2012省常中高一期末卷

江苏省常州高级中学
2011～2012学年第二学期期末质量检查高一年级
数 学 试 卷
命题教师：季建生 审核教师：杨元韡 2012.7 说明：1. 以下试题答案全部填写在答卷纸上。

2. 本卷总分160分，考试时间120分钟。

一、填空题
1．经过点(11)P ，与直线20x y -=平行的直线l 的方程为 ．
2．若点(2)t -，在直线260x y -+=的下方区域，则实数t 的取值范围是 ． 3．直线l ：(1)240()x m y m m +--+=∈R 必过一定点P ，则点P 的坐标为 ． 4．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 ．
5．设a ，b ，c 是空间三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则在下列命题中，真
命题的个数是 ．
① 若a b ⊥，a c ⊥，则b c ∥ ② 若a α∥，b α∥，则a b ∥
③ 若a b ∥，b α⊂，则a α∥ ④ 若a α∥，b αβ= ，则a b ∥ 6．已知实数0x y >，，且32x y +=，则
31x y
+的最小值为 ．
7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n a S +=，,则n S = ．
8．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，O 是顶点P 在平面ABC 内的射影，则O 是ABC
△的 心（在“重”、“外”、“内”、“垂”中选填一项）． 9．函数12203(2)
2
y x x x =--
>-的最大值是 ．
10．经过点(20)A ，和(80)B ，，且与y 轴的负半轴相切的圆的方
程为 ．
11．如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的
切线交AB 的延长线于点C ，若4AB =，D A D C =，则B C = ．
A
12．在下列命题中，所有真命题的编号是 ．
① 若直线l 上有无数个点不在平面α内，则直线l 平行于平面α． ② 若直线l 与平面α内无数条直线都垂直，则l 可能不垂直于α．
③ 若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面． ④ 若直线垂直于梯形的两腰所在直线，则这条直线垂直于两底边所在直线． 13．在平面四边形A B C D 中，若6AC =，4BD =，则
()()A B D C A C B D
+⋅+
的值为 ．
14．已知实数x ，y 满足22026040x y x y y --⎧⎪
+->⎨⎪-⎩
≤，
，≤，
则22
3xy x y +的取值范围是 ． 二、解答题
15．．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
且sin cos b A B =．
⑴ 求角B 的大小；
⑵ 若2b =，ABC △
试判断ABC △的形状．
16．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1AA ，BC
的中点．
⑴ 求证：AF ∥平面1B CE ； ⑵ 求证：BD C E ⊥．
17．在平面直角坐标系xOy 中，过点(21)P ，的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交
于A ，B 两点．
⑴ 当AB 中点在直线20x y -=上时，求直线l 的方程；
⑵ 当AO B △的面积最小时，求AO B △的外接圆的方程．
18．如图，截面E F G H 与三棱锥A BC D -的棱AB ，AD ，C D ，
C B
依次交于点E ，F ，G ，H ，且E ，F 分别是棱AB ，AD
的中点，A C ∥平面E F G H ．
B
D
1
E
A 1A
⑴ 求证：四边形E F G H 为平行四边形；
⑵ 若AB AD =，C B C D =，求证：四边形E F G H 为矩形．
19．如图所示，已知以点(71)C ，为圆心的圆与直线1l ：340x y +=相切．过点
(0)(0)P a a a ≠∈R ，，的动直线2l 与圆C 相交于A ，B 两点，M 是AB 的中点，直线2
l 与1l 相交于点Q ． ⑴ 求圆C 的方程；
⑵ 设3a =，若弦长6A B =，求直线2l 的方程；
⑶ 是否存在实数a ，使得PM PQ
⋅
为定值？如果存在，
求出a 的值，并求相应PM PQ ⋅
的值；如果不存在，请
说明理由．
20．已知等差递增数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8．
⑴ 求等差数列{}n a 的通项公式； ⑵ 设数列{
}2
n n
a 的前n 项和n S ，求使3732
n S <-
成立的正整数n 的最大值；
⑶ 若数列{}n b 满足*
()n n n a b m a m
=
∈+N ，
是否存在实数m ，使得数列{}n b 中存在某项t
b 满足3b ，4b ，t b *(5)t t ∈N ，≥成等差数列？若存在，求出所有符合题意的m 的值；若不存在，请说明理由．
附加卷
1．（5
分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a =-，则
1212
23
1
n n n a a a S S S S S S ++
++
=
．
2．（5分）已知实数x ，y 满足22410x y xy ++=，若2x y m +≥恒成立，则实数m 的最大
值是 ．
3．（14分）如图，ABC △内接于圆O ，且满足3A B =，234OA OB OC ++=0
．
⑴ 求cos AO B ∠； ⑵ 求圆O 的面积；
B
4．（16分）如图，圆C 的方程为22(3)(1)1x y ++-=，圆D 的方程为22(1)(4)4x y -+-=．
⑴ 设F ，G 分别为圆C ，圆D 上的动点，E 为直线1l ：350x y -=上的动点．
求E F E G +的最小值；
⑵ 设过圆心C 的直线2l 交圆D 于点A ，B ，以点A ，B 分别为切点的两条切线交于点
P
，求证：点P 在定直线上．。