意：即等于过两点（x1，f(x1)）、（x2，f(x2)
）连线直线的斜率。）
2．求函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率的步骤：
(1)确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0；
延伸:观察函数f(x)的图象,
平均变化率
y f (x2) f (x1)
x
x2 x1
表示什么?
直线AB 的斜率
⑵已知函数 f（x）=2x+1，g（x）= —2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]
上 f（x）及 g（x）的平均变化率.
（通过做练习⑵，你发现了什么？）
一次 函数 y=kx+b 在区间 [m ，n] 上的平 均变化率就 是直线 y=kx+b 的斜率.
练习3：
已知函数f(x)＝x2＋2x，求f(x)从a到b的平均变化率． (1)a＝1，b＝2； (2)a＝3，b＝4； (3)a＝－2，b＝1.
x2 x1
注意 ：△y、 △x、 △f(x)都是 一个符号 ，是一 个表示变 化的量 ，
可正可负，其中△x 不能为 0，且是一个不可分割的整体，表示△后面
变量的变化大小，不是我们以前讲的 △“乘”y、△“乘”x。
例题分析：
• [例1] 求y＝2x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率． • [分析] 依据函数平均变化率的定义求解．
答: ∵ h(t) 4.9t2 6.5t 10
在 0 ≤ t ≤ 0.5 这段时间里,
v
ຫໍສະໝຸດ Baiduh(0.5) 0.5
h(0) 0
4.05(m s
)
在1≤ t ≤ 2 这段时间里,
v
h(2) 2
h(1) 1
8.2(m
s
)
在 0 ≤ t ≤ 65 这段时间里, 49
h( 65) h(0)
v
49 65 0
[分析] 本题直接利用概念求平均变化率．先 求出表达式，再直接代入数据可以求得相 应的平均变化率的值．
[解析] 当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均变化
率为f(x0＋Δx)－f Δx
(x0)＝(x0＋ΔΔxx)3－x30＝3x20＋3x0Δx＋
(Δx)2
当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值为
0(m s )
注:用平均速度描述物体运动状态,只49能说明某一段时间
运动的整体情况. 它不能表达物体在某一时刻的运动状态。
继续思考:已知某人走路的第 1 秒到第 34 秒的位移与时间的函 数 S S(t) 的图象如图所示：
S AB 15.1
SBC 14.8
问题 1：“从 A 到 B 的位移是多少？从 B 到 C 的位移是多少？”
3、理解△y、△x的含义。掌握导数（即导函数值）的几何意义， 并会求出曲线在某点处的切线方程．
二、自学指导：
快速阅读教材，思考教材P3 探究和P4 思考。
问题 2：高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面 的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t（单位:s）
存在函数关系 h(t) 4.9t2 6.5t 10
问题 2：“AB 段与 BC 段哪一段平均速度较快？能否直接从函
数象中看出” v AB sB sA vBC sC sB
tB tA
tC tB
可以
一般地,如果上述问题中的函数关系用 f (x) 表示,那 么问题中的变化率可用式子 f (x2 ) f (x1) 表示,我们把这
x2 x1
20
y
f(x2 f()x2)-f(x1)=△y
y=f(x)
B
f(x1)
O
A x2-x1=△x
x x1 x2
作业:
1. 已知函数 f (x) x2 ，分别计算 f (x) 在下列区间上的 平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]； 2. 物 体 按 照 s(t) 3t2 t 4 的 规 律 作 直 线 运 动, 求 在 t 4s 附近的平均变化率. 3．过曲线 y=f(x)=x2 上两点 P（1，1）和 Q (1+Δx,1+Δ y)作曲线的割线，求出当Δx=0.1 时割线 PQ 的斜率.
111变化率问题课件选修2-3
一、学习目标：
1、通过两个实例，体会两个名词含义的不同：变化大小与变化快 慢（即变化率）；理解运动物体的速度在某时刻的瞬时变化率(瞬
时速度)，知道函数在某点x0处的瞬时变化率就是导数，理解导数
的概念和定义，会求函数在某点处的瞬时变化率——导数 (即导函数值)．
2、体会、并理解平均变化率的概念，会求函数在某点的平均 变化率的概念，掌握函数平均变化率的求法．
3×12＋3×1×1＋（1）2＝19 .
22
4
• [点评] 此类题易错之处容易将平均变化 率与平均数相混淆，关键是理解平均变化 率的概念．
四 当堂训练：
⑴质点运动规律 S t2 3,则在时间 (3, 3 △t) 中相应的平均速度为( A )
(A) 6 △t
(B)
6
△t
9 △t
(C)3+△t (D) 9+△t
习惯上用 △x 表示 x2 x1,△y 或△f(x)表示 f (x2 ) f (x1) ,
这里的 △x 是相对于 x1 的一个“增量”，即 x2 x1 △x ，
则平均变化率可以表示为 △ f = f x2 f x1
△x
[解析] 当自变量从 x0 变到 x0＋Δx 时，函数的平均
变化率为f(x0＋ΔΔxx)－f(x0)＝[2(x0＋Δx)2＋Δx1]－(2x02＋1)
＝4x0＋2Δx.
• [点评] 这类题目的关键是熟记平均变化率公式的形式 ．
[例 2] 求函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化 率，并计算当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
课堂小结：
注意：即等于过两点（x1，f(x1)）、（x2，f(x2)
）连线直线的斜率。）
2．求函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率的步骤：
(1)确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0；
延伸:观察函数f(x)的图象,
平均变化率
y f (x2) f (x1)
x
x2 x1
表示什么?
直线AB 的斜率
⑵已知函数 f（x）=2x+1，g（x）= —2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]
上 f（x）及 g（x）的平均变化率.
（通过做练习⑵，你发现了什么？）
一次 函数 y=kx+b 在区间 [m ，n] 上的平 均变化率就 是直线 y=kx+b 的斜率.
练习3：
已知函数f(x)＝x2＋2x，求f(x)从a到b的平均变化率． (1)a＝1，b＝2； (2)a＝3，b＝4； (3)a＝－2，b＝1.
x2 x1
注意 ：△y、 △x、 △f(x)都是 一个符号 ，是一 个表示变 化的量 ，
可正可负，其中△x 不能为 0，且是一个不可分割的整体，表示△后面
变量的变化大小，不是我们以前讲的 △“乘”y、△“乘”x。
例题分析：
• [例1] 求y＝2x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率． • [分析] 依据函数平均变化率的定义求解．
答: ∵ h(t) 4.9t2 6.5t 10
在 0 ≤ t ≤ 0.5 这段时间里,
v
ຫໍສະໝຸດ Baiduh(0.5) 0.5
h(0) 0
4.05(m s
)
在1≤ t ≤ 2 这段时间里,
v
h(2) 2
h(1) 1
8.2(m
s
)
在 0 ≤ t ≤ 65 这段时间里, 49
h( 65) h(0)
v
49 65 0
[分析] 本题直接利用概念求平均变化率．先 求出表达式，再直接代入数据可以求得相 应的平均变化率的值．
[解析] 当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均变化
率为f(x0＋Δx)－f Δx
(x0)＝(x0＋ΔΔxx)3－x30＝3x20＋3x0Δx＋
(Δx)2
当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值为
0(m s )
注:用平均速度描述物体运动状态,只49能说明某一段时间
运动的整体情况. 它不能表达物体在某一时刻的运动状态。
继续思考:已知某人走路的第 1 秒到第 34 秒的位移与时间的函 数 S S(t) 的图象如图所示：
S AB 15.1
SBC 14.8
问题 1：“从 A 到 B 的位移是多少？从 B 到 C 的位移是多少？”
3、理解△y、△x的含义。掌握导数（即导函数值）的几何意义， 并会求出曲线在某点处的切线方程．
二、自学指导：
快速阅读教材，思考教材P3 探究和P4 思考。
问题 2：高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面 的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t（单位:s）
存在函数关系 h(t) 4.9t2 6.5t 10
问题 2：“AB 段与 BC 段哪一段平均速度较快？能否直接从函
数象中看出” v AB sB sA vBC sC sB
tB tA
tC tB
可以
一般地,如果上述问题中的函数关系用 f (x) 表示,那 么问题中的变化率可用式子 f (x2 ) f (x1) 表示,我们把这
x2 x1
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y
f(x2 f()x2)-f(x1)=△y
y=f(x)
B
f(x1)
O
A x2-x1=△x
x x1 x2
作业:
1. 已知函数 f (x) x2 ，分别计算 f (x) 在下列区间上的 平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]； 2. 物 体 按 照 s(t) 3t2 t 4 的 规 律 作 直 线 运 动, 求 在 t 4s 附近的平均变化率. 3．过曲线 y=f(x)=x2 上两点 P（1，1）和 Q (1+Δx,1+Δ y)作曲线的割线，求出当Δx=0.1 时割线 PQ 的斜率.
111变化率问题课件选修2-3
一、学习目标：
1、通过两个实例，体会两个名词含义的不同：变化大小与变化快 慢（即变化率）；理解运动物体的速度在某时刻的瞬时变化率(瞬
时速度)，知道函数在某点x0处的瞬时变化率就是导数，理解导数
的概念和定义，会求函数在某点处的瞬时变化率——导数 (即导函数值)．
2、体会、并理解平均变化率的概念，会求函数在某点的平均 变化率的概念，掌握函数平均变化率的求法．
3×12＋3×1×1＋（1）2＝19 .
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• [点评] 此类题易错之处容易将平均变化 率与平均数相混淆，关键是理解平均变化 率的概念．
四 当堂训练：
⑴质点运动规律 S t2 3,则在时间 (3, 3 △t) 中相应的平均速度为( A )
(A) 6 △t
(B)
6
△t
9 △t
(C)3+△t (D) 9+△t