动量与动能定理

笛卡尔继承了伽利略的说法， 笛卡尔继承了伽利略的说法，把物体的大小 质量） （质量）和速度的乘积定义为 “ 运动之量 ” 。 （quantity） ） 笛卡尔提出： 笛卡尔提出：宇宙间运动之量总和不变 1686 年，莱布尼兹公开向笛卡尔提出挑战。 莱布尼兹公开向笛卡尔提出挑战 公开向笛卡尔提出挑战。 他通过计算得到， 他通过计算得到，伽里略所说足以使下落物体回升
t2 1 F= Fdt 或 F = m (v2 − v1 ) t 2 − t1 ∫t1 (t 2 − t1 )
例题２ ：
普通物理学教案
一只篮球质量为 0.58 kg，从2.0 m 高度下 ， 到达地面后，以同样速率反弹， 落，到达地面后，以同样速率反弹，接触时间 对地平均冲力。 仅0.019s。 求：对地平均冲力。 。 解： 篮球到达地面的速率 F F(max)
∫ Fdt
∫ F ⋅ dr
二、两个定理
Fdt = mdv
dv F =m dt
∫
t
t0
Fdt = ∫ mdv
v0
v
= mv − mv0
由
dv F ⋅ dr = m ⋅ dr dt
1 1 v ⋅ dv = d (v ⋅ v ) = d (v 2 ) 2 2
∫
b
a
F ⋅ dr = ∫ mv ⋅ dv
v0
பைடு நூலகம்
质点运动状态的改变是由于外部作用持续进行 的结果。所谓持续就是说， 的结果。所谓持续就是说，作用施加的开始和结束 这两个事件，有一定的时空间隔。 这两个事件，有一定的时空间隔。 在牛顿力学体系中， 在牛顿力学体系中，空间和时间是两个相互独 立的概念。 立的概念。 那么，我们可以把持续作用分解为力的空间累 那么， 积和时间累积两个方面 相互作用在时间上的持续—力的时间累积 相互作用在时间上的持续 力的时间累积 相互作用在空间上的持续—力的空间累积 相互作用在空间上的持续 力的空间累积
从今天科学发展的情况全面地看， 从今天科学发展的情况全面地看，机械运动和其 它运动形态之间的转化，未必不需要用动量来量度。 它运动形态之间的转化，未必不需要用动量来量度。 以后我们将会知道，电磁场是既有能量、 以后我们将会知道，电磁场是既有能量、又有动 量的。不考虑机械动量与电磁动量之间的转化， 量的。不考虑机械动量与电磁动量之间的转化，一对 运动电荷组成的系统，其动量就不可能守恒。 运动电荷组成的系统，其动量就不可能守恒。 在相对论里，对于洛伦兹变换，动量和动能组成 在相对论里，对于洛伦兹变换， 一个四维矢量，动能是四维动量矢量的第四维。 一个四维矢量，动能是四维动量矢量的第四维。正象 磁矢势和电势那样，变换时彼此关联，密不可分。 磁矢势和电势那样，变换时彼此关联，密不可分。 与其强调它们的区别，不如强调它们的联系。 与其强调它们的区别，不如强调它们的联系。 运动是复杂的， 运动是复杂的，只有将动量和动能这四个分量统 一考虑，才能作为运动的全面量度。 一考虑，才能作为运动的全面量度。
dp d dv = (mv ) = m =F dt dt dt
这就是牛顿第二定律 —动量的变化率源于外界的作用力 动量的变化率源于外界的作用力
从动量的变化率可见，对质点施加作用力， 从动量的变化率可见，对质点施加作用力，会 导致质点动量的改变。 导致质点动量的改变。
dp F= dt
─动量定理的微分形式 ─动量定理的积分形式
2
mv 到同一高度的 “力” ，应该用 这
来量度， 来量度，并把
活力” 种 “力” 称为 “活力” （vis viva）。 2 ） 1 后来，科里奥利又将活力改为 后来，科里奥利又将活力改为 mv ，这就是 2 今天所说的动能。 今天所说的动能。
两派著名争论，延续达五十余年。 两派著名争论，延续达五十余年。 直到1743年，达兰贝尔给了一个 “最后的判决” 年 达兰贝尔给了一个 最后的判决” 直到 两种说法只是一场“毫无益处的咬文嚼字的争论” ：两种说法只是一场“毫无益处的咬文嚼字的争论” 才使争论沉寂下来。 ，才使争论沉寂下来。 今天我们已经清楚： 今天我们已经清楚： 关于运动的两种量度 笛卡尔指的是动量 笛卡尔指的是动量 指的是
动能定理： 动能定理：
∫
b
a
1 1 2 2 F ⋅ dr = mvb − mva 2 2
——力的空间累积导致质点 力的空间累积导致质点 动力学状态改变
例题１ ：
普通物理学教案
一颗子弹在枪筒内受合力为F 一颗子弹在枪筒内受合力为 = a – bt ，运行 到枪口刚好 F = 0 ，由枪口射出时速率为 v0 。 子弹在枪筒内运行的时间； 求：子弹在枪筒内运行的时间；子弹所受的 冲量；子弹的质量。 为常数、 单位质 单位质） 冲量；子弹的质量。 （a、b为常数、SI单位质） 、 为常数 解： 子弹出枪口时 a − bt = 0 由冲量的定义 I = ∫ 由动量定理
动量定理的微分形式 以上我们是从外力持续作用产生的结果来探讨 问题的，这种思维也完全可以逆向进行： 问题的，这种思维也完全可以逆向进行：研究是什 么原因导致质点动力学状态的改变? 么原因导致质点动力学状态的改变 研究的方法：对动力学状态量考察其变化率， 研究的方法：对动力学状态量考察其变化率， 看它与什么有关。 看它与什么有关。 动量的变化率
分析
dv F =m dt
物质间 相互作用 瞬时关系
激励
受到外部作用的质点 或系统的状态变化率
响应
因
果
症结： 症结：
牛顿定律是瞬时关系 状态变化不是瞬时的， 状态变化不是瞬时的，要经历一个过程 相互作用也不是瞬时的——持续作用 持续作用 相互作用也不是瞬时的 理论目标： 理论目标： 寻找： 寻找： 持续作用 定量关系 状态变化
v
1 1 2 2 = mvb − mva 2 2
1.冲量 · 动量定理 冲量 Impulse & theorem of momentum 定义 冲量： I = Fdt 冲量： ∫
t0 t
——力的时间累积 力的时间累积 ——动力学状态量 动力学状态量
动量： 动量： p = mv
t
动量定理： 动量定理：
v = 2 gh = 2 × 9.8 × 2 = 6.3 m/s
对地平均冲力
2mv 2 × 0.58 × 6.3 = 3.8 × 102 N F= = ∆t 0.019
重物所受重力! 相当于 40kg 重物所受重力
F
t O 0.019s
例题３ ：
普通物理学教案
质量为2.5g的乒乓球以 的乒乓球以10m/s的速率飞来，被 的速率飞来， 质量为 的乒乓球以 的速率飞来 板推挡后，又以20m/s的速率飞出（见图） 。求： 的速率飞出（ 板推挡后，又以 的速率飞出 见图） 乒乓球得到的冲量；若撞击时间为0.01s，求板施 乒乓球得到的冲量；若撞击时间为 ， 于球的平均冲力的大小和方向。 于球的平均冲力的大小和方向。 y 由于作用时间很短，忽略重力影响。 解： 由于作用时间很短，忽略重力影响。 v2 设挡板对球的冲力为 F x 30º º n 则 45º º I = Fdt = mv2 − mv1
自然辩证法》 恩格斯 《自然辩证法》
恩格斯在《自然辩证法》 恩格斯在《自然辩证法》中曾以审慎的态 度指出：两种运动量度的区别在于， 度指出：两种运动量度的区别在于，只有 mv 2 才是机械运动转化为其它运动形态的能力的一 种量度， 则不是。 种量度，而 mv 则不是。 这种观点， 这种观点，在19世纪能量守恒定律刚发现 世纪能量守恒定律刚发现 以后来看是有一定道理的， 以后来看是有一定道理的，它主要针对机械运 动和热运动之间的转化而言。 动和热运动之间的转化而言。
∫
取坐标， 取坐标，将上式投影
v1
I x = ∫ Fx dt = mv2 cos30 − (−mv1 cos45 ) = Fx ∆t
I y = ∫ Fy dt = mv2 sin30 − mv1 sin45
= Fy ∆t
I x = ∫ Fx dt = mv2 cos30 − (−mv1 cos45 ) = Fx ∆t I y = ∫ Fy dt = mv2 sin30 − mv1 sin45
∫
t
t0
Fdt = mv − mv0
∆p x = ∫ Fx dt
t0
t
在直角坐标系中
∆p y = ∫ Fy dt
t0
t
t
∆pz = ∫ Fz dt
t0
在冲击和碰撞等问题中，常引入平均冲力的概念。 在冲击和碰撞等问题中，常引入平均冲力的概念。
∫
t2
t1
Fx dt = mv2 x − mv1 x
Fx
0
a/b 0
t = a/b
(a - bt )dt = a 2 / 2b
I = mv0 − 0
a2 m= 2bv0
关于运动量度的历史性争论
历史上第一个有意义的守恒学说， 历史上第一个有意义的守恒学说，是以古希腊 德谟克利特原子论为代表的物质不灭说 原子论为代表的物质不灭说。 德谟克利特原子论为代表的物质不灭说。 实际上，除物质不灭外， 实际上，除物质不灭外，原子论者还主张运动 不灭─运动只能由一个物体向另一个物体转移 运动只能由一个物体向另一个物体转移， 不灭 运动只能由一个物体向另一个物体转移，决 不会完全消灭。 不会完全消灭。 讨论运动守恒要比质量守恒更为困难，因为运 讨论运动守恒要比质量守恒更为困难， 动是一个复合的概念，它既涉及物体质量的大小， 动是一个复合的概念，它既涉及物体质量的大小， 又与运动的快慢和方向（速度矢量）有关。 又与运动的快慢和方向（速度矢量）有关。所以历 史上围绕什么是“运动之量” 史上围绕什么是“运动之量”问题的争论更为激烈 。
∫
t0
Fdt = mv − mv0
——力的时间累积 力的时间累积 导致质点动力学状态改变