选修1-2课本题精选(教师版)

课本回归7 选修1-2课本题精选
一、填空题 1．（选修1-2 P 59练习4（1））题目：若实数x,y 满足（x-3y ）+(2x+3y )i =5+i,则x+y = . 解析 由复数相等定义可知x-3y =5，且2x+3y =1，解得x =2,y =-1,故x+y =1.
2．（选修1-2 P70习题2）题目：已知复数z=(m-2)+(m 2-9)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的范围是 .
解析 由题意可知m-2>0,且m 2-9<0,解得2<m <3.
3．（选修1-2 P60习题2）改编题目：i 是虚数单位，若复数z ＝(m 2－1)＋(m －1)i 为纯虚数，则 实数m 的值为________．
解析 由题可得⎩
⎨⎧≠-=-01012m m ，解得m ＝－1.
4．（选修1-2 P65习题2（1））改编题目：复数i
1i
2+-的模为 .
解析 ∵
i 1i 2+-=i 23212)i 1)(i 2(-=-- ∴|
i
1i
2+-. 5．（选修1-2 P33练习4）改编题目：观察直线上的几个点，发现2个点可以确定1条线段，发现3个点可以确定3条线段，发现4个点可以确定6条线段，发现5个点可以确定10条线段，由此可以归纳出)2(≥n n 个点可以确定 条线段. 解析 n 个点可以确定
)2,(2)1(≥∈-*n N n n n 条线段.理科的学生还可以联系组合数2
)1(2
-=
n n C n . 6．（选修1-2 P60习题6）题目：类比关于正三角形的结论“边长为a 的正三角形内部的任意一点到3条边的距离之和为定值a 2
3
（正三角形的高）”，得到空间中的一个结论为 .
解析 首先明白平面内的3个距离之和可以通过等面积法来求，即空间中可以通过等体积法， 棱长为a 的正四面体内部的任意一点到4个面的距离之和为定值
a 3
6
（正四面体的高）. 7．（选修1-2 P31练习3）改编题目： 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则
1216812484,,,S S S S S S S ---成等差数列．类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比
数列{}n b 的前n 项积为n T ，则 ，________，________， 成等比数列．
解析 等差数列中的和与差分别对应等比数列中的积与商，等差数列中的倍数对应等比数列中的幂数，等差数列中的算术平均数对应等比数列中的几何平均数.利用类比推理把等差数列中的差
换成商即可.即应填12
16
812484,,,
T T T T T T T ． 8．（选修1-2 P36例1）改编题目： 观察下列等式：
1=1 13=1 1+2=3 13+23=9 1+2+3=6 13+23+33=36 1+2+3+4=10 13+23+33+43=100 1+2+3+4+5=15 13+23+33+43+53=225 ……
可以推测：13+23+33+…+n 3= .（,*N n ∈用含有n 的代数式表示） 解析 根据所给等式13=12， 13+23=32=（1+2）2 ，
13+23+33=62=（1+2+3）2 ，
13+23+33+43=102=（1+2+3+4）2…
可以看出，等式左边各项幂的底数的和等于右边的幂的底数推测：
13+23+33+…+n 3=（1+2+…+n ）2
=()2
21.
4n n +
二、解答题
9．（选修1-2 P48练习4）题目：设a,b 为两个互不相等的正数，且a+b =1，分别用分析法、综合法证明：
11
4a b
+>.
解法1：（综合法）∵a >0,b >0,∴
1111()()224,b a
a b a b a b a b
+=++=++≥+= 等号成立当且仅当,.b a a b a b ==即又∵a≠b ,故11
4a b +>.
解法2：（分析法）要证：11
4a b
+>，a >0,b >0,
只要证a +b >4ab ,即1>4ab , 1
4
ab >.
∵21
a ,().24
a b b ab +≠∴<=命题得证. 10．（选修1-2 P59习题6）题目：先解答（1），再通过结构类比解答（2）： （1）求证：tan(x +
4π)=1tan 1tan x x
+-; （2）设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x+a )=
1()
1()
f x f x +-,试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论.
解析（1）证明：tan(x+4π)=tan
tan 41tan tan 4
x x π
π+-=1()1()f x f x +-，命题得证； （2）解 由f(x+a)=
1()
1()
f x f x +-和两角和的正切展开式tan(x +4π)=1tan 1tan x x +-很类似，
而y =tan x 是周期函数，且周期为π，是
4
π
的4倍，因此联想f (x )是周期为4a 的函数. 证明：f(x+2a)=f(x+a+a)=1()1()f x a f x a ++-+=
1()
11()1()11()
f x f x f x f x +
+
-
+--
=-1()f x , f(x+4a)=f(x+2a+2a)=-
1
(2)
f x a +=f (x ),故4a 是函数f(x)的周期.
11．（选修1-2 P61习题14）改编题目：（1）设 A 、B 是双曲线22
221(0)x y a b a b -=>>上关于原
点对称的两点，点P 是该双曲线上不同于A,B 的任一点，直线P A,PB 的斜率是k 1，k 2，则k 1k 2=2
2b a .
类似的，将双曲线22221(0)x y a b a b -=>>换成椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，猜想k 1k 2的结果，并
证明你的结论.
（2）如图，若D 为椭圆22
142
x y +=的右顶点，A,P 关于坐标原点对称，直线AD 、PD 交直线l:3=x 于,E F 两点，则以EF 为直径的圆C 是否过定点？
解 双曲线标准方程和椭圆标准方程只相差一个符号，因此猜想k 1k 2=2
2b a
-.
证明：设00(,)P x y ，椭圆顶点(,0)A a -,(,0)B a ，
0000,PA
PB y y k k x a x a ==+-.200022
000PA PB y y y k k x a x a x a ⋅=⋅=+--， 又2200221x y a b +=，所以2222
2200022(1)()x b y b a x a a
=-=-.
所以22PA PB
b k k a
⋅=-
（2）由（1）知K PD K AD =221
2
b a -=-，设直线PD 的斜率为k ，则直线AD 的斜率为12k -.
PD 的方程：y=k(x-2),令x =3,得y =k ，故F （3，k ）,
同理可得E(3，12k -).故C(3，124k k -)，圆C 半径r =11
||22k k
+
. 圆C 方程2
22111(3)[()]()2442k x y k k k
-+--=+， 整理得2x 2-12x+17+2y 2-2(1
2k k
-)y=0.
令y =0,得x =
62±,故圆C 过定点6(2
. 12．（选修1-2 P59习题11探究·拓展）改编题目：（1）求函数ln ()x
f x x
=
的单调区间和极值； （2）试比较n n+1与（n+1）n (n ∈N*)的大小，分别取n =1,2,3,4,5加以试验，根据实验结果猜测一个一般性结论，并证明. 解（1）2
1ln (),()0e x
f x f x x x
-''=
==令，得， 当0<x<e 时，()0f x '>；当x>e 时，()0f x '<；
故f(x)的单调递增区间为（0，e ）,单调递减区间为（e ,+∞），极大值为f(e)=1
e
,无极小值. （2）当n =1时，n n+1=1，（n+1）n =2，此时，n n+1＜（n+1）n ， 当n =2时，n n+1=8，（n+1）n =9，此时，n n+1＜（n+1）n ， 当n =3时，n n+1=81，（n +1）n =64，此时，n n+1＞（n+1）n ， 当n =4时，n n+1=1024，（n +1）n =625，此时，n n+1＞（n+1）n ，
根据上述结论，我们猜想：当n ≥3时，n n+1＞（n+1）n （n ∈N *）恒成立． 证明：由（1）知f(x) 在区间[3,+∞）单调递减，
ln(1)
1
n n +>+， 即n+1lnn>nln(n+1), 故lnn 1>ln(n+1) n ,
所以n n+1＞（n+1）n ，命题得证.。