河南中考数学专题之函数图象及性质的探究

2019河南中考数学专题之函数图象及性质

的探究

★【中考母题】某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：

其中，m＝0；

(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分；

(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；

(4)进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有3个交点，所以对应方程x2－2|x|＝0有3个实数根；

②方程x2－2|x|＝2有2个实数根；

③关于x的方程x2－2|x|＝a有4个实数根，a的取值范围是－1

(3)函数图象关于y轴对称；函数图象开口向上等，答案不唯一．(注：本题不累计给分，除(3)中每条性质2分外，其他每空1分) (2019河南21题10分)某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2|x|的图象

和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

(1)自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：

其中，m ＝________．

(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐

标系中描点，并画出了函数图象的一部分，

请画出该函数图象的另一部分．

(3)观察函数图象，写出两条函数的性质．

(4)进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x 轴有____________个交点，所以对应的方程x 2－2|x |＝0有__________个实数根；②方程x 2－2|x |＝2有________个实数根；③关于x 的方程x 2－2|x |＝a 有4个实数根时，a 的取值范围是________．

解：(1)0；…………………………………………………………(1分)

(2)如解图所示：…………………………………………………（3分）

解图

(3)①函数图象有两个最低点，坐标分别是(－1，－1)和(1，－1)；②函数图象是轴对称图形，对称轴是直线x ＝0(y 轴)；③从图象信息直接看出：当x ＜－1或0＜x ＜1时，函数值随自变量的增大而减小；当－1＜x ＜0或x ＞1时，函数值随自变量的增大而增大；④在x ＜－x … －3

52 －2 －1 0 1 2 52 3 … y … 3 54 m －1 0 －1 0

54 3 …

2或x ＞2时，函数值大于0，在－2＜x ＜0或0＜x ＜2时，函数值小于0等．(答案不唯一，写出两条合理即可) ……………………(6分)

(4)① 3，3；② 2; ③－1＜a ＜0. ……………………………(10分)

【解法提示】①观察图象可知函数图象与x 轴有3个交点，∴方程x 2－2|x |＝0有3个不相等的实数根；②把抛物线y ＝x 2－2|x |向下平移2个单位，得抛物线y ＝x 2－2|x |－2，则抛物线y ＝x 2－2|x |－2与x 轴只有2个交点，∴方程x 2－2|x |－2＝0有2个不相等的实数根； ③把抛物线y ＝x 2－2|x |向上平移a (0＜a ＜1)时，抛物线与x 轴有4个交点，∴抛物线解析式y ＝x 2－2|x |－a 中，0＜－a ＜1，∴－1＜a ＜0.

★【强化练习】1.有这样一个问题：探究函数y ＝12x 2＋1x

的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y ＝12x 2＋1x

的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：

(1)下表是y 与x 的几组对应值．

函数y ＝12x 2＋1x 的自变量x 的取值范围是x ≠0，m 的值为296

； (2)在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象；

(3)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有1个交点，所以

对应方程12x 2＋1x ＝0有1个实数根；②方程12x 2＋1x

＝2有3个实数根；③结合函数的图象，写出该函数的一条性质．

解：(2)函数图象如图所示．

(3)③答案不唯一，如：函数没有最大值或函数没有最小值，函数图象没有经过第四象限．

2.问题情境：已知矩形的面积为S(S 为常数，S>0)，当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？

数学模型：设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为

y ＝2(x ＋S x

)(x>0)． 探索研究：我们可以借鉴学习函数的经验，先探索函数y ＝x ＋1x

(x>0)的图象性质．

①列表：

表中m ＝103

； ②描点：如图所示；③连线：请在图中画出该函数的图象；④观察图象，写出该函数的两条性质；

解决问题：在求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的最大(小)值时，除了

通过观察图象，还可以通过配方得到．同样通过配方也可以求函数y

＝x ＋1x

(x>0)的最小值． y ＝x ＋1x

＝(x)2＋(1x )2＝(x)2＋(1x )2－2x·1x ＋2x·1x ＝(x －

1x )2＋2.∵(x －1x )2≥0，∴y ≥2.∴当x －1x ＝0，即x ＝1时，y

最小＝2.请类比上面配方法，直接写出“问题情境”中的问题

的答案．

解：探索研究②③如图．④性质：答案不唯一，如：函数有最小值2，

当x>1时，y 随x 的增大而增大．解决问题： y ＝2(x ＋S x )＝2(x －S x )2＋4S ，当x －S x ＝0，即x ＝S 时，y 有最小值4S ，∴当该矩形的长为S 时，它的周长最小，最小值是4S.

3.如图，P 是AB ︵所对弦AB 上一动点，过点P 作PM ⊥AB 交AB ︵于点

M ，连接MB ，过点P 作PN ⊥MB 于点N.已知AB ＝6 cm ，设A ，P 两点间的距离为x cm ，P ，N 两点间的距离为y cm.(当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值为0)

小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：

(1)通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：

(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)

(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

(3)结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP 的长度约为2.2cm.

解：(2)利用描点法，画出图象如图所示．

(3)当△PAN为等腰三角形时，x＝y，作出直线y＝x与图象的交点坐标为(2.2，2.2)，

∴△PAN为等腰三角形时，PA＝2.2 cm.

4.根据下列要求，解答相关问题：

(1)请补全以下求不等式－2x2－4x≥0的解集的过程．

①构造函数，画出图象：根据不等式的特征构造二次函数y＝－2x2－4x.抛物线的对称轴为x＝－1，开口向下，顶点(－1,2)，与x轴的交点是(0,0)，(－2,0)，用三点法画出二次函数y＝－2x2－4x的图象如图1所示；②数形结合，求得界点：当y＝0时，求得方程－2x2－4x＝0的解为；③借助图象，写出解集：由图象可得不等式－2x2－4x≥0的解集为．

(2)利用(1)中求不等式解集的方法步骤，求不等式x2－2x＋1＜4的解集．①构造函数，画出图象；②数形结合，求得界点；③借助图象，写出解集．

(3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集．

解：(1)②x1＝0，x2＝－2；③－2≤x≤0；

(2)①构造函数，画出图象：构造函数y＝x2－2x＋1，抛物线的对称轴为x＝1，开口向上，顶点坐标为(1,0)，关于对称轴x＝1对称的一对点为(0,1)，(2,1)，用三点法画出函数图象如解图所示：

②数形结合，求得界点：当y＝4时，方程x2－2x＋1＝4的解为x1＝－1，x2＝3；③借助图象，写出解集：由题图可知，不等式x2－2x＋1＜4的解集是－1＜x＜3；

(3)①当b2－4ac＞0时，关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的

解集是x＞－b＋b2－4ac

2a或x＜

－b－b2－4ac

2a；②当b

2－4ac＝0时，

关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是x≠－b

2a；③当b

2－4ac

＜0时，关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是全体实数．5.已知抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a>0). (1)当a=1时,求抛物线与x轴的交

点坐标及对称轴; (2)①试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标;②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式; (3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值.

解:(1)当a=1时,抛物线C1:y=x2-4x-5.?(1分)令y=0,则x2-4x-5=0, 解得x1=-1,x2=5,∴抛物线C1与x轴的交点坐标为(-1,0),(5,0),?(2分) 对称轴为直线x=2.?(3分)

(2)①由抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a>0),

=2.?(4分)令x=0,有y=-5.

可得其对称轴为直线x=—?44?

44

∴抛物线C1过定点(0,-5).?(5分)易知点(0,-5)关于直线x=2的对称点为点(4,-5),∴由抛物线的对称性可知,无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点(0,-5)和(4,-5).?(6分)

②y=-ax2+4ax-5(或y=-a(x-2)2+4a-5).?(7分)

(3)对于抛物线C2:y=-ax2+4ax-5,当x=2时,y=4a-5,

∴抛物线C2的顶点坐标为(2,4a-5),?(8分)

6. 阅读下面材料:如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线y1=ax+b与双

?交于A(1,3)和B(-3,-1)两点.

曲线y2=4

4

图1

观察图象可知: ①x=-3或1时,y1=y2;②当-3y2,即通过观察

的解集.

函数的图象,可以得到不等式ax+b>4

4

有这样一个问题:求不等式x3+4x2-x-4>0的解集.某同学根据学习以上知识的经验,对求不等式x3+4x2-x-4>0的解集进行了探究.

下面是他的探究过程,请将(2)(3)(4)补充完整:

(1)将不等式按条件进行转化:

①当x=0时,原不等式不成立;②当x>0时,原不等式可以转化为

x2+4x-1>4

4;③当x<0时,原不等式可以转化为x2+4x-1<4

4

;

(2)构造函数,画出图象.

设y3=x2+4x-1,y4=4

4

?,在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象.

双曲线y4=4

4

如图2所示,请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x-1(不用列表);

图1

(3)确定两函数图象公共点的横坐标,观察所画两个函数的图象,猜想并通过代入函数解析式验证可知:满足y3=y4的所有x的值为 ;

(4)借助图象,写出解集.结合(1)的讨论结果,观察两个函数的图象可知:不等式x3+4x2-x-4>0的解集为 .