二倍角公式一(公开课)
《二倍角的三角函数(1)》示范公开课教学课件【高中数学苏教版必修第二册第十章】
二倍角余弦公式三种形式cos 2α＝cos2α－sin2αcos 2α＝2cos2α－1cos 2α＝1－2sin2α
我们继续思考以下几个问题该怎么解决？
（1）tan 2α公式还可以怎么推导？
（2）倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？
由cos 2α＝2cos2α－1降幂变形得：
由cos 2α＝1－2sin2α 降幂变形得：
降幂公式：
你能用二倍角公式解决以下问题吗?
(2)计算cos215°－sin215°结果等于________．
(3)已知α为第三象限角， ，则tan 2α＝________．
解：因为α为第三象限角， ,所以 ， ， ．
解：2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝ ；
cos215°－sin215°＝cos 30°＝ ；
2sin215°＝1－cos 30°＝1－ ；
sin215°＋cos215°＝1，
故选 B .
B
解： ．
二倍角的三角函数(1)
第十章 三角恒等变换
相关著名历史人物
两角和的三角函数公式
比鲁尼 (973～1048)是波斯著名科学家、史学家、哲学家．青年时曾到朱尔占师从艾布·纳斯尔·曼苏尔等著名学者．他博览群书，广交学者，学识渊博，富有创造性，对史学、地理、天文、数学和医学均有很深的造诣．比鲁尼的著作《马苏德规律》在三角学方面有创造性的贡献，他给出一种测量地球半径的方法．比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式．
解：因为sin α=，α，
于是sin 2α ＝ 2sin αcos α， cos 2α＝1－2sin2α=1－2， tan 2α＝．
5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式课件(人教版)
例6
4
在△ ABC 中， cos A 5
tan 2 A 2B 的值.
， tan B 2 ，求
2A+2B与A,B之间能构成怎样的关系？
解：在△ ABC 中，由 cos A
4
，0
5
A π ，得
2
3
4
sin A 1 cos 2 A 1 ，
5
2
tan tan
2 tan
tan 2 tan
.
2
1 tan tan 1 tan
2
推导
二倍角的余弦公式有三种表达情势：
cos 2 cos sin
2
cos 2 1 2sin
2
cos 2 2 cos 1
2
2
推导
余弦公式，有下面的等价变情势：
cos 2 2 cos 1
2
cos 2 1 2sin
2
1 cos 2 2cos
1 cos 2 2sin
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
sin
2
2
2
2
=±
2
1+
2
2
sin 与 cos 的符号由角
24 4
tan 2 A tan 2 B
44
7 3
tan 2 A 2 B
24 4 117 .
1 tan 2 A tan 2 B
1
7 3
，
解法 2：
4
在△ ABC 中，
二倍角公式课件
二倍角公式课件
下面是一个关于二倍角公式的简单课件：
标题：二倍角公式
1. 什么是二倍角公式？
二倍角公式是一种用来计算角度的公式，它可以将一个角度的两倍表示为其他角度的函数。
2. 二倍角公式的推导
我们可以从三角函数的和差公式出发，推导出二倍角公式。
a) 正弦函数的二倍角公式：
sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
b) 余弦函数的二倍角公式：
cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)
c) 正切函数的二倍角公式：
tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan²(θ))
3. 怎样应用二倍角公式？
当我们需要计算一个角度的两倍时，我们可以使用二倍角公式
来简化计算。
例如，如果我们知道sin(θ)和cos(θ)，我们可以使用二倍角公式计算sin(2θ)和cos(2θ)。
4. 示例计算
假设我们知道sin(θ) = 1/2 和cos(θ) = √3/2，我们可以使用二倍角公式计算sin(2θ)和cos(2θ)。
a) sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
= 2 * (1/2) * (√3/2)
= √3/2
b) cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)
= (√3/2)² - (1/2)²
= 3/4 - 1/4
= 2/4
= 1/2
5. 结论
二倍角公式是一种用来计算角度的有用工具，它可以帮助我们简化计算并得到更快速的结果。
掌握二倍角公式可以提高我们在三角函数中的计算能力。
希望这个简单的课件对你有所帮助！。
二倍角公式公开课课件
二倍角公式的推广到多倍角公式
推广一
将二倍角公式中的角度值替换为多倍角度值 ，如将 $2A$ 替换为 $nA$，得到多倍角公 式 $sin nA = nsinfrac{A}{n}cos^{n1}frac{A}{n}$。
推广二
利用二倍角公式推导出的多倍角公式，如 $cos nA = cos^n A - S_nsin^n A$，其中 $S_n$ 是二项式系数。
应用举例
已知cos(x) = 1/3，求cos(2x)的值。利用二倍角公式cos(2x) = 2cos^2(x) - 1， 可以快速得出结果为-7/9。
在解三角函数方程中的应用
总结词
通过二倍角公式将三角函数方程转化为更易于求解的形式。
应用举例
求解sin(x) = 1/2的解。利用二倍角公式，将方程转化为2sin(x/2)cos(x/2) = 1/2，进 一步得到sin(x/2) = 1/2或cos(x/2) = 1/2，从而求得x的解。
利用诱导公式化简。
04
进阶习题2答案与解析：cos(π/3 - 2α) = 4√5/5。解 析：利用二倍角公式，将cos(π/6 + α)转化为sin，再 利用诱导公式化简。
感谢观看
THANKS
详细描述
二倍角公式的几何意义在于，它描述了一个角经过旋转其度数两倍后，新位置与原位置之间的正弦或余弦关系。 具体来说，当一个角绕着原点旋转到其两倍角度数的新位置时，该角所对应的正弦或余弦值可以通过二倍角公式 计算得到。
二倍角公式的应用场景
总结词
二倍角公式在解决三角函数问题中具有广泛的应用，例如在解三角形、求三角函数值、证明三角恒等 式等方面。
二倍角的正弦、余弦、正切公式优质课课件
引例
等腰三角形ABC的顶角是A，底角是B，C，
cosB= 3
5
，求顶角A的正弦、余弦、正切值.
二 倍 角 公 式：
sin 2 2sin cos
R
cos 2 cos2 sin 2 R
2cos2 1 1 2sin2
tan 2
2 tan 1 tan 2
k 2
,且 4
k 2
，k Z
倍角的相对性
(1)sin 4 2sin_ cos_ (2) cos cos2_ sin2_ 2 cos2_1
1 2sin2_
(3) tan
2
2 tan_ 1 tan2_
四、典例剖析
例1.已知sin 4 , ＜＜，
52
求sin 2, cos 2, tan 2的值.
练习：1.解决引例提出的问题. 在ABC中，B=C,cos B 3 ,求sin A, cos A, tan A.
5
2.灵活应用公式.
(1) cos2 75 sin2 75 2 tan 22.5
(2) 1 tan2 22.5 (3) sin15 cos15
(4)4 cos 75 cos15
5
课堂小结
• 1.倍角公式（推导、熟记、灵活应用）。 • 2.公式的特征、成立的条件、倍角的相
对性。
• 3.转化与化归的数学思想。 • 4.算法的合理性。
作业
在ABC中,sin A 3 , tan B 2, 5
求 tan 2A 2B的值.
谢谢大家！
知识与方法总结重要。
例2.在ABC中, cos A 4 , tan B 2, 5
求 tan 2 A B的值.
二倍角的正弦、余弦、正切公式PPT优秀课件1
四、课堂练习
1 2 、 、 若 co s i s n c c o o s s 2 2 ,t _ a n _ _ 1 _t _ a n 1 _ _的 值 2
55
4
3、 2 sin 2 2 cos 4的值是？ 3cos2
2 1 c 2 o s 4 c o s 4 2 3 2 3 c o s 4 2 3 ( 1 c o s 4 ) 2 3 ( 2 c o s 2 2 ) 3 c o s 2
8
82
试试看 伴你学134页8题
4、 8si4 nc 8o 4 sc 8o 2 sc 4o 1 s 212
例2、已知 sin5， （，），
13 2
求 si2 n,co 2 ,sta2 n的值。
解： sin5， （，），
13 2
cos 12 si2 n2s13ic n os25(1)2 120
3、注意： 当 k(kZ) 时，tan 不存在，
但是 ta 2 n 2ta 2 k n () 0
三、公式应用：
例1、（公式巩固性练习）求值
1 、 si2n 。 3 2， c 0o 2。 3 s 2， 0 2
4
2、 2cos2 1 2
8
2
3、 sin2co2s 2
co2 s(1co2 s) 2co2s1
12si2n
公式变形：
1si2 n(s i nco )2 s
1co 2s2co 2s 升幂缩角公式
1co 2 s2si2 n
co2s1co2s
2
sin21co2s
2
降幂扩角公式
二、公式理解：
新课标人教版课件系列
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(经典公开课)
+
= +
+
-
+ - .
因为 θ 是第二象限角,
即 2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,所以 kπ+ < <kπ+,k∈Z.
所以原式=
, + < < + (∈),
解析:∵tan α=,∴tan 2α=- =
答案:
.
.
二、二倍角的余弦公式的变形
【问题思考】
1.根据同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1,能否只用sin α
或cos α表示cos 2α?
提示:cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;
.
-
=2sin
=2× × = ,
,
+
的值”.
反思感悟
三角函数的条件求值问题常有两种解题途径
(1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、
函数名靠拢;
(2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、
函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.
sin215°+cos215°=1,选项 D 不对.
答案:B
2.sin
4
二倍角公式课件
sin 2 2sin cos
2
4
四、例题教学(公式变形用)
3.
(2) sin 2π cos 2π
8
8
(cos
2π 8
sin
2π ) 8
解题点拨：对比公式
cosπ 4
cos2α cos 2αsin 2α
2
2
四、例题教学(公式变形用)
(3).
tan22.5 1 tan 2 22.5
x
sin
x)
求函数f (x)的最小正周期。
五、练习深化
1、 已知sin( - ) 3 , 求 cos 2的值
5
解题方法： 用诱导公式 化简函数,再 用二倍角公式
五、练习深化
2、已知tan2
1 3
,求
tan
的值。
解:
tan2
1
2
tan tan
2
1 3
,
解题方法： 应用正切的
6tan 1 tan 2 ，
二、二倍角公式的推导
问题： 由一般的 ， 到特殊的两个角相等， 即： ， 你得到什么启示？有什么发现？
cos ？ sin ？
tan ？
二、二倍角公式的推导
cos cos cos sin sin 令 cos 2 cos 2 sin 2
利用公式 sin 2 cos 2 1变形为：cos2 2 cos2 1
两位伟大的数学家启迪我们， 学习数学的重要性和方法：
数 学 是 知 识 的 工 具， 也 是 其 它 知 识 工 具 的 源 泉， 所 有 研 究
的 科 学 均 和 数 学 有 关。 — —笛 卡 儿
学 习 数 学 要 多 做 习 题， 边 做 边 思 考， 知 其 然， 知 其 所 以 然。
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二倍角公式一《学案》
教学目标：理解二倍角公式的推导及二倍角公式的初步应用
一.课前热身(旧公式填写):
同角三角函数基本关系式：
⑴ 可变形为：2sin α= 或2cos α= ⑵
两角和与差的三角公式（部分）：
⑴sin()αβ+= ⑵cos()αβ+= ⑶tan()αβ+=
二．新课教学(新公式推导):
由此我们可以对应得出：
⑴sin()αα+= = ⑵cos()αα+= = ⑶tan()αα+= = 小结：（主角登场）
二倍角公式：⑴sin2α=
⑵cos2α=
⑶tan2α=
三．公式初步应用：
例1：已知sin α=、cos α= 23
和tan α=． 分别求sin 2α、cos2α和tan2α的值是多少？
练习1：已知sin2α= -2 、cos2α= -12
和tan2α=． 分别求sin 4α、cos4α和tan4α的值是多少？ 例2：已知3sin 5
α=，且α为第一象限的角，求sin 2α、cos2α和tan2α的值？ 练习2：已知3cos 4α=，且α为第四象限的角，求sin 2α、cos2α和tan2α的值？ 表演时间：
1．已知sin 2α=
35 、cos 2α=-45 和tan 2α=-34
． 分别求sin α、cos α和tan α的值是多少？
2．已知tan 2α=-，且α为第二象限的角，求sin 2α、cos2α和tan2α的值？ 四．总结：(默写二倍角公式)
五．作业：书P7练习1.1.4第一大题和思考二倍角公式的逆用和cos2α的变形。