北邮 大学物理 吴百诗 力学-chapter-2.2

推广到n个质点的质点系
A外 A内 Ekb Eka
（质点系的动能定理）
所有外力和内力对质点系作功的总和等于质点系动能的增量
注意

质点系的内力和外力的区分。 系统内力的功也可以改变系统的动能。
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质点系的动能定理
对第 i 个质点，有
m1
ex Fi
Wi Wi Eki Eki 0
yB
zB
A
xB
A
yA
W Wx Wy Wz
7
功的单位（焦耳）
1J 1 Nm
W 平均功率 P t
ΔW dW F v 瞬时功率 P lim t 0 Δt dt P Fv cos
（瓦特） 功率的单位
1 W 1 J s
1
1 kW 10 W
1 2
作用于不同质点 上，它们的元功之和：
r1 r1
O
B1
f1
B2
r2
dWd
r21
f2
A1 A2
r2

f1 d r1 f 2 d r2 f 2 (d r2 d r1 ) f 2 d( r2 r1 ) f 2 d r21 f1 d r12
W F cos r F r

F
r
4
2 变力的功
dW F cos dr ds dr
dri
i
F
B
*
dr
dW F cos ds dr1 1 F 1 * A dW F dr B B W F dr F cos ds
3
8
例 1 一质量为 m 的小球 竖直落入水中， 刚接触水面时 其速率为 v0 ．设此球在水中所 受的浮力与重力相等，水的阻 力为 Fr bv , b 为一常量. 求阻力对球作的功与时间的函 数关系．
o
v0
x
9
解
W F dr bv d x
建立如右图所示的坐标系
o
v0
dx 2 bv d t b v d t dt b mt 又由 上 节例 题 知 v v0 e
W bv e dt 0 1 2b t 2 W mv0 (e m 1) 2
2 0 2b t m
t
x
10
二 一对力的功
一对大小相等，方向相反的力： f f
WAB (1) WB A (2) 0
Α
fc d r 0
L
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保守力与非保守力 ----------------保守力作功的数学表达式
保守力所作的功与路径无关，仅决定 于始、末位置．
m 'm m 'm 引力的功 W (G ) (G ) rB rA 1 2 1 2 弹力的功 W ( kxB kx A ) 2 2
合外力对质点所作的功，等于质点动 能的增量 ——质点的动能定理
注意
功是过程量，动能是状态量；
功和动能依赖于惯性系的选取，
但对不同惯性系动能定理形式相同．
15
例 2 一质量为1.0 kg 的小 球系在长为1.0 m 细绳下端，绳 的上端固定在天花板上．起初 把绳子放在与竖直线成 30o 角 处，然后放手使小球沿圆弧下 落．试求绳与竖直线成 10o 角 时小球的速率．
0

d
FT v ds
l
P
16
解 dW F d s FT d s P d s Pd s d s l d P d s mgld cos
mglsin d
0

d
20

b1
a1
b2 b1 b2 F1 dr1 F2 dr2 Fin1 dr1 Fin2 dr2
a2 a1 a2
1 1 1 1 2 2 ( m1v12b m2v 2b ) ( m1v12a m2v 2 a ) 2 2 2 2 A外 A内 ( Ekb1 Ekb 2 ) ( Eka1 Eka 2 ) Ekb Eka
质点动力学 2
1
本次课主要内容
• • • • • 惯性系和非惯性系 功和能 动能定理 保守力的功 势能
2
Байду номын сангаас
F 对时间积累 I ， p 力的累积效应 F 对空间积累 W， E
动量、冲量 、动量定理、动量守恒 动能、功、动能定理、机械能守恒
3
2.3 功和能
一 功
1 恒力作用下的功
dr1
根据质点的动能定理 对m1:
A1
b1
a1
b1 F1 dr1 Fin1 dr1
a1
1 1 2 m1v1b m1v12a 2 2
19
对m2:
A2
b2 a2
b2 1 1 2 2 F2 dr2 Fin2 dr2 m2v 2b m2v 2 a
（4）合力的功，等于各分力的功的代数和．
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk B B W F dr （Fx dx Fy dy Fz dz）
A A
Wx Fx dx Wy Fy dy Wz Fz dz x z
W mgl sin d
0

l FT v ds
mgl(cos cos 0 )
P
17
m 1.0 kg
0 30
o
l 1.0 m o θ 10

0
d
W mgl(cos cos0 ) 1 2 1 2 由动能定理 W mv mv0 2 2
得 v 2 gl(cos cos 0 )
FT v ds
l
1.53 m s
1
P
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质点系的动能定理
F1、F2
外力
内力
v 1a a1 a2 v 2 a
Fin1、Fin2
b1 m1 F1 v1b Fin1 F2 Fin2 v 2b m2 dr b2 2
一个力 * 受力质点相对另一质点的位移。 11
一对力的功取决于两受力 质点的相对位移。
与参考系无关！
推论： ◆一对正压力的功恒为零 N d r12 0
◆一对滑动摩擦力的功恒为负。 dWd f r d rr f r d sr 0
12
例：如图，物体沿斜面向上， 地面参考系：f物作负功； 物体参考系： f物不作功。
30
F dr F dr A ACB ADB l F dr ACB F dr BDA F dr W F dr 0
l
C
D
B
质点沿任意闭合路径运动一周时，保守 力对它所作的功为零． 非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）
B m'm W F dr G 2 er dr A m A r dr r rA e er dr er dr cos dr r
m'm W G 2 dr rA r
rB
dr r dr
m'
A A

Fi
5
讨论
(1) 功的正、负
o
0 90 ，dW 0 o o 90 180 ，dW 0 o 90 F dr dW 0
o
(2) 作功的图示
F cos
W F cos ds
s1
s2
o s1
ds
s2
s
6
（3）功是一个过程量，与路径有关．
证明：由牛顿第二定律知： 合力的元功 F d r m d v d r m d v v dt d(v 2 ) d(v v ) 1 2 F d r d( mv ) 2v d v 2
14
1 1 2 2 W mv2 mv1 Ek 2 Ek1 2 2
(1) 万有引力作功
m' 对m 的万有引力为
m' m F G 2 er r
m 移动dr 时，F作元功为
A
rA e
m'
r
r
rB
m
dr
dr r dr
B
m' m dW F dr G 2 er dr r
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m从A到B的过程中 F作功：
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三 势能
(一). 定义
potential energy 保守力作功与路径无关 —— 可引入一个相对位形的函数 定义：两种位形的势能差
B
EP (A) EP (B) Wc ,AB
A
或
E W
p
c , A B
势能增量的负值等于保守力沿任意路径由起点 到终点所作的功。 选定参考点（势能零点） ( p0 ) E P ( A) Wc , A p0 fc32 dr 设 EP ( p0 ) 0
( A )1 ( A) 2
(B)
(B)
作功仅由始末位置（与力心的距离）决定， 而与经历的路径无关!
即：WAB (路径 ) WAB (路径2) WAB () 1
凡作功与路径无关的力称为保守力。 等价的表述： 保守力沿任意闭合 路径所作的功为零。